四川省成都市四川省成都市第七中学2024年初中学校中考三模数学试题(含解析)

这是一份四川省成都市四川省成都市第七中学2024年初中学校中考三模数学试题(含解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
（满分150分，120分钟完成）
A卷（满分100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题只有一项符合题目要求）
1．下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形是棱锥侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．（）
C．D．
4．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ）
A．试验次数越多，f越大
B．f与P都可能发生变化
C．试验次数越多，f越接近于P
D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
5．已知一组数据：，，，，，这组数据的方差是（ ）
A．B．2C．D．
6．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A．B．
C．D．
7．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形的周长不变B．四边形的面积不变
C．D．
8．已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．9的算术平方根是 ．
10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 ．
11．已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
12．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
13．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线交于点D，则线段的长为 ．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组．
15．为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______；
(2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数；
(3)学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
16．徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点处，用测角仪测得塔顶的仰角，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点处，测得塔顶的仰角．若测角仪距地面的高度，求电视塔的高度（精确到．（参考数据：）

17．已知：在中，以边为直径的交于点，在劣弧上取一点，使，延长依次交于点，交于
(1)求证：；
(2)若，的直径等于，，求和的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点B．
(1)求和的值，及点坐标；
(2)将直线沿着轴向上平移个单位与轴，轴分别交于点，点，若，求的值；
(3)若点在反比例函数图象上，点是线段延长线上一点，过点作直线，交反比例函数于点，若，求点的坐标．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．已知a+b＝3，ab＝﹣4，则 ．
20．关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
21．《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

22．如图，在中，，D为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则 ．
23．平面直角坐标系中，的半径为1，A、B为外两点，．给出如下定义：平移线段，得到的弦（，分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．若点A的坐标为，记线段到的“平移距离”为d，d的取值范围为 ．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
(1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
(2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
25．抛物线：与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点，当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
(3)如图2，将抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，得到抛物线，直线：交抛物线于、，若，求原点到距离的最大值．
26．如图，矩形中，，，点，分别为边，上的点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段．射线与对角线交于点，连接，．

(1)求的度数：
(2)若，求的值；
(3)连接，，若，设和的面积分别为，，当点在边上运动时，求的最大值及此时的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解．
【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的侧面展开图和侧面的特征是解决此类问题的关键．
由棱锥的侧面展开图的特征可知答案．
【详解】解：棱锥的侧面展开图是三角形．
故选：D．
3．D
【分析】根据求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. （），故该选项不正确，不符合题意；
C. ，该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选D
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，分式的加减，二次根式的加法，同底数幂的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
4．D
【分析】根据频率的稳定性解答即可．
【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性．
故选：D．
【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．
5．D
【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的计算公式列式计算即可．
【详解】解：∵这组数据的平均数为
∴这组数据的方差为
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义，并熟记方差的计算公式．
6．D
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．
【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得，，则可满足四边形是平行四边形，得到，随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，据此可得答案．
【详解】解：由矩形的性质可得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故D符合题意，
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意，
故选：D．
8．B
【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．
【详解】解：∵抛物线对称轴为，，
∴二次函数图象必经过第一、二象限，
又∵，
∵，
∴，
当时，抛物线与x轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，
当时，抛物线与x轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限，
故①错误；②正确；
∵抛物线对称轴为，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，故③正确；
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．
9．3
【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．
【详解】∵，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．
10．35°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
11．
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，
∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
12．1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
13．
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将的面积分解成的面积和面积和，转化成以为未知数的方程求出．
【详解】如图：过点作于点，

，
由题意得：平分，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、直角三角形面积，重点掌握勾股定理的运用，直角三角形的面积转换是解题的关键．
14．（1）；（2）
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，算术平方根，解一元一次不等式；
（1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，算术平方根，再合并即可；
（2）分别解两个不等式，求其公共解集即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
15．(1)50，7；
(2)见解析，108°；
(3)．
【分析】此题主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键．
（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由统计图可得，这次抽样调查共抽取：（人），，
故答案为：50，7．
（2）由（1）知，，等级为的有：（人），
补充完整的条形统计图如图所示，等所在扇形圆心角的度数为： ．

（3）树状图如下所示：

由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
16．
【分析】先证四边形是矩形，四边形是平行四边形，得，然后在和中，解直角三角形以及由构造方程求解即可得解．
【详解】解：∵，，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴电视塔的高度．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是熟练解直角三角形，属于中考常考题型．
17．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理．
（1）连接，由圆周角定理即可得出，，再根据直角三角形的性质即可得出结论；
（2）首先利用勾股定理求出，，然后利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
的直径等于，
，则，
，，
，
，即
，，
，
，
即，
即，
解得：，
．
18．(1)；；
(2)或
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定；
（1）先求点坐标，再求反比例函数的解析式，通过求点坐标即可；
（2）由题可知平移后的函数解析式为，则，再由，列出方程，求出的值即可；
（3）先判断是直角三角形，且，则，当时，过点作，则，先求出直线的解析式为，设点关于直线的对称点为，根据对称的性质确定，再由，求出，直线与反比例函数的交点即为点．
【详解】（1）解：将代入
∴
解得：
∴，
将代入，得
∴反比例函数解析式为
联立
解得：或
∴
（2）由题可知平移后的函数解析式为
当时，，
当时，
∴，
又，
∵，则
∴
解得：
（3）∵点在反比例函数图象上，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
当时，过点作，
，
，
直线的解析式为，
又，
设直线的解析式为，代入
解得：
直线的解析式为，
设点关于直线的对称点为，，
的中点为，
的中点在直线上，
，
，
，
，
解得（舍去）或，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
联立
解得 舍或
．
19．
【分析】根据完全平方公式以及分式的除法运算即可求出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵ab＝﹣4，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的除法以及完全平方公式．
20．m<2且m≠0
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】解：去分母得：m+4x-2=0，
解得：x＝，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴＞0，
∴m<2，
∵2x-1≠0，
∴，
∴m≠0，
∴m的取值范围是m<2且m≠0．
故答案为：m<2且m≠0．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
21．6
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．
22．##
【分析】作于点F，根据折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一，可得，设，则，，进而可证，设，，求出，再用勾股定理求出，根据即可求解．
【详解】解： D为边上的中点，
，
由折叠知，，
，
，
如图，作于点F，
，，
，，
设，则，，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等，涉及知识点较多，能够正确作出辅助线，并综合应用上述知识点是解题的关键．
23．
【分析】本题考查点到圆上的距离，由题意知，点A到的距离最小时，d取最小值，点A到的距离最大时，d取最大值，由此可解．
【详解】点A的坐标为，
，
线段的位置变换，可以看做是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在内找到与之平行，且长度为1的弦即可，
如图，当点在线段上时，取最小值，

如图，当点在线段的延长线上时，取最大值，

综上可知，d的取值范围为：，
故答案为：．
24．(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
(2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解；
（2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=．
【详解】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得
解得，，
，
答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元．
（2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,
则，解得，故最小整数解为，
，
∵，则w随m的增大而增大，
∴时，w取最小值，最小值．
答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键．
25．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用交点式求解即可；
（2）讨论点在之间时，点与点重合时，点在之间时三种情况即可；
（3）先利用构造相似得出，利用一次函数得出，联立一次函数与抛物线解析式得出，，判断出一次函数过定点，即可解决．
【详解】（1）∵抛物线与轴交于点，，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴，
解得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，
代入和，
得，
解得，
所以直线的表达式为：，
由题意得，点，点，点，
则，
①当点在之间时，
存在点是的中点，
则，
化简得：，
解得：（舍去）或，
则；
②当点与点重合时，不存在；
③当点在之间时，
存在点是的中点，
则，
化简得：，
解得：（舍去）或，
则，
综上，或；
（3）∵抛物线水平向左平移，使抛物线恰好经过原点，抛物线与正半轴交于点，
∴抛物线向左平移个单位即可得抛物线，
∴抛物线的表达式为，
设点和点，且点在点左侧，
根据，可知图形有两种情况：
当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
化简得：；
当如下图时，过点作轴于点，过点作轴于点，
同理可得；
综上，，
联立与，
得：，
化简得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴直线过定点，
∴原点到距离的最大值即点到点的距离，
即．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及二次函数性质，待定系数法求解析式，铅锤法表示线段，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，分类讨论及数形结合是关键．
26．(1)
(2)
(3)的最大值为；此时
【分析】（1）根据旋转的性质可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解；
（2）过点作，于点，延长至点，使得，连接，得出，证明，，进而证明，得出，连接，证明，得出，进而根据，即可求解；
（3）作与点，则点为的，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，证明，，，四点共圆，进而证明，得出，得出，求得，设则，根据表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
∴是等边三角形，
∴，
（2）如图所示，过点作，于点，延长至点，使得，连接，

∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵，，
，
，
又，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，作，连接， ，过点作于，过点作分别交、于、，

由（1）可得是等边三角形，
∴点为的中点，
，，
，
，
∴四点共圆，
，，
，
，
∵
∴
∴，又
∴
∴
又，则
∴点在上，
∵
，
，
，
，
在中，，
， ，
，
，
，
，
，
∴，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设则，
，
，
，
，
，
∴当时，取的最大值，最大值为，此时．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．