备战2024年高考数学易错题精选专题03不等式(学生版+教师版)

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易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）
1．比较大小基本方法
2．．等式的性质
（1）基本性质
类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
例 ．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式1．已知，则下列关系式正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
变式2．对于实数，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
变式3．已知均为实数，下列不等式恒成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
1．已知实数，，，若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若​，则下列不等式中正确的是（ ）
A．​B．​C．​D．​
5．若、、，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．已知，，：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．下列四个选项能推出的有（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知实数a，b满足，则下列不等式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
易错点二：遗漏一元二次方法求解的约束条件（有关一元二次不等式求解集问题）
解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
具体模型解题方案：
1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．
已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．
3．已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．
易错提醒：一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上．
（2）①若，解集为．
②若，解集为．③若，解集为．
(2) 当时，二次函数图象开口向下．
①若，解集为②若，解集为。
例．若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（ ）
A．B．0C．D．1
变式1．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．不等式的解集是
C．D．不等式的解集为
变式2．已知命题：关于的不等式的解集为R，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
变式3．下列叙述不正确的是（ ）
A．的解是
B．“”是“”的充要条件
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件
D．函数的最小值是
1．已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．的最小值是
C．若有解，则m的取值范围是或
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
2．已知集合，或，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
5．设集合，，且，则（ ）
A．6B．4C．D．
6．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．或
7．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
8．已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
11．若不等式的解集是，函数的对称轴是（ ）
A．B．C．D．
易错点三：遗漏连续使用基本不等式前提条件吻合性（基本不等式最值问题）
1.几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（3）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
2.均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
3.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立.
易错提醒：1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.
例．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9B．8C．D．
变式1．已知，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．D．
变式2．已知命题p：在中，若，则；q：若，则，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．设，，，则有（ ）
A．最小值3B．最大值3
C．最小值D．最大值
1．已知，点在线段上（不包括端点），向量，的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知正数，满足，则（ ）
A．的最小值为3B．的最小值为
C．的最小值为3D．的最大值为
3．已知，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为8D．的最大值为
4．任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（ ）
A．B．C．5D．3
5．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为16B．的最小值为9
C．的最大值为1D．的最小值为
6．已知正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
7．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为6B．的最大值为
C．的最小值为2D．的最小值为
8．已知，，且，则不正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为5D．的最小值为
10．已知，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．.
C．的最大值为D．
11．设且，则的最小值是．
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性