2024年湖南省邵阳市新宁县中考一模数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，实数的大小比较．分别求出四个数的绝对值即可得到答案．
【详解】解：∵，，，，
，
∴四个数中，绝对值最小的是，
故选：B．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、完全平方公式、二次根式的加减、单项式的乘法等知识．根据合并同类项、完全平方公式、二次根式的加减、单项式的乘法分别计算即可作出判断．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°， 则的度数等于（ ）
A. 50°B. 30°C. 20°D. 15°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．
【详解】如图所示，
∵AB∥CD
∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，
∴∠3=∠4-30°=20°，
故选C.
4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的解集．分别解出每个不等式的解集，再找到其公共部分即可．
【详解】解：，
由①得，；
由②得，；
不等式组的解集为．
在数轴上表示为：
故选：D．
5. 下面四个立体图形的展开图中，能折叠成三棱锥的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查展开图折叠成几何体．棱锥的侧面都是三角形，根据棱锥展开图的特点即可判断．
【详解】解：A、能折叠成长方体，本选项不符合题意；
B、能折叠成圆锥，本选项不符合题意；
C、能折叠成三棱锥，本选项符合题意；
D、能折叠成棱柱，本选项不符合题意．
故选：C．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了保证大家端午节期间能吃上放心的粽子，质监部门对市场上的粽子实行全面调查
B. “三角形的内角和为”是必然事件
C. 一组数据，2，5，7，7，7，4的众数是7，中位数是7
D. 甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.6，乙同学跳远成绩的方差为1.2，则甲同学发挥比乙同学稳定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查与全面调查、众数、中位数、事件的可能性，方差等知识．根据全面调查、抽样调查的特点，求一组数据的众数和中位数，必然事件的确定，方差的特点逐项分析即可求解．
【详解】解：A、由于全面调查具有破坏性，费时费力，所以端午节为保证大家能吃上放心的粽子，质监部门对重庆市市场上的粽子应实行抽样调查，原判断错误，不合题意；
B、“三角形的内角和为”是必然事件，原判断正确，符合题意；
C、一组数据，2，5，7，7，7，4重新排列为，2，4，5，7，7，7，则这组数据的众数是7，中位数是5，原判断错误，不合题意；
D、甲、乙两名同学各跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲同学跳远成绩的方差为1.6，乙同学跳远成绩的方差为1.2，则乙同学发挥比甲同学稳定，原判断错误，不合题意；
故选：B．
7. 如图，是的外接圆，已知，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数．
【详解】解：中，，，
∴，
∴．
故选：A．
8. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解：
由图形知：tan∠ACB=．故选A．
9. 如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，那么等于（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】利用△DAO与△DEA相似，对应边成比例即可求解．
【详解】∠DOA=90°，∠DAE=90°，∠ADE是公共角，∠DAO=∠DEA
∴△DAO∽△DEA
∴
即
∵AE=AD
∴
故选D．
10. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质
根据反比例函数与一次函数的图象，可知，，即可判断函数的大致图象．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第一、三象限，则，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵反比例函数与一次函数的图象有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线，，
∴函数的图象与x轴有两个交点．
故选：B．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11. 分解因式：=_________.
【答案】
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】
故答案为
12. 在5张一样的卡片上分别写上数，，，，，打乱顺序后，从中随机抽取一张，则抽到的卡片写的是无理数的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，立方根以及概率公式的应用．先找出无理数的个数，再根据概率公式可得答案．
【详解】解：，，都是有理数，
，都是无理数，共2个，
则抽到的卡片写的是无理数的概率是．
故答案为：．
13. 如图，平行四边形中，点是边上一点，交于点，若，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质．由平行四边形的性质可得，，证明得出，代数数值进行计算即可．
【详解】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
∴，
故答案为：．
14. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有凫起南海，七日至北海．雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起．问：何日相逢？其大意为：野鸭从南海飞到北海用7天，大雁从北海飞到南海用9天．它们从两地同时起飞，几天后相遇？设天后相遇，根据题意所列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，把南海到北海的距离看作单位“1”，野鸭的速度是，大雁的速度为，根据野鸭x天的路程+大雁x天的路程=1，即可列方程．
【详解】解：由题意可得，．
故答案为：．
15. 若反比例函数y=的图象位于第一、三象限，则正整数k的值是_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，在这个范围写出k的整数解则可．
【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴2﹣k＞0，即k＜2．
又∵k是正整数，
∴k的值是：1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
16. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，从C，D为弧的三等分点，连接，则图中阴影部分的面积为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形的面积等知识．作于．求出，即可求出的面积，再根据扇形面积公式计算即可求解．
【详解】解：如图作于．

点，为的三等分点，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∴，
，
故答案为：．
17. 如图，在中，于点，点在上，和均是等腰三角形，若，则的度数为____度．
【答案】70
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．证明，推出，据此求解即可．
【详解】解：∵和均是等腰三角形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：70．
18. 如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点，则点C的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设根据题意得出的中点坐标相等，即可求解．
【详解】解：设，
∵
依题意，
解得：
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了中心对称的性质，坐标与图形，掌握中心对称的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题有8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角三角函数值．先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，请从不等式的解集中选择一个数值代入求值．
【答案】，时，原式（答案不唯一）．
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，解不等式．先根据完全平方公式、平方差公式以及整式的乘法运算进行化简，然后解不等式，将x的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：
，
解不等式得，，
取，原式（答案不唯一）．
21. 某超市用6 000元购进一批“红富士”苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨13 000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的质量是试销时的2倍．
（1）试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？
（2）如果超市将该品种苹果按每千克8元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的7折（“7折”即定价的）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
【答案】（1）试销时该品种苹果的进价是每千克6元
（2）超市在这两次苹果销售中共盈利4040元．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，正确列出分式方程和算式是解题的关键．
（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克元，根据等量关系“本次数量=试销时的数量”列出分方程求解即可．
（2）先求出试销时和第二次进的苹果数量，再根据“”列出算式计算即可．
【小问1详解】
解：设试销时该品种苹果的进价是每千克元，
依题意可得：，解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元．
【小问2详解】
解：试销时购进苹果的质量为（千克），
第二次购进苹果的质量为（千克），
盈利为（元）．
答：超市在这两次苹果销售中共盈利4040元．
22. 如图，为测量山高AB，一架无人机在山脚（C处）的正上方（D处），测得山顶（B处）的俯角为30°，若保持飞行高度不变继续行驶2km到达E处，此时测得B，C两处的俯角为45°，60°．
（1）求无人机的飞行高度；
（2）求山高AB．
【答案】（1）2km
（2）km
【解析】
【分析】（1）在Rt△DCE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）延长AB，DE，交于点F，根据题意可得AF⊥DF，DC＝AF＝2km，设BF＝xkm，然后分别在Rt△DFB和Rt△EFB中，表示出DF，EF的长，列出关于x的方程进行计算即可求出BF，从而求出AB．
【小问1详解】
在Rt△DCE中，∠DEC＝60°，DE＝2km，
∴DC＝DEtan60°＝22（km），
∴无人机的飞行高度为2km；
【小问2详解】
延长AB，DE，交于点F，
则AF⊥DF，DC＝AF＝2km，
设BF＝xkm，
在Rt△DFB中，∠FDB＝30°，
∴DFxkm，
在Rt△EFB中，∠FEB＝45°，
∴EFxkm，
∵DF﹣EF＝DE，
∴x﹣x＝2，
∴x1，
∴BF＝（1）km，
∴AB＝AF﹣BF
＝2（1）
＝（1）km，
∴山高AB为（1）km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行汉字听写测试，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分、本次汉字听写测试成绩为x（分），且，将其按分数段分为五组，绘制成下面两个不完整的统计表和统计图：
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）直接写出表中______，______；
（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）该学校九年级学生有1500人，若决赛成绩不低于80分为优秀，请估计汉字听写可以达到优秀的人数．
【答案】（1）16；
（2）见解析 （3）估计汉字听写可以达到优秀的人数约有720人．
【解析】
分析】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体．
（1）根据“一”组的频数和频率可求得样本容量，再根据题意求得和的值；
（2）根据（1）求得的数据可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据可以计算出该校汉字听写可以达到优秀的人数．
【小问1详解】
解：（人），
，
，
故答案为：16；；
【小问2详解】
解：补充完整的频数分布直方图如图所示；
；
【小问3详解】
解：（人），
答：估计汉字听写可以达到优秀的人数约有720人．
24. 如图，在中，，，点为以为直径的⊙上一点，且，连接，，已知，．
（1）求⊙的半径；
（2）求证：是⊙的切线．
【答案】（1）⊙的半径为；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质求出，即可求解；
（2）证明，得出，利用圆周角定理的推论可得出，利用等边对等角可得出，可得出，即可得证．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
∴⊙的半径为；
【小问2详解】
证明：连接，

由（1）得，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是切线．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理的应用；作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键．
25. 如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．
（1）如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数；
（2）如图②，连接，，若的面积为2，求的面积；
（3）如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）线段长度的最大值为与最小值为．
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数；
（2）由旋转的性质可得：，易证得，利用相似三角形的性质可得答案；
（3）由①当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小；②当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值．
【小问1详解】
解：由旋转的性质可得：，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：由旋转的性质可得：，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，而，，
∴，
∵的面积为2，
∴．
【小问3详解】
解：过点B作，D为垂足，
∵为锐角三角形，
∴点D在线段上，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∵点E为线段中点，
∴；
①如图1，当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，，此时最小，且最小值为： ；
②如图，当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，且最大值为：．
综上分析可知，线段长度的最大值为与最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
26. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，直线与抛物线交于A、B两点，其中点的坐标为，点在轴上．
（1）求m的值和该抛物线的解析式；
（2）若点为线段AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这条抛物线交于点E，设线段的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若点为直线上的一个动点，直线与这条抛物线的对称轴的交点为D，轴交抛物线于点E，是否存在点P，使以点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请写出理由．
【答案】（1）；抛物线解析式为；
（2）；
（3）点的坐标为或或．
【解析】
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式的方法，平行四边形的性质，解本题的关键是确定出函数解析式．
（1）根据点在直线上，求出直线解析式，再根据点，求出抛物线的解析式；
（2）根据点在直线上，表示出点，求出；
（3）由，只要即可，据此即可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：的坐标为在直线上，
，
，
直线解析式为，
，
设抛物线解析式为，
点，在抛物线上，
，
，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：点在线段上，
，，
轴，交抛物线于，，
，
，；
【小问3详解】
解：直线与这个二次函数图象的对称轴的交点为，
，
，
点D、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，
，
，
或，
（舍），，，，
即：点的坐标为或或．组别
成绩x（分）
频数（人数）
频率
一
2
0.04
二
10
0.2
三
14
b
四
a
0.32
五
8
0.16