高中数学解题方法集锦黄金版（珍贵资料）

这是一份高中数学解题方法集锦黄金版（珍贵资料），共482页。试卷主要包含了618， 权方和不等式表述如下等内容，欢迎下载使用。

如图,在椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 中,则 P-a,0 , Qa,0 . 设 Mm,0,Nn,0,Cx1,y1,Dx2,y2 , Ha2n,0 ,则有以下结论成立:
1. KCDKAB=HMHE=a2+n2-2mna2-n2 (定值).
2. 直线 CD 过定点 E2n-ma2-mn2n2+a2-2mn,0 .
3. (Candy 定理) 1PN-1QN=1MN-1EN
证明:
1. ∵A,N,C 三点共线 ∴y1x1-n=yAxA-n ,平方得: y12x1-n2=yA2xA-n2 ,利用椭圆方程代入得到:
a2-x12xA-n2=a2-xA2x1-n2⇒2x1xA=a2n+nx1+xA-2a2
∴xA=a2+n2x1-2na22nx1-a2-n2 ,代入 y1x1-n=yAxA-n 得: yA=a2-n2y12nx1-a2-n2 . 又由于直线 AB 方程为
y=KABx-m ,带入点 A 得: KABn2+a2-2mnx1+n2-a2y1-2KABna2+mKABn2+a2=0 ,
所以表明: 点 C 在直线 KABn2+a2-2mnx+n2-a2y-2KABna2+mKABn2+a2=0
同理: 点 D 也在直线 KABn2+a2-2mnx+n2-a2y-2KABna2+mKABn2+a2=0
所以: 直线 CD 方程为: KABn2+a2-2mnx+n2-a2y-2KABna2+mKABn2+a2=0 .
∴KCDKAB=a2+n2-2mna2-n2 (定值).
2. 直线 CD 可整理为: KABn2+a2-2mnx+mn2+ma2-2na2+n2-na2y=0
显然直线 CD 恒过定点 E2n-ma2-mn2n2+a2-2mn,0 .
3. 1PN-1QN=1MN-1EN . 需证明: 1EN=1MN+1QN-1PN
=1n-m+1a-n-1n+a=a-nn+a+n-ma+n-n-ma-nn-ma-nn+a
=12n-ma2-mn2n2+a2-2mn-n . 需证明: 2a2n-mn2-ma2n2+a2-2mn=2a2n-mn2-a2n2+a2-2mn ,显然成立!
附: ⬧ 对于双曲线,由于其和积关系与椭圆相同,由推理过程知,蝴蝶定理相关结论仍然成立
∵A,N,C 三点共线 ∴y1x1-n=yAxA-n ,平方得: y12x1-n2=yA2xA-n2 ,双曲线方程代入得到: x12-a2xA-n2=xA2-a2x1-n2⇒2x1xA=a2n+nx1+xA-2a2 仍然不变!
对任意的 m≥n≥0 ,不等式 kmen-1-2n+1+2n-2m+1e2n-m≥0 恒成立,则 k 取值范围是___
解答:
∵kmen-1-2n+1+2n-2m+1e2n-m≥0
∴ 除以 en-1 得: km+1-2ne1-n+2n-2m+1en-m+1≥0
∴1-2ne1-n+kn+1-2m-ne1-m-n+km-n≥0
∴ 令 fx=1-2xe1-x+kx ,则原式等价于 fn+fm-n≥0 ,
即 2fx 最小值 ≥0 ,即 fx 最小值 ≥0 恒成立.
⇔1-2xe1-x+kx≥0 恒成立 ⇔k≥2-1xe1-x ,至此我们找到了命题背景!
令 y=2-1xe1-x,y'=-e1-xx22x+1x-1
∴y 最小值 1 ∴k≥1
已知 x>0 ,求证: ex-1>x2lnx+1 (数学 2023/7/24)
证明提示: 构造凹凸反转函数
要证 ex-1>x2lnx+1 ,即证 ex-1x2>lnx+1 ,即证 ex-1x2-x4>lnx+1-x4 .
令 fx=ex-1x2-x4, gx=lnx+1-x4
分别求导易得 fx≥f2=e2-34>1,gx≤g3=2ln2-34gx .
凹凸反转背后的逻辑思考:
这个 x4 并不是唯一的构造,并不是什
么灵感突显的神来之笔! 事实上我们
所要做的只是把函数 lnx+1 后面向
上翘起的部分掰弯下来即可, 这是根
据 lnx+1 的阶小于一次函数,是一
种可以压制 lnx+1 的函数,所以只
需要待定一次函数 tx=ax 即可掰
弯, 且保证掰弯下来后的极大值不超
过 ex-1x2-tx 的极小值.
让两个极值点尽可能重合, 即可
得到方程,解出 a 近似值即为 14 .
探寻过程详解:
要证 ex-1>x2lnx+1 ,即证 ex-1x2>lnx+1 ,即证 ex-1x2-ax>lnx+1-ax
fx=ex-1x2-ax, gx=lnx+1-ax, g'x=1x+1-a, 令 g'x=0⇒a=1x1+1
f'x=x2ex-2xex-1x4-a=xex-2ex-ax3+2x3, 令 f'x=0⇒a=x2-2ex2+2x23
我们期望 x1≈x2⇒a=1x1+1=x2-2ex2+2x23 , 可取 x2=2 ,此时 a=14,x1=3 .
另: 也可以不使极值点重 合,直接切线放缩,可构造 ex-1x2 -xe>1e≥lnx+1-xe . 如右 图所示.
谈隔离直线的寻找
已知 x>0 ,求证: ex-1>x2lnx+1
(数学 2023/7/25)
分析:
A. 要证,即证 ex-1x2>lnx+1 ,根据凹凸性我们引入一条隔离直线 y=ax+b
即证 ex-1x2≥ax+b≥lnx+1,ex-1x2'=x-2ex+2x3=0 ,取整数根 x=2 ,求出 y=ex-1x2 在 a
=2 处的切线为: y=14x+e2-34 只需证明 ex-1x2≥14x+e2-34>lnx+1 即可.
B. 要证 ex-1>x2lnx+1 ,即证 ex-1x2>lnx+1 ,
根据凹凸性我们引入一条隔离直线 y=ax+b
即证 ex-1x2≥ax+b,ex-1≥ax3+bx2 ,
Set fx=ex-ax3-bx2-1 ,
∵f2=0f'2=0⇒a=14b=e2-34,∴ex-1x2≥14x+e2-34.
∴ex-1≥14x3+e2-34x2>x2lnx+1 ,相当于相切的一 条隔离曲线,
(姊妹题)
已知 x>0 ,求证: ex-1lnx+1>x2 .
(高三 2023/7/25 )
证明提示: 构造凹凸反转函数思路 2 :
要证 ex-1lnx+1>x2 ,即证 ex-1x>xlnx+1 ,结合极限我们猜想该不等式左右两边
所对应的函数为左凸右凹, 两函数中间必有一条隔离直线. 那么如何找到这样的直线呢?
∵limx→0ex-1x=limx→0xlnx+1=limx→0ex=limx→0x+1=1 L/Hspital' Rule
∴ 隔离直线必为两函数在 x=0 处的公切线,
∴ 切线的斜率 =limx→0ex-1x'=limx→0exx-1+1x2=limx→0ex2=12 (L’Hôspital’ Rule)
∴ 切线的纵截距为 1.∴ 隔离直线 y=12x+1 .
即证: x>0 时, ex-1x>12x+1>xlnx+1 . 即证 ex-1x-12x>1>xlnx+1-12x .
附: 同构思想
ex-1x>xlnx+1⇒
ex-1x>x+1-1lnx+1=elnx+1-1lnx+1
构造函数 pt=et-1t 即可.
数学小故事-为什么是 1103
S. Ramanujan (1887-1920)
π=98018k=0∞4k!1103+26390kk!43964k-
他独立发现 3900 多个数学公式和命题, 而这些命题没有任何推导过程, 全凭直觉写出来, 他经常 称在梦里遇到了娜玛卡尔女神, 然后早上起来就能随手写下这些公式和命题, 至于怎么想到的他也不 清楚. 他就是印度数学神人拉马努金,他写过十几个和圆周率 π 相关的公式,但是大都证明不了,因为 他的公式大都是特别的繁琐复杂, 运算过程需要大量的步骤和运算法则.
他最有名的公式就是图中这个 π 的公式.
这是一个让拉马努金封神的公式! 这个因为收敛速度非常逆天, 现在基本上已经终结了后世人 们对 π 精度的计算,当 k=0,π≈3.1415926610⋯⋯ ,而这就已经是祖冲之的精度了,当 k=3 ,就已经 精确到小数点后近千位了.
现在人们用计算机求 π ,基本上都是拉马努金这个公式的变体,也一样很复杂,动辄系数就是几万 几十万那样子, 还牵扯到开方, 指数, 无穷级数和阶乘等运算.
想靠普通纸笔去算, 已经没有希望了.
但是这个公式依然没办法证明, 就是它的常数是 1103 , 现在还无解. 人们不知道为什么会是这个 数.
拉马努金对数的感觉达到了人类的极限, 也许是泄露了宇宙的秘密, 天妒英才吧, 被老天提前封 了号, 32 岁就英年早逝了!
目前,关于 π 的最好的公式是 Chudnvsky 在拉马努金公式基础上进行的改良.
1π=100054270934400k=0∞-1k6k!k!33k!13591409+545140134k6403203k . 这样鬼畜一般的公式让我们不得不 惊叹这些数学天才真的是神一般的存在!
快来撸串串儿！
Hadamard 积分不等式
设 fx 是 a,b 上的凹函数,若 a≤x10 ,代入得 b=4t-5t3+1 ,令 ft=4t-5t3+1 ,则 f't=2-t8t2+t+2t3+12 ,
∴ 当 t=2 时, ft 最大值 =f2=13 . 此时 t=2,a=23,b=13 .
∴b 的最大值为 13 .
2023/8/7 河南
例 1:(2022 年新高考 I 卷 T 7)
已知 a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9 ,则 a,b,c 的大小关系是___.
解析: 地球人都知道的飘带函数放缩公式: ∀x≥1,2x-1x+1≤lnx≤12x-1x
令 x=109 ,代入上式得 c=-ln0.9=ln109∈219,19180 ,
又因为 ex≥x+1 ,所以 a=0.1e0.1>0.10.1+1=0.11>0.106>19180>c∴c0
∴fx 在 1,+∞ 为增函数.
考察: f2b=2b-ln2b-3b+ln4b=ln2-b0,
由零点存在定理知: 2b0
左侧取点思考方法
∵x2+x+1≥34 ∴fx=13x2+x+1x-3a+1+1≤13{34x-3a+1+1}0 和 fx2>0 ,,从而确定两个零点的存在区间。由于 ex 相对于 ax 是高阶函数,所以我们对 ex 进行放缩。 借助黄金放缩公式 ex≥x+1 ,即 fx=ex-ax≥x+1-ax ,接下来只需找到合适的点 x1 使 x+1- ax>0 即可,不妨取 x1=0 . 可得 f0=1>0 ,所以 flna⋅f0e 相比, x+1 的作用效果小,放缩后不足以使 x+1-ax >0 ,怎么办呢? 这就需要接下来的高阶放缩.
(2) 高阶放缩策略
我们需要对不等式 ex≥x+1 进行升级改造一下,即 ex≥x+1>x ,从而 ex2>x2 ,即 ex2>x22 得到: ex>x24 ,此时, x24 相对于 axa>e 是高阶函数,所以 fx=ex-ax>x24-ax ,所以只需找到 的点满足 x24-ax≥0 即可,
不妨取 x2=4a ,可得 fx2=ex2-ax2>x224-ax2=4a2-4a2=0 ,所以 flna⋅f4ae 时, fx 有两个零点,在 0,lna 和 lna,4a 各有一个.
(3) 低阶上位策略
与高阶放缩策略相反,放缩时,对已经分成两部分的 fx=Gx+dx ,借助不等式 dx≤D x ,将 dx 放缩为 Dx ,一般使 Dx 的作用效果比 Gx 的作用效果小,即 Dx 相对于 Gx 是低 阶函数,下面通过例 2 进行讨论。
例 2. 已知函数 fx=ae2x+a-2ex-x0x 可知, ae2x 和 a-2ex 相对于 x 是高阶函数。我们对低阶函数 x 升级成 ex ,并且 作用效果不能超过 ae2x ,
于是由: fx=ae2x+a-2ex-x>ae2x+a-2ex-ex=exaex+a-3 ,
接下来只需取点 x0 ,使 aex0+a-3≥0 即可,即 x0≥ln3-aa=ln3a-1 ,可取 x0=ln4a ,则有 fx0 =ae2x0+a-2ex0-x0>ae2x0+a-2ex0-ex0=ex0aex0+a-3=ex0a4a+a-3=4a+1a>0 (4) 有界放缩策略
进行放缩时, 有时可以将低阶函数放缩为某个常数, 或者值域端点值, 进而找到点。
例 3. 已知函数 fx=13x3-ax2+x+1 证明: fx 只有一个零点。
解析: fx=0⇔x3x2+x+1-3a=0 ,令 gx=x3x2+x+1-3a ,则 g'x=x2x2+2x+3x2+x+12≥0 ,
∴gx 单调递增。 ∴gx 至多一个零点,从而 fx 至多一个零点。
∵fx=13x3-ax2+x+1=13x3-1-ax2+x+1+13=13x2+x+1x-3a+1+1
∴ 取 x=3a+1 代入发现 f3a+1=13>0
左侧取点思考方法 1:
∵x2+x+1≥34 ,将 x2+x+1 放缩为最小值
∴fx=13x2+x+1x-3a+1+1≤13{34x-3a+1+1}-lna,∴fx 在 -lna,+∞ 有一个零点
常用的放缩不等式:
1. ex≥x22+x+1x≥0,ex≥x+1,ex≥ex 和 ex>x,,ex0 ,所以 gx=ex-ax2+a 在 x∈0,+∞ 递增。
(i) 若 1+a≥0 ,即 a≥-1 ,则 gx≥g0≥0 ,则 f'x=1x+1exgx≥0 ,所以 fx 在 x∈(0 , +∞) 递增,所以 fx>f0=0 ,此时 fx 在无零点,所以也不成立。
(ii) 若 1+a0∴ 存在 x2∈( -1,0) ,使得 g'x2=0 ,且当 x∈-1,x2 时, g'x0 即可. 当 x∈-1,0 时, xex∈-e,0,∴axex≤ea∴fx= lnx+1+axex≤lnx+1+ea=0 ,得 x0=e-ea-1 . (放缩为值域端点)☆2023/8/24☆ 河南
(破译 2022 年新高考 II 卷导数压轴 22 题)
已知函数 fx=xeax-ex
(1) 当 a=1 时,讨论 fx 的单调性;
(2) 当 x>0 时, fxlnn+1 .
解析:
第一问: 这个真的不会做啊!
第二问: 端点效应, 必要性探路。
原题等价于: 对任意 x>0,gx=xeax-ex+11 时, lnt1 ,则不等式等价于: 当 t>1 时, lnt1 时, lnt0 上一点 Mx0,y0 的切线方程为: x0x=py+y0 .
二、阿基米德三角形概念
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形 (如图 1, △SAB 即为 阿基米德三角形).
重要结论: 抛物线与弦之间所围成区域的面积 (图二中的阴影部分) 为阿基米德三角形面积的三 分之二.
图 1
图 2
图 3
阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论.
证明: 如图 3, SM 是 △SAB 中 AB 边上的中线,则 SM 平行于 x 轴 (下面的性质 1 证明会证到),过 M 作抛物线的切线,分别交 SA、SB 于 A',B' ,则 ΔA'AM'、ΔB'BM' 也是阿基米德三角形,可知 A'C 是 ΔA'AM' 中 AM' 边上的中线,且 A'C 平行于 x 轴,可得点 A' 是 SA 的中点,同理 B' 是 SB 的中点,故 M' 是 SM 的中点,则 SΔSA'B'=12SΔM'AB ,由此可知: SΔA'ArC''=12SΔC'M'A,SΔB'B''D''=12SΔD'M'B ,以此类 推,图 2 中蓝色部分的面积是红色部分而知的 12 ,累加至无穷尽,便证得重要结论
三、阿基米德三角形的性质
【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
证明: 设 Ax1,y1,Bx2,y2,M 为弦 AB 的中点,则过 A 的切线方程为
y1y=px+x1,
过 B 的切线方程为 y2y=px+x2 ,联立方程, y12=2px1,y22=2px2 , 解得两切线交点 Qy1y22p,y1+y22 ,又 Mx1+x22,y1+y22,∴
MQ//x 轴.
【性质 2】若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C ,则 另一顶点 Q 的轨迹为一条直线.
证明: 设 Ax1,y1,Bx2,y2,Cx0,y0 为抛物线内的定点,弦 AB 的过 定点 C ,则过 A 的切线方程为 y1y=px+x1 ,过 B 的切线方程为 y2y=px+x2 ,则设另一顶点 Qx',y' ,满足 y1y'=px'+x1 且 y2y'=px'+x2 ,故弦 AB 所在的直线方程为 yy'=px'+x ,又由 于弦 AB 过抛物线内的定点 Cx0,y0 ,故 y0y'=px'+x0 ,即点 Q 的轨迹方程为直线 y0y=px+x0 【性质 3】抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹.
证明: 由性质 2 的证明可知: 点 Q 的轨迹方程为直线 y0y=px+x0 ∵ 点 C 为弦 AB 的中点,故 Q 的轨迹方程为 y1+y22y=px+x1+x22 ,斜率 k=2py1+y2 ; 而弦 AB 所在的直线方程为 yy'=px'+ x) ,由性质 1 的证明可知: y'=y1+y22,x'=y1y22p ,故弦 AB 所在的直线方程为 y1+y22y=
px+y1y22p ,斜率 k=2py1+y2 ,又 ∵ 直线 AB 与 Q 的轨迹方程不重合,故可知两者平行.
i 性质 4j 若直线 l 与抛物线没有公共点,以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l
方程为: ax+by+c=0 ,则定点的坐标为 Cca,-bpa .
证明: 任取直线 l:ax+by+c=0 上的一点 Qx0,y0 ,则有 ax0+by0+c=0 ,即 y0=-abx0-cb⋯ ① 过点 Q 作抛物线 y2=2px 的两条切线,切点分别为 A,B ,则又由性质 2 的证明可知: 弦 AB 所在的直 线方程为 y0y=px0+x ,把①式代入可得: -abx0-cby=px0+x ,即 -aby-px0=px+cby 令 -aby-p=0 且 px+cby=0 ,可得: 弦 AB 所在的直线过定点 Cca,-bpa
【性质 5】底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 a38p .
证明: AB=a ,设 Q 到 AB 的距离为 d ,由性质 1 知:
d≤QM=x1+x22-y1y22p=y12+y224p-2y1y24p=y1-y224p ,设直线 AB 的方程为 x=my+n .
则 a=1+m2y2-y12,∴y1-y22≤a2⇒d≤a24p⇒s=12ad≤a38p .
【性质 6】若阿基米德三角形的底边过焦点,顶点 Q 的轨迹为准线,且阿基米德三角形的面积最小值为 p2 . 证明: 由性质 2,若底边过焦点,则 x0=p2,y0=0,Q 点的轨迹方程是 x=-p2 ,即为准线; 易验证 kQA . kQB=-1 ,即 QA⊥QB ,故阿基米德三角形为直角三角形,且 Q 为直角顶点, ∴QM=x1+x22+p2 =y12+y224p+p2≥2y1y24p+p2=p,∴SΔQAB=12QMy1-y2≥QM⋅y1y2≥p2,∴ 阿基米德三角 形的面积最小值为 p2 .
【性质 7】在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB . 证明: 作 AA'⊥ 准线, BB
⊥ 准线,连接 A'F,B'F,QF,AF,BF ,则 kFA'=-y1p ,
显然 KFA'⋅kQA=-1 ,
∴FA'⊥QA ,又 ∵AA'=AF ,由三角形全等可得 ∠QAA'=∠QAF,∴
△QAA'≅△QAF⇒QA'=QF,∠QA'A=∠QFA,
同理可得 QB'=QF,∠QB'B=∠QFB⇒QA'=QB'
⇒∠QA'B'=∠QB'A',∴∠QA'A=∠QA'B'+900=∠QB'A'+900=∠QB'B ⇒∠QFA=∠QFB .
【性质 8】抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合),过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T ,则 △QST 的垂 心在准线上.
证明: 设 A2pt12,2pt1,B2pt22,2pt2,I2pt32,2pt3 ,可求得过 B,I 的切
线交点 T2pt2t3,pt2+t3 ,过 T 向 AQ 作垂线,垂线方程为: 2t1x+ y=pt2+t3+4pt1t2t3 ,它和抛物线准线的交点的纵坐标为 y=
pt1+t2+t3+4pt1t2t3 ,同理可知: S2pt1t3,pt1+t3 ,过 S 向 BQ 作垂线,垂线方程为: 2t2x+y=pt1+t3+4pt1t2t3 ,它和抛物线准线 的交点的纵坐标为: y=pt1+t2+t3+4pt1t2t3 ,即交点坐标相同,即 可得 △QST 的垂心在准线上.
【性质 9】 AF⋅BF=QF2 .
证明: AF⋅BF=x1+p2⋅x2+p2=x1x2+p2x1+x2+p24
=y1y22p2+y12+y224+p24,
而 QF2=y1y22p-p22+y1+y222=y1y22p2+y12+y224+p24=AF⋅BF .
【性质 10】 QM 的中点 P 在抛物线上,且 P 处的切线与 AB 平行
证明: 由性质 1 知 Qy1y22p,y1+y22p,x1+x22,y1+y22 ,可得 P 点坐
标为 y1+y228p,y1+y22 ,此点显然在抛物线上; 过 P 点的切线斜率 为 py1+y22=2py1+y2=kAB ,结论得证.
【性质 11】抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合),过 I 作抛物线切线
交 QA,QB 于 S,T ,连接 AI,BI ,则 △ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍.
证明: 如图所示: 由阿基米德重要结论: 抛物线与弦之间所围成区域 的面积 (图二中的阴影部分) 为阿基米德三角形面积的三分之二可 知: △ABI 的面积是弦 AB 与抛物线围成的面积减去弦 AI 和弦 BIAB 与抛物线围成的面积,即 23SΔQAB-SΔSAI-SΔSBI ,而 ΔQST 的面积则是 13SΔQAB-SΔSAI-SΔSBI ,故 ΔABI 的面积是 ΔQST 面积 的 2 倍.
四、特殊的阿基米德三角形:
过抛物线焦点 F 作抛物线的弦,与抛物线交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 D ,分别过 A,B 两点做 抛物线的切线 l1,l2 相交于 D1 点,得到阿基米德三角形 ΔD1AB ,过 A,B 作准线的垂线,分别交准线于 A1,B1 点,该图形满足以下特性:
结论 1.D1 点必在抛物线的准线上 (性质 6).
证明: 过点 Ax1,y1 的切线方程为 y1y=px+x1 ,过点 Bx2,y2
的切线方程为 y2y=px+x2 ,
设 D1x0,y0,∵D1 既在直线 D1A 上,也在直线 D1B 上, ∴y1y0=
px0+x1,y2y0=px0+x2,
∴ 直线 AB 的方程为 y0y=px+x0 ,又直线 AB 经过焦点
Fp2,0,∴0=pp2+x0,∴x0=-p2 . 这就证明了该结论.
结论 2.D1D//x 轴 (性质 1 ) 且 D1 是线段 A1B1 的中点.
证明: 由结论 1 的证明可计算出 D1 的纵坐标: y0=px1-x2y1-y2=
2px1-2px22y1-y2=y12-y222y1-y2=y1+y22,∴D1-p2,y1+y22 ,又 Dx1+x22,y1+y22,A1-p2,y1
B1-p2,y2,D1D//x 轴且 D1 是线段 A1B1 的中点.
结论 3. ΔD1AB 为直角三角形,且角 D1 为直角.
证明: 如图,由 D1D=AA1+BB12=12AB (中位线),可得: ∠AD1B 为直角
结论 4. ΔB1FA1 为直角三角形,且角 F 为直角;
【证法 1】如图, ∵B1B=BF,A1A=AF,∴∠BB1F=∠BFB1=∠B1FO ,
且 ∠AA1F=∠AFA1=∠A1FO ,可知 ∠B1FA1=π2 ,即 ∠B1FA1 为直角.
【证法 2】如图,由性质 7 的证明可得 B1F⊥BD1,A1F⊥AD1 ,且 B1B=BF,A1A=AF ,
∴ΔBB1D1≅ΔBFD1 且 ΔAA1D1≅ΔAFD1 ,故有: B1D1=FD1=A1D1 ,即 ∠B1FA1 为直角
结论 5. D1F⊥AB .
证明: 如图,由结论 4 的证法 2 得 ΔBB1D1≅ΔBFD1,∴∠BFD1=∠BB1D1=π2 ,即 D1F⊥AB 结论 6. 若弦 AB 的倾斜角为 α ,则 AB=2psin2α . 证明: AB=2D1D=2D1Fsinα=2×2OFsin2α=2psin2α .五、阿基米德三角形的推广
过圆锥曲线上任意两点 A,B 分别作两条切线相交于点 P ,则称 △PAB 为阿基米德三角形. 其中 ∠P 为顶角, AB 为底边,当 AB 过圆锥曲线的焦点,此时 △PAB 叫阿基米德焦点三角形.
六、阿基米德三角形与蒙日圆
当阿基米德三角形的顶角为直角时, 则阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆, 参见专题“蒙日 圆”.
七、典型例题
例 1. (2021 高考全国乙卷理 21) 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ,且 F 与圆 M:x2+ y+42=1 上的点的距离的最小值 4 .
(1) 求 p ;
(2) 若点 P 在圆 M 上, PA,PB 是 C 的两条切线, A,B 是切点,求 △PAB 面积的最大值
【答案】 1p=2 ; 2205 .
【分析】(1) 根据圆的几何性质可得出关于 p 的等式,即可解出 p 的值;
(2) 设点 Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0 ,利用导数求出直线 PA,PB ,进一步可求得直线 AB 的方 程,将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,求出 AB 以及点 P 到直线 AB 的距离,利用三角形的面 积公式结合二次函数的基本性质可求得 △PAB 面积的最大值.
【解析】(1) 抛物线 C 的焦点为 F0,p2,FM=p2+4 ,
∴F 与圆 M:x2+y+42=1 上点的距离的最小值为 p2+4-1=4 ,解得 p=2 .
(2) 抛物线 C 的方程为 x2=4y ,即 y=x24 ,对该函数求导得 y'=x2 ,
设点 Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0 ,直线 PA 的方程为 y-y1=x12x-x1 ,即 y=x1x2-y1 ,即 x1x-2y1-2y=0 ,同理可知,直线 PB 的为 x2x-2y2-2y=0 ,
由于点 P 为这两条直线公共点,则 x1x0-2y1-2y0=0x2x0-2y2-2y0=0 ,
∴ 点 A,B 的坐标满足方程 x0x-2y-2y0=0,∴ 直线 AB 的为 x0x-2y-2y0=0 ,
联立 x0x-2y-2y0=0,y=x24, 可得 x2-2x0x+4y0=0 ,由韦达定理可得
x1+x2=2x0,x1x2=4y0,∴AB=1+x022⋅x1+x22-4x1x2
=1+x022⋅4x02-16y0=x02+4x02-4y0,
点 P 到直线 AB 的距离为 d=x02-4y0x02+4,∴S△PAB=12AB⋅d=12x02+4x02-4y0
x02-4y0x02+4=12x02-4y032,∵x02-4y0=1-y0+42-4y0=-y02-12y0-15
=-y0+62+21 ,由已知得 -5≤y0≤-3,∴ 当 y0=-5 时, △PAB 的面积取最大值 12×2032=205 . 【评注】对于抛物线 C:y2=2pxp>0 ,设 Px0,y0,PA,PB 是 C 的两条切线, Ax1,y1,Bx2,y2 是 切点,则阿基米德三角形 PAB 的面积为: SΔPAB=y02-2px03p=y1-y238p .
例 2. (2019 高考新课标III) 已知曲线 C:y=x22,D 为直线 y=-12 上的动点,过 D 作 C 的两条切线 切点分别为 A,B .
(1) 证明: 直线 AB 过定点;
(2) 若以 E0,52 为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求四边形 ADBE 的面积.
【解析】(1) 证明: y=x22 的导数为 y'=x ,设切点 Ax1,y1,Bx2,y2 ,即有 y1=x122,y2=x222 ,切线 DA 的方程为 y-y1=x1x-x1 ,即为 y=x1x-x122 ,切线 DB 的方程为 y=x2x-x222 ,联立两切线方程可 得 x=12x1+x2 ,可得 y=12x1x2=-12 ,即 x1x2=-1 ,直线 AB 的方程为 y-x122=y1-y2x1-x2x-x1 , 即 y-x122=12x1+x2x-x1 ,可化为 y=12x1+x2x+12 ,可得 AB 恒过定点 0,12 .
(2) 设直线 AB 的方程为 y=kx+12 ,由 (1) 可得 x1+x2=2k,x1x2=-1,AB 中点 Hk,k2+12 ,由 H 为切点可得 E 到直线 AB 的距离即为 EH ,可得 12-521+k2=k2+k2-22 ,解得 k=0 或 k=±1 ,即 有直线 AB 的方程为 y=12 或 y=±x+12 ,
由 y=12 可得 AB=2 ,四边形 ADBE 的面积为 S△ABE+S△ABD=12×2×1+2=3 ,
由 y=±x+12 ,可得 AB=1+1⋅4+4=4 ,此时 D±1,-12 到直线 AB 的距离为 1+12+122 =2,E0,52 到直线 AB 的距离为 12-522=2 ,则四边形 ADBE 的面积为 S△ABE+S△ABD=12 ×4×2+2=42 . 综上可得四边形 ADBE 的面积为 42 .☆2023/8/31☆河南
欧拉-伯努利信封错位重排问题
错位重排是指一种比较难理解的复杂数学模型, 是伯努利和欧拉在错装信封时发现的, 因此又 称欧拉-伯努利装错信封问题。错位重排是指把 n 个元素的位置重新排列,使每个元素都不在原来 位置上的排列问题。用一句话简单描述就是元素和位置的对应关系要重新排列且不能恢复原本的位 置关系,即第 i 号信不装在第 i 号信封内,全部都装乱序了。
下面我们推导一下错位重排公式:
我们为了叙述方便以人坐座位为例. 现有 n 个人, n 个座位,进行错位重排,错位重排数为 Dn
(1) 若 n=1,1 个人对应 1 个座位,没办法错位,故 D1=0 ;
(2) 若 n=2,2 个人,2 个座位,要达到错位,显然只能互换位置,只有一种方法,故 D2=1 ;
(3) 针对 n 个人, n 个座位,要达到错位,分步来操作:
第 1 步,先安排第 1 个人的座位,第 1 个人选择的是第 i 个座位,则有 n-1 种坐法;
第 2 骤,安排剩下 n-1 个人的座位,分类来操作:
第一类,若第 i 个人选择第 1 个座位,有一种坐法,剩下的 n-2 个人,有 n-2 个座位错位重 排,有 Dn-2 种坐法,共有 1×Dn-2=Dn-2 种坐法.
第二类,若第 i 个人选择不是第 1 个座位,即转化为除了第 1 个人外,其余的 n-1 个人, (n-1 个座位的错位重排问题,故共有 Dn-1 种坐法.
综上所述: 按照计数原理可得,共有 n-1Dn-2+Dn-1 种不同的坐法,
即 Dn=n-1Dn-2+Dn-1 ,其中 D1=0,D2=1 .
下面根据递推公式构造数列同构(待定系数法):
Dn=n-1Dn-2 +Dn-1⇔Dn-λn+μDn-1=q{Dn-1-λn-1+μDn-2 }
展开对比系数得: λ=1μ=0q=-1⇒Dn-nDn-1=-Dn-1-n-1Dn-2,又D2-2D1=1 ,
令 an=Dn-nDn-1 ,则 a2=D2-2D1=1∴n≥2 ,数列 an 中以 1 为首项,以 -1 为公比的等比数列
Dn-nDn-1=a2-1n-2⇔Dn-nDn-1=-1n⇔Dnn!-Dn-1n-1!=-1nn!
下面用累加法求 Dn :
D22!-D11!=-122!,D33!-D22!=-133!⋮Dn-1n-1!-Dn-2n-2!=-1n-1n-1!Dnn!-Dn-1n-1!=-1nn!
⇒Dnn!=D11!+-122!+-133!+⋯+-1n-1n-1!+-1nn!=12!-13!⋯+-1n-1n-1!+-1nn!
∴Dn=n!⋅1-11!+12!-13!+⋯+-1nn! ,由泰勒展开式: ex=1+x+x22!+x33!+⋯ 知,
Dn=n!e-1+12 ,其中 x 表示 x 不超过的最大整数,即高斯函数. 显然, n→∞ 时全部错排的概率为 1e .
经计算: D1=0,D2=1,D3=2,D4=9,D5=44,…
☆2023/09/01☆ 河南
考场必备技能之速判切线条数
近几年高考试题出现了考察函数切线条数的客观题, 在考场上怎样才能避免小题大作, 快速确定
条数呢?
只有一招一一数形结合, 省时省力! 且看下文分析:
例如: 过 Pa,ba>0 可以作函数 y=xex 的三条切线,则 a,b 满足的关系是
解析:
常规方法, 设切点, 转化成方程有三个不同的根, 估计得算半天, 本文不再详述!
下面我们用数形结合来处理, 既然数形结合, 就需要把函数图像尽量画准确点, 当然需要做一些准备 工作了。既要知道函数的单调性, 还要知道函数的凸凹性, 极值点, 拐点还有渐近线。高中阶段一般 不考察斜渐近线!
∵y=fx=xex∴f'x=x+1ex,f''x=x+2ex ,
令 f'x=x+1ex=0 ,可得极值点 -1 ;
令 f''x=x+2ex=0 ,可得拐点 -2,-2e-2 ,易得函数 fx 在 -1,+∞ 单调递增,在 -∞,-1 单调递减;
∵fx 在 -2,+∞ 上, f''x=x+2ex≥0 ∴ 函数 fx 在 -2,+∞ 下凹,
∵fx 在 -∞,-2 上,
f''x=x+2ex≤0
∴ 函数 fx 在 -∞,-2 上凸.
limx→-∞xex=0,limx→+∞xex=+∞
∴fx 渐近线为 x 轴. 还有一条重要的切线,就是在
拐点处的切线。
易得拐切线为: y=-e-2x+4 .
下面上图像:
易知当 P 在曲线,渐近线,拐切线所围的右下侧区
域时, 可以作三条切线。
∴-e-2a+4eln2-2=0 .
下面寻找另一个分界点 ∵ex>0 ,若 2sinx+π4≤0 ,则 fx≥0 显然成立. ∴-5π4≤x≤-π4
最后,我们研究一下 -π4-5π4 时, fx≥0 .
(2021 八省联考) 已知 ex+sinx+csx≥ax+2 ,求 a 的取值范围.
解析: (必要性探路)
ex+sinx+csx≥ax+2⇔ex+sinx+csx-ax-2
令 Px=ex+sinx+csx-ax-2 ,显然 P0=0 ,由于对任意 x 都成立,则 x=0 必须得为极小值 点,这是必要条件! 也即 P'0=0,∵P'x=ex+csx-sinx-a∴a=2
下面进行充分性证明:
只证明 ex+sinx+csx-2x-2≥0 恒成立即可.
ex+sinx+csx-2x-2≥0⇔sinx+csx-2x-2≥-ex⇔sinx+csx-2x-2ex≥-1
令 Qx=sinx+csx-2x-2ex ,显然 Q0=-1,Q'x=2x-sinxex ,
地球人都知道: 当 x≥0,x≥sinx:x≤0,x≤sinx ∴Qx≥Q0=-1
综上所述: a 的取值范围为 a=2 .
试试:
已知函数 fx=x2+4-4xsinx+csx,x≥0 ,试证明 fx 有且仅有三个零点
提示: 分类讨论: (1) x≥4 200,φx 递增,
当 x∈x1,x2 时, mx>0,φ'x0 ,则 n+1+n=1t
∴n+1=12t+1t
∴an=[1+12t+1t]t=[1+12t+1t]t=(t+1)22=t+12=12n+1-n+1
∴Sn=12[2-1+1+3-2+1+4-3+1+⋯+n-1-n-2+1
+n-n-1+1+n+1-n+1=22n+1+n-1.
余弦定理:
a2=b2+c2-2bccsAb2=a2+c2-2accsBc2=a2+b2-2abcsC
⇒a2+b2+c2-2bccsA-2accsB-2abcsC=asinB-bsinA2+acsB+bcsA-c2=0 三角形嵌入不等式
已知 x,y,z∈R,A,B,C 是 △ABC 的三个内角,则 x2+y2+z2≥2xycsB+2xzcsA+2yzcsC .
证明: 设 e1=ABAB,e2=BCBC,e3=CACA,x,y,z∈R ,
则显然有 xe1+ye2+ze32≥0⇔x2+y2+z2≥2xycsB+2xzcsA+2yzcsC .
当且仅当 xe1+ye2+ze3=0 即 x:y:z=sinC:sinB:sinA 时取等号.
特殊的: 在 △ABC 中:
①令 A=B=C=π3 ,可得: x2+y2+z2≥xy+xz+yz
② 令 x=y=z=1 ,可得: csA+csB+csC≤32
③ 令 x=csC,y=csA,z=csB ,
再结合余弦恒等式 cs2A+cs2B+cs2C=1-2csAcsBcsC 可得: csAcsBcsC≤18
例如: 在 △ABC 中,求 3csA+4csB+5csC 的最大值.
解析:
由 x2+y2+z2≥2xycsB+2xzcsA+2yzcsC 得:
2xz=32xy=42yz=5⇒x2=65y2=103z2=158⇒3csA+4csB+5csC≤65+103+158=769120.☆☆☆☆☆2023/09/20 河南·D
定比分点坐标公式
(2023/08/29 九师联盟第 21 题) 已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1a>b>0 离心率为 223 ,且 A-1,-3 在 C 上.
(1) 求 C 的方程.
(2) 设 O 为坐标原点,直线 OA 与 C 交于另一点 B ,与 OA 直线平行的直线交 C 于 P,Q 两点,直线 AP 与 BQ 交于点 D ,证明: 直线 OD 的斜率为定值.
解析:
(1) y218+x22=1
(2) ∵PQ//AB∴ 设 AP=λPD ,则 BQ=λQD ,
设 Dm,n
又 A-1,-3∴xP=-1+λm1+λyP=-3+λn1+λ
代入椭圆得: -3+λn2181+λ2+-1+λm221+λ2=1
同理: 3+λn2181+λ2+1+λm221+λ2=1 ,
两式相减得: nm=-3 ,
即直线 OD 的斜率为定值.河南·D
正反方向的系数待定对比
(网红题) 已知 a>0,b>0,3a-5b=4a2b2 ,求 1a+1b 的最小值.
解析:
∵3a-5b=4a2b2∴5a-3b+4ab=0
∴1a+1b=1a+1b+λ5a-3b+4ab=5λ+1a+1-3λb+4λab
≥334λ5λ+11-3λ,
当且仅当 5λ+1a=1-3λb=4λab5a-3b+4ab=0⇒λ=3-36 时取等号, ∴1a+1b 的最小值 65310 .
解析:
∵3a-5b=4a2b2∴5a-3b+4ab=0
∴1a+1b=1mma+mb+5a-3b+4ab=1mma+mb+5a-3b+4ab
=1mm+5a+m-3b+4ab≥1m⋅334m+5m-3,
当且仅当 m+5a=m-3b=4ab5a-3b+4ab=0⇒m=5a=5310b=1310 时取等号, ∴1a+1b 的最小值 65310 .
2023/09/22 ←←← 河南
长方体共点的三条棱所在的直线与同一平面所成角的正弦的平方和为定值 1. 证法 1:
设 OM=a,OK=b,ON=c ,则 MK=a2+b2
MN=a2+c2,NK=b2+c2,
由三角形面积 S=12xysinθ=12xy1-cs2θ
=12xy1-x2+y2-z22xy2=12x2y2-x2+y2-z224
∴△MNK 面积为,利用等体积法
∴O 到平面 MNK 的距离 d=13×12abc13×12a2b2+b2c2+a2c2=abca2b2+b2c2+a2c2
∴ 直线 OA,OB,OC 与平面 MNK 所成角分别记为 α,β,γ ,则 sin2α+sin2β+sin2γ
=da2+db2+dc2=b2c2a2b2+b2c2+a2c2+a2c2a2b2+b2c2+a2c2+a2b2a2b2+b2c2+a2c2=1
证法 2:
设 OA=1,0,0,OB=0,1,0,OC=0,0,1 ,平面的 MNK 一个法向量为 n=x,y,z
则直线 OA,OB,OC 与平面 MNK 所成角分别记为 α,β,γ .
则 sin2α+sin2β+sin2γ=cs2+cs2+cs2
=OA⋅nn2+OB⋅nn2+OC⋅nn2=x2x2+y2+z2+y2x2+y2+z2+z2x2+y2+z2=1.
例如:
正方体 ABCD-EFGH ,平面 α 过 A 点,且 B,D,E 到平面 α 的距离分别为 1,2,3 ,求正方体的棱长 解答:
设直线 AB,AD,AE 与平面 α 所成角分别记为 α,β,γ ,正方体棱长为 α
则 sin2α+sin2β+sin2γ=1a2+2a2+3a2=1⇒a=14 .
不等式之双换元
1. 若 x,y>0,3xy+2y2+83x2+2xy=1 ,求 xy 最小值.
解析:
xy=xy⋅1=xy⋅3xy+2y2+83x2+2xy=3xx+2y+8y3x+2y
set a=x+2yb=3x+2y⇒x=b-a2y=3a-b4
∴xy=3b-3a2a+6a-2bb=3b2a+6ab-72≥23b2a⋅6ab-72=52
当且仅当 3b2a=6ab ,即 x=5y=52 时取到等号.
∴xy 最小值 为 52 .
2. 若 x,y,z>0,x+y2+z3=1 ,求 x+y+z 的最大值.
解析: 待定常数在均值不等式中进行降次处理
1=x+y2+z3=x+y2+λ+z3+μ+μ-λ-2μ
≥x+2λy+33μ2z-λ-2μ
显然需要 2λ=133μ2=1⇒λ=14μ=39 时才满足题意需求.
此时: x+y+z≤1+λ+2μ=54+239 .2023/09/24 河南
三余弦定理和三正弦定理
1.三余弦定理(最小角定理)
设 A 为平面 α 内一点,过 A 的斜线 AO 在平面上的投影为 AB,AC 为平面 α 内的一条直线,记 ∠OAB =θ1,∠CAB=θ2,∠OAC=θ ,则 csθ1⋅csθ2=csθ .
证明:
过 B 作 BC 垂直 AC 于点 C ,由于斜线 AO 在平面上的投影为 AB
∴OB 垂直平面 α 于点 B ,连接 OC ,
∴AC⊥ 平面 OBC
则 △OBA,△OBC,△ABC,△OCA 均为直角三角形.
∴csθ1⋅csθ2=ABOA⋅ACAB=ACOA=csθ 显然成立
显然 csθ1⋅csθ2=csθ≤csθ1⇒θ1≤θ
∴ 线面角是斜线与平面内任意直线所成角中的最小值,即线面角是线线角的最小值,又称最小角定 理.
2. 三正弦定理 (最大角定理)
设二面角 M-AB-N 度数为 α ,在平面 MAB 内有一条射线 AC ,它和棱 AB 所成角为 β ,和平面 NAB 所成角为 γ ,则 sinα⋅sinβ=sinγ
证明:
作 CO 垂直平面 NAB 于点 O ,作 OB 垂直 AB 于点 B ,
连接 CB,OA ,则 ∠CBO=α,∠CAB=β,∠CAO=γ
则 △COB,△COA,△CAB 均为直角三角形.
∴sinα⋅sinβ=COCB⋅CBCA=COCA=sinγ 显然成立.
显然 sinα⋅sinβ=sinγ≤sinα⇒γ≤α
∴ 二面角是半平面内一条直线与另一个半平面所成线面角中的最大值,即二面角是线面角的最大值, 又称最大角定理.
000020925/09/25 河南.
1. 数列 an 中, a1=1,an+1=1+2an ,那么 an=
解析: (不动点法)
x=1+2x⇒x=2 r x=-1∴an+1+1=2anan+1an+1-2=-1anan-2⇒an+1+1an+1-2=-2an+1an-2
∴an+1an-2=-2n-1a1+1a1-2=-2n ∴an=2+3-2n-1 .
2. 已知 x,y,z>0 ,则 x2+y2+y2+4z2+z2+16x29x+3y+5z 的最小值是
. 解析: (柯西不等式) a2+b2c2+d2≥ac+bd2 当且仅当 ad=bc 时取等.
x2+y212+λ2≥x+λyy2+4z212+λ2≥y+2λzz2+16x212+λ2≥z+4λx⇒x2+y2+y2+4z2+z2+16x2≥1+4λx+1+λy+1+2λz12+λ2
只需 1+4λ:1+λ:1+2λ=9:3:5 ⇒λ=2 .
即当且仅当 z=y=2x 时取等
∴x2+y2+y2+4z2+z2+16x29x+3y+5z 的最小值是 55 .
3. 设 △ABC 的内心为 I ,满足 2IA+5IB+6IC=0 ,则 csB=
解析:
由地球人都知道的奔驰定理得: aIA+bIB+cIC=0
∴a:b:c=2:5:6 ∴csB=a2+c2-b22ac=58 .
↔↔2023/09/26 河南 ↔↔
定比点差
1. 过点 T2,0 作直线与双曲线 x2-y23=1 左右两支交于 A,B 两点,在线段 AB 上取一点 E 满足 AETB=EBAT ,证明: 点 E 在一条定直线上.
解析:
∵AETB=EBAT ∴AEEB=ATTB，∴ 设 AE=λEB ，则 AT=-λTB
设 Ax1,y1,Bx2,y2,Ex0,y0,T2,0
∴x0=x1+λx21+λy0=y1+λy21+λ,2=x1-λx21-λ0=y1-λy21-λ,又 A , B 在双曲线上 ∴x12-y123=1x22-y223=1⇒x12-y123=1λ2x22-λ2y223=λ2
⇒x1+λx21+λ⋅x1-λx21-λ-13y1+λy21+λ⋅y1-λy21-λ=1⇒x0=12
∴ 点 E 在一条定直线 x=12 上.
2. 已知函数 fx=4ax-x4lnaa>0且a≠1 在 0,+∞ 上有两个极值点,则 a 的取值范围为___ 解析:
函数 fx 上有两个极值点 ⇔ 导函数 f'x 有两个变号零点 ⇔ 拆分的两个函数有两个穿越性交点
f'x=4axlna-4x3lna=4ax-x3lna=0⇒ax=x3⇒lnax=lnx3⇒lnxx=lna3
地球人都知道 y=lnxx 的图像,易得 00,gx↗
x∈2kπ+π4,2kπ+5π4,g'x2>0
∴gx>gln4=3-4ln2>0 ∴f'x>0
∴fx>fln4=4lnln4+1-ln42-ln4>0
⇔lnln4+1ln4+1>ln44=ln22
易得 pt=lntt 在 0,e 单调性知, 2x2+x⇔lnx+1x+1>xex=lnexex ∵x>ln4 ∴ex>4,x+1>2.3>2,ex>x+1∴lnexexln22 ∴ 命题得证### 2023/10/01 河南+++
(2023/09 武汉九调) 已知椭圆 x24+y2=1 的左顶点为 A ,右顶点为 B ,点 Tt,12 在椭圆 内部,直线 AT 和直线 BT 分别与椭圆交于另外的点 C 和点 D ,若 △CTD 的面积为 117 , 求 t 的值.
解析 1 : 斜率双用
由椭圆第三定义知 KCA⋅KCB=KDA⋅KDB=e2-1=-14
设 Cx1,y1,Dx2,y2
∴KCA=y1x1+2=12t+2=-14KCB=-14x1-2y1
⇒y1=2t+2t2+4t+5 ,同理: y2=-2t-2t2-4t+5
∵S△CTDS△ATB=12TCTDsinθ12TATBsinθ=TCTA⋅TDTB
=y1-1212⋅y2-1212=y1-12y2-1214=11712×4×12⇒y1-12y2-12=168
∴2t+2t2+4t+5-12-2t-2t2-4t+5-12=168⇒t2=2 或 t2=4 (舍) ⇒t=±2 .
∴t 的值为 ±2 .
解析 2: 定比点差
设 AC=λCT,BD=μDT ,则 C-2+λt1+λ,λ21+λ,D2+μt1+μ,μ21+μ
代入椭圆得: -2+λt2+λ2=41+λ2⇒λ=4t+2t2-3 ,同理: μ=-4t-2t2-3
∴S△ATBS△CTD=-λ-1-μ-1=λ+1μ+1
⇒12×4×12=4t+2t2-3+1⋅-4t-2t2-3+1⋅117
⇒t2=2 或 t2=4 (舍) ⇒t=±2 .
∴t 的值为 ±2 .
已知过定点的直线 l 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,焦点为 F ,满足 FA,FB 斜率之积为 定值, 求此定值。
解析: 平移齐次化
由于是斜率之积为定值,所以将 F 移至原点,这样斜率就变成 yx 了,计算就变得简单了。
首先将抛物线 y2=4x 向左平移一个单位,此时 F0,0 ,抛物线方程为: y2=4x+1
设过定点 x0,y0 的直线 l 为 mx+ny=1 ,代入 y2=4x+1
⇒y2=4xmx+ny+4mx+ny2 得:
4n2-1y2+8mn+4nxy+4m+4m2x2=0
∴4n2-1yx2+8mn+4nyx+4m+4m2=0
∴KFA⋅KFB=4m+4m24n2-1=λ ,
mx0+ny0=1⇒n=1-mx0y0 代入上式得 4y02-4λx02m2-4y02+8λx0m+λy02-4=0
恒成立 ∴ 系数 4y02-4λx02=04y02+8λx0=0λy02-4=0⇒x0=-2y0=±2λ=1,∴ 定值为 1 .
权方和不等式
若 a,b,c 正数满足 abc=a+b+c ,求 12ab+1+12bc+1+12ac+1 的最大值
解析:
12ab+1+12bc+1+12ac+1=c2abc+c+a2abc+a+b2abc+b
=1-2abc2abc+c+1-2abc2abc+a+1-2abc2abc+b
=3-2abc12abc+c+12abc+a+12abc+b
=3-2abc122abc+c+122abc+a+122abc+b
≤3-2abc1+1+122abc+c+2abc+a+2abc+b=3-18abc6abc+c+a+b+c=37
当且仅当 a=b=c=3 时取等.
☆☆☆☆☆2023/10/03 河南
(2023.9.6 高三天一大联考)
1. 设函数 fx=exsinx,x1,x2∈0,π,fx1=fx2 ,求证: x1+x2>π2
证明: 极值点偏移之构造函数法
fx1=fx2,∴sinx1ex1=sinx2ex2 ,设 0x12-π2x1
可构造函数 gx=x2-π2x+2eπ4sinxex ,证明它为递增函数即可。
∵g'x=2x-π2+2eπ4csx-sinxex,g'π4=0
g''x=2exex-2eπ4csx,g''π4=0
px=ex-2eπ4csx,p'x=ex+2eπ4sinx>0,∴px↗⇒gx 递增 (略去好多字) 极值点偏移之二次函数拟合 ( 泰勒展开式)
令 fx=sinxex,f'x=csx-sinxex,f''x=-2csxex
∴ 二次函数 gx=fπ4+f'π4x-π4+f''π4x-π422!=-22e-π4x-π42-1
可证明: ; 当 x∈0,π4 时, gx>fx ,当 x∈π4,π 时 gx3ac 时,三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 有两个极值点 x1,x2 ,且点 x1,fx1 和点 x2
fx2 关于对称中心对称.
证明: ∵fx=ax3+bx2+cx+da≠0∴f'x=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4b2-3ac>0
则 fx 两个极值点 x1,x2 满足 x1+x2=-2b3a,x1x2=c3a ,显然 x1+x2=2x0 (拐点横坐标)
又 ∵fx1+fx2=ax13+bx12+cx1+d+ax23+bx22+cx2+d
=ax1+x2x12-x1x2+x22+bx12+x22+cx1+x2+2d
=ax1+x2x1+x22-3x1x2+bx1+x22-2x1x2+cx1+x2+2d
=a-2b3a-2b3a2-3c3a+b-2b3a2-2c3a+c-2b3a+2d=2f-b3a=2f(x0
性质 5 :
三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 有两个极值点 x1,x2 ,则 Ax1,fx1,Bx2,fx2 两点斜率 KAB=23f'-b3a .
证明: ∵fx=ax3+bx2+cx+da≠0 有两个极值点 x1,x2
∴x1,x2 是 f'x=3ax2+2bx+c=0 的两根. ∴x1+x2=-2b3ax1x2=c3a
∴KAB=fx1-fx2x1-x2=ax13+bx12+cx1+d-ax23-bx22-cx2-dx1-x2=ax13-x23+bx12-x22+cx1-x2x1-x2
=ax12+x22+x1x2+bx1+x2+c=ax1+x22-x1x2+bx1+x2+c
=a-2b3a2-c3a+b-2b3a+c=-2b29a+23c=233a-b3a2+2b-b3a+c=23f'-b3a
性质 6: 三次函数切割线定理
过三次曲线非拐点处的点 Am,fm 作曲线的一条切线 (切点横坐标为 x0 ) 和任意一条割线,交点横 坐标分别为 x1,x2 ,则 x1+x2=2x0 且 x1⋅x2=x02
证明:
由韦达定理得: fx=ax3+bx2+cx+d=ax-x1x-x2x-m=ax-x02x-m=0
∴x-x1x-x2=x-x02
∴x1+x2=2x0x1⋅x2=x02
性质7: 非单调的三次函数在三个零点处切线斜率的倒数和为 0 .
设 x1,x2,x3 是非单调的三次函数 fx=ax3+bx2+cx+d 的三个零点
则 fx=ax-x1x-x2x-x3
∴f'x=ax-x1x-x2+x-x2x-x3+x-x1x-x3
∴k1=ax1-x2x1-x3,k2=ax2-x1x2-x3,k3=ax3-x1x3-x2
∴1k1+1k2+1k3=1ax1-x2x1-x3+1ax2-x1x2-x3+1ax3-x1x3-x2
=x2-x3+x3-x1+x1-x2ax1-x2x1-x3x2-x3=0.☆☆☆☆☆2023/10/10 河南
九师联盟试题集锦
1. 已知函数 fx=2csωx+π6 在 0,π 有且仅有 2 个极值点,且在 π3,11π24 上单调
递增,求 ω 的取值范围.
解析: 三角函数一律换元研究假图,令 θ=ωx+π6 ,
则 fx=2csωx+π6 在 x∈0,π 有且仅有 2 个极值点,且在 x∈π3,11π24 上单调递增 ⇔gθ=2csθ 在 θ∈π6,ωπ+π6 有且仅有 2 个极值点,
且在 θ∈πω3+π6,11πω24+π6 上单调递增,结合 gθ 图像得: 2πn22n-12n 恒成立,下面利用作差法比较大小从而确定数列的单调性,进而找 到数列的最大项.
令 bn=n22n-12n,∴bn+1-bn=n+122n+12n+1-n22n-12n=-2n3+n2-12n-12n+12n+1
显然数列 bn 最大项为 b1=12 ∴2+λ>12 ∴λ 取值范围为 λ>-32 .
3. 已知 α,β∈0,π2 且 sinα-β=2sinβcsα ,则 α-β 的最大值为___
解析: sinα-β=2sinβcsα=sinαcsβ-csαsinβ ⇒tanα=3tanβ
∴tanα-β=tanα-tanβ1+tanα⋅tanβ=2tanβ1+3tan2β≤2tanβ23tan2β=33 ,
当且仅当 β=π6 取到等号,此时 α-β 的最大值为 π6 .
4. 已知椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆上不与顶点重合 的任一点, M 为 △F1PF2 的内心, O 为坐标原点,则直线 PM 与 PO 的斜率之比为___ 解析: 设 Px0,y0,F1-c,0,F2c,0
法 1: 利用第二定义或者椭圆方程代入两点间距离公式可得到焦半径 r右 =a-ex0,r左 =a+ex0
(正减负加),根据切线长定理知: xM=ex0 ,在根据内心把整个三角形分成三个高均为内切圆半径 r : yM 的小三角形,根据面积相等得: S=12⋅2a+2c⋅yM=12⋅2c⋅y0 ∴yM=ee+1y0
∴ 内心 Mex0,ee+1y0 ∴KPMKPO=a2b2 . (也可以取特殊位置直角三角形来计算)
法 2: 说一个地球人都知道的向量里面有一个著名的奔驰定理: 设 M 是 △ABC 所在平面内任一点,则 满足: αMA+βMB+γMC=0 ,其中 S△MBC:S△MAC:S△MAB:S△ABC=α:β:γ:α+β+γ .
∴ 若 M 是 △ABC 的内心,则 S△MBC:S△MAC:S△MAB=a:b:c 即 aMA+bMB+cMC=0
∴ 本题中 M 满足: 2cMP+a+ex0MF1+a-ex0MF2=0 ,代入坐标得; 内心 Mex0,ee+1y0
法 3: (学霸秒杀法) 说一个地球人都知道的椭圆光学性质,从焦点发出的光线经椭圆 (在点 P 处的切 线) 反射后经过另一个焦点,所以在点 P 处的法线是要过焦点三角形内心的. 地球人都知道 x2a2+y2b2 =1 在点 P 处的切线为: xx0a2+yy0b2=1 (留一半代一半 极线速写口诀)
∴KPMKPO=K法线 KPO=-1K切线 ⋅KPO=-1-b2x0a2y0⋅y0x0=a2b2 .
5. 已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的左右 焦点分别为 F1,F2 ,且 F1F2=8 ,过 F2 作其中一条渐 近线的垂线,垂足为 M ,延长 F2M 交另一条渐近线 于点 N ,且 F2M=MN .
(1)求 C 的方程.
(2) 过 A6,0 作直线 l (不与 x 轴重合) 与曲线 C 两 支交于 P,Q ,直线 F1P,F1Q 与曲线 C 的另一个交点 分别为 S,T ,求证: 直线 ST 过定点.
解析: 命题背景是蝴蝶定理.同构方法
(1) C 的方程为: x24-y212=1
(2) setPx1,y1,Qx2,y2,Sx3,y3,Tx4,y4 ∵F1,S,P 共线 ∴y1x1+4=y3x3+4
∴y12x1+42=y32x3+42⇒x1=-5x3-82x3+5 ,代入直线 PF1:y=y3x3+4x+4 ⇒y1=3y32x3+5
∴P-5x3-82x3+5,3y32x3+5 代入直线 PQ:y=kx-6⇒3y3=-k17x3+38
⇔Sx3,y3 在直线 3y=-k17x+38 上. 同理: Tx4,y4 也在直线 3y=-k17x+38 上.
∴ 直线 ST 方程为: 3y=-k17x+38 ,显然恒过 -3817,0 ,且发现直线 ST 与 PQ 斜率之比为 -173六六六六六 2023/10/11 河南·D
Carlsn不等式
卡尔松不等式也称矩阵长方形不等式: m×n 的非负实数矩阵中, n 列每列元素之和的几何平 均值不小于矩阵中 m 行每行元素的几何平均值之和. 即
na11+a21+…+am1a12+a22+…+am2…a1n+a2n+…+amn
≥na11a12…a1n+na21a22…a2n+…nam1+am2+…+amn
其中的非负实数矩阵为 a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮am1am2⋯amn ,等号成立条件是至少一列全为 0 或所有的行中的数成比例
当 n=2 时为 Cauchy 不等式.
a12+a12+…+am2b12+b22+…+bm2≥a1b1+a2b2+…+ambm2
常见的 Carlsn 不等式为: a2+b2x2+y2≥ax+by2
a3+b3+c3x3+y3+z3s3+u3+v3≥axs+byu+czv3
例 1: 已知 x∈0,π2 ,求 y=1sinx+8csx 最小值.
解析: ∵y=1sinx+8csx
∴y2=1sinx+8csx2=1sinx+8csx⋅1sinx+8csx⋅sin2x+cs2x
≥1sinx⋅1sinx⋅sin2x13+8csx⋅8csx⋅cs2x133=125 ,
当且仅当 1sinx8csx=sin2xcs2x 即 tanx=12 取到等号. ∴y=1sinx+8csx 最小值为 55 .
另外此题也可用权方和不等式: y=1sinx+8csx=132sin2x12+432cs2x12≥1+432sin2x+cs2x12=55
当且仅当 1sin2x=4cs2x ,即 tanx=12 取到等号.
例 2: 若 a,b,c>0 ,求证: a4+2b2c2a2+bc+b4+2a2c2b2+ac+c4+2a2b2c2+ab>a+b+c2
证明: a4+2b2c2=a4+b2c2+b2c2a+b+ca+c+ba+b+c2
≥a4aa13+b2c2bc13+b2c2cb133a+b+c2=a2+2bc3a+b+c2>a2+bc3a+b+c2
⇒a4+2b2c2a2+bc>a2+bca+b+c
同理: a4+2b2c2a2+bc+b4+2a2c2b2+ac+c4+2a2b2c2+ab>a2+bc+b2+ac+c2+aba+b+c
需证: a2+bc+b2+ac+c2+ab>a+b+c22⇔a2+b2+c2>0 显然成立
☆☆☆☆☆2023/10/12 河南
百师联盟压轴题解析
1. 已知点 F 为抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点,点 P2,1,Q0,1 且 PF=QF
(1) 求抛物线 C 的方程.
(2)如图,若斜率存在的直线 l 过点 P 且交抛物线 C 于 M,N 两点,若直线 MF,NF 交抛物 线于 A,B ( M,N 与 A,B 不重合),求证: 直线 AB 过定点.
解析: 这个还是蝴蝶定理.
(1) 抛物线 C 的方程: y2=4x .
(2) 法 1 :
F1,0 设 My124,y1,Ny224,y2
Ay324,y3,By424,y4
∵M,F,A 共线, ∴y1y124-1=y3y324-1
∴y1y3=-4,∴y2y4=-4
∵KMN=y1-y2y124-y224=4y1+y2,∴ 直线 MN 为: y-y1=4y1+y2x-y124
即: 4x-y1+y2y+y1y2=0 ,又过 P2,1，∴y1+y2-y1y2=8 (8
∴ 直线 AB 为: 4x-y3+y4y+y3y4=0⇒4x--4y1+-4y2y+-4y1⋅-4y2=0
⇒x+y1+y2y1y2y+4y1y2=0⇒y1y2x+y1+y2y+4=0 与 ⊗ 比较得: x=12y=-12
∴ 直线 AB 过定点 12,-12 .
法 2 : 抛物线上两点直线统一方程
设 Ax1,y1,Bx2,y2 是抛物线 y2=2pxp>0 上任意两点,则 AB 的方程为:
y1+y2y=2px+y1y2
证明: x1,y1,x2,y2 是 y2=2pxp>0 上任意两点,则 K=y1-y2x1-x2=y1-y2y122p-y222p=2py1+y2
所以 l 的方程为: y-y1=2py1+y2x-x1 ,即 y1+y2y=2px+y1y2
设 My124,y1,Ny224,y2,Ay324,y3,By424,y4
则 MN:y1+y2y=4x+y1y2 AM:y1+y3y=4x+y1y3 ,
BN:y2+y4y=4x+y2y4 AB:y3+y4y=4x+y3y4
∵AM,BN 过 F1,0 ∴y1y3=y2y4=-4 ,
∵MN 过 P2,1 ∴y1+y2=8+y1y2
代入得: y3+y4-12=4×12+y3y4 与 AB:y3+y4y=4x+y3y4 对比得:
直线 AB 过定点 12,-12 . HURLIARDO
2. 若 x-lnx+1>mxex 恒成立,求正整数 m 的最大值.
解析:
(凹凸反转) 易得 gx=x-lnx+1 下凹,且在 x=1 处取到最小值 2 ;
fx=xex 上凸,且在 x=1 处取到最大值 1e ∴2>m1e⇒mmxex ,
令 exx=t≥e ,则 tlnt+1>m ,求导易得 tlnt+1≥2e ∴m0,φ1 ,对任意的 x∈0,+∞,ax>lgax ,则 a 的取值范围是
解析: 需要添加幂函数实现同构, 可以加减或者乘除一个幂函数来实现.
ax>lgax⇔xax>xlgax⇔x⋅ax>lgax⋅x=lgax⋅algax ,故令 ft=tat ,显然 ft 在 0,+∞ 上是 递增的,则不等式可化为: fx>flgax⇔x>lgax=lnxlna⇔lna>lnxx∴lna>1e∴a>e2
例 5. 已知对任意的 x∈1,+∞,x+alnx+1ex≥xa ,则 a 的取值范围是___
解析: x+alnx+1ex≥xa⇔x+e-x≥xa-lnxa⇔e-x--x≥xa-lnxa=-lnxa+elnxa=elnxa-lnx 故令 ft=et-t ,显然 ft 在 0,+∞ 上是递减的,则不等式可化为: f-x≥flnxa⇔-x≤lnxa ⇔a≥-xlnx⇒a≥-e .
例 6. 已知 x0 是函数 fx=x2ex-2+lnx-2 的零点,则 e2-x0+lnx0=
解析: x2ex-2+lnx-2=0⇔x2ex-2=lne2-lnx=lne2x⇔x2ex=e2lne2x⇔x⋅ex=e2xlne2x=lne2x⋅elnex
⇒x=lne2x=2-lnx⇒x+lnx=2 ∴x0+lnx0=2⇒lnx0=2-x0⇒x0=e2-x0 ∴e2-x0+lnx0=x0+lnx0=2
☆☆☆☆☆ 2023/10/21 河南·Ｄ 学无止境 天道酬勤
如何快速求出函数的对称中心
1. 已知函数 fx=43x-1-3 的图像是中心对称,则对称中心是
解析 1 : 通法通法 利用定义
设对称中心为 a,b ,则函数 fx 上任意一点 Mx,y ,根据中点坐标公式得到点 M 关于点 P 的对称 点 M' 为 2a-x,2b-y .
∵fx=43x-1-3 的图像关于点 P 对称 ∴ 点 M,M' 均在函数 fx=43x-1-3 上.
∴y=43x-1-32b-y=432a-x-1-3⇒2b=43x-1-3+432a-x-1-3 恒成立.
∴32a-13x-6+3x3=b2⋅32a-2-b2⋅3x-b2⋅32a3x+9b2
对应项系数相等 32a-1=-b2⋅32a-6=b2⋅32a-2+9b213=-b2 ,解得: a,b=2,-23
∴fx=43x-1-3 的图像的对称中心是 2,-23 .
解析 2: 速解
定义域为 -∞,0∪0,+∞ ,只有一处断开. 所以对称中心横坐标必为 0,否则假设对称中心在别 处, 则断点还会对称出来新的断点, 这样与定义域只有一处断开矛盾, 所以对称中心横坐标必为 0 .
对称中心纵坐标可以找 x→±∞ 渐近线位置,则对称中心纵坐标等于 f-∞+f+∞2
就本题而言: f-∞+f+∞2=43-∞-1-3+43+∞-1-32=-43+02=-23 .
∴fx=43x-1-3 的图像的对称中心是 2,-23 .
如果定义域有两处断开, 则对称中心横坐标必为这两处中点! 下面看一下这道题:
2. 函数 fx=xx+1+x+1x+2+x+2x+3 图像的对称中心是
解析: 定义域为 -∞,-3∪-3,-2∪-2,-1∪-1,+∞ ,则 fx 对称中心横坐标必为 -2 .
fx 对称中心纵坐标等于:
f-∞+f+∞2=-∞-∞+1+-∞+1-∞+2+-∞+2-∞+3++∞+∞+1++∞+1+∞+2++∞+2+∞+32=3
∴fx 图像的对称中心是 -2,3 .
3. 若函数 fx=lna+11-x+b 对称中心是 0,0 ,求 a,b 的值
解析: 定义域 a+11-x≠0⇒x≠1 且 x≠a+1a ,需要关于原点对称 ∴a+1a=-1⇒a=-12
∴0=f-∞+f+∞2=lna+b⇒b=ln2 ∴a=-12b=ln2 .
向量中的奔驰定理
设 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,对 △ABC 内任意一点 O ,均存在正实数 a,β,γ ,使得 αOA+βOB+γOC=0 ,其中 α:β:γ=Sa:Sb:Sc (其中 Sa,Sb,Sc 分别表示边与点 O 构成的三角形面积) 即: S△OBCOA+S△OACOB+S△OABOC=0 .
证明 1: 设 ∠AOB=θ,∠AOC=φ,OA=x,OB=y,OC=z
考察: S△OBCOA+S△OACOB+S△OABOC⋅OA
=12yzsin2π-θ+φx2+12xzsinθxycsφ+12xysinφxzcsθ
=12x2yz-sinθ+φ+sinθcsφ+csθsinφ=0, 同理: S△OBCOA+S△OACOB+S△OABOC⋅OB=0S△OBCOA+S△OACOB+S△OABOC⋅OC=0 ,由于 OA,OB,OC 不共线,所以只有 0 满足要求.
所以: S△OBCOA+S△OACOB+S△OABOC=0 .
证明 2: 延长 AO 交 BC 于点 Q ,设点 B 到 AO 的距离分别为 h1,h2 ,点 A 到 BC 的距离为 d
∵S△OBC+S△OACS△ABC=12AOh1+12AOh212AQh1+h2=AOAQ ∴AO=S△OBC+S△OACS△ABCAQ ,
又 ∵BQQC=12BQd12QCd=S△OBCS△OAC ∴AQ=S△OACS△OBC+S△OACAB+S△OBCS△OBC+S△OACAC
∴AO=S△OACS△ABCAB+S△OBCS△ABCAC ∴-OA=S△OACS△ABCOB-OA+S△OBCS△ABCOC-OA
∴S△OBCOA+S△OACOB+S△OABOC=0 .
或者构造新三角形重心模型来证明, 因图形和德国奔驰汽车的 lg 相似, 故人称奔驰定理
1. 重心: OA+OB+OC=0,AO=13AB+13AC ,重心坐标 x1+x2+x33,y1+y2+y33
2. 内心: sinAOA+sinBOB+sinCOC=0⇔aOA+bOB+cOC=0 ,
AO=ba+b+cAB+ca+b+cAC ,内心坐标 ax1+bx2+cx3a+b+c,ay1+by2+cy3a+b+c
3. 外心: sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0 , ⇔sin2AOA+sin2BOA+AB+sin2C(OA+
AC)=0⇔AO=sin2Bsin2A+sin2B+sin2CAB+sin2Csin2A+sin2B+sin2CAC
=2sinBcsB2sinA+CcsA-C+2sinBcsBAB→+2sinCcsC2sinA+BcsA-B+2sinCcsCAC→
=csB2sinAsinCAB+csC2sinAsinBAC (和差化积公式)
4. 垂心: tanAOA+tanBOB+tanCOC=0 ,
证明: tanAtanB=CD/ADCD/BD=BDAD=BD⋅OCAD⋅OC=S△BOCS△AOC
∴tanAOA+tanBOB+tanCOC=0⇔tanAOA+tanBOA+AB+tanCOA+AC=0
⇔tanA+tanB+tanCAO=tanBAB+tanCAC=tanAtanBtanCAO
⇔AO=1tanAtanCAB+1tanAtanBAC (正切恒等式)
更一般的结论: △ABC 中, αOA+βOB+γOC=0 ,其中 α:β:γ:α+β+γ=Sa:Sb:Sc:S△ABC☆☆☆☆☆2023/10/23 河南·D
已知正数 a,b 满足 a+2b=ab ,求 a+b+a2+b2 的最小值.
分析 我们希望能把根号去掉, 可采用均值不等式或者柯西不等式或三角换元
解析 1: 两次柯西不等式
∵a+2b=ab ∴2a+1b=1
a+b+a2+b2=a+b+a2+b2cs2θ+sin2θ≥a+b+acsθ+bsinθ
=1+csθa+1+sinθb=1+csθa+1+sinθb⋅2a+1b≥21+csθ+1+sinθ2
取等条件 acsθ=bsinθ1+csθa2a=1+sinθb1bsin2θ+cs2θ=1⇒sinθ=35csθ=45a=103b=52 ∴a+b+a2+b2 的最小值为 10
解析 2: 反向三角换元
设 a=rcsθb=rsinθ,r>0,θ∈0,π2 ,则 rcsθ+2rsinθ=r2sinθcsθ⇒r=1sinθ+2csθ
∴a+b+a2+b2=rcsθ+sinθ+1=1sinθ+2csθcsθ+sinθ+1
=1sinθ+2csθ+2tanθ+ctθ+3 ,(万能公式: 令 t=tanθ2 )
∴ 上式 =41-t+1t+1≥2+121-t+t+1=10 ,(权方和不等式) 取等条件: 21-t=1t⇒t=13 .
解析 3: 几何构造
a+2b=ab⇒2a+1b=1⇒ 动直线 PQ:xa+yb=1 过点 A2,1 .
如右图,作旁切圆 E,PT=PM,QT=QN ,
则 a+b+a2+b2 表示直角三角形 OPQ 的周长,即 2R
ER,R,A2,1
显然: EA≥ET⇔R-22+R-12≥R2
⇒R≥5
∴a+b+a2+b2≥10
解析 4: 引入角度
如右图,设 ∠PQO=θ,θ∈0,π2
则 a+b+a2+b2=OQ+OP+PQ=2+ctθ+2tanθ+1+1sinθ+2csθ
=1sinθ+2csθ+2tanθ+ctθ+3 ,(万能公式: 令 t=tanθ2 )
∴ 上式 =41-t+1t+1≥2+121-t+t+1=10 ,(权方和不等式)
取等条件: 21-t=1t⇒t=13 .
补充说明:
万能公式:
sin2θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθ1+tan2θ cs2θ=cs2θ-sin2θsin2θ+cs2θ=1-tan2θ1+tan2θ tan2θ=sin2θcs2θ=2tanθ1-tan2θ
高中常用的柯西不等式形式:
a,b,c,x,y,z 为非零实数,则 a2+b2+c2x2+y2+z2≥ax+by+cz2 ,当且仅当 ax=by=cz 时取等.
高中常用的权方和不等式:
a,b,c,x,y,z 为正数,则 a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+z 当且仅当 ax=by=cz 时取等.
下面进行一般性研究: 已知 a,b,x,y>0,ax+by=1 ,求 x+y+x2+y2 的最小值
我们用待定系数法来处理.
x+y+x2+y2=x+y+x2+y2cs2θ+sin2θ≥x+y+xcsθ+ysinθ
=1+csθx+1+sinθy ,其中 θ∈0,π2 ,
∴x+y+x2+y2≥1+csθx+1+sinθy=1+csθx+1+sinθyax+by
≥a1+csθ+b1+sinθ2 ,取等条件是: xcsθ=ysinθ1+csθxax=1+sinθyby
∴ab=1+csθx21+sinθy2=1+csθcs2θ1+sinθsin2θ=1-sinθ1-csθ=1-tanθ222tan2θ2,
令 m=tanθ2∈0,1 ,取 a=1-m2n,b=2m2n ,其中 n>0 ,
所以 a1+csθ+b1+sinθ2=1-m2n⋅21+m2+2m2n⋅m+11+m22
=21+m2n . 取等条件为: 1-m2x+2m2y=n ,则有 x+y+x2+y2≥21+m2n .
一道双变量函数最值的求法
设 α,β∈0,π2,Zα,β=2sinαcsβ+csαsin2β ,当 Zα,β 取到最大值, α,β 满足 ( )
A. tanα=2,tanβ=3 B. tanα=22,tanβ=3
C. tanα=2,tanβ=33 D. tan α=22,tanβ=33
解法 1: 柯西不等式和均值不等式
Zα,β=2sinαcsβ+csαsin2β=sinα⋅2csβ+csα⋅sin2β≤sin2α+cs2α2csβ2+sin22β
=2cs2β+4sin2βcs2β=2cs2β+41-cs2βcs2β=2cs2β⋅3-2cs2β
≤2cs2β+3-2cs2β2=32 . 取等条件: sinα2csβ=csαsin2β2cs2β=3-2cs2β⇒tanα=2tanβ=33
解法 2: 几何意义
考虑到 cs2α+sin2α=1 ,所以原题可看作直线 Z=2csβ⋅x+sin2β⋅y 与单位圆: x2+y2=1 有交点
∴ 圆心到直线的距离不大于 1,即: Z2csβ2+sin22β≤1⇒Z≤2csβ2+sin22β
=2cs2β+4sin2βcs2β=2cs2β+41-cs2βcs2β=-4cs4β+6cs2β
=-4cs2β-342+94≤32 ,当且仅当 csβ=32 ,即 β=π6,Z 的最大值为 32 ,
∴32=62sinα+32csαsin2α+cs2α=1⇒sinα=63,∴tanα=2,tanβ=33 .
解法 3: 双变量的主元思想 (求导后出现了隐零点)
令 α=x∈0,π2 ,则 fx=2csβsinx+sin2βcsx ,
∴f'x=2csβcsx-sin2βsinx=sin2βcsx⋅12sinβ-tanx
令 f'x=0⇒tanx0=12sinβ ,易得 fx 最大值为 fx0=2csβsinx0+sin2βcsx0 ,
此时 sinx0=11+2sin2βcsx0=2sinβ1+2sin2β ,
所以: fx0=2csβ1+2sin2β+sin2β⋅2sinβ1+2sin2β=2csβ⋅1+2sin2β=2csβ⋅3-2cs2β
≤2csβ2+3-2cs2β22=32 . 当且仅当: 2csβ=3-2cs2βtanα=12sinβ⇒tanα=2tanβ=33 取等.
正余弦定理应用
1. 过等边三角形 ABC 中心 O 作直线与两个边交于 M,N ,则线段 MN 长度如何变化?
解析: 设 AO=1,∠AON=θ∈π3,π2 ,
则由正弦定理得: ONsinπ6=1sin5π6-θOMsinπ6=1sinθ-π6
⇒2MN=1sin5π6-θ+1sinθ-π6=1sinθ+π6+1sinθ-π6
=sinθ+π6+sinθ-π6sinθ+π6⋅sinθ-π6=2sinθcsπ6-12cs2θ-csπ3=3sinθ2sin2θ-12=32sinθ-12sinθ 显然是递减的
2. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 sinCsinA-B=sinBsinC-A
求证: 2a2=b2+c2 .
分析: 三角函数解答题通常要利用正余弦定理实现边角关系的统一, 尽量利用内角和减元, 套路比较 单一. 由于正余弦定理是单角, 故需要将复杂的角展成单角才可
解法 1: 展成单角
sinCsinA-B=sinBsinC-A⇔sinCsinAcsB-csAsinB=sinBsinCcsA-csCsinA ⇔2sinBsinCcsA=sinCsinAcsB+sinBcsCsinA⇔2bccsA=accsB+abcsC
⇔2bcb2+c2-a22bc=aca2+c2-b22ac+aba2+b2-c22ab⇔2a2=b2+c2
解法 2: 和差化积减元
sinCsinA-B=sinBsinC-A
⇔-12csC+A-B-csC+B-A=-12csB+C-A-csB+A-C
⇔csπ-2B=2csπ-2A-csπ-2C⇔2cs2A=cs2B+cs2C
⇔21-2sin2A=1-2sin2B+1-2sin2C⇔2a2=b2+c2.
3. (2022 全国乙卷) 已知 △ABC 中,点 D 在边 BC 上, ∠ADB=2π3,AD=2,CD=2BD ,当 ACAB 取得 最小值时, BD=
解析: 设 BD=t>0,∴ACAB2=4+4t2-2⋅2⋅2tcsπ34+t2-2⋅2⋅tcs2π3=4t2-4t+4t2+2t+4=4t2+2t+4-12t-12t2+2t+4
=-12t+1t2+2t+4+4=-12t+1+3t+1+4≤-122t+1⋅3t+1+4=3-12
当且仅当 t+1=3t+1 ,即 t=3-1 时取等. ∴ 当 ACAB 取得最小值时, BD=3-1 .
或者求导: ft=t2-t+1t2+2t+4,f't=2t-1t2+2t+4-t2-t+12t+2t2+2t+42=3t2+2t-2t2+2t+42=0
⇒t0=3-1 或者 t0=-3-1 (舍).
数列压轴典型例题
1. 已知正项数列 an 其前项和 Sn,a1=1 ,满足 an+1=Sn2+Sn+1 ,则下列说法正确的是
A. 长度为 an+1,Sn,1 的三条线段可以围成一个内角为 2π3 的三角形 B. an+1=2an⋅csπ3⋅2n
C. Sn=32tanπ3⋅2n-12 D. Sn≤32n-1-1+1
解析: 正切换元
an+1=Sn2+Sn+1⇔an+12=Sn2+Sn+1=Sn2+12-2Sn⋅1⋅cs2π3 ∴A 正确
an+1=Sn2+Sn+1⇔an+1=(Sn+12)2+34=321+(2Sn3)2⇔23Sn+1-Sn=1+(2Sn+13)2
⇔2Sn+1+13-2Sn+13=1+2Sn+132 ,令 1tanθn=2Sn+13 得: 1tanθn+1-1tanθn=1+1tan2θn
∴1tanθn+1=1tanθn+1sinθn=csθn+1sinθn=2cs2θn22sinθn2csθn2=1tanθn2⇒θn+1=θn2 ,
∵1tanθ1=2S1+13=3⇒θ1=π6∴θn=π6⋅12n-1⇒Sn=32tanπ3⋅2n-12⇒an+1=32sinπ3⋅2n
∴an=32sin2π3⋅2n ∴an+1=2an⋅csπ3⋅2n
放缩: 类比 x∈0,π2,2πx≤sinx≤x ,可证明 x∈0,12 , sinx≥3πx
∵an+1=32sinπ3⋅2n≤3⋅2n-1 ∴Sn≤1+3⋅1-2n-11-2=32n-1-1+1
本题的通项公式也可以构造 2π3 的等腰三角形里的余弦定理,不断补做等腰三角形,最后利用整体三 角形的正弦定理来求解.
2. 已知数列 an 满足 a1=3,an+1=an2-3an+4,Sn=i=1n1ai-1 ,则下列正确的是
A. an+1>an B. a2023≤32+202332 C. Sn32+202332
解析:
an+1-an=an2-4an+4=an-22>0,a1=3⇒a2=4,y=x2-3x+4x≥3 时, y≥4 ∴an+1>an 也可以借助蛛网图(画一条 y=x ),或者解方程 x=x2-3x+4 ,得到不动点为 x=2
an+1=an2-3an+4⇒an+1-2=an-1an-2⇒1an-1=1an-2-1an+1-2
∴Sn=i=1n1ai-1=1a1-2-1an+1-2=1-1an+1-2an-322⇒lnan+1-32>2lnan-32
累加法得: lnan-32>ln32⋅2n-1=ln322n-1⇒an-32>322n-1>32n⇒an>32n+32
∴a2023>32+202332
数列
1. 若 an,bn 均为等差数列且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则 anbn=S2n-1T2n-1 .
证明: ∵an,bn 均为等差数列 ∴anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=a1+a2n-12n-12b1+b2n-12n-12=S2n-1T2n-1
2. 若 an,bn 均为等差数列且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,若 SnTn=pn+qλn+μ ,则 ambk=p2m-1+qλ2k-1+μ
证明: ∵an,bn 均为等差数列 ∴ 可设 Sn=Anpn+q,Tn=Anλn+μ
ambk=Sm-Sm-1Tk-Tk-1=Ampm+q-Am-1pm-1+qAkλk+μ-Ak-1λk-1+μ=p2m-1+qλ2k-1+μ
相当于把 SnTn=pn+qλn+μ 分子和分母中的 n 分别换成 2m-1,2k-1
例如: 若 an,bn 均为等差数列且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,若 SnTn=2n+23n+5 ,则 a5b3=
解答 把 SnTn=2n+23n+5 分子和分母中的 n 分别换成 9,5,得到 a5b3=2×2×5-1+23×2×3-1+5=1
3. 待定系数法同构 (特征根法) 数列 an 满足: a1=a2=1,an+2=an+1+an ,求通项公式 an
解析: 设 an+2-λan+1=μan+1-λan ,则 an+2=λ+μan+1-λμan 与 an+2=an+1+an 对比可得:
λ+μ=1λμ=-1⇒λ=1-52μ=1+52 或者 λ=1+52μ=1-52
∴an+2-1-52an+1=1+52an+1-1-52anan+2-1+52an+1=1-52an+1-1+52an⇒数列an+1-1-52an 和 an+1-1+52an
均为等比数列. ∴an+1-1-52an=1+52nan+1-1+52an=1-52n
⇒an=151+52n-1-52n ,其实此为斐波那契 (兔子) 数列的通项公式
4. 数列 an 满足 an=2n+13n ,求前 n 项和 Sn
解析: 待定裂项法+累加法
设 bn=λn+μ⋅3n ,令 an=2n+13n=bn+1-bn
=λn+1+μ3n+1-λn+μ3n⇒λ=1μ=-1,∴bn=n-13n ,则 Sn=a1+a2+…+an
=b2-b1+b3-b2++…+bn-bn-1+bn+1-bn=bn+1-b1=n⋅3n+1
5. 求数列 n2 的前 n 项和 Sn .
解析: 待定裂项法 设 bn=λn3+μn2+kn+p .
令 n2=bn+1-bn=λn+13+μn+12+kn+1+p-λn3+μn2+kn+p
对比系数得: λ=13,μ=-12,k=16,p=0,∴bn=13n3-12n2+16n
∴Sn=bn+1-b1=13n+13-12n+12+16n+1=n2n+12-3n+1+16=nn+12n+16☆☆☆☆☆2023/10/28 河南·
利用递推关系求数列通项
1.一段楼梯共有 11 个台阶, 小傲同学只可以一步走两个台阶或者一步走三个台阶走完这段楼梯, 问 小傲同学一共有多少种不同的走法?
解析:
排列组合的方法: 设走两个台阶的有 x 步,走三个台阶的有 y 步,则 2x+3y=11⇒x=4y=1 或 x=1y=3
∴ 一共有 C54+C41=9 种不同的走法.
递推法: 设 n 个台阶一共有 an 种不同的走法,则 a1=0,a2=1,a3=1,a4=1,… 那么当 n+1 个台 阶时,只需从第 n-1 个台阶的基础上再走两个台阶或者从第 n-2 个台阶的基础上再走三个台阶 所以一共有 an-1+an-2 种不同的走法,即 an+1=an-1+an-2n≥3
∵a1=0,a2=1,a3=1,a4=1∴a5=a3+a2=2,a6=a3+a4=2,a7=a5+a4=3 ,
∴a11=a9+a8=a7+2a6+a5=3+4+2=9 .
2. 汉诺塔游戏: 有三根相邻的柱子,最左边柱子从上到下按金字塔状叠放着 n 个不同大小的圆盘. 若游 戏的目标是把最左边柱子上的所有圆盘移至最右边柱子上 (不一定要经过中间的柱子), 且移动过程 中要遵守"大盘在下, 小盘在上, 一次一块"的规则, 则把左边柱子上的圆盘全部移至右边柱子上至少 需要多少次操作?
解析: 直接求解难度很大, 故从递推关系入手, 从简单到复杂去研究, 这也是好多数学问题的思维方向 设 n 个圆盘全部移完至少需要 an 次操作,则显然易得 a1=1,a2=3 ,
那么 n+1 个圆盘全部移完至少需要这样来思考: 需要将左边柱子上的 n 个圆盘全部移至中间柱子 上则至少需要 an 次操作,然后把左边柱子上的第 n+1 个圆盘移至右边柱子上,需要一次操作,最后 再把中间柱子的 n 个圆盘全部移至右边柱子上,又至少需要 an 次操作,共计 2an+1 ,即 an+1=2an+1 这是一个简单的地球人都知道的线性递推关系式.
an+1=2an+1⇔an+1+1=2an+1⇔ 显然 an+1 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 ∴an=2n-1 ∴ 把左边柱子上的圆盘全部移至右边柱子上至少需要 2n-1 次操作.
3. 现有三个人进行篮球传接球训练, 要求每个人接球后马上等可能的传给别人. 开始由甲发球, 并作为 第一次传球,求第 n 次传球后又回到甲手中的概率是多少?
解析: 设第 n 次传球后又回到甲手中的概率是 Pn ,则要想第 n 次传回到甲手中,则需要第 n-1 次不 再甲手中,且下一次传给甲. ∴Pn=121-Pn-1 ,显然 P1=1 ,易得: Pn-13=-12Pn-1-13
∴Pn=23-12n-1+13∴ 第 n 次传球后又回到甲手中的概率是 23-12n-1+13 .
4. (无限游戏模式) 甲乙两人玩鬼牌游戏,甲手中拿一张 A ,乙手中拿同样的一张 A 和一张鬼牌. 甲乙相 互交替从对方 手中抽一张牌 (看不到牌面). 若抽到 A 则连同自己手中的 A 一起扔掉,直到最后手中 只有鬼牌的那一方输掉游戏. 甲先抽, 求甲最终获胜的概率.
解析: 设甲先抽获胜的概率为 P ,则甲有可能抽到 A ,也有可能抽到鬼牌. 若抽到鬼牌,则此时甲手中 是 A 和鬼牌,乙手中是 A ,此时乙先抽,又恢复到了类似甲的初始情形,则乙获胜的概率也为 P ,由全 概率公式得: P=12+121-P⇒P=23 ∴ 甲最终获胜的概率是 23
迭代函数法之蛛网图
一阶递推数列 an 的递推公式往往用函数 an+1=fann∈N* 表示,记 f1x=fx,…
fk+1x=ffkx ,其中 k=1,2,⋯ ,并记 a1=f0a1 ,则有 an=fn-1a1,n=1,2,⋯ ,
因此称函数 y=fx 为数列的递推函数. 此时可以将数列看作函数不停迭代时的一系列函数值,这 种研究数列的方法称为迭代函数法.
通常我们通过判断 an+1 与 an 的大小关系来研究数列 an 的单调性. 在平面直角坐标系 xOy 中画出数列的递 推函数 y=fx 的图象,在得到点 a1,fa1 的位置以后, 可以借助直线 y=x 将函数值 fa1 (也就是 a2 ) “反射”到 x 轴上,这样就可以比较 a1 与 a2 的大小了. 通过画右侧的 “蛛网图”, 可以将这个过程进行下去, 从而作出对数列单调 性与有界性的判断.
从代数的角度看, 利用数列的递推函数的单调性可以 将数列的项之间的大小关系递推下去, 进而得到数列的单 调性与有界性的严格论述. 这种代数论述过程一般利用数
学归纳法完成. 此外,数列的递推函数 fx 的不动点 (方程 fx=x 的实数根) 在递推过程中往往 充当“中流砥柱”的角色, 因此首先求出不动点并利用不动点对递推数列进行改造对后续的解题有重 要作用.
例题 利用迭代函数解决下列问题: (1) 设 x1>0,xn+1=31+xn3+xn,n=1,2,3,⋯ ,判断数列 xn 的单调性; 解
(1) ∵xn+1=31+xn3+xn ,令 31+x3+x=x
⇒ 迭代函数的不动点为 3 ,画出迭代函数 y=31+x3+x
的图像, 不难发现:
当 00 ,若 x+4y+6=4x+1y ,则 4x+1y 的最小值是 ( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3. 已知正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1 ,则 S=1+z2xyz 的最小值为
A. 3 B. 33+12 C. 4 D. 22+1
4. 若 x>0,y>0 且 x+y=xy ,则 xx-1+2yy-1 的最小值为
A. 3 B. 52+6 C. 3+6 D. 3+22
5. 已知 x>y>0 ,且 x2-y2=1 ,则 2x2+3y2-4xy 的最小值为
A. 34 B. 1 C. 1716 D. 98
6. 已知 a>0,b>0 满足 a+b+2a+6b=10 ,则 2a-5b 的最小值为
A. -4 B. -3 C. -2 D. -1
7. 已知 x,y 为正实数,则 4+5x2-2xy+2y2x+y 的最小值为
A. 25 B. 4 C. 23 D. 22
8. 设正实数 x,y 满是 3x+y2=2 ,则 42x+1+6y+1 的最小值为
A. 9+624 B. 32 C. 7+424 D. 42
9. 权方和不等式表述如下: 设 a,b,x,y>0 ,则 a2x+b2y≥a+b2x+y ,当且仅当 ax=by 时等号成立. 则函数 fx=2x+91-2x00 时,关于 x 的不等式 ax-1x2+bx-4≥0 恒成立,则 b+2a 的最 小值是
A. 2 B. 22 C. 4 D. 42
12. 已知实数 x,y>0 ,且 1x+y=1 ,则 2x+1y 的最小值是
A. 6 B. 3+22 C. 2+32 D. 1+2
13. 设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0 ,则当 zxy 取得最小值时, x+2y-z 的最大值为 (
A. 0 B. 98 C. 2 D. 94
14. 实数 x,y 满足 x2+2xy-3y2=1 ,则 x2+y2 的最小值为___
15. 已知 x>0,y>0 且 12x+1+1y+1=1 ,则 x+y 的最小值为___
16. 已知 x>0,y>0 ,则 2xyx2+4y2+xyx2+y2 的最大值为___
参考答案
1. B
【详解】 ∵x2+y2+z2=1,∴1-z2=x2+y2≥2xy (当且仅当 x=y 时取等号)
∴1-z2≥2xy,∴1-z2xy≥2 又因为已知正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1 ,所以 00∴k2-6k-8=16yx+xy≥216yx⋅xy=8 当且仅当 x=8k,y=2k 时取“ = ”
∴k2-6k-16≥0 解得 ∴k≥8 或 k≤-2 (舍去) 即当 x=1,y=14 时, 4x+1y 取得最小值 8
3. C
【详解】由题意可得, 00,b>0,a+b+2a+6b=10 ,所以 2a+5b+10=2a-5b+a+b+2a+6b=4a+a +1b+b≥24a⋅a+21b⋅b=6 ,当且仅当 4a=a,1b=b ,即 a=2,b=1 时,等号成立,所以 2a- 5b+10≥6 ,则 2a-5b≥-4 ,所以 2a-5b 的最小值为 -4 .
7. B
【详解】因为 4+5x2-2xy+2y2x+y=x+y2+2x-y2+4x+y=x+y+2x-y2+4x+y
≥x+y+4x+y≥2x+y×4x+y=4 ,当且仅当 2x=y 且 x+y=4x+y ,即 x=23,y=43 时取 得等号,即 4+5x2-2xy+2y2x+y 的最小值为 4 .
8. A
【详解】由 3x+y2=2 ,得 32x+12+y+12=4 ,所以 1432x+12+y+12=1 .
因为 x>0,y>0 ,所以 92x+1y+1>0,2y+12x+1>0 ,
则 42x+1+6y+1=1432x+12+y+1242x+1+6y+1
=149+92x+1y+1+2y+12x+1≥149+292x+1y+1×2y+12x+1=9+624,
即 42x+1+6y+1≥9+624 ,当且仅当 92x+1y+1=2y+12x+1 ,即 x=13-826,y=82-9 时等 号成立,所以 42x+1+6y+1 的最小值为 9+624 .
9. B
【详解】因 a,b,x,y>0 ,则 a2x+b2y≥a+b2x+y ,当且仅当 ax=by 时等号成立,
又 01,b>1 ,
则 x=a-12,y=b-1 ,所以 1a+1b=1 ,
所以 x+y=a-12+b-1=a2+b-32=a2+b1a+1b-32
=12+1+ba+a2b-32=ba+a2b≥2ba×a2b=2 ,当且仅当 ba=a2b1a+1b=1 ,即 b=2+22 ,
a=2+1 ,即 x=y=22 时取“ = ”,所以 x+y 的最小值为 2 .
16. 223
【详解】 2xyx2+4y2+xyx2+y2=2xy+4yx+1xy+yx ,设 t=xyt>0 ,
所以原式 =2t+4t+1t+1t=2tt2+4+tt2+1=3t3+2tt4+5t2+4=3t+2tt2+5+4t2 ,
令 u=t+2tt>0,∴u≥22 . 所以原式 =3uu2+1=3u+1u≤322+122=3942=223
(易得对勾函数 y=u+1u 在 [22,+∞) 上单调递增)
ex1-ex2x1-x2>ex1+x22 ex1-ex2x1-x2x1x2 x1-x2lnx1-lnx2x-1x00 ln1+x0 ,则 2xyx2+4y2+xyx2+y2 的最大值为___
解析: 2xyx2+4y2+xyx2+y2=2xy+4yx+1xy+yx=2t+4t+1t+1t=3t+2tt+2t2+1
=3t+2t+1t+2t=3m+1m≤322+122=223,
其中: t=xy,m=t+2t≥22 ,当且仅当 x=y 时取等.
2. 对任意的 x>1 ,不等式 exa-lnx-1-5+2lna≥0 恒成立,则 a 的取值范围为
解析: 指对共存时, 可考虑分而治之的异构, 主要用到切线放缩.
令 x-1=t>0 ,则原不等式 ⇔et+1-lna-t+1-lna-1+t-1-lnt+lna-2≥0 恒成立
∴ 只需 lna-2≥0⇒a≥e2 .
3. 已知 x,y>0 ,且 4x+9y=1 ,则 42x2+x+9y2+y 的最小值为___
解析: 双换元+权方和不等式
令 4x=m9y=n⇒x=4my=9n⇒m+n=1 ,则 42x2+x+9y2+y=m2m+8+n2n+9≥m+n2m+n+17=118
当且仅当 m+8m=n+9nm+n=1⇒m=817n=917 即 x=172y=17 时取等号.
4. 已知 x,y>0 ,则 5x2-2xy+2y2+4x+y 的最小值为___
解析 1 :
因为 4+5x2-2xy+2y2x+y=x+y2+2x-y2+4x+y=x+y+2x-y2+4x+y
≥x+y+4x+y≥2x+y×4x+y=4 ,当且仅当 2x=y 且 x+y=4x+y ,即 x=23,y=43 时取
得等号,即 4+5x2-2xy+2y2x+y 的最小值为 4 .
解析 2: 主元法 双判别式法
设 5x2-2xy+2y2+4x+y=k⇒5x2-2xy+2y2+4-kx-ky=0⇒5x2-2y+kx+2y2+4-ky=0
有解 ∴Δ1=2y+k2-202y2+4-ky≥0⇒36y2-24ky+80-k2≤0 有解
⇒△2=24k2-4×3680-k2≥0 有解 ⇒k≥4 或 k≤-4⇒k≥4 ,此时 k=4,y=43⇒x=23 取等
解析 3: 考虑到有 xy ,对称性换元
令 x=a+by=a-b ,则 5x2-2xy+2y2+4x+y=9b2+6ab+5a2+42a=a+3b2+4a2+12a
≥4a2+12a=2a2+1a≥4 ,当且仅当 a=1,b=-13 ,即 x=23,y=43 时取得等号,
圆锥曲线之利用二次关系代换
我们知道无脑联立得到韦达定理是利用直线进行一次 (线性) 代换. 除此之外, 我们还可以不联立 利用二次曲线进行二次关系的代换. 常见做法有构造对偶式法与构造和积关系. 下面以一道简单的例 题为例来演示一下具体操作过程.
过两点 Ax1,y1,Bx2,y2 的直线的方程为: x2y1-x1y2=yx2-x1-xy2-y1
已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0 的右焦点为 F2,0 ,且 C 的一条渐近线恰好与直线 x-y+1
=0 垂直.
(1) 求 C 的方程 (2) 过点 1,0 的直线与双曲线 C 右支交于 A,B 两点,点 D 在 C 上,且 AD⊥x 轴,求证: 直线过定点 F
(1) 求 C 的方程: x2-y2=2
(2) 解析 1 ; 对偶式法
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 Dx1,-y1
y1x1-m=y2x2-m⇒x2y1-x1y2=-my2-y1
当 m=1 时: x2y1-x1y2=y1-y2
∴x2y1+x1y2=x2y12-x1y22x2y1-x1y2=x22y12-x12y22y1-y2=y22+2y12-y12+2y22y1-y2=2y1+y2
设直线 BD 过 m,0 ,则 x2y1+x1y2=my1+y2 与上式比对发现: m=2
∴ 直线 BD 过点 F .
解析 2: 和积关系法
y1x1-m=y2x2-m⇒y12x1-m2=y22x2-m2⇒(x2-m)2x12-2=(x1-m)2x22-2
⇒m2+2x1+x2=2mx1x2+4m
令 m=1 可得: 3x1+x2=2x1x2+4⇒x2=3x1-42x1-3⇒y2=y1x2-1x1-1=y13x1-42x1-3-1x1-1=y12x1-3
∴KBF-KDF=y12x1-33x1-42x1-3-2--y1x1-2=y12-x1+y1x1-2=0
∴ 直线 BD 过点 F .
解析 3: 直曲联立韦达定理
x=my+1x2-y2=2⇒m2-1y2-2my-1=0⇒m2-1≠0Δ=42m2-1>0y1+y2=-2mm2-1y1y2=-1m2-1⇒y1+y2=2my1y2
∴KBF-KDF=y2x2-2--y1x1-2=x1-2y2+x2-2y1x1-2x2-2=my1-1y2+my2-1y1x1-2x2-2
=2my1y2-y1+y2x1-2x2-2=0
∴ 直线 BD 过点 F .
极大似然估计
极大似然估计是 1821 年首先由德国数学家 C . F. Gauss 提出,但是这个方法通常被归功于英国 的统计学家 R . A. Fisher,他在 1922 年的论文 On the mathematical fundatins f theretical statistics, reprinted in Cntributins t Mathematical Statistics (by R. A. Fisher), 1950, J. Wiley & Sns, New Yrk 中再次提出了这个思想, 并且首先探讨了这种方法的一些性质. 它是建立 在极大似然原理的基础上的一个统计方法, 极大似然原理的直观想法是: 一个随机试验如有若干个可 能的结果 A,B,C,… 若在一次试验中,结果 A 出现,则一般认为试验条件对 A 出现有利,也即 A 出 现的概率很大.
我们高中阶段用到的很浅显. 比如: 掷两枚均匀的骰子, 点数和为多少时概率最大? 这个问题比 较显然,当点数和为 7 时概率最大,为 636=16 ,而点数和为 2 或 12 时概率最小,均为 136 . 所以,在一 次实验中我们认为对出现点数和为 7 最有利, 也即出现的概率很大. 本实验情况比较少, 可以列举出各 种概率, 但对于复杂情况就需要进行一般性推导了.
比如: 随机变量 X-Bn,p ,即 PX=k=Cnkpk1-pn-k,k=0,1,2,…,n ,求 k 为何值时
PX=k 最大? 显然没法列举. 为此我们类比数列最大项的求法,研究函数的单调性. 考察:
PX=kPX=k-1=Cnkpk1-pn-kCnk-1pk-11-pn+1-k=n!k!n-k!pk1-pn-kn!k!n-k!pk-11-pn+1-k=n-k+1pk1-p=1+n+1p-kk1-p
显然,当 kPX=k-1 ;
当 k=n+1p 时, PX=k=PX=k-1 ;
当 k>n+1p 时, PX=k0,abc=1 ,求证: a3+b3+c3≥a2+b2+c2 .
解析 1 : 均值不等式
∵a2+b2≥2ab ∴a2+b2a+b≥2aba+b ∴a3+b3≥a2b+ab2
∴2a3+b3+c3≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2
∴3a3+b3+c3≥a3+b3+c3+a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2
=a+b+ca2+b2+c2≥33abca2+b2+c2=3a2+b2+c2
∴a3+b3+c3≥a2+b2+c2 ,当且仅当 a=b=c=1 时取等.
解析 2: 增强函数法
a3+b3+c3=a3+b3+c3+λlnabc=a3+λlna+b3+λlnb+c3+λlnc≥a2+b2+c2
只需找到 λ 的值,使函数 fx=x3+λlnx-x2≥0 恒成立即可.
∴f'x=3x2+λx-2xx>0 ,显然 f1=0 ,所以 x=1 为 fx 的一个极小值,则 f'1=0⇒λ=-1
所以只需证明: x3-lnx-x2≥0 .
令 hx=x3-lnx-x2,h'x=3x2-1x-2x=3x3-2x2-1x=x-13x2+x+1x⇒x=1
易得 hx≥h1=0 . 当且仅当 a=b=c=1 时取等.
2. 已知 a,b>0 ,且 a+b=2 ,则 a2+a24+b2 的最小值为___
解析:
本次不再用待定系数配凑柯西不等式或者三角换元等来处理, 换一种数形结合的思维方式来处理. 为 方便观察出来几何意义,我们做一下换元: x=a2y=b ,则原题可化为: 2x+y=2 ,则 x+x2+y2 ,显然 式子的几何意义表示线段 2x+y=20≤x≤1 上的动点到 y 轴的距离与到原点的距离之和. 显然当 折线变直时距离和最小,易得 O0,0 关于 2x+y=2 对称后的点 A 为 85,45 ,则 A 到 y 轴的距离即 为最小值. ∴a2+a24+b2 的最小值为 85 .
3. 过 -1,-1 作 y=ex 的切线,再作 y=lnx 的切线,则这两条不同的切线的斜率之积为___
解析: 显然 y=ex 与 y=lnx 是一对反函数,它们关于 y=x 对称. -1,-1 在 y=x 上.
由于对称性: 这两条不同的切线也关于 y=x 对称,所以斜率之积为 1 .
∵y=kx+b 关于 y=x 对称的直线为 x=ky+b (对称轴斜率为 ±1 的可以直接手工改写而得到)
∴ 斜率之积 k⋅1k=1 .
4. 已知 t>e ,关于 x 的方程 lntxlnx-1=lntlnlnt 有且只有一个解,则 t 的取值为
解析: 猛一看样子挺吓人的! 第一个感觉我不会做! 不要紧, 先换个元试试!
令 lnt=a>1 ,则原方程可化为: axlnx-1=alna⇔axa=lnx-1lna⇔ax-1=lgax-1
⇔x-1+ax-1=lgax-1+x-1⇔x-1+ax-1=lgax-1+x-1=lgax-1+algax-1
出现同构: 令 gx=x+ax 显然递增,则原方程等价于 gx-1=glgax-1⇔x-1=lgax-1
则: lna=lnx-1x-1 有且只有一个解 ⇒lna=1e⇒a=e1e⇒lnt=e1e⇒t=ee1e .
也可以同构: axlna=alnx-1⇔ax-1lna=lnx-1⇔axlnax-1=x-1lnx-1 ,令 gx=xlnx .
金太阳联考 9/26 号压轴题
1. 已知函数 fx=aex-1-xlnx ,
(1) 当 a=1 时,求 fx 的图像在 x=1 处的切线方程.
(2) 当 a≥1 时,证明: fx+csx>0
解析: 2a≥1 时, fx+csx=aex-1-xlnx+csx≥ex-1-xlnx+csx>0
令 gx=ex-1-xlnx+csx
① 当 x∈0,1 时, ex-1>0,lnx0 ,
∴gx=ex-1-xlnx+csx=ex-1+x-lnx+csx>0 显然成立.
② 当 x∈[1,+∞) 时,欲证 ex-1-xlnx+csx>0 ,需证 ex-1-xlnx-1>0x≥1
令 hx=ex-xlnx-2x≥1
方法 1: 泰勒展开式放缩
易证: ex≥1+x+12x2,lnx≤1ex ,欲证: ex-xlnx-2>0 ,
需证: 1+x+12x2-x1ex-2>0
需证: 二次函数 12-1ex2+x-1>0x≥1 ,显然成立.
方法 2: 凹凸反转
欲证: ex-xlnx-2>0x≥1⇔ex>xlnx+2 (也可移项求导)
⇔ 需证: ex-2x2>lnxxx≥1
令 gx=ex-2x2,g'x=x-2ex+4x3 ,
px=x-2ex+4,p'x=x-1ex≥0 易得: gx≥g1=e-2,lnxx≤1e ,
需证; e-2≥1e ,显然成立.
方法 3: 泰勒展开式放缩
ex-1-xlnx+csx>0⇔ex-32x2+x+xx+1-lnx+csx+12x2-1>0
方法 4: 原函数放缩困难, 就对导数放缩
gx=ex-1-xlnx+csx,
∴g'x=ex-lnx-1-sinx=ex-x-1+x-1-lnx+1-sinx>0 ∴gx∧ ∴gx>g0=0 方法 5: 泰勒展开式放缩, 主函数要次数上高过其它函数, 碾压!
ex-1-xlnx+csx>0⇔16x3+12x2+x-xx-1+1-12x2>0⇔16x3-x2+2x+1>0
12. 已知函数 fx=ax+bxa>b>0,a≠1,b≠1 最小值为 2,则 a,b 关系可以是
A. b>1 B. a>1>b C. ab>1 D. ab=1
解析: ∵fx=ax+bx 最小值为 2∴fx≥2=f0∴0 必是一个极小值点 ∴f'0=0∴ab=1
反之: 当 ab=1 时,函数 fx=ax+bx≥2ax⋅bx=2 ,当且仅当 x=0 取等
例如: ab≠1,fx=4x+12x=122×4x+12x+12x≥12×332×4x×12x×12x=3322
a>b>1 ,则函数 fx=ax+bx 递增, fx>0 ,无最小值,不符合要求.
函数 fx=ax+bx=2x+12x≥22x⋅12x=2 ,当且仅当 x=0 取等. 所以 a,b 关系可以是 BD
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A 组纸张
细心的话你会发现 A 组纸张的形状几乎都是一样的. 具体来说, 4A0、2A0、A0、A1、A2、A3… 这 些型号的纸张其长宽比都接近 2:1 . 这是为什么呢?
我们知道, 在纸张上打印电子文件时, 通常容易进行等比例的缩放, 也就是将同一个电子文件以 形状相似但大小不同的形式打印在纸张上. 因此, 一组纸要是设计成形状相似但大小不同的形式, 就 更加方便实际使用。但在生产纸张时又希望尽量减少浪费.例如, 要是能先制出一张较大的纸, 然后 经过释当的分割就可以得到与之形状相似的较小尺寸的纸张, 而且不会剩下任何多于的边角, 那就太 完美啦。幸运的是,若将纸张长宽比设计成 2:1 ,就可以达到这样的效果.
从数学的角度,长宽比为 2:1 的矩形沿着长 边对折后得到的两个小矩形的长宽比为 1:22 ,化
简后仍然是 2:1 . 若将纸张长宽比设计成这种比 例,只需要先制作出较大型号的纸张 (如 A0 纸),然 后将它们从长边中部沿着垂直长边的方向裁成相 等的两半, 就得到形状相似但尺寸更小的纸张, 也 就是 A1 纸; 将 A1 纸以同样的方式裁成两半就得到 具有同样长宽比的 A2 纸; 以此类推,就可以得到一 系列长宽比相同但大小不同的纸张.
由于某些特殊需求, A 组纸张也有长宽比偏离 2:1 或者不能通过其他较大的 A 组纸张对折得到 的情况,例如 A1+ 和 A3+ 型号的纸张.
数列不等式的证明方法
1. 设 n∈N* ,证明: 2lnn+1158-32×0.694=0.834>0.83=56 .
本题需要知道 ln2≈0.693 . 飘带放缩精度较高,如果不满足,就需要调整保留有限项不进行放缩 数学归纳法也可证明本题.后续 178 页还有此题的另一种证明方法.
数列求和
1. 若数列 an 的前 n 项和为 Sn,an=-1n-14n2n-12n+1 ,求 Sn .
解析: 裂项法 待定系数法 同构数列的相邻两项
设 an=-1n-14n2n-12n+1=-1n-1λ2n-1--1nλ2n+1=-1n-14λn2n-12n+1 ∴λ=1
∴an=-1n-12n-1--1n2n+1=-1n-112n-1+12n+1
∴Sn=11+13-13+15+…+-1n-112n-1+12n+1=1--1n2n+1
2. 若数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,anan+1an+2=an+an+1+an+2 ,求 S3
解析: 直接求通项我们不会. 可以通过算几项发现是周期为 3 的数列
a1=1,a2=2,a3=3,a4=1,a5=2,a6=3,…∴S36=12×1+2+3=72
背景为: 正切恒等式. 在非直角三角形中, tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC
令 an=tanA,an+1=tanB ,则 an+2=tanC,⇒an+3=tanA=an⇒T=3
3. 若数列 an 的前 n 项和为 Sn,an=n2⋅sinπn2 ,求 S36
解析: 通项具有周期成分, 可考虑并项求和, 周期是多少, 就并几项
考察: bk=a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=4k-32⋅sinπ4k-32+4k-22⋅sinπ4k-22
+4k-12⋅sinπ4k-12+4k2⋅sin4kπ2=8-16k ,构成新的等差数列
∴S36=a1+a2+a3+a4+…+a33+a34+a35+a36=b1+b2+…+b9=-8+8-16×8×92=-576 .
一项顶四项,数列 an 前 36 项的和等于 bn 前 9 项的和
4. 若数列 an 的前 n 项和为 Sn,an+1+-1nan=2n+1 ,求 S20
解析: 递推关系中出现了 -1n ,需要分奇偶讨论才可以确定,才可以实现变量的统一
当 n=2k-1,k∈N* 时, a2k-a2k-1=4k-1
当 n=2k,k∈N* 时, a2k+1+a2k=4k+3
⇒a2k-1+a2k+1=8k+2 ,即: a1+a3=8×1+2,a5+a7=8×3+2,a2+a11=8×5+2
a13+a15=8×7+2,a17+a19=8×9+2
∴S20=a1+a3+a5+…+a19+a2+a4+a6+…+a20
=a1+a3+a5+…+a19+a1+3+a3+7+a5+11+…+a19+35
=2S奇+3+7+11+…+35=10+74×10+3+35×5=1030
5. 数列 an 的通项为 an=1nn ,求证: 数列 an 前 n 项和 21-1n+10,g''π2=1π2+12-10∴gx>0
(2) 这明显是累加法求和的结果,比和等价于比较三个通项的大小. 即: Sn2 .
证明
法 1 比值代换统一变量 lnm-1m=lnn+1n⇒lnm-lnn=1m+1n>0⇒m>n>0
⇒lnmn=m+nmn=mn+1m ,令 mn=t>1 ,则 lnt=t+1m⇒m=t+1lnt,n=t+1tlnt ,
∴m-n=t2-1tlnt ,欲证: m-n>2 ,需证: t2-1tlnt>2t>1⇔lnt1 显然成立
法2 主动用飘带函数放缩 lnm-1m=lnn+1n⇒lnm-lnn=1m+1n>0⇒m>n>0 ,
∴ 由飘带放缩得: lnmn=m+nmn2 .
2. 设 fx=lnex+a+1-x2+x24-1 有两个零点 x1,x2x156
当 n≥2∴Sn>1+1412-11+1412-13+…+141n-1n-1=1+141n-1>78>56
综上所述: lnn!-n+12lnn+n>56
☆☆☆☆☆ 2023/11/25 河南·确山Ｄ 学无止境 天道酬勤
1. 若 x,y 满足 4lnx+2lny≥x2+4y-4 ,则
A. xy=22 B. x+y=2 C. x+y=1 D. x
解析
通常考虑同构, 变量分居两侧
4lnx+2lny≥x2+4y-4⇔4lnx-x2≥-2lny+4y-4
令 fx=4lnx-x,gy=-2lny+4y-4 ,求导易得: 当且仅当 x=2 时, fx 最大 =2ln2-2
当且仅当 y=12 时, gy 最小 =2ln2-2∴ 原题中符号只能是取等号 ∴xy=22
2. (2023 年 10 月长郡中学模拟题) 已知椭圆 C:x26+y23=1 ,过定点 Tt,0 的直线 l 交椭圆于 P,Q 两
点. 若在椭圆上存在一点 A ,使得直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值,求 t 的取值范围.
解: 设 Ax0,y0 ,直线 l:x=my+t,Px1,y1,Qx2,y2
x26+y23=1x=my+t⇒m2+2y2+2mty+t2-6=0⇒y1+y2=-2mtm2+2y1⋅y2=t2-6m2+2
KAP+KAQ=y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=y1-y0my1+t-x0+y2-y0my2+t-x0=2x0y0m2+2tx0-6m+4y0x0-tx02-6m2+2x0-t2
观察系数特点知需要: tx0-6=0,2x0y0x02-6=4y0x0-t2x0-t2= 定值 =2x0y0x0-6=2KAT
∴ 存在 A6t,±3t2-18t∴x0=6t∈-6,6⇒t6
本题背景是极点极线调和线束的斜率表达
点 Ax0,y0 在 T 所对应的极线上. tx06+0⋅y03=1⇒tx0=6∴x0=6t∈-6,6⇒t6
KAP+KAQ=2KAT
斯坦纳定理 AC⋅BD=AD2+BC2-AB2+CD22
证明
在 △ACB 中,由余弦定理得 CA⋅CB=CA2+CB2-AB22
在 △ACD 中,由余弦定理得 CA⋅CD=CA2+CD2-AD22
在四边形 ABCD 中, AC⋅BD=AC⋅CD-CB=CA⋅CB-CA⋅CD
=CA2+CB2-AB22-CA2+CD2-AD22=AD2+BC2-AB2+CD22
推论:
异面直线所成的角: cs=AD2+BC2-AB2+CD22ACBD .
此乃求异面直线所成的角的通法.
复合函数问题
1. 已知函数 fx=ax+lnxx-lnx-x2 恰有三个不同的零点,则 a 的取值范围是
解:
fx=ax+lnxx-lnx-x2=0⇔a+lnxx1-lnxx-1=0
令 lnxx=t ,则等价 gt=a+t1-t-1=t2+a-1t+1-a 有两个零点,结合图像得
t11 ∴lg23>lg34>lg45
1. 卡范围(中间值法)
显然三个数都在 1,2 之间,类似二分法,取 32 来区分三个数.
lg23>lg222=32,lg34a 故 c0 此处用到长除法 ∴dt 递增 ⇒dt>d1=0 证毕.
例 已知函数 fx=x2-2x+alnxa>0 的两个极值点 x1,x2x10⇒f'x=2x-2+ax=2x2-2x+ax,
令 f'x=0⇒x1,x2 是 2x2-2x+a=0 有两个正根 ⇒Δ=4-8a>0x1+x2=1x1⋅x2=a2⇒0b>0 上一点, F1,F2 为左右焦点,延长 PF1,PF2 分别交椭圆于 A,B
两点,证明: PAF1A+PBF2B 为定值.
证明: 由上面的推导我们得到: 1PF1+1F1A=2ab2 ,令 PF1=x,F1A=y,PF2=m,F2B=n ,
则 1x+1y=1m+1n=2ab2,x+m=2a
∴PAF1A+PBF2B=x+yy+m+nn=1+xy+1+mn=x1x+1y+m1m+1n=2ab2x+m=4a2b2
学无止境 天道酬勤
浓度不等式
数学中有个很甜的不等式叫糖水不等式. 来源于一个连小毛孩都知道的生活常识, 那就是往糖水 里继续加糖, 糖水会变得更甜了. 其背后的数学原理其实是真分数的一个性质, 即分子分母都加上同 一个正数, 分数值变大了.
若 00.学无止境 天道酬勤
- 椭圆
- 在截面的两侧分别放置一个球, 使它们都与截面 相切 (切点分别为 F1,F2 ),且与圆锥面相切,
两球与圆锥面的公共点分别构成圆 O1 和圆 O2 .
- 设点 P 是平面 β 与圆锥面的截线上任意一点,过 P 作圆锥面的一条母线分别交圆 O1 ,圆 O2 于 A,B 两 点,则 PA 和 PF1、PB 和 PF2 分别是上下两球的切 线. 因为过球外一点所作球的切线的长均相等,
所以 PA=PF1,PB=PF2 .
- 故 PF1+PF2=PA+PB=AB (常数)
- 双曲线
- 在圆锥的两部分分别放置两个球, 使它们都与截 面相切 (切点分别为 F1,F2 ),且与圆锥面相切, 两球与圆锥面的公共点分别构成圆 O1 和圆 O2
- 设点 P 是平面 β 与圆锥面的截线上任意一点,过 P 作圆锥面的一条母线分别交圆 O1 ,圆 O2 于 A,B 两 点,则 PA 和 PF1、PB 和 PF2 分别是上下两球的切 线. 因为过球外一点所作球的切线的长均相等,
所以 PA=PF1,PB=PF2 .
- 故 PF1-PF2=PA-PB=AB (常数)
- 抛物线
- 在截面上方放置一个球, 使它与截面相切 (切点 为 F ),且与圆锥面相切,该球与圆锥面的公共 点构成圆 O .
- 设点 P 是平面 β 与圆锥面的截线上任意一点,过 P 作圆锥面的一条母线圆 O 于点 A 两点,则 PA 和 PF 均为球的切线. 因为过球外一点所作球的切线的 长均相等,所以 PA=PF .
- 记记圆 O 所在平面为 γ ,截面与 γ 的交线为 n . 过 P 点分别作 γ,n 的垂线,垂足分别为 G,H ,则
∠APG=θ,∠HPG=α.
因为 α=θ ,所以 ∠APG=∠HPG .
又因为 ∠AGP=90∘=∠HGP,PG=GP ,
所以 △APG 与 △HPG 全等,进而 PA=PH .
- 故 PF=PH ,即 P 到定点 F 的距离等于到定直线 n 的距离
球体体积
- 刘徽（3世纪） “牟合方盖”
- 刘徽发现《九章算术》“开立圆术”中的球体积 公式 V球 =316πD3 ( D 为直径) 是不正确的,因 此他在《九章算术注》中指出了一种新的计算思 路. 首先, 他创造了一个新的辅助图形, 称为 “牟合方盖”
图 2-1-1
- 如图2-1-1所示, 在立方体内作两个相互垂直的 内切圆柱. 这两个圆柱体相交的部分, 就是 “牟 合方盖”，而牟合方盖恰好把立方体的内切球包 含在内并且同它相切（如图2-1-2所示），如果 用同一个水平面去截它们, 就得到一个圆（球截 面）和它的外切正方形（牟合方盖的截面），刘 徽指出,在每一高度上的水平截面都有 s圆 s方 =π4 , 因此, V球 V车合方 盖 =π4 .
图 2-1-2
图 2-1-3
- 但是刘徽未能求出牟合方盖的体积, 因此没能求 出球体积. 尽管刘徽未能最终解决问题, 但是刘 徽的工作为祖冲之父子解决球体积问题提供了关 键思路.
- 祖暅（5世纪）“开立圆术”
- 祖暅的球体积公式推导从计算牟合方盖的体积开 始. 记球半径为 R .
图 2-2-1
图 2-2-2
图 2-2-3
- 如图2-2-1，考察一个牟合方盖的八分之一，记其 体积为 V1 . 然后,考虑其于外切立方体所围成的立 体 (如图2-2-2所示),记其体积为 V2 ,则 V2=R3 同时, 考虑一个以外切正方体上底面为底, 以该 正方体一边为垂直边的倒方锥（如图2-2-3所示），
记其体积为 V3 ,则 V3=13R3 .
- 祖暅推导的关键在于证明 “ V2-V1=V3 ”
图 2-2-4
- 祖暅考察高度在h处的水平截面（如图2-2-4所示），
则有 SAHFE+SHFLB+SFLCG=SABCD-SDEFG=
R2-R2-h2=h2.
- 另一方面, 由于面积比是相似比的平方, 所以在
高 h 处倒方锥截面积为 SJKLM=h2 . 于是,
SAHFE+SHFLB+SFLCG=SJKLM.
- 由祖暅原理,可知 V2-V1=V3 ,即 V1=V2-V3=
R3-13R3=23R3 . 因此, V车合方盖 =8V1=163R3
- 故 V球 =π4V车 年合方盖 =43πR3=16πD3 .
·开普勒（17世纪）方法
- 开普勒设想球是由无限个顶点在球心，底面都在
球面上的锥体组成. 当这些锥体的底面足够小时 可以将它们近似的看作棱锥. 此时，这些锥体的 高趋向于球半径 R ,底面积 S1,S2,S3,… 的和趋向
13-1 于球的表面积, 所有这些锥体的体积的和趋向于 球的体积. 因此,
V球 =13RS1+13RS2+13RS3+⋯=13RS球面
• 卡瓦列里（17世纪）方法
- 如图4-1所示, 考察一个底面半径和高都等于 R 的 圆柱, 挖去一个以上底面为底, 下底面圆心为顶 点的圆锥后剩下的部分, 卡瓦列里发现其与一个 半径为 R 的半球的体积相等.
图 4-1
- 如图4-2所示, 考察高度在h处的水平截面, 则有 S柱截 =πR2,S锥截 =πh2,S球截 =πR2-πh2 , 因此, S球 截 =S柱 截 -S锥 截 .
- 由卡瓦列里原理（即祖暅原理），知
V半球 =V圆柱 -V圆锥 =πR3-13πR3=23πR3.
- 故 V球 =2V半球 =43πR3
·松永良弼（18世纪）“会玉术”
·和算受《九章算术》影响，将球体积V =kD3 ( D 为球 直径）中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”，求玉 积率的独特方法称为“会玉术”
- 和算史上第一个推导出球体积准确公式的是在日本被称 为“算圣”的关孝和（约1642—1708年），“关流”弟 子松永良弼在此基础上进一步优化，用极限的方法得到 球体积公式.
图 5-1
图 5-2
- 如图5-1所示, 松永良弼将球切为等厚的n片, 考察第i 片,分别求出以其上、下底为底,以 Dn 为高的 2 个圆柱的 体积 πri-12Dr 和 πri2Dr ( ri 是从上往下数,第 i 片下底面的 半径,且 r0n=rn=0 ),并以它们的平均数作为该片的 近似体积. 将 n 个切片的近似体积相加就得到球体积的 近似值，松永良弼称其为“泛积”. 因此，“泛积”为
Vn=i=1nπD2nri-12+ri2≈πDni=1nri2.
- 如图5-2所示，由射影定理可得，
ri2=iDnD-iDn=D2n2in-i2. 所以,
Vn≈πDni=1nri2=πDni=1nD2n2in-i2
=πD3n3ni=1ni-i=1ni2
=πD3n3n×nn+12-nn+12n+16
=π6D31-1n2.
- 当 n→∞ 时, Vn→π6D3 . 此时,泛积就成了球体积了.☆☆☆☆☆2023/12/15 河南驻马店确山县第一高级中学
三门问题
三门问题（Mnty Hall prblem）
- 三门问题出自美国的电视游戏节目“Let’s Make a Deal”. 参与者中坚持到最后的那一位会看见 三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，另 外两扇门后面各藏有一只山羊. 如果选中后面有 车的那扇门就可以赢得这辆汽车.
- 参与者最初可以选择任何一扇门（不妨设选择了 1号门），随后主持人Mnty Hall 打开剩下两扇 门中的一扇（不妨设打开了3号门），露出其中 一只山羊. 接着主持人Mnty Hall 问参与者: 是 维持原来的选择，还是换另外一扇仍然关闭的门?
- 问题: 是维持最初选择的中奖概率高，还是改变 选择的中奖概率高?
• 三门问题 ( Mnty Hall prblem )
- 分析 1
- 选择 1 号门,门后有汽车的概率为 13 ,没有汽车的 概率为 23 .
- 主持人打开了3号门，露出了山羊.
① 只有当汽车在1号门后时，不改选才会中
奖. 因此,不改选中奖的概率为 13 .
② 只有当汽车不在1号门后时, 改选才会中 奖. 因此,改选中奖的概率为 23 .
- 因此, 改选后中奖的概率更高.
- 三门问题 (Mnty Hall prblem)
- 分析2 (全概率公式+贝叶斯公式)
- 记 “ i 号门后有汽车” 为事件 Ai ,“主持人打开 i
号门”为事件 Bi ,其中 i=1,2,3 ,则
PA1=PA2=PA3=13. 先验概率
- 主持人打开一扇门露出山羊，有以下几种可能:
① 汽车在1号门后，主持人只能打开2, 3号门，故
PB3∣A1=12
② 汽车在2号门后，主持人只能打开3号门，故
PB3∣A2=1
③ 汽车在3号门后，主持人只能打开2号门，故
PB3∣A3=0.
- 利用全概率公式，主持人打开3号门的概率为
PB3=i=13PAiPB3∣Ai=12.
- 再根据贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号 门和2号门后有汽车的概率为
PA1∣B3=PA1PB3∣A1PB3=13, 后验概率
PA2∣B3=PA2PB3∣A2PB3=23.
- 因此, 改选后中奖的概率更高.
两道三角函数题的特殊处理方法
1. 当 x∈0,π2 时,求证: sinx>4xx2+4 .
证明:
sinx>4xx2+4⇔2sinx2csx2>4xx2+4⇔sinx2csx2>2xx2+4
⇔sinx2csx2sin2x2+cs2x2>2xx2+4
⇔tanx2tan2x2+1>x2x22+1,
令 gt=tt2+1=1t+1t,0gx2∴ 命题得证
2. 在 △ABC 中,求 sinA+sinB⋅sinC 的最大值.
解 1 : 和差化积
sinA+sinB⋅sinC=sinA+12csB-C-csB+C=sinA+12csB-C+csA
=sinA+12csA+12csB-C≤sinA+12csA+12=12+122sinA+φ+12≤1+52.
解 2: 柯西不等式
sinA+sinB⋅sinC=sinB+C+sinB⋅sinC
=sinB⋅csC+csBsinC+sinB⋅sinC
=sinB⋅csC+csB+sinB⋅sinC
≤sin2B+csB+sinB2⋅cs2C+sin2C
=sin​2B+csB+sinB​2=sin​2B+sin2B+1=1-cs2B2+sin2B+1
=sin2B-12cs2B+32=12+122sin2B-φ+32≤52+32=1+52
武汉四调填空压轴:
设 A,B,C 是三角形三个内角,则 csA3sinB+4sinC 的最小值为___
解析
csA3sinB+4sinC=csA[3sinB+4sinA+B]=csA3sinB+4sinAcsB+4csAsinB
=csA3+4sinAcsB+4csAsinB≤csA3+4sinA2+4csA2
后期可用三元均值不等式或者求导来求解.☆☆☆☆☆2023/12/17 河南驻马店确山县第一高级中学
圆锥曲线下的斜率模型
平时我们在做题时 (包括高考题) 经常会遇到圆锥曲线里的斜率关系导致的定值定点问题. 今天 我们做一个简单的归纳和总结, 以便我们在未来考试时快速识别出试题的命题背景, 甚至可以提前获 得试题的答案, 然后就可以胸有成竹的把解答过程书写在答题卡上.
一. 齐次化处理定点定值问题
已知点 Px0,y0 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上的一个定点, A,B 是椭圆上的两个动点:
(1) kPA+kPB=λλ≠0⇔ 直线 AB 过定点 x0-2y0λ,-y0-2x0b2λa2 (2020 年北京高考圆锥曲线题)
(2) kPA+kPB=0⇔ 直线 AB 的斜率为定值: x0b2y0a2
(3) kPA⋅kPB=λλ≠b2a2⇔ 直线 AB 过定点 λa2+b2λa2-b2x0,-λa2+b2λa2-b2y0
(4) kPA⋅kPB=b2a2⇔ 直线 AB 的斜率为定值: -y0x0
(5) kPA⋅kPB=-b2a2⇔ 直线 AB 过原点
二. 角平分线问题
(1) 已知点 M,N 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 对称轴上的两点,且 M,N 不在椭圆上. 若点 M,N 坐标 满足 xM⋅xN=a2 或者 yM⋅yN=b2 ,则过点 M 作任意直线与椭圆交于 A,B 两点,则 MN 平分 ∠ANB . 双曲线也具备上述性质.
(2) 抛物线等角定理:
点 M,N 是抛物线 y2=2pxp>0 的对称轴上两点,若点 M,N 坐标满足 xM+xN=0 ,则过点 M 作任 意直线与抛物线交于 A,B 两点,则 MN 平分 ∠ANB .
三. 斜率等差
(1) 已知点 Mm,0 ,点 P 在直线 x=a2m 上,过 M 的直线与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 交于 A,B 两 点,则 kPA+kPB=2kPM .
(2) 已知点 N0,n ,点 P 在直线 x=b2n 上,过 N 的直线与椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 交于 A,B 两点, 则 1kPA+1kPB=2kPN .
双曲线也具备上述性质.
(3) 已知点 Mm,0 ,点 P 在直线 x=-m 上,过 M 的直线与抛物线 y2=2pxp>0 交于 A,B 两点,则 kPA+kPB=2kPM .
(4) 已知点 N0,n ,点 P 在直线 x=-n 上,过 N 的直线与抛物线 y2=2pxp>0 交于 A,B 两点交于 A,B 两点,则 1kPA+1kPB=2kPN .
(5) 点 Pa,0 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 右顶点,弦 AB 过定点 Ma,t ,则 kPA+kPB=-2b2at .
(6) 点 P0,b 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上顶点,弦 AB 过定点 Mt,b ,则 1kPA+1kPB=-2a2bt
众众众众众2023/12/18河南驻马店确山县第一高级中学
飘带函数平移拟合法
极值点偏移的题目中有一种解法是利用飘带函数对对数函数进行放缩拟合, 但飘带函数拟合点 是 x=1 ,但如果不是 x=1 ,该如何处理,就要用到本文的处理办法.
例如: (江西金太阳 2023 十月联考) 已知 a,ba2
下面证明:
lnx1-x1+1=lnx2-x2+1=a⇒x2-x1=lnx2-lnx1⇒1=x2-x1lnx2-lnx12
设 f13=fm0,m0≠13⇒m0+13>2⇒m0>53
结合 fx 图像得:
fx-f13f2-x-f13>0⇔00,n>0且m≠n ，
设点 Px0,y0 ,则点 P 对应的极线方程为 l:mx0x+ny0y=1 .
设 Mx0,t,ExE,yE,Ax1,y1,Bx2,y2 ,
直线 AB:y=kx+bk≠0 ,则有: y0=kx0+b
联立: y=kx+bmx0x+ny0y=1⇒xE=1-nby0mx0+nky0yE=k+mbx0mx0+nky0
∴k0=yE-txE-x0=k+mbx0-mtx0-ntky01-nby0-mx02-nkx0y0=1-nty0k+b-tmx01-mx02-b+kx0ny0=1-nty0k+b-tmx01-mx02-ny02
联立: y=kx+bmx2+ny2=1⇒nk2+mx2+2nkbx+nb2-1=0
∴x1+x2=-2nkbnk2+m,x1x2=nb2-1nk2+m
∴k1+k2=y1-tx1-x0+y2-tx2-x0=kx1+b-tx1-x0+kx2+b-tx2-x0
=2k-y0-tx1+x2-2x0x1x2-x1+x2x0+x02=2k-y0-t-2nkb-2nk2+mx0nb2-1+2nkbx0+nk2+mx02
=2k+2y0-tkx0+bnk+mx0mx02+nkx0+b2-1=2⋅nty0-1k+t-bmx0mx02+ny02-1=2k0.
特别的: 如图,当过点 P 的直线与其极线交点 E 在 x 轴时,直线 MP 为点 E 的极线
此时定理可以表述为:
设直线与曲线 x2a2±y2b2=1 交于 A、B 两点,且直线与 x 轴交于点 Em,0 ,点 E 不在椭圆端点和椭 圆中心. 若 M 是 E 点对应极线 x=a2m 上任一点,则 kMA,kME,kMB 成等差数列,即 kMA+kMB=2kME .
【平分角定理】
1. 已知椭圆: x2a2+y2b2=1a>b>0 ,不与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,
点 Ma2m,000 上任一点,点 Pt,0t 0,有 PQ≥m 恒成立,则 m 的最大值为___
解析:
本题突破口不易发现,也需要找到两条平行的直线分别与两个函数相切,且两切点连线与切线垂直 这里要考虑切线放缩技巧！
fx=axex-lnax=ex+lnax-lnax≥x+lnax+1-lnax=x+1
当且仅当 x+lnax=0 ,即 x=x0 时取等. 意味着: y=x+1 是 fx 的切线,切点为 Ax0,x0+1
gx=2lnx-1x=lnx-12x≤x-12-1x=x-2
当且仅当 x-12=1 ,即 x=2 时取等. 意味着: y=x-2 是 gx 的切线,切点为 B2,0
只需两切点 AB 连线与切线垂直即可
kAB=x0+1x0-2=-1⇒x0=12⇒a=2e-12
等于说对于任意的 a>0,fx 始终与 y=x+1 滑动相切,
当 a=2e-12 时,满足凹凸的两个曲线距离要求,此题读者自行研究凸凹性
∴PQ≥1--22=322 ∴m≤322
∴m 的最大值为 322 .
3. 来个不等式吧! 时间长了怕忘了!
已知 a>0,b>0 ,且 1a+1+1b+2=13 ,求 ab+a+b 的最小值.
解析:(权方和不等式)
1a+1+1b+2=13⇒ab=a+2b+7⇒ab+a+b=a+2b+7+a+b=2a+3b+7
∵1a+1+1b+2=13=22a+2+33b+6=222a+2+323b+6≥2+322a+2+3b+6
⇒2a+3b+7≥14+66 ,当且仅当 22a+2=33b+6 且 1a+1+1b+2=13 取等号.
∴ab+a+b 的最小值为 14+66 .
给儿子的一封信
亲爱的宝贝儿子小傲:
时间过得真快, 又是一个三年。
三年前的今天你还是一个六年级的学生, 正处在人生的第一个关键期。犹记得你那 时为了背老师要求的课文, 一直背到夜晚十点多。即便第二天发现大部分学生都没有 背,你也要坚持背书。你说你愿意成为那几个少数背书的学生。那时学习的热情非常大 学习的劲头也非常足, 可能隐隐感觉自己小学快毕业了, 岁月催逼着长大吧。
那一年喜欢上了写作文。有空闲时都会抱着那本小升初作文书, 也不知道翻过多少 遍, 每次考完语文都会说这次作文写得好得感谢妈妈。
那一年寒假我找了几套数学试卷, 60 分钟的测试题, 30 分钟写完, 有的 20 分钟, 而且 准确率百分之九十五, 我问你数学老师, 数学老师说你可以达到这个水准。那一个寒假 我再也没有检查过你的数学作业。不是我懒而是你的努力我们都看得见。
那一年你参加了六年来的靖宇小学第二次运动会, 分别获得了 200 米、400 米和 800 米一等奖。而 800 米这个奖拿的非常传奇, 原因之一是跑得最快运动员裤子在冲刺阶段 全部裂开露出了内衣没法跑下去了。第二个原因是学校跑得最快的男生因为体力不支 无法参加。我还戏谑你看来是老天助力, 但是也得吸取教训, 不管任何时候都得做好准 备, 不能疏忽大意, 阴沟里翻船。那个裤子开裂的学生败就败在细节里, 喜欢穿那稀奇古 怪的运动裤, 最后和第一名擦肩而过还闹出了笑话。
那一年学习之余还参加了市长杯足球赛, 作为主力队员进了几个关键球。也因为赛 场上的积极表现被驻马店实验中学一个教练看中, 许诺你去驻马店上初中……
那一年没有因为作业挨过吵挨过打, 那一年的小升初考试中给自己交上了一张满意 的答卷, 考出了小学六年来自己最好的一次成绩。
孩子看似偶然, 实际上偶然中有必然的。那一年你积极向上阳光进取, 时光也没有 辜负任何一个努力奔跑的少年。
三年后, 你又迎来了人生中一个更加关键的时期一一中招。我曾经不止一次告诉 你: 中招的淘汰率是百分之五十, 中招就是社会对你们第一次露出残酷的一面, 也就是国 家不会再给你们提供义务教育了。以后学校的大门不是你们想进就能进得了,你们能不 能继续读书是要看你们的努力程度和学习成绩的。也许你总觉得我在危言耸听, 也许你 真的是晚熟的人, 看起来总是那么心不在焉。少年进取样子好像离你是那么遥远。
你说你也很努力, 可是因为作业你挨过多少打, 又挨过多少骂。你的作业你有认认 真真做完, 不会的圈点标注, 不懂的勤学苦练吗, 我想该是需要深刻反省的时候了。什么 时候努力都不晚, 但是最好的时候就是现在。
要开家长会了, 你说不好意思让爸爸妈妈去, 不想让爸爸妈妈难堪, 因为自己考的不 好, 我说孩子你要是每天规规矩矩守纪律, 认认真真做学生, 考多少都无所谓, 我们又不 是只看成绩一定得要求你考班级前几名的家长, 只要你尽力了用心了, 我们也无话可说。 值得宽慰的是, 儿子你终于感觉到难为情了因为自己在学校的行为, 也好像意识到需要
保护父母的尊严了。古语云:人人知耻,则正义流行;人人无耻,则邪恶大行其道。孟子 也说: 人知羞耻, 方可教也。荣辱观古已有之, 荣辱心我子想必也应知之。此一大乐事 吧。
儿子, 人生的道路虽然漫长, 但紧要处常常只有几步, 特别是当你初三的时候。
河海汤汤, 少年为王! 奔跑吧, 少年! 我们等你扬帆起航, 风雨担当; 百炼成钢, 脚步 从容在路上!
最后请记住三句话:
1、生活不会惯着你, 想要不被放弃, 必须自己争气。
2、接受自己的普通, 然后拼尽全力与众不同。
3、时间是有限的, 如果你不珍惜时间, 你将永远无法实现自己的梦想。每一分每一秒都 应该被用来追求自己的目标。
爸爸妈妈
2023 年 11 月 26
退化的二次曲线
大家是否注意到双曲线 x2a2-y2b2=λ 的渐近线老师告诉大家的方法是让常数项 λ 变成 0,即: x2a2 -y2b2=0⇔y=±bax . 如果遇到需要找与两渐近线联立问题,就可以把两渐近线看成一个二次曲线 (退化的二次曲线),直接与 x2a2-y2b2=0 联立来处理问题也许会变得简单许多,且看下文例述! 例 1: 若直线 l 与双曲线: x2a2-y2b2=1 及其渐近线依次交于 A,B,C,D 四个点,求证: AB=CD 解析: 双曲线: x2a2-y2b2=1 ,渐近线: x2a2-y2b2=0 ,统一形式记为: x2a2-y2b2=λλ=1或 0 由于对称性,直线 l 斜率不存在,显然成立.
设直线 l:y=kx+m ,联立 y=kx+mx2a2-y2b2=λ⇒b2-a2k2x2-2kma2x-a2m2-a2b2λ=0
⇒x1+x4=x2+x3=2kma2b2-a2k2 (发现结果与 λ 无关) ⇒ 线段 AD,BC 中点重合 ⇒AB=CD 本题把两个直线整体看成是一个曲线!
例 2: (2021 年浙江高考理科) 已知 F 是抛物线 y2=2pxp>0
的焦点, M 是抛物线的准线与 x 轴的交点,且 MF=2
(1)求抛物线的方程.
(2) 设过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,若斜率为 2 的直线 l 与直线 MA,MB,AB,x 轴依次交于点 P,Q,R,N ,且满足 RN2=PNQN ,求直线 l 在 x 轴上截距的取值范围.
解析: (1) 抛物线的方程: y2=4x
(2) 由前文极点极线知: KMA+KMB=0
也可以用内角平分线定理证明: MAAF=MBBF,xAxB=1
MAAF=xA+12+yA2xA+1=xA2+6xA+1xA+1=1xB2+6xB+11xB+1=xB+12+4xBxB+1=MBBF
可将直线 MA,MB 合并为曲线: x+12=ay2 ,设直线 l:x=12y+m ,直线 AB:x=ty+1
显然 a=xA+1yA=yA4+1yAt=xA-1yA=yA4-1yA⇒a2-t2=1 ∴x=12y+mx=ty+1⇒yR=2m-22t-1
∴x+12=ay2x=12y+m⇒yPyQ=-m+1)2a2-14=-m+12t2+34 ∴RN2=PNQN⇒yR2=-yPyQ
⇒2m-22t-12=-m+12t2+34⇒m+1m-12=t2+34t-122≥34
⇒ 直线 l 在 x 轴上截距 m∈-∞,-7-43]∪[-7+43,1∪1,+∞
例 3: 若双曲线: x2a2-y2b2=1 的切线 l 与其渐近线交于 A,B 两个点, O 为原点,求证: S△OAB=ab 证明:
设切点为 Px0,y0 ,则切线 l 为: x0xa2-y0yb2=1 ,(其中 x02a2-y02b2=1 渐近线为: x2a2-y2b2=0
x0xa2-y0yb2=1x2a2-y2b2=0⇒y02y2b4=x0xa2-12=x2a2y02b2⇒b2x02-a2y02x2-2a2b2x0x+a4b2=0
⇒xA⋅xB=a4b2b2x02-a2y02=a4b2b2a2=a2
令 tanθ=ba ∴S△OAB=12OAOBsin2θ=12xAcsθ⋅xBcsθ⋅sin2θ=xAxBtanθ=a2⋅ba=ab (定值)
例 4: 如图, PQ 是双曲线: x2a2-y2b2=1 的一条弦,中点为 N ,过 P,Q 分别作渐近线的平行线,设这两 条平行线交于点 M ,求证: 点 M 在直线 ON 上,且点 M 在与 PQ 平行的弦上. 证明:
设 Px1,y1,Qx2,y2 ,渐近线: y=±bax
x12a2-y12b2=1x22a2-y22b2=1⇒y22-y12x22-x12=b2a2⇒kON⋅kPQ=b2a2
直线 PM:y=-bax-x1+y1
直线 QM:y=bax-x2+y2
⇒xM=x1+x22+ay1-y22byM=bx1-x22a+y1+y22
∴kOM⋅kPQ=bx1-x22a+y1+y22x1+x22+ay1-y22b⋅y1-y2x1-x2=bax1-x2+y1+y2⋅y1-y2x1+x2+aby1-y2⋅x1-x2
=b2x1-x2y1-y2+aby12-y22abx12-x22+a2x1-x2y1-y2=b2x1-x2y1-y2+b3ax12-x22abx12-x22+a2x1-x2y1-y2
=b2a2⋅x1-x2y1-y2+bax12-x22x1-x2y1-y2+bax12-x22=b2a2=kON⋅kPQ⇒kOM=kON
∴ 点 M 在直线 ON 上,且点 M 在与 PQ 平行的弦上或者说直线 OM 经过与 PQ 平行的任意弦的中点 这其实就是 2022 年新高考 II 卷第 21 题圆锥曲线大题的命题背景!
抛物线中弓形的面积
如图,在抛物线 x2=2pyp>0 中,弧 AB 和线段 AB 围成的图形我们成为弓形. 过线段 AB 中 点 C 作 x 轴垂线交抛物线于点 N ,再连接 AN,BN ,取线段 AN,BN 中点分别为 D,C ,过 D,Cf 分别作 x 轴垂线交抛物线于点 E,H . 不断重复上述操作,可求出弓形的面积. 解析:
点 N 的作法,其实等价于作与直线 AB 平行的抛物线的
切线!
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 Cx1+x22,y1+y22
kAB=y2-y1x2-x1=2py2-2py12px2-x1=x22-x122px2-x1=x1+x22p
抛物线: x2=2py⇒2x=2py'⇒y'=xp=kAB=x1+x22p
⇒x0=x1+x22=xC
∴ 抛物线在点 N 处的切线与直线 AB 平行.
抛物线在点 A 处的切线: xx1=py+y1 抛物线在点 B 处的切线: xx2=py+y2⇒ 两切线交点横坐标为: x1+x22
同理: 抛物线在点 E 处的切线与直线 AN 平行,在点 H 处的切线与直线 BN 平行.
下面研究一下面积关系,即证明: S△AEN=S△BHN=18S△ABN
∵Ax1,x122p,Bx2,x22p ,则 Cx1+x22,x12+x224p,Nx1+x22,x1+x228p
∴S△ABN=S△ACN+S△BCN=12CNx2-x1=12x1+x228p-x12+x224px2-x1=x1-x2316p
同理可得: S△AEN=S△ADE+S△NDE=xA-xN316p=x1-x1+x22316p=x1-x23128p=18S△ABN
S△BHN=xB-xN316p=x2-x1+x22316p=x1-x23128p=18S△ABN
所以: S△AEN+S△BHN=14S△ABN
重复上述操作,每次得到的两个小三角形面积之和是上一个三角形面积的 14 ,利用无限个小三角形逼 近弓形 ABN 的面积,可得:
S 弓形 ABN=S△ABN+14S△ABN+142S△ABN+143S△ABN+……=S△ABN1-14=43S△ABN
所以: S弓形 ABN=43S△ABN .
参看左图, 据说当年阿基米德大师是用几何方法求出弓形面积的, 当时没有极 限没有微积分. 阿基米德大师发现每个小正方形阴影是每个 L 型图形的 13 ,所以他 认为: 14+142+143+……=13 . 因此我认为发明微积分的牛顿所说的巨人一定有 阿基米德大师!
内内商内内2024/01/02
外接球问题
外接球各种模型不用死记, 就记住球心如何确定即可. 球心在过几何体每个侧面外接圆圆心所作的与 圆面垂直的直线上, 至少找到一条, 可以待定出来, 后期用正余弦 定理或者勾股定理来计算.
1. 对棱相等型可以补形为长方体
2. 台体模型: 圆台棱台外接球
R2=O1B12+OO12=O2B22+OO22
O1O2=h
3. 两个外心垂线交线定球心法
（1）选定一个面 BCD ,定外接圆的圆心 H1,r1=DH1
(2) 选定另一个面 A'BD ,定外接圆的圆心 H2,r2=DH2
(3) 分别过 H1 作该底面的垂线,过 H2 作该面的垂线,两垂 A 线交点即为外接球的球心 O .
(4) 则平面 OH1H2 即为 BD 的垂面,设交点为 E ,则即为二面
角的平面角, OH1H2E 四点共圆,直径为 OE .
(5) E 为弦 BD 中点, OH12=DH12-DE2,OH22=DH22-DE2,OE=H1H2sin∠H1OH2,R2=OE2+DE2
二面角的两种传统几何求法
关于二面角的求法较多, 本文介绍两种传统几何手法, 来求解二面角, 主打一个模型构造
方法一: 空间 8 字形模型
如图: 在锐二面角 α-l-β 中,在 P∈α,Q∈β ,作 PA⊥l 于 A ,作 QB⊥l 于 B ,连接 PQ ,设 PA =m,QB=n,AB=d,PQ=s ,锐二面角 α-l-β 平面角为 θ
则: s2=m2+n2+d2-2mncsθ .
证明:
在 α 内作 MB⫫PA ,连接 PM,MQ ,则四边形 ABMP 为平行四边形. ∴MB⊥l ,又 QB⊥l⇒l⊥ 平面 MBQ⇒PM⊥ 平面 MBQ⇒PM⊥MQ ∴∠MBQ 即为二面角 α-l-β 的平面角
∴PQ2=PM2+MQ2=AB2+MB2+QB2-2MB⋅QB⋅csθ
即: s2=m2+n2+d2-2mncsθ
此为异面直线 AP,MB 上两点间距离公式,其中线段 AB 叫公垂线段
方法二: 三射线模型
如图: 在锐二面角 α-l-β 中,在 O,B∈l,OC⊆α,OA⊆β ,作 BC⊥l
作 BA⊥l ,则 ∠CBA 即为二面角 α-l-β 的平面角 φ ,若 ∠COB=θ1 ∠AOB=θ2,∠COA=θ ,则: csφ=csθ-csθ1csθ2sinθ1sinθ2
证明:
设 OB=a ,则在直角三角形 OBC 中, BC=a⋅tanθ1,OC=acsθ1
在直角三角形 OBA 中, BA=a⋅tanθ2,OA=acsθ2
由余弦定理对 AC 算两次得:
AC2=OC2+OA2-2OA⋅OC⋅csθ=BC2+BA2-2BA⋅BC⋅csφ
代入上述数据可得:
a2cs2θ1+a2cs2θ2-2acsθ1⋅acsθ2⋅csθ=a2tan2θ1+a2tan2θ2-2a⋅tanθ1⋅a⋅tanθ2⋅csφ
⇒1cs2θ1-tan2θ1+1cs2θ2-tan2θ2-21csθ1⋅1csθ2⋅csθ=-2tanθ1⋅tanθ2⋅csφ
⇒2-21csθ1⋅1csθ2⋅csθ=-21tanθ1⋅1tanθ2⋅csφ
⇒csφ=csθ-csθ1csθ2sinθ1sinθ2
显然: 当二面角的平面角 φ=π2 时,结论变成了我们熟悉的三余弦定理: csθ1csθ2=csθ 啦! 证明过程本身就是我们做题时的构造过程!
椭圆共轭直径(半径)的性质
定义: 原点到椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上任意点的线段称为椭圆的半径,若两个半径斜率之积为 -b2a2 ,则称它们为共轭半径,直径亦是如此.
如图所示:
OA,OB 互为共轭半径, AC,BD 互为共轭直径,则有以下 结论成立:
(1) OA2+OB2=a2+b2
(2) S△AOB=12ab
(3) 若 M 在椭圆上且 OM=λOA+μOB ,则 λ2+μ2=1 .
证明:
(1) 设 Aacsα,bsinα,Bacsβ,bsinβ,α,β∈[0,2π)
kOA⋅kOB=-b2a2=bsinαacsα⋅bsinβacsβ ⇒csα-β=0⇒α-β=±π2
∴OA2+OB2=a2cs2α+b2sin2α+a2cs2β+b2sin2β=a2+b2
(2) S△AOB=12x1y2-x2y1=12acsα⋅bsinβ-acsβ⋅bsinα=12absinα-β=12ab
(3) OM=λOA+μOB=λacsa,bsina+μacsβ,bsinβ=λacsa+μacsβ，λbsina+μbsinβ ∴Mλacsα+μacsβ,λbsinα+μbsinβ 代入椭圆得:
λacsa+μacsβ2a2+λbsina+μbsinβ2b2=1 ⇒b2λacsa+μacsβ2+a2λbsina+μbsinβ2=a2b2 ⇒b2λ2a2cs2a+b2μ2a2cs2β+2a2b2λμcsαcsβ+a2λ2b2sin2a+a2μ2b2sin2β+2a2b2λμsinαsinβ=a2b2 ⇒λ2+μ2=1
直线同构
已知抛物线: y2=x 与圆: x-42+y2=1 ,点 P 是抛物线上异于原点的一点,过点 P 作圆的两条切 线分别与抛物线交于 A,B 两点.
(1) 当点 P1,1 时,求直线 PA 与 PB 的斜率之和.
(2) 在 x 轴上是否存在一点 Q ,使得 PQ 斜率与 AB 斜率之积为定值 若存在,求出 Q 点坐标,若不存在,说明理由.
解析:
题目中出现了地位等价的直线 PA,PB 和点 A,B ,故而考虑同构处理
(1) 设过 P 的直线为: y-1=kx-1 ,它与圆相切可得:
3k+1k2+1=1⇒4k2+3k=0 ,显然它的两根是: kPA,kPB
由根与系数的关系得: kPA+kPB=-34 .
(2) 设 Pm2,m,Aa2,a,Bb2,b,Qx0,0
kPA=m-am2-a2=1m+a⇒ 直线 PA:y-a=1m+ax-a2
∴ 直线 PA:m+ay=ma+x
直线 PA 与圆相切可得: ma+41+m+a2=1⇒m2-1a2+6ma+15-m2=0
同理: m2-1b2+6mb+15-m2=0
∴a,b 是方程 m2-1x2+6mx+15-m2=0 的两个根
∴a+b=-6mm2-1ab=15-m2m2-1
∴kAB⋅kPQ=b-ab2-a2⋅mm2-x0=1a+b⋅mm2-x0=m2-1-6m⋅mm2-x0=-m2-16m2-x0
要想为定值,系数成比例,显然需要: x0=1
则: kAB⋅kPQ=-16
∴ 在 x 轴上是否存在一点 Q1,0 ,使得 PQ 斜率与 AB 斜率之积为定值 -16 .
椭圆极点极线的代数证明
如图,过不在椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上的点 Px0,y0 作椭圆的两条割线 AB,CD ,设 AD,BC 交于点 Q ,求证: 点 Q 的轨迹方程为: xx0a2+yy0b2=1 .
证明:
如果直接求交点 Q ,运算十分复杂.
设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,根据线段的内外分点,
设 AP=λPBAQ1=-λQ1B⇒Px1+λx21+λ,y1+λy21+λ,
Q1x1-λx21-λ,y1-λy21-λ
⇒xPxQ1a2+yPyQ1b2=x1+λx21+λ⋅x1-λx21-λa2+y1+λy21+λ⋅y1-λy21-λb2=11-λ2x12a2+y12b2-λ2x22a2+y22b2=1
同理 CP=μPDCQ2=-μQ2C⇒xPxQ2a2+yPyQ2b2=1
所以: 点 Q1,Q2 均在直线 xx0a2+yy0b2=1 上. 即直线 Q1Q2 为: xx0a2+yy0b2=1 .
下面我们再证明点 Q 在直线 Q1Q2 上,即需证: Q,Q1,Q2 三点共线 ⇔PQ=mPQ1+nPQ2,m+n=1
∵AQ1=-λQ1B ,则 APPB=AQ1Q1B=-λ
∴ 设 PB=s,Q1B=k
∴APPB=s-1-λkx=-λ
∴ks=1+λ1-λ ∴PQ1=2λλ-1PB ,同理: PQ2=21-μPC
∵B,Q,C 三点共线,所以 PQ=m2λλ-1PB+n21-μPC ,
∴m2λλ-1+n21-μ=1
同理: A,Q,D 三点共线,所以 PQ=m21-λPA+n2μμ-1PD
∴m21-λ+n2μμ-1=1
∴m2λλ-1+21-λ+n21-μ+2μμ-1=2⇒m+n=1
∴ 点 Q 的轨迹方程为: xx0a2+yy0b2=1
同理: 如果把 A,B 对换一下位置,则 AC,BD 交点 T ,仍然满足上述轨迹方程. 我们把直线 QT 称作极点 P 的极线!
例如: 椭圆有两个顶点 A-1,0,B1,0 ,过其焦点 F0,1 的直线 l 与椭圆交于 C,D 两点,并与 x 轴交 于点 P ,直线 AC 与 BD 交于点 Q
(1) 当 CD=322 时,求直线 l 的方程;
(2) 当 P 点异于 A,B 两点时,证明: OP⋅OQ 为定值.
【解析】
(1) 由题意,椭圆的方程为: y22+x2=1
易得直线 l 不与两坐标轴垂直,
故可设 l 的方程为: y=kx+1k≠0,k≠±1
设 Cx1,y1,Dx2,y2 ,
由 y22+x2=1y=kx+1⇒k2+2x2+2kx-1=0 ,
由韦达定理得: x1+x2=-2kk2+2x1x2=-1k2+2⇒x1+x2=2kx1x2
故 CD=322=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2⇒k=±2
即直线 l 的方程为: y=±2x+1 .
(2) 证明: 直线 AC 的斜率为 kAC=y1x1+1 ,故其方程为 y=y1x1+1x+1
直线 BD 的斜率为 kBD=y2x2-1 ,故其方程为 y=y2x2-1x-1
由 y=y1x1+1x+1y=y2x2-1x-1 ,两式相除得: x+1x-1=y2x1+1y1x2-1=kx2+1x1+1kx1+1x2-1=kx1x2+kx2+x1+1kx1x2-kx1+x2-1
=2kx1x2+2kx2+2x1+22kx1x2-2kx1+2x2-2=x1+x2+2kx2+2x1+2x1+x2-2kx1+2x2-2=x1+x2+2k-2x2+2x1+x2+2x1+x2-2kx1+x2+2+2kx2-2
=2k-2x2+3x1+x2+21-2kx1+x2+2+2kx2-2=2k-2x2+3-2kk2+2+21-2k-2kk2+2+2+2kx2-2
=2k-1k2+2x2-k+12k+1k2+2x2-k+1=k-1k+1⇒xQ=-k, ∴P-1k,0
∴OP⋅OQ=xP⋅xQ=-1k⋅-k=1
∴OP⋅OQ 为定值 1 .
极点极线方法:
∵ 点 x0,y0 所对应的极线 yy02+xx0=1 .
∴ 点 Q 显然在点 P-1k,0 所在的极线 x=-k 上.
∴OP⋅OQ=xP⋅xQ=-1k⋅-k=1
椭圆中相互垂直的半径
定义: 原点 O 到椭圆上任意一点的线段为椭圆的半径. OA,OB 为椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上两
个相互垂直的半径, 则有以下结论:
(1) 1OA2+1OB2=1a2+1b2
(2) O 到直线 AB 距离为定值 h=aba2+b2 ,垂足 H 的轨迹方程为: x2+y2=a2b2a2+b2 (内准圆
(3) OA⋅OB∈2a2b2a2+b2,ab,AB∈2aba2+b2,a2+b2
(4) S△OAB∈a2b2a2+b2,ab2
证明:
(1) 1OA2+1OB2=1a2+1b2 ,证明如下:
(法 1) 当 OA,OB 在坐标轴上时,显然 1OA2+1OB2=1a2+1b2
当 OA,OB 不在坐标轴上时,设直线 OA:y=kx ,则直线 OB:y=-1kx
联立 x2a2+y2b2=1y=kx⇒k2a2+b2x2=a2b2⇒xA2=a2b2k2a2+b2yA2=k2a2b2k2a2+b2 ,则 1OA2=k2a2+b21+k2a2b2
同理: 1OB2=-1k2a2+b21+-1k2a2b2=a2+k2b2k2+1a2b2
所以: 1OA2+1OB2=k2a2+b21+k2a2b2+a2+k2b2k2+1a2b2=k2+1a2+b2k2+1a2b2=1a2+1b2
(法 2) 设 x=ρcsθy=ρsinθ ,则 x2a2+y2b2=1⇒ρ2=a2b2a2sin2θ+b2cs2θ
∴1OA2+1OB2=1ρ12+1ρ22=a2sin2θ+b2cs2θa2b2+a2sin2θ+π2+b2cs2θ+π2a2b2=1a2+1b2
(2) h=aba2+b2 ,垂足 H 的轨迹方程为 x2+y2=a2b2a2+b2 ,证明如下:
由 1OA2+1OB2=1a2+1b2 得 1OA2+1OB2=OA2+OB2OA2OB2=AB2OA2OB2=1a2+1b2
所以 S△OAB=12OAOB=12AB⋅h⇒h=OAOBAB=11a2+1b2=aba2+b2
所以垂足 H 的轨迹方程为: x2+y2=a2b2a2+b2
(3) OA⋅OB∈2a2b2a2+b2,ab,AB∈2aba2+b2,a2+b2 ,
证明如下:
OA⋅OB=ρ1⋅ρ2=a2b2a2sin2θ+b2cs2θ⋅a2b2a2cs2θ+b2sin2θ
=a2b2a2sin2θ+b2cs2θa2cs2θ+b2sin2θ=a2b212sin2θ2a2-b22+a2b2
当 sin2θ=1 时, OA⋅OBmin=a2b214a2-b22+a2b2=a2b2a2+b222=2a2b2a2+b2
当 sin2θ=0 时, OA⋅OBmax=a2b20+a2b2=ab
∴OA⋅OB∈2a2b2a2+b2,ab
由 12OAOB=12AB⋅h⇒AB=OAOBh∵h=aba2+b2∴OA⋅OB∈2a2b2a2+b2,ab
∴AB∈2aba2+b2,a2+b2
(4) S△OAB∈a2b2a2+b2,ab2 ,证明如下:
由 (3) 得 OA⋅OB∈2a2b2a2+b2,ab ,所以 S△OAB=12OA⋅OB∈a2b2a2+b2,ab2
罗尔定理一拉格朗日-柯西中值定理
1. 罗尔定理:
如果函数 fx 满足以下条件:
(1) 在闭区间 a,b 上连续
(2) 在 a,b 内可导
(3) fa=fb ,则至少存在一个 ξ∈a,b ,使得 f'ξ=0 .
证明:
因为函数 fx 在闭区间 a,b 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,现在分两种情 况讨论:
1. 若 M=m ,则函数 fx 在闭区间 a,b 上必为常数,结论显然成立
2. 若 M>m ,则因为 fa=fb 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 a,b 内某点 ξ 处取得,从而 ξ 是 fx 的极值点,由条件 fx 在开区间 a,b 内可导得: fx 在 ξ 处可导,故由推知: f'ξ=0 .
几何意义
若连续曲线 y=fx 在区间 a,b 上所对应的弧段 AB ,除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线,且在 弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等,则在弧 AB 上至少有一点 Cξ,fξ ,使曲线在 C 点处的切线平 行于 x 轴.
2. 拉格朗日中值定理:
若函数 fx 在区间 a,b 满足以下条件:
(1) 在 a,b 连续
(2) 在 a,b 可导
则在 a,b 中至少存在一点 ξ ,使得 f'ξ=fb-fab-a 或使 fb-fa=f'ξb-a 成立.
证明:
把定理里面的 ξ 换成 x ,函数 fx=fb-fab-ax .
做辅助函数 gx=fx-fa-fb-fab-ax-a
易证明此函数在该区间满足条件:
1. ga=gb=0 ;
2.gx 在 a,b 连续;
3. gx 在 a,b 可导.
此即罗尔定理条件, 由罗尔定理条件即证
几何意义
若连续曲线 y=fx 在 Aa,fa,Bb,fb 两点间的每一点处都有不垂直于 x 轴的切线,则曲线在 A,B 间至少存在一点 Pξ,fξ ,使得该曲线在 P 点的切线与割线 AB 平行.
物理意义
对于直线运动, 在任意一个运动过程中至少存在一个位置 (或一个时刻) 的瞬时速度等于这个过程中 的平均速度.
3. 柯西中值定理:
如果函数 fx 及 Fx 满足
(1) 在闭区间 a,b 上连续;
(2) 在开区间 a,b 内可导;
(3) 对任一的 x∈a,b,F'x≠0 ,
那么在 a,b 内至少有一点 ξ ,使等式 fb-f(aFb-Fa=f'ξF'ξ 成立.
例题:
已知 fx=ex-x ,求证: ∃ξ∈a,b (其中 a>0 ),使得 fb-fab-a=eξ-1 成立.
证明:
由题得: 需证明方程: eb-eab-a=ex 在 a,b 上有解.
令 Gx=eb-eab-a-ex,x∈a,b
Gx 显然是单调递减函数,根据零点存在定理,只需证明 Ga>0Gb0
∵Ga=eb-eab-a-ea>0⇔eb-eab-a>ea⇔eb-ea>eab-a
⇔eb-a-1>b-a⇔et>t+1 (此乃地球人都知道的切线放缩公式)
∴ 显然成立.
同理可得: Gb0,b>0 在点 Px0,y0 处的切线 l 与双曲线的两条渐近线分别相交 于 A,B 两点,则称 △OAB 为双曲线的渐近线三角形.
具体性质如下:
(1) PA=PB
(2) OA⋅OB=a2-b2
(3) S△OAB=ab
(4) OA⋅OB=a2+b2
(5) ABmin=2b
(6) 点 P 在两渐近线上的射影分别为 M,N ,
则 PM⋅PN=a2b2a2+b2 .
证明:
(1) x2a2-y2b2=1 在点 Px0,y0 处的切线 l:xx0a2-yy0b2=1 ,渐近线: x2a2-y2b2=0
xx0a2-yy0b2=1x2a2-y2b2=0⇒x02a2-y02b2x2-2x0x+a2=0⇒x2-2x0x+a2=0⇒xA+xB=2x0xAxB=a2
∴ 点 P 是线段 AB 的中点 ∴PA=PB
(2) OA⋅OB=xAxB+yAyB=xAxB+baxA-baxB=1+b2a2xAxB=1+b2a2⋅a2=a2-b2
(3) S△OAB=12xAyB-xByA=12xA-baxB-xBbaxA=baxAxB=ba⋅a2=ab
(4) 设 tanθ=ba ,则 OA⋅OB=OA⋅OBcs2θ=a2-b21-tan2θ1+tan2θ=a2-b21-ba21+ba2=a2+b2
(5) x02a2-y02b2=1⇒x02=a2+a2b2y02 ,则 AB=1+k2xA-xB=1+b2x0a2y024x02-4a2
=2a2b4+a4+a2b2y02a2b2=2b2+a2b2+1y02≥2b ,当且仅当 y0=0 取等号
(6) PM⋅PN=y0-bax01+ba2⋅y0+bax01+ba2=y02-ba2x021+ba2=a2y02-b2x02a2+b2=a2b2a2+b2
椭圆与双曲线共焦点问题
若椭圆 C1:x2a2+y2b2=1a>b>0 与双曲线 C2:x2a2-y2b2=1 共焦点, P 为公共点,椭圆和双曲线的 离心率分别为 e1 和 e2 . 则有以下结论成立:
(1) 若 PF1=λPF2 ,则 λ-1e1=λ+1e2 .
(2) 若 ∠F1PF2=2θ ,则 sin2θe12+cs2θe22=1 .
推论: e1e2≥sin2θ, λe12+μe22≥λsinθ+μcsθ2,1e1+1e2≤1sin2θ+1cs2θ 证明:
(1) e1e2=2c2a12c2a2=PF1-PF1PF1+PF1=λ-1λ+1⇒λ-1e1=λ+1e2
(2) 用椭圆和双曲线的焦点三角形面积相等建立等式:
S△PRE=b12tanθ=b22tanθ⇒a12-c2sinθcsθ=c2-a22csθsinθ⇒1e12-1sinθcsθ=1-1e22csθsinθ
即: sin2θe12+cs2θe22=sin2θ+cs2θ⇒sin2θe12+cs2θe22=1
推论:
1=sin2θe12+cs2θe22≥2sin2θe12⋅cs2θe22=sin2θe1e2⇒e1e2≥sin2θ
1=sin2θe12+cs2θe22=λsin2θλe12+μcs2θμe22≥λsinθ+μcsθ2λe12+μe22⇒λe12+μe22≥λsinθ+μcsθ
由柯西不等式有: 1e1+1e2≤sin2θe12+cs2θe221sin2θ+1cs2θ=1sin2θ+1cs2θ
例: 已知椭圆和双曲线有共同焦点 F1,F2,P 是它们的一个交点, ∠F1PF2=60∘ ,记椭圆和双曲线的离 心率分别 e1,e2 ,则 e12+e22 的最小值为___ 解析:
由结论得: sin2θe12+cs2θe22⇒sin2π6e12+cs2π6e22=1⇒1e12+3e22=4
由权方和不等式得: 4=1e12+3e22≥1+32e12+e22⇒e12+e22≥1+32
椭圆中原点与焦点弦所形成的三角形的面积
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0,F 为椭圆 C 的右焦点, O 为坐标原点,直线 l 过点 F 与椭圆 C 交于 A,B 两点. 求证:
(1) 当 e∈22,1 时, 00 的左右焦点, F1A,F2B 为相互平行的两个焦半径. 设 F1B,F2A 交于点 P ,求点 P 的轨迹.
解析:
根据图中关系, 明显出现了 8 字形相似
∴BF2AF1=BPPF1=PF2PA
设 BF2=m,AF1=n ,
BP=mt1,PF1=nt1
PF2=mt2,PA=nt2
则根据椭圆第一定义得: AF1+AF2=2a=n+m+nt2
∴t2=2a-nm+n ,同理得: t1=2a-mm+n
∴PF1+PF2=nt1+mt2=2a-mm+n⋅n+2a-nm+n⋅m=2a-21m+1n
根据椭圆第二定义得: 设 ∠BF2X=θ
则: BF2csθ+BF2e=a2c-c⇒ 焦半径 BF2=b2a1+ecsθ ,同理得: AF1=b2a1-ecsθ
∴1m+1n=1+ecsθb2a+1-ecsθb2a=2ab2
∴PF1+PF2=2a-21m+1n=2a-b2a=a2+c2a
∴ 点 P 的轨迹是以 F1,F2 为焦点,长轴长为 a2+c2a 的椭圆
附赠：公元 2012 年江苏省高考题
已知 F1,F2 为椭圆 x22+y2=1 的左右焦点, F1A,F2B 为相互平行的两个焦半径,设 F1B,F2A 交于点 P ,求证: PF1+PF2 为定值.
数列的函数特性
数列是一种特殊的函数, 所以研究数列时, 就可以利用这一特性对数列问题进行处理. 数列不可 以求导, 可以研究其函数关系, 进行求导处理. 例 1: 已知正项数列 an,a1=1,an+1=12lnan+1 证明:
(1) an+1b>0 的上下顶点分别为 A,B ,点 C 是椭圆上异于顶点的任意一 点,直线 AC,BC 分别交 x 轴于点 M,N ,则 OMON=a2 .
证明：设 Cacsθ,bsinθ , A0,b , B0,-b
∵M,C,A 三点共线 ∴kAC=b-bsinθ0-acsθ=-b-0xM-0=kAM
∴xM=acsθ1-sinθ ,同理: xN=acsθ1+sinθ
∴OMON=xMxN=acsθ1-sinθ⋅acsθ1+sinθ=a2.
模型 2: 如图,椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的上下顶点分别为 A,B ,直线 y=t 与椭圆交于 C,D 两点.
直线 AC,BD 分别交 x 轴于点 M,N ,则 OMON=a2 .
证明: 由于对称性
设 Cacsθ,bsinθ ,则 D-acsθ,bsinθ,A0,b,B0,-b
∵M,C,A 三点共线 ∴kAC=b-bsinθ0-acsθ=-b-0xM-0=kAM
∴xM=acsθ1-sinθ ,
∵B,N,D 三点共线 ∴kBD=-b-bsinθ0+acsθ=-b-0xN-0=kBN
∴xN=acsθ1+sinθ ,
∴OMON=xMxN=acsθ1-sinθ⋅acsθ1+sinθ=a2.
模型 3: 如图,过椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 长轴上的一点 Mt,0t≠0,t≠±a 的直线与椭圆交于 A,B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 C ,直线 BC 交 x 轴于点 N ,则 OMON=a2 . 证明: 由于对称性
设 Aacsα,bsinα,Bacsβ,bsinβ ,则 Cacsα,-bsinα
∵A,M,B 三点共线
∴kAM=bsinαacsα-t=bsinβ-bsinαacsβ-acsα=kAB
∴xM=t=asinα-βsinα-sinβ ,
∵A,C,B 三点共线
∴kBC=-bsinα-bsinβacsα-acsβ=bsinβacsβ-xN=kNB ∴xN=asinα+βsinα+sinβ ,
∴OMON=xMxN=asinα-βsinα-sinβ⋅asinα+βsinα+sinβ=a2sinα+βsinα-βsin2α-sin2β
=a2sinα+βsinα-βsin2α-sin2β=a212cs2β-cs2αsin2α-sin2β=a21-2sin2β-1-2sin2α2sin2α-sin2β=a2.
也可以用直线的两点式方程结合对偶式进行二次关系代换来秒杀本结论!
模型 4: 如图,椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右顶点分别为 A,B ,点 Mm,t 为椭圆外一定点,且 m≠0,m≠±a ,直线 MA,MB 分别交椭圆于点 C,D ,直线 CD 交 x 轴于点 N ,则 OM⋅ON=a2 . 证明: 此题背景是极点极线, 做法较多
设 Mm,t,A-a,0,Ba,0 ,
kMC=tm+a,kMB=tm-a
由椭圆第三定义得: kAC⋅kBC=kMC⋅kBC=e2-1
∴kMBkMC=m+am-a=kMBe2-1kBC=kBD⋅kBCe2-1
∴kBD⋅kBC=m+am-ae2-1=-b2a2m+am-a
平移齐次化
设平移后的直线 CD:λx+μy=1
x+a2a2+y2b2=1λx+μy=1⇒a2yx2+2μab2yx+b2+2λab2=0⇒kBD⋅kBC=b2+2λab2a2=-b2a2m+am-a
⇒λ=ma2-am ∴ 平移后的直线 CD:λx+μy=1=ma2-amx+μy 过 Na2-amm,0
∴ 原题中直线 CD 过 Na2m,0 ∴OM⋅ON=m,t⋅a2m,0=a2 .
模型 5: 如图,过椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 长轴上一点 Mm,0m≠0,m≠±a 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,点 P 为直线 l 与直线 x=a2m 的交点,点 N 为直线 x=a2m 上一点,
求证: ① PAPB=MAMB ② kAN+kBN=2kMN . ③ 存在点 Qc22m+2-e22,0 ,使得 QA⋅QB 为定 值,定值为 xQ2-a2 .
证明: 和积关系
① PAPB=MAMB
设 Ax1,y1,Bx2,y2,Pa2m,t
∵A,M,B 三点共线 ∴y1x1-m=y2x2-m ,平方得:
y12x1-m2=y22x2-m2 ,代入椭圆方程: a2-x12x2-m2=a2-x22x1-m2
⇒2x1x2=a2m+mx1+x2-2a2 ⇔x1-a2mx2-a2m=m-x1x2-m⇔PAPB=MAMB ,显然成立
② kAN+kBN=2kMN
设 Ax1,y1,Bx2,y2,Na2m,n
∵A,M,B 三点共线 ∴y1x1-m=y2x2-m⇒x1y2-x2y1=my2-y1
⇒x1y2+x2y1=x1y22-x2y12x1y2-x2y1=a21-y12b2y22-a21-y22b2y12my2-y1=a2my1+y2 (对偶式)
由 2x1x2=a2m+mx1+x2-2a2 得:
a2m-x1a2m-x2=-a2mx1+x2+x1x2+a4m2=-a2mx1+x2+12a2m+mx1+x2-a2+a4m2
=-12a2m-mx1+x2+a2ma2m-m=12a2m-m2a2m-x1+x2
∴kAN+kBN=n-y1a2m-x1+n-y2a2m-x2=x1y2+x2y1-a2my1+y2+2na2m-nx1+x2a2m-x1a2m-x2
=2na2m-nx1+x2a2m-x1a2m-x2=2na2m-nx1+x212a2m-m2a2m-x1+x2=2na2m-m=2kMN
显然焦点和对应的准线满足 n⋅a2n=a2 模型. 这类问题本质还是调和线束间的斜率关系. 本题的解决用到了构造对偶式和和积间代换关系的减元方法, 是圆锥曲线中常见的解题手法. 当然本 题也可以用定比点差法来处理.
设 Ax1,y1,Bx2,y2,Na2m,n,AM=λMBλ≠-1 ∴m=x1+λx21+λ0=y1+λy21+λ⇒x1+λx2=m+mλy1+λy2=0
x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1⇒x12a2+y12b2=1λ2x22a2+λ2y22b2=λ2⇒x12-λ2x22a2+y12-λ2y22b2=1-λ2
⇒x1+λx2x1-λx2a21+λ1-λ+y1+λy2y1-λy2b21+λ1-λ=1⇒x1-λx2=a2m-a2mλ
∴x1=m+a2m2+m-a2m2λx2=m-a2m2λ+m+a2m2y1=-λy2
∴kAN+kBN=n-y1a2m-x1+n-y2a2m-x2=n+λy2a2m-m+a2m2+m-a2m2λ+n-y2a2m-m-a2m2λ+m+a2m2
=2n+2λy2a2m-m1+λ+2λn-2λy2a2m-m1+λ=2n1+λa2m-m1+λ=2na2m-m=2kMN
这些问题的本质还是极点极线! 调和线束的斜率关系!
☆☆☆ 2024/01/25 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
曲率
一个圆半径越小, 看起来就越弯曲; 半径越大, 看起来就越平, 半径趋于无穷大, 圆看起来就像一 条直线, 就几乎不弯曲了. 所以我们把圆的半径的倒数, 定义为曲率, 因为我们希望曲率是一个衡量几 何体弯曲程度的量.
对于一般的曲线, 每点局部可以近似看成一小段圆弧. 固定一点后, 该点处密切圆弧的半径的倒 数, 就定义成曲线在该点处的曲率. 注意, 对于一般的曲线而言, 不同点处的曲率数值并不一样, 是个 变数而不是常数. 曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率, 通过微分来定 义, 表明曲线偏离直线的程度. 数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值. 曲率是角度改变量与弧 长改变量比值的极限.
设曲线: y=fx 具有二阶导数,在点 Px0,y0 处切线的倾斜角为 θ ,斜率是 θ 的函数,即
y'=tanθ ,对 x 求导得: y''=1+tan2θdθdx=1+y'2dθdx ∴dθdx=y''1+y'2 ∴dθ=y''1+y'2dx
∵ds=1+y'2dx ∴ 曲率 K=dθds=y''1+y'2dx1+y'2dx=y''1+y'232=f''x01+f'x023232
∴y=fx 在点 Px0,y0 处的曲率 K=f''x01+f'x023232 .
例 1: 求圆 x-a2+y-b2=R2 在任意点 Px0,y0 处的曲率
法一: 定义法
令点 Px0,y0 处切线倾斜角为 θ,P 附近的点 P' 处切线倾斜角为 θ+△θ ,则角度改变量为 △θ .
弧长改变量 Δs=PP'=R⋅Δθ,∴ 曲率 K=limΔθΔs=limΔθR⋅Δθ=1R .
法二:公式法
x-a2+y-b2=R2 对 x 求导: x-a+y-by'=0 ,再对 x 求导: 1+y'2+y-by''=0
∴y'=-x-ay-b,y''=-1+y'2y-b
∴ 曲率 K=f''x01+f'x02323=-1+y'2y0-b1+-x0-ay0-b232=1x0-a2+y0-b2=1R
例 2: 求椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 在任意点 Px0,y0 处的曲率.
x2a2+y2b2=1⇔b2x2+a2y2=a2b2 ,对 x 求导: b2x+a2yy'=0 ,再对 x 求导: b2+a2y'2+a2yy''=0
∴y'=-b2xa2y,y''=-b2+a2y'2a2y
∴ 曲率 K=f''x01+f'x02322=b2+a2y'2a2y01+y'232=b2+a2-b2x0a2y02a2y01+-b2x0a2y0232=1a2b2x02a4+y02b432
若过点 P 作一个半径为 1K 的圆,使它在点 P 处与曲线有相同的切线,相同的凸凹性,相同的曲率,这 样的圆称为曲线在点 P 处的曲率圆或密切圆, 1K 为曲率半径. 显然直线曲率为 0 . 曲率半径为无穷大. 下面我们研究一下高中学习的椭圆任意一点的曲率半径 ρ=a2b2x02a4+y02b432 情况:
设椭圆上的点 Pacsθ,bsinθ ,
则 ρ=a2b2a2cs2θa4+b2sin2θb432=a2b2cs2θa2+sin2θb232=a2b2cs2θa2+1-cs2θb232
=a2b21b2-1b2-1a2cs2θ32
显然当 θ=0 或 π ,即点 P 长轴端点时,曲率半径最小为 b2a
当 θ=±π2 ,即点 P 短轴端点时,曲率半径最大为 a2b
实际生活意义就是用一个半径为不超过 b2a 的小砂轮打磨椭圆内部时,既可以保证每个位置都可以打 磨到, 并且不会过量磨损, 伤到椭圆.
2021 年全国乙卷高考题: 设 B 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的上顶点,若 C 上的任意一点 P 都满 足 PB≤2b ,则 C 的离心率的取值范围是 解析:
需要满足椭圆在下顶点处的曲率圆半径 a2b≤2b⇔00 的任意一点的曲率半径 ρ 情况:
x2=2py ,对 x 求导: x=py' ,再对 x 求导: 1=py'
∴y'=xp,y''=1p
∴ 曲率 K=f''x01+f'x023232=1p1+x0p232=1p1+x02p232
∴ 抛物线的曲率半径 ρ=p1+x02p232≥p
∴ 半径不超过 p 的圆放入抛物线内可以与抛物线底部相切,而不被卡住.
同理: 半径不超过 p 的小球放入旋转抛物面 (抛物线绕 y 轴旋转一周形成) 内可以与底部相切,而不被 卡住.
火车轨道
火车轨道从直道进入半径为 R 的圆弧形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨道,使的曲率从 零连续的增加到 1R ,以保证火车的向心加速度 a=v2R 不发生跳跃性的突变.
我国一般采用的缓冲曲线是三次函数 y=x36Rl ,其中 l 是 OA 的长度,由公式可得:
曲率 K=8R2l2x04R2l2+x0432=1R⋅8l2x04l2+x04R232 ,当 x0≈l 且 x0R→0,K→1R⋅8l34l2+032=1R
∴ 缓冲轨道曲率从 0 逐渐增加到接近 1R ,从而起到缓冲作用,保证了火车直道进弯道过程中的安全.
☆☆☆ 2024/01/26 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
残暴的直线两点式方程
直线的两点式方程: x1y2-x2y1=x1-x2y+y2-y1x
证明:
Mx1,y1,Nx2,y2 ,设 Qx,y 为直线上任意一点,则 MQ//MN⇔x-x1,y-y1//x2-x1,y2-y1 ⇔x-x1y2-y1=y-y1x2-x1⇔x1y2-x2y1=x1-x2y+y2-y1x
下面以一道 2022 年高考全国乙卷压轴题为例来展示直线两点式方程的残暴之处!
已知点 A0,-2,B32,-1 ,过点 P1,-2 作直线 l 与椭圆 y24+x23=1 交于不同的两点 M,N ,过点 M 作 y 轴的垂线与线段 AB 交于点 T ,设点 H 满足 MT=TH . 求证: 直线 HN 过定点 分析
易得直线 AB:y=23x-2 ,恰好为点 P1,-2 关于椭圆的极线
∴P,M,G,N 为调和点列 ∴AP,AM,AG,AN 为调和线束
∴ 直线 MT// 直线 AP ∴T 为 MH 中点 ∴H 必在 AN 上 ∴ 直线 HN 过定点 A .
提醒:高考时这样只适合猜出答案,不能写在答题卡上,我们还得用 传统手法来处理本题.
将椭圆图像向上平移 2 个单位,点 A 平移至原点. 如右图所示 我们将在右图中进行研究, 但不要忘了等会把结果还原回去呀!
椭圆: y-224+x23=1,A0,0,B32,1,P1,0,AB:y=2x3 设 Mx1,y1,Nx2,y2
由直线两点式方程得:
直线 MN:x1y2-x2y1=x1-x2y+y2-y1x ,过 P1,0
⇒x1y2-x2y1=y2-y1
⇒x1y2+x2y1=x1y22-x2y12x1y2-x2y1
=31-y1-224y22-31-y2-224y12y2-y1
=3y1y2y2-y1y2-y1=3y1y2 ∴3y1y2-x1y2+x2y1=0
∵AB:y=2x3,Mx1,y1 ∴T3y12,y1 ∴H3y1-x1,y1
由直线两点式方程得:
直线 HN:3y1-x1y2-x2y1=3y1-x1-x2y+y2-y1x=3y1y2-x1y2+x2y1=0
显然,直线 HN 过定点 A0,0 .
最后再平移回去,可得原题中直线 HN 过定点 A0,-2 .
不得不承认, 这个解法太残暴啦!
☆☆☆ 2024/01/27 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
调和线束性质在高考中的应用
下面我们回顾一下调和线束的两个性质:
性质 1 :
若 PA,PC,PB,PD 构成调和线束,且 PD 平行于 AB ,则点 C 为线段 AB 的中点. 可以理解为 A,C,I 和无穷远处的第四个点 D 构成调和点列,即: ACCB=ADDB=∞∞=1 .
性质 2:
若 PA,PC,PB,PD 构成调和线束,则斜率满足: k1-k3k2-k4k1-k4k2-k3=-1 . 如果斜率出现不存在,可以 把斜率当作 ∞ 代入计算.
(2020 年北京高考) 过点 B-4,0 作直线 l 与椭圆 x28+y22=1 交于不同的两点 M,N ,点 A-2,-1 直线 AM,AN 分别交直线 x=-4 于点 P,Q . 求 PBBQ 的值.
解析:
B-4,0 对应的极线为: -4x8+02=1⇒ 直线 AE:x=-2 ∴B,M,E,N 为调和点列 ∴AN,AE,AM,AB 为调和线束 ∵ 直线 x=-4 与直线 AE:x=-2 平行, ∴ 由性质 1 得: PBBQ=1 . 继续分析: kAE=∞,A-2,-1,B-4,0⇒kAB=-12
∵AN,AE,AM,AB 为调和线束 ∴ 斜率满足: k1-k3k2-k4k1-k4k2-k3=-1=kAB-kAMkAE-kANkAB-kANkAE-kAM
=-12-kAM∞-kAN-12-kAN∞-kAM⇒kAM+kAN=-1⇒kAP+kAQ=yP+1-2+yQ+1-2=-1⇒yP+yQ=0∴PBBQ=1
高考试卷上我们常用平移齐次化处理斜率和为定值问题.
A0,0,B-2,1 ,椭圆: x-228+y-122=1 ,
设直线 l:mx+ny=1 代入 x-228+y-122=1⇒x2+4y2-4x+8ymx+ny=0
⇒4-8ny2-4n+8mxy+1-4mx2=0⇒4-8nyx2-4n+8myx+1-4m=0
∴k1+k2=4n+8m4-8n=2m+n1-2n ,又 mx+ny=1 过 B-2,1 ∴2m=n-1
∴k1+k2=4n+8m4-8n=2m+n1-2n=n-1+n1-2n=-1⇒kAP+kAQ=yP+1-2+yQ+1-2=-1⇒yP+yQ=0
∴PBBQ=1(2022 年高考全国乙卷压轴题)
已知点 A0,-2,B32,-1 ,过点 P1,-2 作直线 l 与椭圆 y24+x23=1 交于不同的两点 M,N ,过点 M 作 y 轴的垂线与线段 AB 交于点 T ,设点 H 满足 MT=TH . 求证: 直线 HN 过定点. 分析
易得直线 AB:y=23x-2 ,恰好为点 P1,-2 关于椭圆的极线
∴P,M,G,N 为调和点列 ∴AP,AM,AG,AN 为调和线束
∵ 直线 MT// 直线 AP ∴T 为 MH 中点 ∴H 必在 AN 上
∴ 直线 HN 过定点 A .
易得直线 AB:y=23x-2 ,恰好为点 P1,-2 关于椭圆的极线.
∴P,M,G,N 为调和点列 ∴AP,AM,AG,AN 为调和线束
∴ 斜率满足: k1-k3k2-k4k1-k4k2-k3=-1=kAP-kAMkAB-kANkAP-kANkAB-kAM
=0-kAM23-kAN0-kAN23-kAM⇒1kAM+1kAN=3 (这是隐藏在题目背后信息
我们通常用平移齐次化来处理这类题目
解答:
将椭圆图像向上平移 2 个单位,点 A 平移至原点. 如右图所示, 我们将在右图中进行研究, 但不要忘了等会把结果还原回去呀!
椭圆: y-224+x23=1,A0,0,B32,1,P1,0,AB:y=2x3
设 Mx1,y1,Nx2,y2
设直线 l:mx+ny=1
∵ 直线 l 过 P1,0∴m=1
直线 l:x+ny=1 代入 y-224+x23=1
⇒4xy2-12xy+3-12n=0 ⇒1kAM+1kAN=124=3
又 ∵Mx1,y1 ,直线 AB:y=2x3⇒T3y12,y1⇒H3y1-x1,y1
∵1kAH+1kAM=3y1-x1y1+x1y1=3
∴kAH=kAN
∴ 直线 HN 过定点 A .
(2020 年高考全国 I 卷压轴题)
已知 A,B 分别为椭圆 x29+y2=1 的左右顶点, P 为直线 x=6 上的动点,直线 PA,PB 与椭圆分别交 于 C,D 两点,求证: 直线 CD 过定点.
分析: 直线 CD 过的定点就是直线 x=6 关于椭圆所对应的极点 32,0
由于对称性,也能预测出定点必在 x 轴上
设 P6,m,Cx1,y1,Dx2,y2,A-3,0,B3,0
kAC=m9,kBD=m3⇒kBD=3kAC ,又 kAC⋅kBC=e2-1=-19
∴kBD=3kAC=3⋅-19kBC⇒kBD⋅kBC=-13 (题目中隐藏着斜率之积为定值)
故首选平移齐次化处理过定点问题.
向左移 3 个单位得到椭圆为 x+329+y2=1 ,设直线 CD 为: mx+ny=1
∴9y2+6nxy+1+6mx2=0⇒9yx2+6nyx+1+6m=0
∴kBD⋅kBC=-13=1+6m9⇒m=-23∴ 直线 CD 为: -23x+ny=1 恒过定点 -32,0
∴ 本题中的直线 CD 恒过定点 32,0 .
知道了命题背景以后, 我感觉你自己也可以像专家一样来命制高考题啦！
☆☆☆ 2024/01/28 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高 帕斯卡线
二次曲线上有六个点,比如 A、B、C、D、E、F ,其中任意三个点都不共线. 我们把这六个点任意 选取一个顺序,比如 ABCDEF . 那么,我们就从点 A 开始,依次连接 AB、BC、CD、DE、EF ,最后还 要连接 FA . 一共连接出六条线段,我们叫它们为六角形的边. 顺序一但选好,那么,这六条边就是有先 后次序的, AB 是第一条边, BC 是第二条边, CD 是第三
条边, DE 是第四条边, EF 是第五条边, FA 是第六条边. 再比如,我们选择的六点顺序是 ACDFBE ,那么就要依次 连接 AC、CD、DF、FB、BE、EA . 如果像我们常见的六 边形那样,我们是知道什么是对边的, AB 和 DE 是一对 对边, BC 和 EF 是第二对对边, CD 和 FA 第三对对边. 那 么, 对一般的六角形, 我们也这样定义什么是对边. 比如六 个点分别为 1,2,3,4,5,6.12 的对边是 45,23 的对边则是 56,34 的对边是 61 . 数字加上 3 即可. 我们只 管记住, 第一条边和第四条边是对边, 第二条边和第五条边是对边, 第三条边和第六条边是对边. 三对 对边交点在一条线上, 这条线叫帕斯卡线. 如果是五边形, 加一个点处的切线即可.
2023 年高考北京卷
已知 A,C,B,D 分别为椭圆 x29+y24=1 上下左右顶点, P 为第 象限内椭圆上的动点,直线 PD 与直线 BC 交于点 M ,直线 PA 与 直线 y=-2 交于 N ,求证: MN//CD .
分析:
直线 y=-2 刚好是椭圆在点 C 处的切线
CD,DP,PA,AB,BC,CC 共六条线,
注意同色的是一组对边,根据帕斯卡线, CD 与 AB 的交 点, DP 与 BC 的交点 M,PA 与 CC 的交点 N 共线. AB//CD ,认为它们的交点在无限远处, M,N 与无限远 处的点共线,所以 MN//CD//AB
解答: A0,2,C0,-2,B-3,0,D3,0
设 P3csθ,2sinθ,θ∈0,π2 ,
则直线 PA:y=2sinθ-23csθx+2 ,直线 PD:y=2sinθ3csθ-3x-3 ,直线 BC:y=-23x-2
通过繁琐吓人的联立计算可得到: M3sinθ-3csθ+3sinθ+csθ-1,-4sinθsinθ+csθ-1,N6csθ1-sinθ,-2
∴kMN=-4sinθsinθ+csθ-1+23sinθ-3csθ+3sinθ+csθ-1-6csθ1-sinθ=-4sinθsinθ+csθ-1+23sinθ-3csθ+3sinθ+csθ-1-6csθ1-sinθ
=23⋅-sinθ+csθ-11-sinθsinθ-csθ+11-sinθ-2csθsinθ+csθ-1=23⋅csθ-cs2θ-sinθcsθcsθ-cs2θ-sinθcsθ=23=kCD
∴MN//CD
☆☆☆ 2024/01/29 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
彭塞列闭合定理
彭赛列闭合定理描述为: 平面上给定两条圆锥曲线, 若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线 且内接另一条圆锥曲线, 则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样 (切、内外接) 性质 的封闭多边形的顶点, 且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同. 该定理的证明需要用到较为高深 的几何知识, 由于本文主要面向高中生, 故不对此作深究.
最简明的彭赛列闭合定理可表示为: 一个三角形外接于一个圆, 内切于一个圆, 则这样的三角形 有无数个. 例如: 在外圆上有一只小爬虫, 它从外圆上任意一点出发, 每次沿着内圆的切线爬到外圆的 另一点,重复这样的爬法 N 次后,必回到原来的起点,而且这种爬法与起点无关,我们称爬虫的路径是 闭合的.
高中生只研究多边形为三角形的题目. 下面略举几例来展示一下这类题目的同构的处理手法.
例 1. 已知抛物线 y2=2pxp>0 和圆 x-m2+y2=r2r>0 ,过抛物线上任意一点 A 作圆的两条 切线,分别与抛物线交于 P,Q 两点,求证: 直线 PQ 与圆相切的充要条件是: 2p=r2m-r 证明:
如图由彭赛列闭合定理知, 需找到一种特殊情形 △OMN 即可
圆心 m,0 ,半径 r ,所以 Mm+r,2pm+r ,
∴tan∠MOX=rm2-r2=2pm+rm+r ∴2p=r2m-r
下面进行一般性证明:
如图,设 Ay022p,y0,Py122p,y1,Qy222p,y2 ,
直线 AP:2px-y1+y0y+y1y0=0
直线 AQ:2px-y2+y0y+y2y0=0
∵ 它们和圆 x-m2+y2=r2r>0 相切
∴2pm+y1y04p2+y1+y02=r2pm+y2y04p2+y2+y02=r⇔y1,y2 是方程 y02-r2y2+4pm-2r2y0y+4p2m2-4p2r2-r2y02=0 的
两个根 ⇒y1+y2=2r2-4pmy0y02-r2y1y2=4p2m2-4p2r2-r2y02y02-r2∵ 直线 PQ:2px-y1+y2y+y1y2=0
∴d=2pm+y1y24p2+y1+y22=2pm+4p2m2-4p2r2-r2y02y02-r24p2+-4pmy0-2r2y0y02-r22=r ,要想等式与 y0 无关,得让 y0 相同幂次 的项对应项系数分别相等,可得: 2p=r2m-r ,说句实话我没有计算下去! 嘿嘿! 大家只需要学习一 下解题思路即可, 遇到具体题目按此流程计算即可!
☆☆☆ 2024/01/30 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
对椭圆的蒙日圆的推广
前文我们研究过椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 外任意一点 P ,作椭圆两条相互垂直的切线 PA , PB ,切点分别为 A,B ,则这样的点 P 的轨迹是一个圆且方程为: x2+y2=a2+b2 . 这样的圆我们称为 蒙日圆. 那么切线 PA,PB 如果不再垂直,而是夹角为 θ 时,这样的点 P 轨迹又是什么呢?
今天比较冷, 古人云: 读书可御寒, 我想说做数学题也可以! 本文推导有点烧脑啊! 废话暂且不 言, 开怼!
证明 1:
设 Px0,y0 ,切线 PA 的斜率为 k ,则切线 PA:y-y0=kx-x0 ,即 y=kx+y0-kx0 与椭圆联立,
x2a2+y2b2=1y=kx+y0-kx0⇒a2k2+b2x2+2a2ky0-kx0x+a2y0-kx02-a2b2=0,
因为相切,所以 Δ=4a4k2y0-kx02-4a2b2+a2k2y0-kx02-b2=0
即: x02-a2k2-2x0y0k+y02-b2=0 ,同理直线 PB 的斜率也满足该方程.
⇒k1+k2=2x0y0x02-a2k1⋅k2=y02-b2x02-a2, 又 tanθ=k1-k21-k1⋅k2⇒tan2θ=k1-k221-k1⋅k22=k1+k22-4k1⋅k21-k1⋅k22
代入得: tan2θ=2x0y0x02-a22-4y02-b2x02-a21-y02-b2x02-a22=4x02y02-4x02-a2y02-b2x02+y02-a2-b22=4b2x02+a2y02-a2b2x02+y02-a2-b22
∴ 点 P 的轨迹方程为: x2+y2-a2-b22=4ct2θ⋅b2x2+a2y2-a2b2
证明 2:
如右图所示: PA,PB 为椭圆的切线, ∠APB=θ
F1 关于切线 PB 的对称点为 M ,
F2 关于切线 PA 的对称点为 N ,
则 PM=PF1PF2=PNMF2=F1N=2a⇒△MPF2≅△F1PN
∴∠MPF2=∠F1PN⇒∠MPF1=∠F2PN⇒∠MPF2=θ 在 △MPF2 中余弦定理得:
MF22=PM2+PF22-2PMPF2csθ=PF12+PF22-2PF1PF2csθ
∴4a2=x+c2+y2+x-c2+y2-2x+c2+y2x-c2+y2csθ
⇔x2+y2-a2-b2=x2+y2+c22-4c2x2csθ⇔1cs2θx2+y2-a2-b22=x2+y2+c22-4c2x
⇔1+tan2θx2+y2-a2-b22=x2+y2+a2-b22-4a2-b2x2
⇔tan2θ (x2+y2-a2-b2)2+4a2-b2x2=(x2+y2+a2-b2)2- (x2+y2-a2-b2)2=4a2 x2+y2-b2
⇔tan2θ x2+y2-a2-b22=4b2x2+a2y2-a2b2
⇔x2+y2-a2-b22=4ct2θb2x2+a2y2-a2b2⇔x2+y2-a2-b22=4a2b2ct2θx2a2+y2b2-1.
当 θ≠π2 时,它是一个四次曲线!
当 θ=π2 时,即为我们熟知的蒙日圆: x2+y2=a2+b2 .
下面我们借助电脑绘图软件来看一下这个四次曲线到底什么模样.
取 a=2,b=1,θ=π4 (外圈虚线图像) 或 3π4 (内圈虚线图像):
花帶絲
☆☆☆ 2024/01/31 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
公元 1994 年的一道高考理科压轴题
已知直线 l 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上,若点 A-1,0 和点 B0,8 关于 l 的对称点都在抛物线 C 上,求直线 l 和抛物线 C 的方程. 解析:
如图,设 ∠B'Ox=θ ,则 ∠A'Ox=π2-θ ,
∴A'csπ2-θ,-sinπ2-θ=sinθ,-csθ
B'8csθ,8sinθ ,
设抛物线 C:y2=2pxp>0
∴8sinθ2=2p⋅8csθ-csθ2=2p⋅csθ⇒tanθ=12
结合图像知: sinθ=15,csθ=25
∴p=255
∴y2=455x
∴A'55,-255 ∴AA' 中点 510-12,-55
∴ 直线 l:y=-55510-12x=5+12x .
本质是极坐标的应用. 再看一例: 设 AB 为圆 M:x+22+y2=4 的一条不垂直于 y 轴的直径,分别延 长 AO,BO 交抛物线 y2=2x 于 C,D 两点,求四边形 ABCD 面积的最小值. 解析:
设 OD=r1,OB=r2,∠DOX=θ∈0,π2 ,则 ∠MOB=θ ,
∴Dr1csθ,r1sinθ,B-r2csθ,-r2sinθ 分别代入它们所在的曲线可得: r1=4csθsin2θ,r2=2csθ
∴BD=4csθsin2θ+2csθ=2csθ2sin2θ+1=2csθ2+sin2θsin2θ
只需把 θ 换成 π2-θ 可得 ∴AC=2sinθ2+cs2θcs2θ
∴ 四边形 ABCD 面积 S=12ACBD=2⋅3+4sin2θcs2θsinθcsθ=23sinθcsθ+4sinθcsθ
设 sinθcsθ=t∈0,12
∴ 易得对勾函数 S=23t+4t 在 t=12 时取到最大值 16,当且仅当 θ=π4 时取到
此时这两条直线分别为: y=±x .
总结反思: 弦长公式可以是斜率的表达式, 也可以是直线参数方程表达式, 还可以是极坐标表达式
☆☆☆ 2024/02/01 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
相似椭圆的性质
我们把椭圆 C1:x2a2+y2b2=1a>b>0 与椭圆 C2:x2a2+y2b2=λλ>0 称为相似椭圆. 本文以小 椭圆 C1:x2a2+y2b2=1 与大椭圆 C2:x2a2+y2b2=λλ>1 为例来研究一下相似椭圆的性质. 过小椭圆 C1 上任意一点 P 作其切线 l 交大椭圆 C2 于 M,N 两点. 分别过 M,N 再作大椭圆 C2 的两条切线 l1,l2 , 设 l1,l2 交于点 Q . 则有以下结论成立:
① P 是线段 MN 的中点, △MON 面积为定值 abλ-1
② O,P,Q 三点共线,且 OQOP=λ
③ 点 Q 轨迹方程为 x2a2+y2b2=λ2 .
④作割线 L ,交大小椭圆分别为 A,B 和 C,D ,
则 AC=DB
证明:
① 设 Pm,n,Mx1,y1,Nx2,y2,Qx0,y0
则 m2a2+n2b2=1 ,切线 l:mxa2+nyb2=1
mxa2+nyb2=1x2a2+y2b2=λ⇒x2-2mx+a2-a2n2λb2=0⇒x1+x2=2m=2xPx1x2=a2-a2n2λb2⇒P 是线段 MN 的中点
同理: y1y2=b2-b2m2λa2 又 ∵x12a2+y12b2=λ,x22a2+y22b2=λ
∴λ2=x12a2+y12b2x22a2+y22b2=x1x2a2+y1y2b22+x1y2ab-x2y1ab2 (拉格朗日恒等式)
∴λ2=2-λ2+x1y2-x2y12a2b2⇒S△MON=12x1y2-x2y1=abλ-1.
② ∵l 也为大椭圆的切点弦 ∴l:x0xa2+y0yb2=λ 与 l:mxa2+nyb2=1 对比,得: m=x0λn=y0λ⇒Qλm,λn
∴kOP=nm=kOQ=λnλm ∴O,P,Q 三点共线 ∴OQOP=λm2+λn2m2+n2=λ
∴S△MQN=λS△MON=abλλ-1 (这两个三角形是同底的)
③ ∵l 也为大椭圆的切点弦
∴l:x0xa2+y0yb2=λ 与 l:mxa2+nyb2=1 对比,得: m=x0λn=y0λ ,代入 m2a2+n2b2=1 ,得: x02a2+y02b2=λ2 ,
即: 点 Q 轨迹方程为 x2a2+y2b2=λ2 .
④如图,设割线 L:y=kx+t 代入椭圆: x2a2+y2b2=λ 得: a2k2+b2x2+2a2ktx+a2t2-a2b2λ=0
∴x1+x2=-2a2kta2k2+b2 与 λ 无关, ∴AB,CD 中点重合 ∴AC=DB
☆☆☆ 2024/02/02 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
2024 届广州调研测试压轴题
设点 A0,1,Mt,0,N4-t,0t≠2 ,直线 AM,AN 分别与椭圆 x24+y2=1 交于 S,T 不同 的两点 (异于点 A ), AH⊥ST ,垂足为 H ,求 OH 的最小值. 解析: 背景又是极点极线
观察 Mt,0,N4-t,0 ,发现 MN 中点刚好是右顶 点 B2,0 ,这刚好是调和线束的中点模型,所以调和线束 的某一条直线要与割线 x 轴平行,故而过 A 作 AQ//x 轴. 直线 AB:x2+y=1 对应的 Q 为 2,1
∴Q,T,E,S 为调和点列
∴AQ,AT,AE,AS 为调和线束
∴ 斜率满足: 0-kAT-12-kAS0-kAS-12-kAT=-1⇒1kAT+1kAS=-4
本题还可以这样发现斜率关系: kAN=kAT=1-t,kAM=kAS=1t-4⇒1kAT+1kAS=-4
我们常用平移齐次化处理此类问题.
A0,0,B2,-1 ,椭圆: x24+y+12=1 ,
设直线 TS:mx+ny=1 ,代入 x24+y+12=1⇒x2+4y2+8ymx+ny=0
⇒x2+8mxy+4+8ny2=0⇒xy2+8mxy+4+8n=0
∴1kAT+1kAS=-4=-8m⇒m=12, ∴ 直线 TS:12x+ny=1 恒过定点 2,0
∴ 原图中直线 TS 恒过定点 Q2,1
∴ 点 H 轨迹是以 AQ 为直径的圆.
∴OH 的最小值为 2-1 .
☆☆☆ 2024/02/03 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
2023 年 12 月湘豫名校联考
昨天我们参加了湘豫名校联考, 今天选了两道题研究一下, 写了一种不同于参考答案的方法, 分 享给大家.
例 1: 求证: ln2×4×6×⋯×2n1×3×5×⋯×2n-10,b>0 相切于点 M . 由双曲线的光学性质可知,从双曲线 的一个焦点发出的光线经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点. 设两个焦 点 F1,F2 在切线 l 上的投影分别为 H1,H2 . 求 △OH1H2 面积的最大值. 解析:
设 ∠F2MF1=2θ
延长 F1H1 交 F2M 于点 Q ,
由题知: 切线 l 是 ∠F2MF1 的平分线,
则 △MH1Q≅△MH1F1 ,
∴MQ=MF1
∴F2Q=F2M-MQ=F2M-MF1=2a
∴OH1 是 △F1F2Q 的中位线
∴OH1⫫12F2Q
∴OH1=a,∠OH1H2=θ
∴H1 的轨迹方程为圆: x2+y2=a2
同理: H2 的轨迹方程为圆: x2+y2=a2
∴△OH1H2 为等腰三角形
∴S△OH1H2=12a2sinπ-2θ=12a2sin2θ≤12a2 ,当且仅当 MF1⊥MF2 时取到最大值
又由于焦点三角形面积 S△MF1F2=b2tanθ
∴S△MF1F2S△OH1H2=b2tanθa2sin2θ=b22a2sin2θ
☆☆☆2024/02/10 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
椭圆与圆交点问题一例
椭圆与圆交点问题较为复杂, 一般我们研究直线与椭圆的交点, 很少涉及两个二次曲线的交点. 即使涉及也相对特殊一些. 下面以 2016 年浙江高考理科第 19 题为例来加以说明.
设椭圆 x2a2+y2=1a>1 ,点 A0,1
(1) 求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段 AP 的长 (用 a,k 表示)
(2) 若任意以点 A0,1 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范围.
解析:
(1) y=kx+1x2a2+y2=1⇒a2k2+1x2+2a2kx=0⇒x1=0 , x2=-2a2ka2k2+1
∴AP=1+k2x1-x2=2a2ka2k2+11+k2 .
(2) 假设圆与椭圆有 4 个公共点,考虑到对称性,可设 y 轴左侧两个交点为 P,Q ,且满足 AP=∣AQ 设直线 AP,AQ 斜率分别为 k1,k2 且 k1,k2>0,k1≠k2
由 (1) 知: AP=2a2k1a2k12+11+k12=2a2k2a2k22+11+k22=AQ=r>0 ,哈哈出现同构啦!
⇔ 关于 k 的方程 2a2ka2k2+11+k2=r .
令 k2=t>0
平方后,原方程 ⇔ 关于 t 的方程 a4-1r2t2+2a2-1r2t+1=0 有两个不同的正根.
⇔ 关于 t 的函数 ft=a4-1r2t2+2a2-1r2t+1 在 0,+∞ 有两个不同的零点
∵f0=1>0
∴ 需满足 a4-1r2>0-2a2-1r22a4-1r2>0Δ=2a2-1r22-4a4-1r2>0⇒2a2b>r 相交于 A,B 两点,若 APPB 为定值,求椭圆需满足的条件.
解析:
本题利用直线参数方程的几何意义来处理较为方便
由于对称性, 我们只研究第一象限的情况.
一般的,设 ∠POX=θ ,则 Prcsθ,rsinθ ,
直线 AB 的倾斜角为 θ+π2 .
所以切线 AB 的参数方程为: x=rcsθ+tcsθ+π2=rcsθ-tsinθy=rsinθ+tsinθ+π2=rsinθ+tcsθ
与椭圆联立得: b2rcsθ-tsinθ2+a2rsinθ+tcsθ2=a2b2
∴b2sin2θ+a2cs2θt2+a2-b2rsin2θt+b2r2cs2θ+a2r2sin2θ-a2b2=0
∴APPB=t1t2=b2r2cs2θ+a2r2sin2θ-a2b2b2sin2θ+a2cs2θ=a2-b2r2sin2θ+b2r2-a2b2b2-a2sin2θ+a2
要想结果为定值,需满足: a2-b2r2b2-a2=b2r2-a2b2a2⇒r=aba2+b2
这其实是椭圆的内准圆半径. 此时显然 APPB=t1t2=r2 (直角三角形的射影定理) 椭圆的内准圆:
O 为坐标原点, A,B 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 上任两点满足 OA⊥OB ,作 OH⊥AB 于点 H ,则点 H 的轨迹称为椭圆的内准圆,其方程为: x2+y2=a2b2a2+b2
性质: 1.1OA2+1OB2=1a2+1b2 2. AB∈2aba2+b2,a2+b2
3. S△AOB∈a2b2a2+b2,ab2
双曲线的内准圆:
O 为坐标原点, A,B 是双曲线 x2a2-y2b2=1b>a>0 上任两点满足 OA⊥OB ,作 OH⊥AB 于点 H ,则点 H 的轨迹称为双曲线的内准圆,其方程为: x2+y2=a2b2b2-a2 .
性质: 1. 1OA2+1OB2=1a2-1b2
利用均值不等式可得 2. AB∈2abb2-a2,+∞ 3. S△AOB∈a2b2b2-a2,+∞☆☆☆2024/03/03 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
几何分布 (Gemetric distributin)
在独立重复试验中,每次试验中事件 A 发生的概率为 p ,直到事件 A 首次发生,所进行的试验总次 数为 X ,其分布列为: PX=k=1-pk-1p,k=1,2,3… ,此分布列是几何级数,因此称 X 服从几何 分布. 几何分布是离散型概率分布, 其随机变量的取值为无穷多项.
几何分布的期望 EX=1p . 方差 DX=1-pp2 .
证明: 采用错位相减法证明
令 q=1-p ,
则 EX=k=1∞k1-pk-1p=p+2pq+3pq2+…+kqk-1p+…=p1+2q+3q2+…+kqk-1+…
∴qEX=pq+2q2+3q3+…+kqk+… ∴1-qEX=p1+q+q2+q3+…
∴EX=1+q+q2+q3+…=11-q=1p .
可以用马尔科夫链公式证明: EX=p+1-p1+EX⇒EX=1p
也可以用导数来证明:
EX=k=1∞k1-pk-1p=pk=1∞k1-pk-1=-pk=1∞1-pk'=-pk=1∞1-pk'=-p1-p1-1-p'
=-p1p-1'=1p
例 1: 一个口袋内装有 5 个白球和 2 个黑球, 现从中每次摸取一个球, 取出黑球就放回, 取出白球则停 止摸球,求取球次数 X 的数学期望 EX .
解:
依题知每次取出白球的概率为 p=57 ,取出黑球的概率为 q=27 ,取球次数 X=1,2,3… ,
我们用 X=k 表示前 k-1 次均取到黑球,而第 k 次取到白球,因此
PX=k=qk-1p,k=1,2,3… ,故 X 服从几何分布,所以 EX=1p=75 .
例 2: 投掷一枚质量均匀的硬币, 若出现两次正面向上即停止, 求总投掷次数的数学期望
解: 设总投掷次数为 X
由马尔科夫链公式可知: EX=121+EX+121+EY ,
其中: 1+EX 表示第一次掷出反面, 1+EY 表示第一次掷出正面, Y 表示从第二次开始,掷出正 面一次所需的投掷次数的随机变量,显然 Y 服从几何分布,所以 EY=2 ,于是 EX=4 . 所以总投掷次 数的期望为 4 .
或者这样解决: PX=k=Ck-11p1-pk-2p=k-112k,k=2,3,4…
∴EX=k=2∞k2-k12k ,此处利用待定系数法裂项求和或两次错位相减求和
设 Cn=an2+bn+c12n ,令 bn=n2-n12n=Cn+1-Cn
∴Cn=-2n2-2n-412n ∴EX=k=2∞k2-k12k=limk→∞Ck+1-C2=-C2=4
所以总投掷次数的期望为 4 .
☆☆☆ 2024/03/04 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
2024 - 2025 学年度高三第一次联合考试
数学试题
本试卷共 4 页, 22 题. 全卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名考号等填写在答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置. 2. 选择题的作答: 选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 填空题和解答题的作答: 用 0.5 mm 的黑色签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题 卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并交给监考老师.
一. 选择题: 本题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知复数 z=1+i31+i ,其中 i 为虚数单位,则 z=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
2. 某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上,纸筒直径为 40 mm ,卫生纸厚度为 0.1 mm . 若未使用时直 径为 90 mm ,使用一段时间后直径为 60 mm ,则这个卷筒卫生纸大约已使用了
A. 7.25 m B. 6.30 m C. 3.35 m D. 4.40 m
3. 定义在 R 上的奇函数 fx 满足 f2-x=fx ,当 -1≤x0 ,过 B 作两条直线分别交抛物线于 M,Q 和 N,P ,连接 MN , PQ 交 x 轴分别为 A,C ,记 Aa,0,Bb,0,Cc,0 . 直线 MN 的斜率存在且记为 KMN ,直线 PQ 的 斜率存在且记为 KPQ.A,B,C 不为焦点,则下列结论一定成立的为
A. b2=ac
B. 2b=a+c
C. KMNKPQ=ba
D. S△MBNS△PBQ=ac
三. 填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 已知向量 a=-3,1,b=1,2 ,若 λa+b⊥b ,则 λ 的值为
14. ∀x∈R,x10-x-22=a0+a1x-1+a2x-12+…+a10x-110 ,则 i=010ai=
15. 已知 a=1+sin0.1,b=e0.1,c=1716 ,则 a,b,c 的大小关系为
16. 某县高中三年级举行中国梦知识竞赛, 规则如下: 选手每两人一组, 同一组的两人以抢答的方式 答题, 抢到并回答正确得 1 分, 答错则对方得 1 分, 比赛进行到一方比另一方多 2 分为止, 且多得 2 分 的一方最终胜出. 已知小玲, 小霞同学分在同一组, 两人都参与每一次抢题, 每次抢到的概率都为 12 . 小玲,小霞同学每道题答对的概率分别为 23 和 12 ,并且每道题两人答对与否相互独立. 假设准备 的问题足够的多, 则小玲同学最终胜出的概率为
四. 解答题: 本题共 6 个小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
17.(本小题 10 分)
在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 csAa+csBb=sinCc
(1) 求证: sinAsinB=sinC .
(2) 若 b2+c2-a2=65bc ,求 tanB .
18.(本小题 12 分)
已知等比数列 an 的前 n 项和 Sn=2n+m ,其中 m 为常数.
(1) 求 m 的值.
(2) 设 bn=21+lg2an ,若数列 bn 中去掉数列 an 的项后余下的项按原来的顺序组成新数列 cn ,求 i=1100ci 的值.
19.(本小题 12 分)
已知函数 fx=x2-2x+alnxa>0 的两个极值点为 x1,x200 过定点 M0,1 ,且离心率为 154 .
(1) 求椭圆 C 的方程.
(2) 过点 M0,1 作动圆 N:x-22+y2=r20sinxx>0
∴b=e0.1>0.1+1>sin0.1+1=a
令 fx=sinx-58x00 ∴fx 在 0,π6 单调递增 ∴fx>f0=0
∴sinx>58x ∴sin0.1>58×0.1=116∴a>c
或者利用 y=sinx 的割线进行放缩: 当 x∈0,π2 时, x>sinx>2πx
得到: sin0.1>2π×0.1=15π>116 ∴a>c
综上: b>a>c .
16. 解析: (递归思想)
记小玲小霞分别为甲乙, 则甲得一分是全概率模型, 可能是自己抢到并答对, 也可能是乙抢到并答错.
所以甲得一分的概率 =12×23+12×12=712 ,乙得一分的概率 =1-712=512 .
准备的问题足够的多, 可能两道题就够了, 也可能永远答题, 所以甲最终胜出包含以下两种情况.
① 甲得分从 0 分开始连得两分获胜;
② 甲乙分差始终是 1 或 0 分的循环, 始终达不到两分分差, 竞赛可能会无限制进行下去!
∴ 甲最终胜出 = "甲连得两分获胜" ∪ " 第一题甲得一分且第二题乙得一分(此时又恢复到初始状态)
且甲最终胜出 " ∪ " 第一题乙得一分且第二题甲得一分 (此时又恢复到初始状态) 且甲最终胜出
∴ 甲最终胜出的概率 p=712×712+712×512×p+512×712×p ∴p=4974
四. 解答题: 本题共 6 个小题, 共 70 分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17. 解析:
(1) 由正弦定理得: asinA=bsinB=csinC=2R ( △ABC 外接圆直径)
∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC . .2 分
∴csAa+csBb=sinCc⇔csA2RsinA+csB2RsinB=sinC2RsinC⇔csAsinA+csBsinB=1
即: sinBcsA+csBsinA=sinAsinB=sinA+B=sinπ-A+B=sinC .5 分
(2) 由余弦定理得: b2+c2-a2=65bc=2bccsA⇒csA=35⇒sinA=45 .8 分
代入 sinBcsA+csBsinA=sinAsinB 得: 35sinB+45csB=45sinB ∴sinB=4csB
∴tanB=4 .10 分
18. 解析:
(1) 数列 an 的前 n 项和 Sn=2n+m ,
当 n=1 时: a1=S1=2+m .1 分
当 n≥2 时: an=Sn-Sn-1=2n+m-2n-1+m=2n-1 ,等比数列需满足 n=1,a1=2+m=21-1=1
∴m=-1 分
(2) 由 (1) 知: an=2n-1⇒bn=21+lg2an=21+lg22n-1=2n .6 分
本题中的等比数列 an 的项增长很快,且相邻两项间距逐渐增大,数列 bn 的项增长较缓慢,相邻两
项间距不变,所以新数列前 100 项中大量的项都是数列 bn 的项,只需在数列 bn 中去掉少量与数 列 an 相同的项即可.
为此我们需要计算以下数据:
a2=b1=2,a3=b2=4,a4=b4=8,a5=b8=16,a6=b16=32,a7=b32=64,a8=b64=128 ,
a9=b128=256 .8 分
∴i=1100ci=b1+b2+b3+…+b107-a2+a3+…+a8=b1+b107×1072-a21-271-2
=2+214×1072-2×1-271-2=11302 .12 分
19. 解析:
(1) fx=x2-2x+alnxa>0⇒f'x=2x-2+ax=2x2-2x+axx>0 有两个变号零点,
令 f'x=0⇒a=2x-2x2⇒y=ay=2x-2x2x>0 有两个穿越性的交点,
结合直线穿二次函数图像知: a 的取值范围为 0,12 . .4 分
(2) 由 (1) 得: x1,x2 是 2x2-2x+a=0 有两个不同正根
⇒0an+1⇒1an+1>1an⇒1an 是增数列
同理: 1bn 是减数列,当 a1=b1 ,即 1a1=1b1 时, Sn≥Tn 显然成立.
BD .
Tn=1bn+1-bn-1⇒Tn-1=1bn-bn-1-1⇒Tn-Tn-1=1bn+1-bn-1bn-bn-1=1bnn≥2
⇒bnbn+1-bn-bnbn-bn-1=1⇒bn-bn+1+bn+1bn+1-bn-bn-bn-1+bn-1bn-bn-1=1
⇒bn+1bn+1-bn-bnbn-bn-1=2⇒bn+1bn+1-bn 是等差数列. ⇒b2023b2023-b2022=b2b2-b1+4042
又 Tn=1bn+1-bn-1⇒1b1=1b2-b1-1⇒b2=b1+b1b1+1
∴b2023b2023-b2022=b2b2-b1+4042=b1+b1b1+1b1b1+1+4042=b1+4044 .
∴b2022b2023=1-1b1+4044
由 Sn=1an-an+1-1⇒1a1=1a1-a2-1⇒a2=a1-a1a1+1⇒an 的公比 q=a2a1=1-1a1+1
∴a2023a2022=q=1-1a1+1=b2022b2023=1-1b1+4044⇒a1=b1+4043
综上所述: 正确的选项为 ACD .
或者 Tn=1bn+1-bn-1⇒Tn-1=1bn-bn-1-1⇒Tn-Tn-1=1bn+1-bn-1bn-bn-1=1bnn≥2
⇒3bn2-2bnbn+1-2bn-1bn+bn-1bn+1=0 ,同除 bnbn+1⇒3bnbn+1-2-2bn-1bn+1+bn-1bn=0
⇒3bnbn+1-2-2bn-1bnbnbn+1+bn-1bn=0 ,令 cn=bnbn+1⇒3cn-2-2cn-1cn+cn-1=0⇒cn=cn-1-22cn-1-3
∵x=x-22x-3 的特征根为重根 x0=1∴1cn-1 为等差数列,公差为 2cax0+d=-2 ,进而可以求出 cn
☆☆☆2024/03/06 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
武汉二调填空压轴 2.28
“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个 仓组成, 某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外, 一旦 粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束. 已知该粒子初始位置在 1 号仓,则试验 结束时该粒子是从 1 号仓到达容器外的概率为___
[解析]
设粒子经过 n 次运动后停在第 1 号,2 号,3 号仓的概率 分别为 an,bn,cn
由马尔科夫递推关系可得: an=13bn-1bn=13an-1+12cn-1⇒bn=19bn-2+16bn-2=518bn-2,cn=13bn-1
代入 an=13bn-1 中得到: an+1=518an-1n≥3 ,易知: a0=1,a1=0,a2=19
∴ 试验结束时该粒子最终是从 1 号仓到达容器外的概率为:
P=23i=0∞ai=23a0+a1+a2+…=231+0+19+0+19×518+…=231+191-518=1013
周理: bn=518bn-2 ,易知: b1=13,b2=0 ,
∴ 试验结束时该粒子最终是从 2 号仓到达容器外的概率为:
P=13i=1∞bi=13b1+b2+b3+…=1313+0+13×518+0+13×5182+…=13131-518=213
∴ 试验结束时该粒子最终是从 3 号仓到达容器外的概率为: 1-1013-213=113 .
全网最优解法:
(解法1) 递归思想 设从 i 号仓出发最终从 1 号仓到达容器外的概率为 Pi
由全概率公式得: 要实现从 1 号仓出发最终从 1 号仓到达容器外分两种情况: ①直接向左或向上跑出 去②直接往右到 2 号仓, 此时事件变成从 2 号仓出发最终从 1 号仓到达容器外
∴P1=23+13P2
同理: 要实现从 2 号仓出发最终从 1 号仓到达容器外分两种情况: ①向左化归为从 1 号仓出发最终从 1 号仓到达容器外②往右化归为从 3 号仓出发最终从 1 号仓到达容器外
∴P2=13P1+13P3
同理: 要实现从 3 号仓出发最终从 1 号仓到达容器外只有一种情况: 向左化归为从 2 号仓出发最终从 1 号仓到达容器外
P3=12P2 综上可得: P1=1013
(解法 2) 设开始时 1 号仓粒子总量为 1,设从 i 号仓每个出口跑出去的粒子均为 xi ,粒子最终跑出去, 则最终每个仓内粒子数为 0 .
则 1-3x1+x2=0,x1-3x2+x3=0,x2-2x3=0⇒x1=513⇒P=2x1=1013 .
☆☆☆2024/03/07 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
湘豫联考一模题 2.29
1. 已知 00 时,需要在右侧找一个点 α ,使得 fα>0 ,根据主次函数关系,显然当 x→+∞ 时, bx 是主体 函数, ax 是次要函数,所以放缩掉次要函数 ax,fx=ax+bx-2>bx-2=0⇒α=lgb2
所以: fα=alg22+blg22-2=alg22>0,fx0b>0 交于 Ax1,y1,Bx2,y2 两点,则由
三点共线关系可得 y1x1-m=y2x2-m⇒x1y2-x2y1=my2-y1
⇒ 对偶式: x1y2+x2y1=x1y22-x2y12x1y2-x2y1
=a21-y12b2y22-a21-y22b2y12my2-y1=a2my2+y1
下面我们研究一下对偶式的几何意义:
x1y2+x2y1=a2my2+y1⇒x1y2-a2my2=a2my1-x2y1
⇒y2x1-a2m=y1a2m-x2=-y1x2-a2m
⇒x1-a2my1=-x2-a2my2⇒y1-0x1-a2m+y2-0x2-a2m=0⇒kPA+kPB=0⇒∠APO=∠BPO (等角模型)
其中点 Pa2m,0 . 又 m×a2m=a2a2 模型).
或者说对偶式本身的代数结构已经藏着斜率之和为 0 这样的几何关系,就像椭圆方程本身就藏着椭 圆的三个定义一样. 此处还有点空白, 讲一个平方根的手工求法一迭代法.
假设正数 s=a2+b ,其中 a,b∈N,b-1a r a0-1a+3>a⇒a∈-5-32,5-32☆☆☆ 2024/03/22 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
极值点偏移之一题八问
已知函数 fx=exx ,存在实数 x12 ② x1+2x2>3 ③ x12+3x22>4 ④ x1+x2+x1x22e2m2 ⑥ x1+x2>2em ⑦ ex1+ex2>2em ⑧ lnx1+2lnx2>3lnem
证明
易知 fx 在 0,1 递减,在 1,+∞ 递增 ⇒02+2=4
④ fx1=fx2=m⇒ex1x1=ex2x2=m⇒x1=lnx1+lnmx2=lnx2+lnm⇒x1+x2=lnx1x2+2lnm2ex1ex2=2ex1+x22>2e
⇒x1+x2>2em
⑦由⑥知 ex1+ex2>2ex1ex2=2ex1+x22>2eem
⑧ fx1=fx2=m⇒ex1x1=ex2x2=m⇒x1=lnx1+lnmx2=lnx2+lnm⇒lnx1+2lnx2=x1+2x2-3lnm
>3-lnm=3lnem
极值点偏移之反套路题: 已知 1+e2x3e2x=1+e2y3e2y,x≠y 证明: x+y0,gm=2m+3-1m 显然递增
∵g14=0∴0-1 2 当 r=32 时,证明: k>2 .
证明:
(1) 由题意得: y=lnx+ax2+y2=2x>0⇒y=lnx+ax=2-y2⇒a=y-ln2-y2=y-12ln2-y2
令 gt=t-12ln2-t2⇒g't=1-12-2t2-t2=-t2+t+22-t2=2-tt+12-t2⇒t0=-1
当 t→0 和 t→2 时, gt→+∞ ,因为 y=a 与 y=gt 有两个不同交点
所以 a>g-1=-1 .
(2) 利用对均不等式+均值不等式
解法 1: 设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,由题意得:
x12+y12=34x22+y22=34y1=lnx1+ay2=lnx2+a⇒k=y1-y2x1-x2=lnx1+a-lnx2+ax1-x2=lnx1-lnx2x1-x2>2x1+x2⇒x1+x2>2k>0
∴0=x12+y12-x22+y22=x1+x2x1-x2+y1+y2y1-y2⇒y1+y2=-x1-x2y1-y2x1+x2=-x1+x2k
∴32=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22>x1+x222+y1+y222>x1+x222+x1+x2k22
=12+12k2x1+x22>12+12k22k2=2k2+2k4
∴3k4-4k2-4>0⇒3k2+2k2-2>0⇒k>2.
解法 2: 设 Ax1,y1,Bx2,y2,AB 中点 Mx0,y0
k=y1-y2x1-x2=lnx1+a-lnx2+ax1-x2=lnx1-lnx2x1-x2>2x1+x2=1x0⇒x0>1k
由垂径定理知: kOMkAB=-1⇒y0x0k=-1⇒y0=-x0k ,又弦 AB 的中点 M 必在圆内,所以 x02+y020 10 分
即函数 gt 在区间 0,1 递减,在区间 1,+∞ 递增,故 gt≥g1=0 . 即有 at+1-a-ta≥0 ,
因为 x,y∈0,+∞ ,令 t=xy 得 axy+1-a-xya≥0 ,即 xay1-a≤ax+1-ay⋯⋯⋯⋯ 15 分
18. (17 分)
解: (1) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x2=4cy ,由 0-c-22=322 结合 c>0 ,
解得 c=1 ,所以抛物线 C 的方程为 x2=4y . 3 分
(2) 抛物线 C 的方程为 x2=4y ,设 Ax1,y1,Bx2,y2 (其中 y1=x124,y2=x224 ) 则 PA,PB 的斜率分别为 12x1,12x2 ,所以 PA 方程: y-y1=x12x-x1 ,即 y=x12x-x122+y1 ,即 x1x-2y-2y1=0,⋯⋯6 分 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0 ,因为切线 PA,PB 均过点 Px0,y0 ,所以 x1x0-2y0- 2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0 ,所以 x1,y1,x2,y2 为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解.
所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0 . 10 分
(3) 由抛物线定义可知 AF=y1+1,BF=y2+1 , 11 分
联立方程 x0x-2y-2y0=0x2=4y ,消去 x 整理得 y2+2y0-x02y+y02=0 .
由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2=x02-2y0,y1y2=y02 , 13 分
所以 AF⋅BF=y1y2+y1+y2+1=y02+x02-2y0+1 又点 Px0,y0 在直线 l 上,所以 x0=y0+2 , 所以 y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=2y0+122+92 ,所以当 y0=-12 时, AF⋅BF 最小值为 92 . 19. (17 分)
解析: (1) 由题意 n=9 ,且每一行都成等差数列则有
a11+a12+⋯+a19=9a15a21+a22+⋯+a29=9a25⋯⋯a91+a92+⋯+a99=9a95⋯⋯2 分,设所有数之和为 S=9a15+a25+⋯a95 4 分
又因为每一列成等差数列,故有 a15+a25+⋯a95=9a55=45 ,即 S=9×45=405 6 分
(2) 由题可知,每一列成等比数列且公比相同,设公比为 q ,则有 a44=a24⋅q2=q2 , .8 分
又因为每一行成等差数列,即 a42+a44=2a43⇒18+q2=38 . 解得 q=±12 ,
又因为 aij>0i,j=1,2⋯n ,则 q=12 . 10 分
① 因为第四列成公比 q=12 的等比数列,则 a22⋅q2=a42 ,又 a42=18 ,故 a22=12 ,又因为 a24=1 ,并 且第二行成等差数列,设公差为 d ,则有 2d=a24-a22=12⇒d=14 ,从而 a2n=a22+n-2d=14n
② 由 ① 可知 a2n=14n ,则对任意的 1≤k≤n,a2k=14k ,又因为第 k 列成公比为 12 的等比数列,故 对任意的 1≤m≤n,amk=a2k12m-2=12mk ,即有 amm=m2m1≤m≤n . 即 14 分 S=a11+a22+⋯+ann=12+222+⋯+n2n ,即 12S=122+223+⋯+n2n+1 ,两式相减得
12S=12+122+⋯+12n-n2n+1=12×1-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1
即 S=2-12n-1-n2n=2-n+22n. ⋯⋯⋯⋯⋯17 分.
各用题目: 某公司举行了比赛, 决赛在甲和乙之间进行, 每场比赛均分胜负. 该公司为决赛提供 了 1000 元奖金, 并规定: 若其中一人赢的场数先达到 4 场, 则比赛终止, 同时该人获得全部奖金; 若比 赛意外终止时无人先赢 4 场, 则按比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两人分配奖金. 若每 场比赛甲赢的概率为 12 . 若比赛进行了 5 场时终止, 记甲获得奖金数为 X , 则 PX=750= ___ 解析: 比赛 5 场时终止包括甲乙输赢场次为 4:1:1:4;3:2:2:3 四种情况.
甲乙 3:2 时甲需继续赢一场或者先输一场再赢一场将赢得全部奖金,概率 P=12+12×12=34
所以分配给甲的奖金应为 1000×34=750,P甲乙 4:1=P甲乙 1:4=C43125=18 ;
P甲乙 3:2=P甲乙 2:3=C52125=516 ,由贝叶斯公式得: PX=750=P( 比赛进行了 5 场终止时
甲乙 3:2) =51618+18+516+516=514 . 也可用缩小了样本空间的古典概型计算: P=C5328=514 .
斯特瓦尔特定理应用
在三角形 ABC 中,满足 2a2+3b2=4c2 ,求 S△ABCc2 最大值
解析: 把变量 c 固定
2a2+3b2=4c2⇒2a25+3b25=4c25 ,在线段 AB 上取一点 M ,使得 BM:MA=3:2 ,则根据斯特瓦尔特 定理 (互补的两个角分别来一次余弦定理即可) 或者向量数量积可得:
CM2=2a25+3b25-6c225=4c25-6c225=14c225
所以: 点 C 在以点 M 为圆心,半径为 14c5 的圆上运动
结合图像可得:
S△ABCc2 最大值 =12×c×14c5c2=1410 .
一般的:
在三角形 ABC 中,满足 λa2+μb2=νc2λ,μ,ν>0 ,同除 λ+μ
⇒λa2λ+μ+μb2λ+μ=νc2λ+μ ,在线段 AB 上取一点 M ,使得 BM:MA=μ:λ
⇒CM2=λa2λ+μ+μb2λ+μ-λμc2λ+μ2=νc2λ+μ-λμc2λ+μ2=λ+μν-λμλ+μ2c2
⇒ 点 C 在以点 M 为圆心,半径为 λ+μν-λμλ+μc 的圆上运动.
不得
请大家用上述方法自行练习一下这个题目:
在三角形 ABC 中,满足 a2+b2=2c2 ,求 bca2 的取值范围.
Key: 33-5,33+5
相关定理在本书的第 152 页.
☆☆☆2024/04/18 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确山一高
摘麦穗
从前有一位老师让他的学生到麦田里, 摘一颗麦田里最大的麦穗, 期间只能摘一次, 并且只可以向 前走, 不能回头. 结果, 他的学生两手空空走出麦田, 因为学生不知前面是否有更好的, 所以没有摘, 走 到前面时, 又发觉总不及之前见到的, 最后什么也没摘到.
假设该学生在麦田中一共会遇到 n 颗麦穗 (假设 n 颗麦穗的大小均不相同),最大的那颗麦穗出现 在各个位置上的概率相等, 为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦穗, 现有如下策略: 不摘前 k1≤k0 ,
g'x=1nlnnx-1⇒x0=ne ,易得 gx 最大值 =gne=1e
此时 P 的最大值为 1e 且 P 取最大值时 t=1e .☆☆☆ 2024/04/19 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! … 确山一高
武汉四调
已知常数 p∈0,1 ,在成功的概率为 p 的伯努利试验中,记 X 为首次成功时所需的试验次数, X 的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量 X 的概率分布为几何分布.
(1) 对于正整数 k ,求 PX=k ,并根据 EX=k=1∞kPX=k=limn→∞k=1nkPX=k ,求 EX ;
(2) 对于几何分布的拓展问题,在成功的概率为 p 的伯努利试验中,记首次出现连续两次成功时所需 的试验次数的期望为 E2 ,现提供一种求 E2 的方式: 先进行第一次试验,若第一次试验失败,因为出现 试验失败对出现连续两次成功毫无帮助,可以认为后续期望仍是 E2 ,即总的试验次数为 E2+1 ; 若第 一次试验成功,则进行第二次试验,当第二次试验成功时,试验停止,此时试验次数为 2;若第二次试验 失败,相当于重新试验,此时总的试验次数为 E2+2 .
(i) 求 E2 ;
ii 记首次出现连续 n 次成功时所需的试验次数的期望为 En ,求 En
解析:
(1) EX=1p (参看本书第 322 页内容)
(i) 经分析 E2 的取值可能是: E2+1,2,E2+2 ,概率分别为: 1-p,p2,p1-p
∴E2=E2+11-p+2p2+E2+2p1-p⇒E2=p+1p2 .
ii 递推思想
方法 1:
在首次出现连续 n-1 次成功的基础上来讨论第 n 次是否成功
若第 n 次成功,则所需的试验次数为: En-1+1
若第 n 次不成功,则事件就变回了初始状态,所以所需的试验次数为: En-1+1+En
∴En=En-1+1p+En-1+1+En1-p⇒En=1pEn-1+1p (这是我们熟悉的线性递推关系)
∴En+11-p=1pEn-1+11-p ,又 E1=1p
∴En=11-p1pn-1 .
方法 2:
一开始就连续 n 次成功或者第一次失败,此时就回到初始情形了或者第一次成功第二次失败,此时就
回到初始情形了或者第一次第二次都成功第三次失败, 此时就回到初始情形了..
所以 En 的取值可能是: n,En+1,En+2,En+3,⋯,En+n ,
概率分别为: pn,1-p,p1-p,p21-p,⋯,pn-11-p ,
∴En=npn+En+11-p+En+2p1-p+⋯+En+npn-11-p
=npn+1-pnEn+1-p+2p1-p+3p21-p+⋯+npn-11-p
由错位相减可得: En=11-p1pn-1 .
☆☆☆2024/04/20 Knwledge is limitless! Learning is an endless prcess! 确出一i
最后一题
在 ▵ABC 中, 3sin2A+2sin2B=sinCsinC+2sinAsinB ,则 sinA= ___
解析:
方法 1: 夹逼准则
由正弦定理得: 3a2+2b2=c2+2bcsinA ,又 a2=b2+c2-2bccsA
⇒5b2+2c2bc=2sinA+6csA
显然 210≤5b2+2c2bc=2sinA+6csA=210sinA+φ≤210
所以 5b2=2c22sinA+6csA=210⇒sinA=1010 .
方法 2: 解析法
把三角形的 A 点放到坐标原点, AB 边放在 x 轴上
则 A0,0,Bc,0,Cx,y
由正弦定理得: 3a2+2b2=c2+2absinC ,代入坐标得:
3x-c2+y2+2x2+y2=c2+4S△ABC=c2+4×12cy
⇒x-35c2+y-15c2=0⇒x=35cy=15c
⇒tanA=yx=13⇒sinA=1010 .
后记
我们对数学结论的归纳和记忆固然重要, 但我们自己能够独立推 导更为重要, 也即我们要熟悉知识的来龙去脉, 这样更有利于提升我们 的数学素养! 其实所谓的熟练就是题练得多了就熟了, 我们要学会思 考学会总结学会反思, 要知其然, 更要知其所以然!
感谢您能读完此书, 希望能够在数学上对您有一点点帮助吧! 就此 搁笔吧, 坐在电脑旁, 真的是小腰受不了, 头发也离我而去甚多! 总之 数学码字人真的是太辛苦啦!
听闻中年二字, 应与躺平相斥! 外出学习, 聆听了专家的讲座, 深 感自己与专家的巨大差距, 于是决定向专家学习, 于是决定开始钻研教 材, 于是决定开始写书, 于是便有了您手中的这份初稿! 从 0 到 1 , 这只 是一个开始, 未来的路还很长, 我都将一直努力走下去
学无止境, 天道酬勤!
本书再版时会进行重新归类整合, 以方便读者阅读!
x
-∞,x1
x1,x2
x2,+∞
f'x
-
+
-
f'x
〈
7
〈
a2x2
+ax
+1
a3x4
=2a2x2
-x +a-1
a3x4
=a2x3
=a2x2
a2x3
=a2x2
-x +a-1
a2x3
-ax2
— ax
a-a2x2+a-1x+a
-1
a-a2x2+a-1x+a
0
x
0
0,π3
π3
π3,π
π
f'x
+
-
fx
0
7
332
V
0
中线定理: AD 为 BC 边上中线 结论: AB2+AC2=2AD2+BD2
垂线定理; AD 为 BC 边上的高 结论: AB2-BD2=AC2-CD2
角平分线定理: AD 为 ∠BAC 平分线 结论: ABBD=ACCD
斯特瓦尔特定理: D 为 BC 边上一点 结论: AB2⋅DC+AC2⋅BD-AD2⋅BC=DB⋅DC⋅BC
外森皮克不等式: 三角形面积为 S
射影定理: ∠BAC=90∘⋅AD⊥BC 结论: AD2=DB⋅DC
结论: a2+b2+c2≥43S
AC2=CD⋅BC
海伦公式: △ABC 三边分别为 a、b、c 结论: SΔABC=pp-ap-bp-c 其中 p=a+b+c2
燕尾定理: △ABC 中, AD、BE、CF 相交于 同一点 O 结论: S△AOBS△AOC=BDDC
维维亚尼定理: P 是等边 △ABC 内任意一点, P 到三边的距离分别是 h1、h2、h3,ΔABC 高为 h 结论: h1+h2+h3=h
莫利定理: △ABC 各内角的三等分线交点, 构成的 ΔDEF 为等边三角形
國冪定理
相交线定理: 弦 AB 与弦 CD 交于点 P 结论: PA⋅PB=PC⋅PD
切割线/割线定理: PQ 切圆于 Q ,割线 PB、PD 交圆于 A 、 C 结论: PQ2=PA⋅PB=PC⋅PD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
C
C
D
A
A
D
D
ABC
AC
CD