湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖南省邵阳市2024届高三下学期第三次联考数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．4
2．已知全集，集合，，如图（一）所示，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
图（一）
A．B．C．D．或
3．“”是“函数（且）在上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列函数对于任意，都有成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ）
A．0B．C．1D．0或1
6．甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ）
A．不为周期函数B．的图象不关于点对称
C．D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
10．如图（二）所示，点为正方体形木料上底面的动点，则下列结论正确的有（ ）
图（二）
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使平面
C．不存在点，使平面
D．经过点在上底面上画一条直线与垂直，若与直线重合，则点为上底面中心
11．英国数学家泰勒发现了如下公式：
，，
某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A．B．（精确到小数点后两位）
C．D．当时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中常数项是______．（用数字作答）
13．宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似地用函数的图象来描述，如图（三）所示，则______．
图（三）
14．已知分别为三个内角的对边，且，则______；若，，，，则的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
16．（15分）如图（四）所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点．
图（四）
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）如图（五）所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为．
图（五）
（1）求的方程；
（2）点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围．
18．（17分）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中，．
（1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程．
（3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中．
19．（17分）已知数列，，函数，其中，均为实数．
（1）若，，，，，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为，求证：．
（2）若为奇函数，，，且，
问：当时，是否存在整数，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：，）
2024年邵阳市高三第三次联考参考答案与评分标准
数 学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B 【解析】 ，，．选B．
2．D 【解析】 ，或．选D．
3．C 【解析】 若，则的图象为：
若，则的图象为：
选C．
4．A 【解析】 （教材必修一）满足，则函数为上凸函数，由函数的图象可得选A．
5．C 【解析】 ，，
所以曲线在点处的切线为：，即．
联立与，得，依题意可知，所以或1．
当时，不是抛物线，舍去．选C．
6．D 【解析】 （教材选择性必修三例5）设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”，
由题意得，，，．
因为，
所以．选D．
7．B 【解析】 由题可得：，，点到直线的距离，所以，，则，离心率．选B．
8．C 【解析】 因为函数的图象关于点对称，
所以，即，
则的图象关于点对称，B选项错误．
由，得．
令，则，
由，得的图象关于直线对称．
又的图象关于点对称，则，
所以，即，
则可得的图象关于点对称，
故为周期函数，且周期为8，，
所以，，D选项错误．
又，则，
所以，即，故为周期函数，A选项错误．
由，得，，则，C选项正确．选C．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ABC 【解析】 由三角函数的定义知A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因为，所以C选项正确；
设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，
所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．
10．AD 【解析】 （教材必修二）三棱锥中，底面的面积为定值，由平面平面可知，平面上任意一点到平面的距离都相等，则可得三棱锥的体积为定值．故A选项正确；
若存在点使得平面，
因为在正方体中，平面，所以与重合或平行，
显然这样的点不存在，故B选项错误；
因为在正方体中，平面，当点与重合时，为，
则存在点使得平面，故C选项错误；
因为正方体中，平面，由题可得平面，所以，
又因为，易得平面，则．
当与重合时，．在正方形中，则可得为与的交点即为上底面的中心，故D选项正确．
11．BD 【解析】 （教材必修一）由，，
则有，故A选项错误．
由，则，
又（精确到小数点后两位），故B选项正确．
，，则有，故C选项错误．
当时，令，则，，
所以在上为增函数，则，
所以在上为增函数，则，
故当时，恒成立，即．故D选项正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．13．14．（或），
12． 【解析】 的展开式的通项为：，令，得，故．
13． 【解析】 由题知：，，，，时，，故，．
14．（或）， 【解析】 由及正弦定理，得，由余弦定理可知，
又，．
，，由余弦定理得，，
与的夹角的余弦值为．
又，，
且，
，，
，
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）解：（1）由，得，
令，得，解得．
所以的单调递增区间为
（注：单调递增区间是否带端点均给分）
（2）令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表所示：
由函数有且仅有三个零点，得方程有且仅有三个不等的实数根，所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．
显然，当时，；当时，．
所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，
故．
16．（15分）证明：（1）连接，取的中点，
连接，则．
又，．
四边形为平行四边形，．
，则．
又平面，平面，．
又，平面，平面，平面．
又平面，．
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设．
则，
依题意得，，，．
则，，
，．
设平面的法向量为，
则
取，得，．．
设直线与平面所成角为，则有．
直线与平面所成角的正弦值为．
17．（15分）解：（教材必修一例6）
（1）设，则．
直线的方程为，，．
，．
，，
化简得，其中．
即的方程为：．
（注：的范围没写或写错扣1分）
（2）抛物线的图象关于轴对称，点在上，
点关于轴对称的点也在抛物线的图象上．
设直线的方程为，，
，则．
联立方程得：整理得．
，，．
设，则，．
三点共线，，
．
即，又，．
．
点关于轴对称，，
为等边三角形，，
直线的斜率，
．
由，得．
，，又，，
则点到直线的距离．
设，则，且，
故．
在上单调递减，．
即点到直线的距离的取值范围是
18．（17分）解：（1）更适合．
（2）由，得．
依题意得，
，
所以，即．
（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0.10．
19．（17分）（1）（ⅰ），，
由，
得，解得，
又，
，
，是以2为公比，2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）令，则，
．
显然，当时，是递增数列，在时，单调递减，
可得，．
．
（2）为奇函数，
．
，
又，，
，．
，
由得，．
，
，
，，
在上为增函数，
当时，，；
，
．
当时，．
时，，又，
当时，，．
又，的最大值为5．
注：解答题有其他解法酌情给分．
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
A
C
D
B
C
题号
9
10
11
答案
ABC
AD
BD
0
2
0
0
单调递减
1
单调递增
单调递减