福建省福州市2024届高三下学期4月末质量检测（三模）数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市2024届高三下学期4月末质量检测（三模）数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，则( )
A.B.C.D.
2．设，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．等轴双曲线经过点，则其焦点到渐近线的距离为( )
A.B.2C.4D.
4．若，则( )
A.B.C.D.
5．已知非零复数z满足，则( )
A.1B.-1C.iD.-i
6．的展开式中的系数为( )
A.-14B.-6C.34D.74
7．数列共有5项，前三项成等差数列，且公差为d，后三项成等比数列，且公比为q.若第2项等于2，第1项与第4项的和等于10，第3项与第5项的和等于30，则( )
A.1B.2C.3D.4
8．四棱锥的顶点均在球O的球面上，底面为矩形，平面平面，，，，则O到平面的距离为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是( )
A.甲选手射击环数的极差大于乙选手射击环数的极差
B.甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数
C.甲选手射击环数的方差大于乙选手射击环数的方差
D.甲选手射击环数的第75百分位数大于乙选手射击环数的第75百分位数
10．已知函数满足，且，则( )
A.B.
C.的图象关于点对称D.在区间单调递减
11．已知函数恰有三个零点，，，且，则( )
A.B.实数a的取值范围为C.D.
三、填空题
12．若向量在向量上的投影向量为，则等于______.
13．倾斜角为的直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点，Q为线段的中点，P为C上一点，则的最小值为______.
四、双空题
14．如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则该六面体的体积等于________，表面积等于______.
五、解答题
15．已知数列满足，（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，证明：.
16．甲企业生产线上生产的零件尺寸的误差X服从正态分布，规定的零件为优等品，的零件为合格品.
（1）从该生产线上随机抽取100个零件，估计抽到合格品但非优等品的个数（精确到整数）；
（2）乙企业拟向甲企业购买这批零件，先对该批零件进行质量抽检，检测的方案是：从这批零件中任取2个作检测，若这2个零件都是优等品，则通过检测；若这2个零件中恰有1个为优等品，1个为合格品但非优等品，则再从这批零件中任取1个作检测，若为优等品，则通过检测；其余情况都不通过检测.求这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率（精确到0.01）.
（附：若随机变量，则，，）
17．如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体.设P是上的一点，G，H分别为线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
18．点P是椭圆E：（）上（左、右端点除外）的一个动点，，分别是E的左、右焦点.
（1）设点P到直线：的距离为，证明为定值，并求出这个定值；
（2）的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G，I，已知直线垂直于x轴.
(i)求椭圆E的离心率；
(ii)若椭圆E的长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围.
19．记集合，集合，若，则称直线为函数在D上的“最佳上界线”；若，则称直线为函数在D上的“最佳下界线”.
（1）已知函数，.若，求k的值；
（2）已知.
(i)证明：直线是曲线的一条切线的充要条件是直线是函数在上的“最佳下界线”；
(ii)若，直接写出集合中元素的个数（无需证明）.
参考答案
1．答案：D
解析：由得，即，所以，
于是.
故选：D.
2．答案：C
解析：当时，或，则，即充分性成立；
当时，，则，即必要性成立；
综上可知，“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．答案：A
解析：因为该曲线为等轴双曲线，
不妨设该双曲线的方程为，
因为等轴双曲线经过点，
所以，
解得，
则，
所以该双曲线的一个焦点坐标为，
易知该双曲线的一条渐近线方程为，
则点到直线的距离.
故选：A.
4．答案：C
解析：
平方可得，所以.
故选C.
5．答案：D
解析：设，则由知.
从而，展开即得.
由z非零，知，故.
故选：D.
6．答案：B
解析：的展开式为，1，2，3，4，，
的展开式，1，2，3，，
当，时，的系数为；
当，时，的系数为；
当，时，的系数为，
故的系数为.
故选：B.
7．答案：B
解析：由根据题意得，该数列的项为，2，，，，
又，即，解得或.
于是.
故选：B.
8．答案：A
解析：因为平面平面，交线为，又底面为矩形，则，
因为平面，所以平面，则，，又，，，所以，则,
如图，将四棱锥补成长方体，
若四棱锥的顶点均在球O的球面上，则长方体的顶点均在球O的球面上，O为体对角线中点，
如图，以E为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，故，
设平面的法向量为，又，，
，令，所以，
又，则O到平面的距离为.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：甲选手射击环数从小到大排列：86，87，90，91，96，则甲选手射击环数的：
极差等于；
平均数等于；
方差等于；
第75百分位数等于91.
乙选手射击环数从小到大排列：86，87，90，92，95，则乙选手射击环数的：
极差等于；
平均数等于；
方差等于；
第75百分位数等于92.
综上可知，ABC选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
10．答案：BC
解析：因为函数满足，
所以的图象关于对称，
则，，
则，，
所以或，
因为，
所以，，，A错误，B正确；
则，
，即的图象关于点对称，C正确；
当时，，
因为在,上不单调，D错误.
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：函数定义域为R，
，
所以是奇函数，则，
又因为有三个零点且，，
所以，，即，故A选项正确；
，得，
令，则，所以在R上增函数，
要使函数有3个零点，与的图象有3个交点，如图：
又，
当且仅当时取等号，即，
所以，故B错误；
，故C选项正确；
由得，又，
要使成立，则成立，
令，，
所以在单调递增，则，
于是，则，故D正确.
故选：ACD.
12．答案：-2
解析：所以.
故答案为：-2.
13．答案：8
解析：易知抛物线的焦点，准线，直线的方程为，
联立，消去y并整理得，
不妨设,，,，
由韦达定理得，
此时线段的中点Q的横坐标，
过P作准线的垂线，垂足为，过Q作准线的垂线，垂足为D，
由抛物线的定义可得
取得的最小值为8.
故答案为：8.
14．答案：6；22
解析：如图，在上取，连接，，
因为，，均垂直于平面，所以，
则，，因为正方形，所以，
又，平面，所以平面，
由可得四边形为平行四边形，所以，，
因为面为正方形，则，，所以，，
则四边形为平行四边形，所以，，
又平面，平面，所以平面，
因为平面平面，则，
所以四边形为平行四边形，所以，
故为三棱柱，为三棱柱，
则该六面体的体积；
如图，连接，，
又，，
所以，
则在四边形中，由余弦定理得，
所以，则，
该六面体的表面积
.
故答案为：6；22.
15．答案：（1），；
（2）证明见解析.
解析：（1）因为，，所以，
当时，，
所以，
所以，，所以，，
又因为，所以，.
（2）由（1）可知，，
所以，
所以
，
所以，
又因为，所以.
16．答案：（1）约31个；
（2）约为0.61.
解析：（1）依题意得，，，
所以零件为合格品的概率为，
零件为优等品的概率为，
所以零件为合格品但非优等品的概率为，
所以从该生产线上随机抽取100个零件，
估计抽到合格品但非优等品的个数为.
（2）设从这批零件中任取2个作检测，2个零件中有2个优等品为事件A，恰有1个优等品，1个为合格品但非优等品为事件B，从这批零件中任取1个检测是优等品为事件C，这批产品通过检测为事件D，
则，且A与互斥，
所以
，
所以这批零件通过检测时，
检测了2个零件的概率为.
答：这批零件通过检测时，检测了2个零件的概率约为0.61.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：解法一：（1）在正方形中，连接并延长，交的延长线于点K，连接.
因为G，H分别为线段，中点，
所以，所以，
所以，所以.
又因为面，面，所以面.
（2）依题意得，面，又因为面，所以.
又因为，，，面，
所以面，
又面，所以，
所以，，两两垂直.
以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
不妨设，
则，，，，
设平面的法向量为，则
即取，得，，
所以平面的一个法向量是，
又平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，则.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
解法二：（1）证明：取的中点Q，连接，.
因为G，H分别为线段，的中点，
所以，，
又因为，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为面，面，所以面.
（2）同解法一.
解法三：（1）证明：取的中点I，连接，.
因为G，H分别为线段，的中点，
所以，，
又因为面，面，所以面.
因为面，面，所以面.
又因为，面，面，
所以面面，又因为面，
所以面.
（2）同解法一.
18．答案：（1）证明见解析，定值为；
（2）(i)；(ii)
解析：解法一：（1）依题意，.
设，则，，
所以，
所以，
又，所以，，所以，
所以，即为定值，且这个定值为.
（2）(i)依题意，，
设直线与x轴交于点C，因为轴，所以，
所以，
因为的内切圆与x轴切于点C，
所以，
又因为，解得
由（1）得，所以，
所以椭圆E的离心率.
(ii)由，得，又，所以，，
所以椭圆E的方程为.
根据椭圆对称性，不妨设点P在第一象限或y轴正半轴上，即，，
又，，
所以直线的方程为，
设直线与交于点D，因为，所以，
的面积与的面积S之比为，
令（），则，
当，，当，，
所以函数在单调递减，在单调递增.
又因为，，，
所以的值域是，所以，
所以，
根据对称性，被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围是.
解法二：（1）同解法
（2）(i)依题意，，
设直线与x轴交于点C，因为轴，所以，
所以，
因为的内切圆与x轴切于点C，
所以，
又因为，得
所以两式平方后取差，得对任意成立，
所以椭圆E的离心率.
(ii)同解法
解法三：（1）同解法
（2）(i)依题意，，因为轴，设点I坐标为，
可求直线方程为，
则点I到直线的距离，
即，
化简得，①
同理，由点I到直线的距离等于，可得，②
将式①－②，得，则.
将代入式①，得，
化简得，得，
所以椭圆E的离心率.
(ii)同解法
19．答案：（1）或-1；
（2）(i)证明见解析；(ii)2个
解析：（1）依题意，因为，
所以，，且，，
令，，
则，且，
所以所以，即，解得或.
（2）(i)先证必要性.
若直线是曲线的切线，设切点为，
因为，所以切线方程为，
即（*）
一方面，，所以，，
另一方面，令，则，
因为，
所以当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以，所以.
即，，
所以，即是函数在R上的“最佳下界线”.
再证充分性.
若是函数在R上的“最佳下界线”，不妨设，
由“最佳下界线”的定义，，，且，，
令，
则且，所以.
因为，
①若，则，所以在R上单调递增，
所以，使得，故不符合题意.
②若，令，得，
当时，，得在单调递减，
当时，，得在单调递增，
所以，当且仅当时，取得最小值.
又由在处取得最小值，，
所以
即解得，，
所以，
由（*）式知直线是曲线在点处的切线.
综上所述，直线是曲线的一条切线的充要条件是直线是函数在R上的“最佳下界线”.
(ii)集合元素个数为2个.
甲
乙
87
90
96
91
86
90
86
92
87
95