21，2024年北京市石景山区中考二模数学试题

这是一份21，2024年北京市石景山区中考二模数学试题，共27页。

1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱B. 三棱锥C. 四棱锥D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，
故选：A．
2. 中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 中国探月B. 中国航天试卷源自 试卷上新，即将恢复原价。C. 中国火箭D. 中国行星探测
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键如果一个图形绕着某点旋转后，能与原来图形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心，根据中心对称图形的定义逐个判定即可．
【详解】解：A、中国探月图标旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、中国航天图标旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、中国火箭图标旋转后，能与原图形重合，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、中国行星探测图标旋转后，不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，
∴，，，
∴，
∴错误，正确，
故选：．
4. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，
∴正面都朝上的概率是： .
故选A．
【点睛】本题考查了列举法求概率的知识．此题比较简单，注意在利用列举法求解时，要做到不重不漏，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 若正多边形的一个外角是40°，则该正多边形的边数是( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】多边形的外角和是，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为，由此即可求出答案．
【详解】解：因为，
则正多边形的边数为9．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题．
6. 如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到的度数，根据垂径定理得到的长度，即可求出半径的长度．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
7. a，b，c是实数．若，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式．根据得，计算得，则，即可得，综上，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8. 在平面直角坐标系xOy中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论：
①当时，；
②当时，y随x的增大而增大；
③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个；
④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合．
结合函数图象逐个分析即可．
【详解】由图象可得，
当时，或，故①错误；
当时，y随x的增大而增大；故②正确；
∵
∴点M在一次函数的图象上，
如图所示，
由图象可得，有3个交点
∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误；
∵函数经过点
∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确．
综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④．
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可得，从而可得答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
10. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式是指两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的两倍．即，．
原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 方程组的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
故答案为：．
12. 若，则代数式的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式和单项式乘以多项式运算的化简求值，
首先由得到，然后根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则化简，最后代数求解即可．
【详解】∵
∴
．
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：函数的图象经过点和，
，
解得，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，先证明，得到，再进一步得到，即可求出长，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x（单位：），数据整理如下：
根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在范围内）的水稻数量为__________万棵．
【答案】1.8
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在范围内的所占比，即可解题．
【详解】解：由题知，（万棵），
故答案为：．
16. 如图，交通示意图中的A，B，C是产地（用■表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），D，E，F是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），产地与销地之间的线段旁小括号内的数字表示运货单价（单位：百元/吨）．在不考虑其他因素的前提下，将产地B的8吨货物全部运往销地，最少的运费为__________元；将A，B，C三个产地的产品全部运往销地，且每个销地的货物量恰好为该销地的销量，则调运的最小运费为__________元．
【答案】 ①. 2400 ②. 6000
【解析】
【分析】本题考查了地点统筹优化问题，同时考虑到运费和销售地的销量是解题的关键．
将产地B的8吨货物全部运往销地D，或一部分运往销地D，一部分运往销地F，运费都是一样，则可求最少运费；
A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，求解即可．
【详解】解：将产地B的8吨货物全部运往销地最少的运费为：
（元），
故答案为：；
A地的5吨必然运往D，B地要运吨到D，剩下的吨运往E地，C地的运5吨到F，运吨到E，这样每个销地的货物量恰好为该销地的销量，可使运费最少，则最少运费为：
（元），
故答案为：．
三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19-20题，每题6分，第21-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，根据，，，，再计算即可.
详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得．
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
19. 如图，在四边形中，，，，平分交于点E．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握矩形的判定和特殊角锐角三角函数是解题的关键．
（1）根据三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可；
（2）证明是等边三角形，则，在中，，．在中，由勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，，
．
，平分，
．
四边形是矩形．
【小问2详解】
解：如图，

，，
．
∵，
是等边三角形．
．
在中，，
．
在中，．
20. 列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
【答案】30米
【解析】
【分析】设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，利用工作时间工作总量工作效率，结合共用22天完成了任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设引进新设备前工程队每天建造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程两个根分别为，，且．若，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立；
（2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可．
本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根．
【小问1详解】
证明：依题意，得，
此方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：，
，
解得，
∵，
，，
，
，
．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点．
（1）求该函数的解析式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围．
【答案】（1），点的坐标为
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数图像与几何变化及待定系数法求一次函数解析式，数形结合方法解题是解题关键．
（1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法可得该函数的解析式；把代入所求解析式即可得出点的坐标；
（2）求出直线过点、时的值，结合图像即可得答案．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
解得：，
∴该函数的解析式为，
∵一次函数的图象与过点且平行于x轴的直线交于点，
∴把代入得：，
解得：，
∴点的坐标为．
【小问2详解】
如图所示：
把代入得，
解得：，
把代入得，
解得：，
∵时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，
∴的取值范围为．
23. 科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．某校为弘扬科学精神，普及科学知识，推动科技创新教育的开展，在以“科技创造未来”为主题的科技节活动中开展了科普知识竞赛．为了解七、八年级学生的科普知识掌握情况，随机抽取了七、八年级各16名学生的竞赛成绩（百分制），数据整理如下：
a．抽取的七、八年级学生的竞赛成绩：
七年级：78 79 81 82 83 85 86 88 90 92 92 92 94 96 98 100
八年级：70 78 80 81 83 84 87 90 90 93 93 93 96 98 100 100
b．抽取的七、八年级学生的竞赛成绩的平均数、中位数、众数：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）对于抽取的七、八年级学生竞赛成绩，成绩更稳定的是__________（填“七年级”或“八年级”）；
（3）成绩在95分以上的学生可获得一等奖．若该校八年级有200名学生，估计此次知识竞赛八年级学生获得一等奖的约为__________人．
【答案】（1）m的值为90，n的值为92
（2）七年级 （3）50
【解析】
【分析】本题考查中位数和众数的定义和求法，用样本估计总体，利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据七八年级数据的波动范围，即可判断；
（3）利用八年级总人数乘成绩在95分以上的学生的占比，即可求解
【小问1详解】
解：∵八年级竞赛成绩从小到大第8、9两个数据分别是90、90，
∴；
∵七年级竞赛成绩出现次数最多为92，
∴；
【小问2详解】
解：∵七年级竞赛成绩在78和100之间波动，八年级竞赛成绩在70和100之间波动，
∴七年级成绩更稳定；
【小问3详解】
（人）
答：估计此次知识竞赛八年级学生获得一等奖的约为50人
24. 如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，是的直径，连接并延长交直线于点D．
（1）求证：；
（2）延长交的延长线于点E．若的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用切线的性质和切线长定理得到，，利用等腰三角形性质和等量代换得到，利用等量代换即可证明；
（2）连接，，在中，利用，得到设，．则，．在中，利用建立等式算出的值，进而得到，利用勾股定理得到，证明，利用相似三角形的性质即可求出．
【小问1详解】
证明：连接，如图1．
，是的切线，，是的半径，
，，
，．
，
，
，
．
又，
．
【小问2详解】
解：连接，，如图2．
在中，，
设，．则，．
在中，，即．解得．
，．
是的直径，
．
，，
．
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、熟练掌握切线的性质，能够正确作出辅助线是解答问题的关键．
25. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
a．探究活动在同一社团活动室进行，室温；
b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下：
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
（1）可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；
（2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）；
（3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）．
【答案】（1）见详解 （2）5.5；66.0
（3）>
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答．
（2）结合图象以及题干“某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可．
（3）相比较：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，以及结合图象，进行作答即可．
【小问1详解】
解：依题意，得与x的函数图象，如图所示：
【小问2详解】
解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象
∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳，
此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）；
故答案为：5.5；66.0．
【小问3详解】
解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，
∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则
故答案为：>．
26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）若，求b的值；
（2）若点在抛物线上，对于，都有，求b的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标满足其表达式，从而根据不等式求参数的范围．
（1）根据点，在抛物线上，且，可求得的值；
（2）根据题意，可知点，，在抛物线上，再由，即可求得的范围．
【小问1详解】
解：由题意，抛物线的对称轴为．
点，在抛物线上，且，
．
．
【小问2详解】
点，，在抛物线上，
，，．
，
．
即，．
，
，
，，
，
．
，
．
即，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，b的取值范围是．
27. 在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，．
（1）如图1，若是等边三角形，则__________；
（2）如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接．
①求的大小；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）15 （2）①；②，见解析
【解析】
【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题；
（2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题；
②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题，
【小问1详解】
解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
点C关于直线的对称点为F，
，
，
故答案为：．
【小问2详解】
解：①四边形正方形，
，，
点C关于直线的对称点为F，
，，
，
设，
，
，
；
②解：数量关系为：，
理由如下：
过点作交于点，连接，
，
，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”．
例如，图1中矩形是点P的一个“圆伴矩形”．
（1）已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外，
①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________；
②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________；
（2）已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围．
【答案】（1）①2；②
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据新定义画出图形计算即可；
（2）分和两种情况，然后根据题意画出图形计算出最大值和最小值即可解题．
【小问1详解】
①如图，由题可得点M坐标为，
即
∴矩形的面积是；
②如图，以为直径作圆，则点，在圆上，
又∵点M在内或边上，
∴，
当时，过点N作轴于点B，
∵，即，
解得：，
∴；
∴点N的横坐标t的取值范围是；
【小问2详解】
解：若，当，最小，
当点N在x轴负半轴上时，b值最小，这时，
∴点N的坐标为，
代入可得：；
当时，值最大，
令，则，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
由于这时矩形不存在，故取不到，
故b的取值范围为
当时，由对称性可得，
∴b的取值范围为或．
【点睛】本题考查矩形的性质，新定义，圆的切线的性质，勾股定理，三角函数，一次函数能根据题意找准临界位置是解题的关键．稻穗长度
稻穗个数
5
8
16
14
7
平均数
中位数
众数
七年级
88.5
89
n
八年级
88.5
m
93
x
0.0
1.0
2.0
3.0
40
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
95.0
88.5
82.6
77.2
72.4
68.0
64.0
60.3
57.1
54.1
51.4
85.0
79.5
74.5
70.0
65.8
62.0
58.6
55.5
52.7
50.2
47.9