2024年广东省珠海市文园中学（集团）中考一模数学试题

这是一份2024年广东省珠海市文园中学（集团）中考一模数学试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约公里的行星命名为“苏步青星”，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．正十二边形的外角和为（ ）
A．B．C．D．
5．某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．5，4B．5，6C．6，5D．6，6
6．化简的结果是（ ）
A．0B．1C．aD．
7．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）

A．B．C．D．
8．如图，绕点A逆时针旋转一定角度后得到，点D在BC上，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数的图象所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
12．不等式组的解集为 ．
13．的两根分别为、，则 ．
14．若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ．
15．在某次救援中，某武部队探测队探测出某建筑物下面有生命迹象，为了准确测出生命迹象所在的深度，他们在生命迹象上方建筑物的一侧地面上相距5米的A，B两处，用仪器探测生命迹象C，已知探测线与地面的夹角分别是和（如图），则该生命迹象所在位置的深度（结果取准确值）为 米．
16．如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交的延长线于点Q，则的最大值为 ．
三、解答题
17．（1）解方程：；
（2）若的两条对角线长恰好是（1）中方程的两个解，求该平行四边形边的取值范围．
18．如图，已知中，，，．
(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．
19．甲辰龙年春节，红嘴鸥“火”了，全国各地的游客慕名而来，感受昆明人鸥和谐的美好氛围．某教育集团组织开展观鸟节科普系列活动，学校准备为同学们购进两款文化衫，每件A款文化衫比每件款文化衫多10元，用元购进A款和用元购进款文化衫的数量相同．求款文化衫和款文化衫每件各多少元?
20．“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：

(1)本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________；
(2)在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________；
(3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
(4)学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．
21．如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求的半径．
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
(3)设D为线段上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
23．综合与实践
问题情境：“综合实践课”上，老师画出了如图1所示的矩形，（其中），P（不与点A重合）是边上的动点，连接点P与边的中点E，将沿直线翻折得到，延长交于点F（点F不与点C重合），作的平分线，交矩形的边于点G．问与的位置关系？
数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题，并说明理由．
深入探究：
（2）老师将图1中的图形通过几何画板改动为如图2，在点P运动过程中，连接，若E，O，G三点共线，点G与点D刚好重合，求n的值．
（3）若，连接，当是以为直角边的直角三角形，且点G落在边上时，请直接写出的值．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
(3)如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
书籍类别
学生人数
A文学类
24
B科幻类
m
C漫画类
16
D数理类
8
参考答案：
1．D
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
2．B
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可．
【详解】解：数据用科学记数法表示为．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相除、算术平方根，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是正确的；
B、，故该选项是错误的；
C、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
D、，故该选项是错误的；
故选：A
4．C
【分析】本题考查多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解题的关键．
根据多边形的外角和为进行解答即可．
【详解】解：正十二边形的外角和为．
故选：C．
5．B
【分析】根据中位数和众数的定义即可求出答案.
【详解】解：这组数据3，6，4，6，4，3，6，5，7中出现次数最多的是6，
众数是6.
将这组数据3，6，4，6，4，3，6，5，7按从小到大顺序排列是3，3，4，4，5，6， 6， 6， 7，
中位数为：5.
故选：B.
【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键在于熟练掌握中位数和众数的概念，中位数是指将一组数据按大小顺序排列，若一组数据为奇数个，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数；若一组数据是偶数，则处在最中间的两个数的平均数为这组数据的中位数；众数指的是在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数.
6．B
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．先将分子分母因式分解，然后先计算分式的乘法，再计算加法即可．
【详解】解：
，
故选B．
7．C
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行，
，.
，
，.
.
故选：C.
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.
8．A
【分析】此题重点考查旋转的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等边对等角”、三角形的内角和等于等知识，证明是解题的关键．设交于点，由，且，得，则，由，得，而，则，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点，
，，
，
由旋转得，，，
，，
，
，
，
，
故选：A．
9．C
【分析】由二次函数的图象得出，，从而即可判断一次函数的图象经过一、二、四象限，得到答案，本题考查了二次函数与一次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象得出，，采用数形结合的方法是解此题的关键．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴在轴右边，
，
，
一次函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
10．C
【分析】根据正方形基本性质和相似三角形性质进行分析即可．
【详解】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴△ABG≌△AFG；
②正确．因为：EF=DE=CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，
解得x=3．
所以BG=3=6﹣3=GC；
③正确．
因为CG=BG=GF，
所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG//CF；④错误．
过F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH//GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=，故④错误，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了点关于轴对称，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟记关于轴对称的点的坐标是解题的关键．
【详解】解：∵点关于轴对称，
∴该对称点的坐标是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分解集，即可作答．
【详解】解：∵
∴由得，，解得
∴，得
∴原不等式组的解集为
故答案为：
13．
【分析】依据题意，由根与系数的关系得，，，再由进而代入可以得解．
【详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键．
14．6
【分析】本题考查了扇形的弧长的计算，设这个圆锥的母线长是，先求得扇形的弧长，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设这个圆锥的母线长是，
依题意得：圆锥的底面周长为：，
则展开后扇形的弧长为，
即：，
解得：，
这个圆锥的母线长是，
故答案为：6．
15．/
【分析】此题主要考查含有特殊锐角三角函数的实际应用，过点作垂直于点，在中利用锐角三角函数可求出线段，的长，解题关键是构建直角三角形，即可解题．
【详解】解：过点作垂直于点，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴米，
在中，米，，，
∴，则（米），
故答案为：．
16．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
根据题意可得四点共圆，由两角对应相等判定三角形相似，由此得到的值与有关，当最大时即取最大值．
【详解】解：，
∴四点共圆，
，
∴为直径，
，
，
，
，
，
在圆中，直径是最长的线段，因此当为直径时，最大，，
，
故答案为：．
17．（1）， （2）
【分析】本题考查一元二次方程的解法，平行四边形的性质，会运用配方法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）根据平行四边形的性质求出、，根据三角形的三边关系定理得到，代入求出即可．
【详解】解：
或
解得，；
（2）∵四边形是平行四边形，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)13
【分析】（1）利用基本作图，作BC的垂直平分线分别交、于点、即可；
（2）由作图可得CD=BD，继而可得AD=CD，再结合三角形周长的求解方法进行求解即可．
【详解】（1）如图所示，点D、H即为所求
（2）∵DH垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠DCB，
∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=∠ACB=90°，
∴∠A=∠DCA，
∴DC= DA，
∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．款文化衫每件50元，款文化衫每件40元
【分析】此题考查了分式方程的实际应用，设款文化衫每件元，则款文化衫每件元，根据“用元购进A款和用元购进款文化衫的数量相同”列出方程即可．
【详解】解：设款文化衫每件元，则A款文化衫每件元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：A款文化衫每件50元，款文化衫每件40元．
20．(1)80，32
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值；
（2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数；
（3）用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数；
（4）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，本次抽查的学生人数是（人），
统计表中的，
故答案为：80，32
（2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是：
，
故答案为：
（3）由题意得，（人），
即估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生为人；
（4）树状图如下：

从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，
∴P（小文、小明选择同一社团）．
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）连接，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
（2）利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为r，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论．
【详解】（1）连接，如图，
∵点C是半圆的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∵，
∴，
即，
∴．
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
设的半径为r，则，
∵，
∴，
解得：．
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22．(1)，
(2)或
(3)最大值为4，
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，由、两点坐标可得一次函数解析式；
（2）运用数形结合思想，根据的两点坐标，即可作答．
（3）根据题意，设点的坐标为，则，，则，根据最值解答即可．
【详解】（1）解： 点在反比例函数图象上，
；
反比例函数解析式为，
点在反比例函数的图象上，
，解得，
，，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：；
（2）解：由（1）知，，
∴不等式的解集为或；
（3）解：由（1）可知，设点的坐标为，则
，
，
当时，最大值为4，
．
23．（1），理由见解析；（2）；（3）3或
【分析】（1）根据平行线的性质，得到，翻折和角平分线的定义，推出，即可；
（2）证明，得到，设，得到，进而得到，，勾股定理得到，再根据，求解即可；
（3）分或两种情形，分别作出图形，然后求解即可．
【详解】解：（1）．
理由：由翻折可知．
∵平分，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）由翻折知，，
∵E，O，D三点共线，
∴
又∵，，
∴，
∴．
∵E是的中点，
∴设，则．
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）的值为3或．
设，
∵，
∴，
由题意知，分或，两种情况求解：
若点在上，当时，此时，如图1，

∵，
四边形为矩形，
∵，
矩形为正方形，
，，
∴；
若点在上，当时，如图2，过点作于点，此时，，三点在同一直线上，四边形是矩形，

由（2）可知，，，
∴，即，解得，，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查矩形的性质，翻折的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．(1)
(2)或或或
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线，设与交于点，当点F在x轴上方时，过点作于点，证明，设，则，，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值即可求出点F的坐标；当点F在x轴上方，且点E与点A重合时，利用等腰直角三角形的性质求出，即可求出点F的坐标；同理可求得当点F在x轴下方时的坐标；当点与点重合时，求得另一个解，进而即可求解；
（3）设，直线的解析式为，的解析式为，求得解析式，然后求得，即可求解．
【详解】（1）解：将点，，代入中得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，当点F在x轴上方时，设与交于点，过点作于点，

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或,
∴；
如图所示，当点F在x轴上方时，且点E与点A重合时，设直线l与x轴交于G，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴；
如图所示，当点F在x轴下方时，，设与交于点，过点作于点

∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
如图所示，当点F在x轴上方，当点与点重合时，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
∴，
综上所述，或或或；
（3）解：设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，全等三角形的性质与判定等等，熟练掌握二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．