2024年江苏省东台市中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上）
1. 的绝对值是（ ）
A 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2. 下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】解：∵A图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故此选项不符合题意；
∵B图形是中心对称图形，又是轴对称图形，
故此选项符合题意；
∵C图形不是中心对称图形，是轴对称图形，
故此选项不符合题意；
∵D图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，
故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握各自的定义是解题的关键．
3. 年春节期间，西溪景区日均人流量约人次，数据用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
4. 在下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了无理数，锐角三角函数，根据无限不循环小数无理数进行判断即可.
【详解】解：是分数，属于有理数；
，是分数，属于有理数；
是负整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数，
故选：D
5. 下列运算：①；②；③；④；正确的是（ ）
A. ②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘除法、积的乘方运算法则计算后判断即可．
【详解】①，计算正确；
②，计算错误；
③，计算正确；
④，计算正确；
∴正确的是①③④，
故选：D．
6. 在如图所示的网格中，以点为原点，若、所在直线分别代表轴、轴，则与点在同一反比例函数图象上的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】C
【解析】
【分析】由点在反比例函数图象上可求出的值，再求出点、、、的横纵坐标的积，比较后即可得出结论．
【详解】解：反比例函数图象经过点，
．
点的坐标为，，
点不在反比例函数图象上；
点的坐标为，，
点不在反比例函数图象上；
点的坐标为，，
点在反比例函数图象上；
点的坐标为，，
点不在反比例函数图象上；
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
7. 如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，△ABC就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可．
【详解】解：如图所示，由网格的特点可知，
，
∴，
∴，
同理可证明，
∴从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有3个，
故选C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，过点作轴于点，根据题意可得，可证，可得的长，在中根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，

∵点，点，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，且，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为，
∴在中，，
故选：．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形与坐标，全等三角形判定和性质，勾股定理的运用，理解图示，掌握图形与坐标的运用，全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段长度的方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0.
10. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了多项式分解因式，先提取公因式2，再根据平方差公式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】
故答案为．
11. 如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中白色区域的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在白色区域的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：∵总面积为9个小三角形的面积，其中白色区域面积为6个小三角形的面积，
∴飞镖落在白色区域的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用白色区域表示所求事件A；然后计算白色区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率．
12. 如图，已知，，，则为________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．过点作，则，进而可得，从而即可得解．
【详解】解：如图，过点作，则，
∵，，
∴，
，
．
故答案为：．
13. 圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积是，则该圆锥的母线长为________cm．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得圆锥的底面周长，然后根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2”即可到关于母线长的方程，解方程求得母线长．
【详解】圆锥的底面周长是：，
设圆锥的母线长是，则，
解得：；
故答案为：5．
14. 如图，在中，，，，则的长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据可得，，圆周角定理可得，即可求出的长．
【详解】如图，与交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
15. 如果某函数图象上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“玉函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做该函数的一对“玉点”．根据该约定，下列关于的函数：；；；中，是“玉函数”的有_____（请填写序号）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数图象上点的特征，设函数上一个点的坐标为，则其关于原点对称的点坐标为，再根据“玉函数”的定义逐项判断即可得到答案，熟练掌握图象上点的特征是解题的关键．
【详解】解：设函数上一个点的坐标为，则其关于原点对称的点坐标为，
当时，，
∴当时，，即也在图象上，故符合题意；
当时，，
∴当时，，即不在图象上，故不符合题意；
当时，，
∴当时，，即在图象上，故符合题意；
当时，，
∴当时，，即不在图象上，故不符合题意；
综上可知：是“玉函数”，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，点D为边上的点，连接，将沿翻折，点B落在平面内点E处，边交边于点F，连接，如果，那么的值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．先过A作于M，过E作于N，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解．
【详解】解：如图所示：过A作于M，过E作于N，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点B落在平面内点E处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定位置作答，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
分析】本题主要考查了求特殊角三角形值，零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，先计算特殊角三角形值，零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
18. 求不等式的正整数解．
【答案】不等式的正整数解为：，，
【解析】
【分析】本题考查了不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．先根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，求出的取值范围，再根据正整数的概念即可求解．
【详解】解：
不等式的正整数解为：，，．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值问题，先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，计算括号外的，最后把a的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习惯．在端午节的早晨，妈妈为小华准备了四个粽子作早点（．一个红枣馅粽；．一个花生馅粽：．两个鲜肉馅粽）
（1）小华第一次刚好选到鲜肉馅粽的概率是________；
（2）若小华将四个粽子全吃完，用画树状图或列表的方法求小华前两个吃的粽子都是鲜肉馅粽的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）用鲜肉馅粽的数量除以粽子的总数量即可；
（2）首先分别用A，B，C表示示红枣馅粽、花生馅粽、鲜肉馅粽子，然后根据题意列表或画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小华吃前两个粽子刚好都是鲜肉馅粽的情况数，然后利用概率公式求解即可求得答案；
【小问1详解】
解：由题意得，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图得：
共有12种等可能的结果，小华吃前两个粽子刚好都是鲜肉馅粽的有2种情况
小华吃前两个粽子刚好都是鲜肉馅粽的概率：.
【点睛】本题主要考查的是概率的知识，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即.
21. 如图将矩形纸片折叠，使得点落在边上的点处，折痕经过点，与边交于点．
（1）用无刻度的直尺和圆规作图：求作点，（作图时，不写作法，保留作图痕迹，作好后请用黑色水笔描黑）；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，尺规作图—作角平分线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）以点C为圆心，为半径画弧，交于点M，连接，作的角平分线，交于点N，则M、N即为所求；；
（2）连接，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理得，则，设，则．在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图，以点C为圆心，为半径画弧，交于点M，连接，作的角平分线，交于点N，点，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，连接，
由折叠可得，，，
四边形为矩形，
，，，
在中，由勾股定理得，，
，
设，则，
中，由勾股定理得，，
即，
解得，
的长为3．
22. 安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表 活动后骑电瓶车戴安全头盔情况统计表
（1）“活动前骑电瓶车戴安全头盔情况统计表”中，类别对应人数不小心污损，计算的值为________；
（2）为了更直观的反应，，，各类别所占的百分比，最适合的统计图是_____，（选填“扇形统计图”，“条形统计图”，“折线统计图”）；
（3）若该市约有20万人使用电瓶车，估计活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为______万人；
（4）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【答案】（1）245 （2）扇形统计图
（3）1.78万人 （4）小明分析数据的方法不合理，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，统计表以及用样本估计总体．
（1）用总人数减去其他类别的人数即可；
（2）根据三种统计图的特点选择即可；
（3）活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数=在抽取的市民中“都不戴”的人数占抽取人数的百分比×20万；
（4）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
【小问1详解】
故答案为：245；
【小问2详解】
为了更直观的反应，，，各类别所占的百分比，最适合的统计图是扇形统计图，
故答案为：扇形统计图；
【小问3详解】
活动后全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数为：
（万人），
估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的总人数约为1.78万人；
【小问4详解】
小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全头盔的百分比：，
∵，
∴交警部门开展的宣传活动有效果．
23. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？
【答案】（1）道路的宽为6米
（2）每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大
【解析】
【分析】考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．
（1）由题意知，道路的宽为x米，根据铺花砖的面积列出方程并解答；
（2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式，进而求解．
【小问1详解】
根据道路的宽为米，根据题意得，
，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为6米；
【小问2详解】
设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，
根据题意得：，
当时，月租金收入最大为12500元，
答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大．
24. 如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）将抛物线沿轴向下平移个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，求的值或的取值范围．
【答案】（1），对称轴为直线；
（2）或．
【解析】
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的平移的性质．
（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）借助抛物线平移后的解析式即可判断出m的范围．
【小问1详解】
∵二次函数与x轴交于，两点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
将抛物线沿轴向下平移个单位，平移后的解析式为，
当平移后的抛物线过原点时，，此时，抛物线和有两个交点，
∴当时，平移后的抛物线与线段有且只有一个交点
当抛物线的顶点和x轴相交时，，解得，此时顶点坐标为在线段上，
综上所述，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，或；
25. 【问题背景】在一次物理实验中，小聪同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图1），已知串联电路中，电流与电阻、之间的关系为，通过实验得出如下数据：
（1）由题意可得________；
【探索研究】
（2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图像与性质．
①平面直角坐标系中画出对应函数的图像（画图时，不写画法，保留画图痕迹，然后请用黑色水笔描黑）；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是________；
【拓展提升】
（3）结合（2）中函数的图像，直接写出不等式的解集为________．
【答案】（1）；（2）①见解析；②不断减小；（3）．
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，二次函数的图像，解题的关键是数形结合．
（1）根据已知列方程求解；
（2）①用描点法画出图像即可；②根据函数图像即可求解；
（3）作函数的图像，根据图像即可求解．
【详解】（1）根据题意可得，
由表可得，当时，，
，
解得：，
故答案为：；
（2）①函数的图像如下：
②由图像可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图，
由图像可知，不等式的解集为，
故答案为：．
26. 综合与实战
【问题情境】最完美的四边形是正方形，在“综合与实战”课上，老师和同学们一起对正方形进行了再探究：如图，正方形的对角线，相交于点．
图1
【数学思考】老师首先提出了如下问题：
（1）如图，作关于的对称图形，连接交于点．试判断与的数量关系，并说明理由：
图2
【深入探究】老师让同学提出新的问题：
（2）善思小组提出问题：如图，以为直径作，点为上的动点，连接，，若正方形的边长为，求面积的最大值；
图3
（3）智慧小组提出问题：如图，以为直径作，点为上的动点，过点作对角线的垂线，垂足为，若正方形的边长为，求的取值范围．
图４
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】本题考查了对称性的性质、矩形的性质和判定、二次函数的性质、正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）；因为与对称，所以，，又因为四边形为正方形，所以，，，，所以，，，又因为，所以，故．
（2）过点作，垂足为，延长交于，则为上边上的高，此时的面积最大，故的面积最大值为．
（3）在上任找一点，过点作，垂足为，设，，过点作，因为，所以四边形为矩形，所以，，故在中，，在中，，在中，，所以，即，设，即，代入得，化简得，因为存在，所以，解得，又因为，所以，所以，所以，，故的取值范围是．
【详解】（1）；
证明：与对称，
，，
又四边形为正方形，
，，
∴，，
，，
，
又，
，
．
（2）解：过点作，垂足为，延长交于，
则为上边上的高，
此时的面积最大，
的面积最大值为．
（3）解：在上任找一点，过点作，垂足为，
设，，过点作，
，
四边形为矩形，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
，即，
设，即，
代入得，
化简得，
因为存在，所以，解得，
又，
，
，
，，
的取值范围．
27. 定义点切圆：把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线外有一点，经过点且与直线相切于点，则称是点与直线的点切圆．
阅读以上材料，解决问题；
已知直线外有一点，，，，是点与直线的点切圆．
（1）如图2，如果圆心在线段上，那么的半径长是______（直接写出答案）：
（2）如图3，以为坐标原点、为轴的正半轴建立平面直角坐标系，点在第一象限，设圆心的坐标是．
①求关于的函数解析式：
②点是①中所求函数图象上对称轴右边的一点，过点作，垂足是，连接，，若中有一个角等于的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②或或或
【解析】
【分析】（1）当点在上时（图中，作轴于点，则，可证得，从而，从而，从而求得；当点在的延长线上，同样的方法得出结果；
（2）①根据圆心到的距离等于点到轴的距离得出，化简得出结果；②先运用解直角三角形的相关性质得出，证明，且结合勾股定理得出，结合矩形性质得出，然后分类讨论，即当点B在对称轴右侧P点上方时，或当点B在对称轴右侧P点下方时，根据相似三角形的性质分别列式代入数值，运用公式法解方程，结合“点是①中所求函数图象上对称轴右边的一点”这个条件进行刷选，即可作答．
【小问1详解】
解：如图1，
作轴于点，
则，
轴，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
①由题意得，
圆心到的距离等于点到轴的距离，
，
；
即；
②过点P作，使，
∴，
在中，，
∴
∵
∴；
过H作，垂足为M，
∴
∵
∴
∴
∴，
则
即
∴
∴
可得，
过H作，垂足为N，
又∵四边形为矩形，
∴，
（1）当点B在对称轴右侧P点上方时，
当时，
设，
则
即
解得（不在对称轴的右边），，
则
∴
当时，
设，
则
即
解得（不在对称轴的右边），，
则
∴；
（2）当点B在对称轴右侧P点下方时，
当时，
设，
则
即
解得 （不在对称轴的右边），，
∴；
当时，
设，
则
即
解得（不在对称轴的右边），，
把代入，得出
∴．
综上：满足题意的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，涉及解直角三角形的相关性质以及相似三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，勾股定理，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
类别
人数
A：每次戴
B：经常戴
C：偶尔戴
D：都不戴
A
68
B
a
C
510
D
177
合计
1000
…
…
…
4
…