河南省焦作市部分学校2022-2023学年高二下学期期末数学试卷(含答案)

这是一份河南省焦作市部分学校2022-2023学年高二下学期期末数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数,则( )
A.0B.1C.D.2
3．已知向量,,若,则实数( )
A.-5B.5C.D.
4．已知等比数列中,,,则( )
A.16B.4C.2D.1
5．已知抛物线的焦点为F,A是C上一点,O为坐标原点,若,则的面积为( )
A.B.3C.D.6
6．已知角满足,则( )
A.B.C.D.
7．已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内,且两个相邻对称中心之间的距离大于,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数存在零点a,函数存在零点b,且,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．2014—2022年（2022年为上半年）中国国内生产总值（GDP）统计如下,且已知2022年全年中国国内生产总值（GDP）为121.01万亿元,则下列结论中正确的是( )

A.2022年下半年中国GDP为64.75万亿元
B.2022年中国GDP大于2014年与2015年的GDP之和
C.2014—2021年中国GDP同比增长率超过10%的有2017年、2018年、2021年
D.2014—2021年中国GDP同比增长最快的是2021年
10．已知函数,则下列结论中正确是( )
A.当时,是上的增函数
B.当时,直线与的图象没有公共点
C.当时,的单调递减区间为
D.当有一个极值点为时,的极大值为
11．已知椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,P,Q为C上的动点,的最大值为6,则下列结论中正确的是( )
A.椭圆C的短轴长为
B.当P,Q分别在x轴的上方和下方时四边形的周长的取值范围是
C.存在四个不同的点P,使得
D.若为锐角三角形,则点P横坐标的取值范围是
12．如图,在三棱柱中,,平面ABC,,三棱锥的外接球O的表面积为,记直线AC与所成的角为,直线与平面ABC所成的角为,则下列结论中正确的是( )
A.B.三棱柱的体积的最大值为6
C.球心O到平面的距离为D.
三、填空题
13．若的展开式中的系数为15,则实数____________．
14．某足球队共有30名球员练习点球,其中前锋6人,中场16人,后卫8人．若前锋点球进门的概率均是0.9,中场点球进门的概率均是0.8,后卫点球进门的概率均是0.7,则任选一名球员点球进门的概率是_____________．（结果保留两位小数）
15．已知函数的定义域为R,是偶函数,当时,,则不等式的解集为____________．
16．已知在四面体中,,,则该四面体外接球的体积为________________．
四、解答题
17．已知在等差数列中,,．
（1）求的通项公式;
（2）若是等比数列,且,,求数列的前n项和．
18．已知在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且．
（1）求C;
（2）若,的面积为,求证：是正三角形．
19．如图,在长方体中,,,交于点O．
（1）证明：平面;
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周,为进一步促进家校共育,某校举行“家教伴成长,协同育新人”主题活动,最终评出了8位“最美家长”,其中有6位妈妈,2位爸爸,学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．
（1）若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享,记第一次抽到妈妈为事件A,第二次抽到爸爸为事件B,求和;
（2）现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人,连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享,1天只做1场,且人选可以重复,记这4天中爸爸做经验分享的天数为X,求X的分布列和数学期望．
21．已知函数．
（1）证明：在上单调递减;
（2）若函数（为的导函数）,且单调递增,求实数a的取值范围．
22．已知点在双曲线上,过C的右焦点F的动直线l与C交于A,B两点．
（1）若点,分别为C的左、右顶点,Q为C上异于,的点,求（k表示斜率）的值;
（2）证明以为直径的圆恒过x轴上的定点,并求该定点的坐标．
参考答案
1．答案：A
解析：因为集合,
所以解不等式可得：,
所以,
所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：,
.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为向量,,且,
所以,,解得.
故选：D.
4．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,则,解得,
因此,.
故选：C.
5．答案：A
解析：依题意作下图：
设,,所以,
可得,由,解得,所以,
所以.
故选：A.
6．答案：C
解析：由,得,
则
,
故选：C．
7．答案：B
解析：因为,
因为函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于,
所以,函数的最小正周期T满足,即,则,
由可得,
因为函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内,
则,可得,
又因为且存在,则,解得,
因为,则,所以,,
故选：B.
8．答案：D
解析：因为,所以,则函数单调递增,
又,所以函数的零点,
由,得,解得,
函数存在零点b,即方程在上有解,
令,则,
所以函数在上单调递增,
因为,当且无限趋向于时,无限趋向于负无穷,
则函数在上的值域为,
所以实数m的取值范围是.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：对于A,因为2022年全年中国国内生产总值（GDP）为121.01万亿元,
2022年上半年中国GDP为万亿元,所以2022年下半年中国GDP为万亿元,故A正确;
对于B,因为2014年与2015年中国GDP和为,
故2022年中国GDP小于2014年与2015年的GDP之和,故B错误;
对于C,由图可知,2014—2021年中国GDP同比增长率超过10%的有2017年、2018年、2021年,故C正确;
对于D,由图可知,2014—2021年中国GDP同比增长最快的是2021年,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A选项,因为,则,
当时,对任意的恒成立,
即对任意的恒成立,且不恒为零,
所以,当时,是R上的增函数,A对;
对于B选项,当时,,
因此,当时,直线与的图象没有公共点,B对;
对于C选项,当时,对于方程,,
由,可得,解得,
因此,当时,的单调递减区间为,C对;
对于D选项,当有一个极值点为时,,解得,
则,,令,可得或,列表如下：
所以,函数的极大值为,D错.
故选：ABC.
11．答案：AD
解析：由题给条件可得,解之得,则,
则椭圆C的方程为.设椭圆C的上顶点为,
选项A：椭圆C的短轴长为.判断正确;
选项B：当P,Q分别在x轴的上方和下方时,
四边形的周长为.判断错误;
选项C：中,,,
则,则.又当P为短轴端点时取得最大值,
则存在2个不同的点P,使得.判断错误;
选项D：由,可得,
由椭圆C的半焦距为2,则由为锐角三角形,
可得点P横坐标的取值范围是.判断正确.
故选：AD
12．答案：BD
解析：如图,棱锥的外接球即为三棱柱的外接球,
又AB⊥BC,平面ABC,分别取,的中点M,N,则球心O为的中点.
由球O的表面积为,则,即,解得.
由平面ABC,平面ABC,平面ABC,所以,,又,
所以,又,所以.
对于A,因为,故A错误;
对于B,三棱柱的体积,
当取得等号.
所以体积的最大值为6,故B正确;
对于C,球心O为的中点,.球心O到平面的距离即点M为到平面的距离,
也即点C为到平面的距离的一半, 又,球心O到平面的距离为1,故C错误;
对于D,记直线AC与所成的角为,,所以,;
直线与平面ABC所成的角为,由平面ABC,
所以,,.故D正确.
故选：BD.
13．答案：或1
解析：根据题意,展开式的通项公式为,
则展开式中的系数为,即,
解得或．
故答案为：或.
14．答案：0.79
解析：依题意,选中前锋的概率为,选中中场的概率为,选中后卫的概率为,
则任选一名球员点球进门的概率是.
故答案为：0.79.
15．答案：
解析：因为函数的定义域为R,是偶函数,
则,即,
所以,函数的图象关于直线对称,
当时,,则函数在上单调递减,
故函数在上单调递增,
因为,则,即,
即,即,解得或,
因此,不等式的解集为.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为,所以,
则,所以,
因为,取的中点D,连接、,
则,,且,
所以,则,所以,
,,平面,所以平面,
的外接圆圆心即为斜边的中点D,
所以四面体外接球的球心在上,设球心为O,外接球的半径为R,连接,
则,即,解得,
所以外接球的体积.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d,
由,可得,解得,
所以．
（2）由（1）可知,,则,,
因为是等比数列,所以公比为,
所以,所以．
所以．
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由及正弦定理得,
所以,
所以,
所以．
因为,所以,所以．
因为,所以．
（2）因为,所以ab＝4．
由余弦定理可得,所以,
即,
所以,所以,所以,
所以是正三角形．
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：如图所示,连接,,
因为且,所以四边形为平行四边形,所以,
又因为平面,平面,所以平面,
同理可证,且平面,平面,所以平面,
因为,,平面,所以平面平面,
又因为平面,所以平面．
（2）以A为坐标原点,直线,,分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,则,,,,,
所以,,．
设平面的法向量为,则
取,可得,,所以平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为,
则,
故直线与平面所成角的正弦值为．
20．答案：（1）,
（2）分布列见解析,
解析：（1）根据题意可知,,
．
（2）爸爸做经验分享的天数X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且,
故,
,
,
,
,
故X分布列为：
根据二项分布的期望公式可知,．
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由题可知的定义域为,．
令,则,．
令,得,令,得．
故在上单调递增,在上单调递减,
故．
所以对任意恒成立,
所以在上单调递减．
（2）由题可知,
则．
因为单调递增,所以,
即．
令,
则,．
当时,,此时单调递增,
当时,,此时单调递减,
所以,则,解得．
所以a的取值范围为．
22．答案：（1）3
（2）证明见解析,定点的坐标为
解析：（1）点在双曲线上
,解得,
双曲线C的方程为,则,．
设Q点坐标,则,,
．
点Q在双曲线C上,,
．
（2）设以AB为直径的圆与x轴的交点为．
由（1）可知双曲线的右焦点F为．
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,,,
,,
整理得到①．
由,消去y可得．
直线l与双曲线C有两个不同的交点,
且,
．
由题设有①对任意的总成立,
,,
①可转化为,
整理得到对任意的总成立,
故,解得,即点M的坐标为．
当直线l的斜率不存在时,,
此时,或,,
则,即M在以为直径的圆上．
综上,以为直径的圆恒过x轴上的定点,且定点的坐标为．
x
-2
0
0
0
增
极大值
减
极小值0
增
X
0
1
2
3
4
P