2024年陕西省西安高新第一中学中考五模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 某班期末考试数学平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A. 86B. 83C. 87D. 80
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
3. 如图，，平分，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，再由角平分线确定，利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查平行线的性质及角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
4. 下列运算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法法则计算后再判断即可．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项A符合题意；
B. ，原选项计算错误，故选项B不符合题意；
C. 与不是同类项不能合并，原选项计算错误，故选项C不符合题意；
D. ，原选项计算错误，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方、合并同类项以及同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5. 在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位后，与直线的交点可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可．
【详解】解：直线向上平移个单位后，得到，
把代入得，，
∴交点不可能是，故A不合题意；
把代入得，，
把代入，求得，故B不合题意；
把代入得，，
把代入，求得，故C符合题意；
把代入得，，
∴交点不可能是，故D不合题意；
故选：C．
6. 如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（ ）
A. 10B. 12C. 16D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，中位线性质定理，等边三角形性质及判定，三角形周长等．根据题意可得，再根据平行线性质可得，继而得到是等边三角形，再利用周长公式即可得到本题答案．
【详解】解：∵P、N是和的中点，，，
∴，，
∴，
同理，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长是12．
故选：B．
7. 不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点，，若该圆半径是，，则 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，弧长的计算，熟练掌握切线的性质，以及弧长公式是解题的关键．
先利用切线的性质可得，再根据特殊角的三角函数值可得，从而利用四边形内角和是可得，然后利用周角定义可得所对的圆心角度数，从而利用弧长公式进行计算即可解答．
【详解】解：帽子的边缘，分别与相切于点，，
，
，
，
，
所对的圆心角度数，
的长，
故选：B．
8. 已知抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点．这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为，若四边形是正方形，则的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键．
利用抛物线的式子求出顶点坐标的位置和与轴上的交点坐标，利用正方形对角线相等的性质列式运算即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点为，
∴，顶点在轴上方，
∴，
把代入可得：，
解得：，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．先利用点A、B表示的数计算出，再计算出，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．
【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，
∴，
∵，
∴，
∵C在B的左侧，
∴点C表示的数是．
故答案为：．
10. 如图，正六边形，正方形，连接，则图中的度数为__________．
【答案】##15度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的判定即性质，熟悉掌握正多边形的内角运算方法是解题的关键．
利用正多边形的内角度数求法运算出正六边形和正方形的内角度数，即可得到的度数，再利用等腰三角形的性质运算求解即可．
【详解】解：∵正六边形的内角度数为：，正方形的内角度数为：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11. 小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形，和如图3所示的边长为1的正方形，则图1中菱形的边长为 __．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式应用，二次根式求值，菱形和正方形性质等．根据题意设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，列出关于a和b的式子解出即可．
【详解】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则：，
化简得：，
∴，
∴菱形的边长：，
故答案为：2．
12. 已知点，，都在同一个反比例函数的图象上．若，，请写出一个符合条件的反比例函数表达式__．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，以及反比例函数图象和性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．设反比例函数的解析式为（），根据题意得到当时，y随x的增大而增大，进而得到，根据写出符合条件的反比例函数的解析式即可．
【详解】解：设反比例函数的解析式为（），
点，，都在反比例函数的图象上，，，
当时，y随x的增大而增大，
，
符合条件函数关系式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，在中，，，D为边上的一个动点，连接，过点D作，交边于点E．若，则线段的最大值为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的相似和圆周角的性质，熟练掌握圆周角的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键，由可确定在为直径的圆上，当最小时，最小，此时最大，利用可求出的值进而求即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点D在以为直径的圆上，设圆心为O，
∴，
∴，
当最小时，最小，此时最大
当与相切时，，此时最小，
设，则，
在中，
，，
，
∵，，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴的最大值为．
故答案为：.
三、解答题（共13小题，计81分）
14. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法和步骤是解题关键．按照去分母，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：，
去分母，得 ，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数计算，特殊角三角函数值，绝对值化简，二次根式计算等．根据题意先将每项整理后从左到右依次计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，去分母把方程化为整式方程，解方程后，再检验后即可得到答案．
【详解】解：
方程两边都乘，得.
去括号，得，
解得.
检验、当时，，
所以原方程的解为.
17. 如图，已知，，．请用尺规作图法在AC边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的做法，相似三角形的判定，熟悉掌握角平分线的做法是解题的关键．
根据，公共角为，得到，即作的角平分线即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴当时，，公共角为，
∴作的角平分线即可，如图所示即为所求：
18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边，上，，连接，．
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】如图，连接，证明，即可得．
【详解】证明：如图，连接．

∵四边形是菱形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
19. 有甲、乙两个不透明袋子，甲袋装有三个小球，分别标有数字1，2，4，乙袋装有两个小球，分别标有数字2，3，这些小球除数字不同外其余都相同．
（1）从甲袋任意摸出一个小球，求“恰好摸到数字为1的小球”的概率；
（2）现制定游戏规则如下：游戏者先选定一个袋子摸出一个小球，再从另一个袋子摸出一个小球，若第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字，则该游戏者可获得一份奖品．为了使获奖的可能性更大，游戏者应先选定从哪个袋子摸球？说明你的理由．
【答案】（1）
（2）先选定从甲袋摸球，见解析
【解析】
【分析】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）分两种情况，画树状图得出所有等可能结果，从中找到该游戏者可获得一份奖品的结果数，根据概率公式计算出两种不同顺序的概率即可得出答案．
【小问1详解】
（1）从甲袋任意摸出一个小球，标有数字的所有可能结果为1，2，4，共3种等可能的结果，
恰好摸到数字为1的小球的结果只有1种，
所以P（恰好摸到数字为1的小球）；
【小问2详解】
游戏者应先从甲袋摸球．理由如下：
（ⅰ）若先选定从甲袋摸球，画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有3种结果，
所以P（先选甲袋而获奖）．
（ⅱ）若先选定从乙袋摸球，画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中“第一个袋子摸出小球的数字小于第二个袋子摸出小球的数字”的共有2种结果，
所以P（先选乙袋而获奖）．
因为，所以游戏者应先选定从甲袋摸球．
20. 我国古典数学文献《增删算法统宗・六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答）
【答案】甲有羊63只，乙有羊45只
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍可得方程；根据甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同可得方程，据此列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只，
根据题意，得
解得，
答：甲有羊63只，乙有羊45只．
21. 某学习小组在学习了锐角三角函数之后，想要利用课余时间测量公园人工湖岸边一棵树的高度，制定了如下的测量方案．
请根据以上测量数据，带助该学习小组求这棵树的高度．（结果精确到．参考数据：）
【答案】这棵树的高度大约为
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活利用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意得：，，，，利用三角函数分别求出，，即可求出的高度．
【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
由题意得：，，，，
在中，，
，
在中，，
解得：，
，
即这棵树的高度大约为．
22. 国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下：
甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）
乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式；
（2）请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算．
【答案】（1），
（2）当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式．
（1）根据两家公司的费用计算方法求解即可；
（2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算．
【小问1详解】
解：根据题意，，
当时，，
∴，；
【小问2详解】
解：时，，选择乙公司比较合算，
时，，选择乙公司比较合算，
时，，选择乙公司比较合算；
当时，
当时，，
解得，
此时选择甲乙公司一样合算；
当时，且，
解得，
此时选择乙公司合算；
当时，，
解得，
此时选择甲公司合算；
∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算．
23. 在中国上下五千年的历史长河中，涌现出一批批中华名人，各自创下了不朽的丰功伟绩，极大地推动了中华文明乃至整个人类文明的发展．为了解中华历史名人，增强民族自豪感和爱国热情，某校团委组织了一次“中华名人知多少”竞赛，随机抽取40名学生进行了相关知识竞答，他们的测试成绩（满分100分）如下：
65，81，74，87，76，80，89，94，88，66，72，90，96，83，99，78，98，79，89，87，75，66，85，97，88，86，89，68，88，84，86，92，77，84，95，78，82，93，96，85．
按“组距为10”制作了如下不完整的频数分布表（每组数据含最小值不含最大值）和频数分布直方图：
40名学生知识竞答测试成绩频数分布表
根据上述数据，解答下列问题：
（1）将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图．
（2）这40名学生测试成绩的中位数落在 组内；若绘制扇形统计图，则“分”这组对应扇形的圆心角的度数是 ．
（3）该校将知识竞答测试成绩为“分”记为良好，请你估计全校1000名学生中对“中华名人知多少”了解情况达到良好等级的人数．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）450名
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图和用样本估计总体：
（1）根据所给数据，即可将频数分布表中空缺部分补充完整，并补全频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义可知这40名学生测试成绩的中位数落在“”组内；用乘“分”这组所占的百分比即可得出圆心角的度数；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【小问1详解】
解：补全频数分布表如下：
补全频数分布直方图如下：
【小问2详解】
解：把抽取40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数都在“”内，故这40名学生测试成绩的中位数落在“”组内；
若绘制扇形统计图，则“分”这组对应扇形的圆心角的度数是；
故答案为：；
【小问3详解】
解： （名），
答：估计全校1000名学生中对杭州亚运会知识了解情况达到良好等级的人数大约为450名．
24. 如图，在中，，是外接圆的切线，D在圆上，延长交于点F，且，连接．

（1）求证：；
（2）若外接圆的半径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）设圆的圆心为O，根据为直径，取的中点O，连接交于H，证明四边形为矩形，得出，根据垂径定理得出，即可证明结论；
（2）连接，根据圆内接四边形的性质得出，设，得出，，根据得出，求出x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：设圆的圆心为O，
∵，
∴为直径，取中点O，
连接DO交AC于H，

∵切于D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵过点O，，
∴
∴；
【小问2详解】
解：连接，

∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
25. 某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：）与飞行高度y（单位：）的部分对应数值如表．
03根据上面的信息，解决下列问题：
（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域，，，若飞机能落到回收区域内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】（1）飞机落到水平安全线时飞行水平距离为
（2）发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用：
（1）设，利用待定系数法求得，当时，求得的值即可求解；
（2）设，根据题意得，将和将代入，求得即可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设，
将和代入
得：，
解得：，，
∴，
当时，，
解得：或，
答：飞机落到水平安全线时飞行水平距离为．
【小问2详解】
设，
，
，
将代入得：；
将代入得：，
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
26. （1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，．先证明，得出，，则四边形的周长，当最小时，四边形 周长最小，求出此时的即可解答；
（2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，得出周长的最小值是，再利用平行四边形的判定与性质求得的面积．
【详解】解：（1）连接，，如图，

点是等边内心，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
四边形的周长，
，
当时，最小，四边形周长最小，此时，
四边形的周长的最小值；
（2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，如图，

则，．
两点之间线段最短，
，
周长，
周长的最小值是，
、关于对称，、关于对称，
，，，，，
．
，
，
，
过点作，

，，
．
即、、和的最小值为，
此时，
的面积为，
当的面积最小时，四边形的面积最大，
在中，，上的高（定角定高模型），
当时，的面积最小，且最小值为，
四边形的面积最大值，
当，时，，得四边形为平行四边形，
此时平行四边形的面积四边形的面积．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用轴对称的性质添加辅助线是解题的关键．课题
测量人工湖岸边一棵树的高度
成员
组长：瑛瑛
组员：小明、小华、小晴
测量工具
测角仪、皮尺
测量示意图及测量数据

说明：线段表示所要测量树的高度．测量者在岸边点B处清晰地看到这棵树倒映在平静的湖面上，并测得该树顶端C的仰角为，树的顶端C在水中的倒影D的俯角为．测量者的眼睛距湖面的高度，点B，F在同一水平直线上，，点A，B，C，D，F在同一平面内．
实施说明
测量树的顶端在水中倒影的俯角，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，经多次测量取其平均值．（光线的折射忽略不计）
分组
划记
人数（频数）
正
8
正正正
18
分组
划记
人数（频数）
4
正
8
正正正
18
正正
10
飞行水平距离x/m
0
20
30
50
80
…
飞行高度y/m
0
40
54
70
64
…