河南省名校联考2024届高三下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份河南省名校联考2024届高三下学期4月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,则( )
A.2B.1C.D.
3．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点,均在x轴上,椭圆C的面积为,且椭圆C的离心率为,则椭圆C的标准方程为( )
A.B.
C.D.
4．已知,均为平面单位向量,若,则( )
A.B.C.D.
5．甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课,则3名同学所选课程不全相同的概率为( )
A.B.C.D.
6．函数的最小值为( )
A.B.C.D.
7．记数列的前n项和为,已知,为等差数列,若,则( )
A.2B.-2C.D.
8．在正方体中,,P为的中点,E在棱上,且,则过E且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为( )
A.6B.8C.12D.16
二、多项选择题
9．为提高学生的消防安全意识,某学校组织一次消防安全知识竞赛,已知该校高一、高二、高三三个年级的人数之比为,根据各年级人数采用分层抽样随机抽取了样本容量为n的部分考生成绩,并作出如图所示的频率分布直方图,成绩前的学生授予“安全标兵”称号,已知成绩落在区间的人数为24,则( )
A.
B.估计样本中高三年级的人数为75
C.估计安全知识竞赛考生的平均分为73
D.估计成绩84分以上的学生将获得“安全标兵”称号
10．已知函数,,,为的两个相邻的对称中心,则( )
A.的最小正周期为
B.的最大值为1
C.直线是曲线的一条对称轴
D.将的图象向右平移个单位长度,所得图象关于原点对称
11．已知函数的定义域为R,,,则( )
A.B.
C.的一个周期为3D.
三、填空题
12．若,则______.
13．在正四棱台中,平面,的体积为______.
14．已知双曲线,的左、右焦点分别为,,焦的两点,,四边形的面积为,若的离心率为_______.
四、解答题
15．不透明的袋子中装有3个黑球,2个红球,1个白球,从中任意取出2个球,再放入1个红球和1个白球.
(1)求取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率;
(2)设取球放球结束后袋子里红球的个数为随机变量X,求X的分布列以及数学期望.
16．如图,在四棱锥中,平面,,,,,E为PB的中点.
(1)证明：平面PAC；
(2)求二面角的余弦值.
17．记,分别为数列,的前n项和,,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设记的前n项和为,若对任意,,求整数m的最小值.
18．设P为抛物线准线上的一个动点,过P作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)当直线AB斜率不为0时,直线AB交C的准线于M,设Q为线段AB的中点,求面积的最小值.
19．已知函数,且.
(1)讨论的单调性;
(2)比较与的大小,并说明理由;
(3)当时,证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以,故选A.
2．答案：C
解析：,,,故选C.
3．答案：A
解析：设椭圆C的标准方程为,焦距为2c,则解得椭圆C的标准方程为.故选A.
4．答案：B
解析：两边同时平方得,则,解得,即,故选B.
5．答案：D
解析：甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门有(种)选法,3名同学所选课程全相同有4种,所以3名同学所选课程不全相同的概率为,故选D.
6．答案：B
解析：当时,,显然单调递增,所以,当时,,,单调递减,所以,所以的最小值为,故选B.
7．答案：D
解析：,故,所以数列是首项为2,公差为1的等差数列,所以,故,所以当时,,所以,故选D.
8．答案：C
解析：如图所示,取,因为平面,所以,取Q为的中点,,则且,所以平面,,同理可得,所以等腰梯形HGFE为所得截面,又,,,则梯形的高为,所以等腰梯形HGFE的面积为,故选C.
9．答案：ABD
解析：因为,则,A选项正确;
估计样本中高三年级人数为,B选项正确;
该校考生成绩的平均分估计值为,C选项错误;考生成绩的第90百分位数为,D选项正确,故选ABD.
10．答案：AC
解析：依题意,,所以,,A选项正确;
因为,即,所以,所以的对称中心为,所以,的最大值为2,B选项错误;
当时,,所以直线是曲线的一条对称轴,C选项正确;
将的图象向右平移个单位长度所得函数为,关于对称,D选项错误.故选AC.
11．答案：ABD
解析：令,则,所以,A选项正确;
令,则,即,所以,令,则,令,则,所以,所以,因为,所以,,B选项正确;
令,则,所以,,所以,的一个周期为6,C选项错误;令,,令,,所以,由可知,,所以
,因为,所以,D选项正确,故选ABD.
12．答案：
解析：由,可知,.
13．答案：
解析：设O为底面ABCD的中心,则A,,,O共面,因为平面,所以,所以四边形为平行四边形,所以,,所以到底面ABCD的距离为,所以正四棱台的体积为.
14．答案：
解析：不妨设,则,
,解得,所以,又的周长为10a,所以,根据对称性,,所以,根据双曲线定义,,解得,根据勾股定理,,即,
所以,即.
15．答案：(1)
(2)分布列见解析,
解析：(1)设事件A为“取球放球结束后袋子里白球的个数为2”,设事件B为“取出2个黑球”,,事件C为“取出2个红球”,,事件D为“取出1个红球1个黑球”,,因为事件B,C,D互斥,
所以,
所以取球放球结束后袋子里白球的个数为2的概率为;
(2)依题意,X的取值为1,2,3,
,
,
,
所以X的分布列为
所以.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:取AB的中点F,连接CF,所以,
因为,所以四边形AFCD是平行四边形.
因为,,所以四边形AFCD是正方形,
则,,所以,
得到,
所以.
因为平面ABCD,
所以,
因为,
所以平面PAC;
(2)因为平面,,,则PA,AD,AB两两垂直,
如图,建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
所以,,,
设平面CDE的法向量为,
则所以即
令,则,
所以平面CDE的法向量为,
设平面CBE的法向量为,
则所以即
令,则,,
所以平面CBE的法向量为,
所以,
因为二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为.
17．答案：(1),
(2)3
解析：(1)当时,,所以,
当时,,
所以,,数列是以1为首项,为公比的等比数列,所以,因为,所以,即,
所以数列是公差为1的等差数列,所以,所以,因为,所以,
所以,;
(2)依题意,
当时,,
当时,因为,
所以,
其中,当时,,,无限接近,
所以整数m的最小值为3.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:设直线,
与抛物线联立可得,
所以,,
设,,
过点A处的切线方程为,即,
同理可得,过点B处的切线方程为,
联立两直线方程可得,
依题意,,所以,解得,
所以直线AB过定点;
(2)由(1)可知,直线,,,
所以,,
对于直线,令,解得,即,
点Q到直线的距离为,
所以的面积,不妨设,则,
设,则,所以当时,取得极小值,也是最小值,,
所以面积的最小值为.
19．答案：(1)见解析
(2),理由见解析
(3)证明见解析
解析：(1)易知.
①.
当时,,即,所以在上单调递增,当时,,即,所以在上单调递减;
②.
当时,,即,所以在上单调递减,当时,,即,所以在上单调递增;综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增;
(2)由(1)可知,当时,,
取,,则有,
即,所以;
(3)证明:设,则,
所以在上单调递增,所以,
即当时,,
结合(1)可知,,
当时,成立,
当时,因为,
所以,即.
综上所述,.
X
1
2
3
P