广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省江门市2024届高三一模考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布.现随机选择一名本市高三年级男生,则该男生身高不高于170cm的概率是( )(参考数据：)
2．在中,,,,则角A的大小为( )
A.B.或C.D.或
3．已知是等比数列,,且,是方程两根,则( )
A.B.C.D.
4．已知角的终边上有一点,则=( )
A.B.C.D.
5．设,为双曲线C：(,)的左、右焦点,点A为双曲线的左顶点,以为直径的圆交双曲线C的渐近线于M,N两点,且点M,N分别在第一、三象限,若,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
6．已知,则的值是( )
A.680B.C.1360D.
7．已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm),方差为26,若增加一名身高172(单位：cm)的女生,则这10名女生身高的方差为( )
A.32.4B.32.8C.31.4D.31.8
8．物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中,以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若,则k的值为( )
A.7B.8C.9D.10
二、填空题
9．下列说法正确的是( )
A.,
B.
C.若,,则的最小值为1
D.若是关于x的方程的根,则
10．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.若相邻两条对称轴的距离为,则
B.当,时,的值域为
C.当时,的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为
D.若在区间上有且仅有两个零点,则
11．已知曲线,则下列结论正确的是( )
A.y随着x增大而减小
B.曲线E的横坐标取值范围为
C.曲线E与直线相交,且交点在第二象限
D.是曲线E上任意一点,则的取值范围为
12．已知向量,,若与垂直,则______.
13．函数的定义域为R,对任意的x,y,恒有成立.请写出满足上述条件的函数的一个解析式__________.
三、双空题
14．某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图),则该几何体共有______个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么该几何体的表面积是______.
四、解答题
15．如图,四边形是圆柱底面的内接矩形,是圆柱的母线.
(1)证明：在侧棱上存在点E,使平面；
(2)在(1)的条件下,设二面角为,,,求三棱锥的体积.
16．在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列,且传输相互独立.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时,收到1的概率为,收到0的概率为：发送1时,收到0的概率为,收到1的概率为.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)已知接收的信号为1,且,,求发送的信号是0的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下：单次传输时,收到的信号即为译码；三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).已知发送1,若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率,求β的取值范围.
17．已知椭圆的离心率是,过点的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l与x轴垂直时,直线l被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在与点M不同的定点N,使得恒成立?若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由.
18．已知关于x的方程有三个根,分别为,,,且.
(1)求m的取值范围；
(2)设,证明：随着t的增大而减小.
19．将2024表示成5个正整数,,,,之和,得到方程①,称五元有序数组为方程①的解,对于上述的五元有序数组,当,时,若,则称是密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解,使得等于同一常数?若存在,请求出该常数；若不存在,请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是密集的?
(3)记,问S是否存在最小值?若存在,请求出S的最小值；若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意,,,
且,
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意知中,,,,
故,即,
由于,故,则或,
故A的大小为或,
故选：D.
3．答案：C
解析：因为是等比数列,所以,,又,所以,
又,是方程两根,
所以.
故选：C.
4．答案：A
解析：由题意知角的终边上有一点,则,
故,则,
故选：A.
5．答案：C
解析：根据已知条件,双曲线的渐近线方程为交于M、N两点,
以为直径的圆的方程为,直线与圆方程联立有：
解得,,所以,所以,,
所以垂直于x轴,设B为双曲线右顶点,垂直于x轴,所以,
又因为,所以,所以,,
所以,所以,即.
故选：C.
6．答案：B
解析：令,则,即
令,则,
即,
两式相加可得,
故选：B.
7．答案：A
解析：令9名女生的身高为,,依题意,,,
因此增加一名女生后身高的平均值为,
所以这10名女生身高的方差为
.
故选：A.
8．答案：C
解析：,
而,故.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：对于A,,设复数,,则,,,
故,A正确；
对于B,由于,故,B错误；
对于C,,设,,由于,则,,
故,
由,得,则,
故当时,的最小值为1,C正确；
对于D,是关于x的方程的根,
故,即,
故,,D正确,
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：
,
对于A,若相邻两条对称轴的距离为,则,故,A错误,
对于B,当,,当时,,
则的值域为,B正确,
对于C,当,,
的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为
,C正确,
对于D,当时,,
若在区间上有且仅有两个零点,则,解得,故D正确,
故选：BCD.
11．答案：AD
解析：因为曲线,
当,时,则曲线E为椭圆的一部分；
当,时,则曲线E为双曲线的一部分,
且双曲线的渐近线为；
当,时,则曲线E为双曲线的一部分,
且双曲线的渐近线为；
可得曲线的图形如下所示：
由图可知y随着x增大而减小,故A正确；
曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误；
因为,所以曲线E与直线相交,且交点在第四象限,故C错误；
因为,即点到直线的距离的倍,
当直线与曲线(,)相切时,
由,消去y整理得,
则,解得(舍去)或,
又与的距离,
所以,
所以的取值范围为,故D正确；
故选：AD.
12．答案：/
解析：因为,,所以,
又与垂直,所以,解得.
故答案为：.
13．答案：(答案不唯一)
解析：依题意不妨令,
则,
又
,
所以,故符合题意.
同理可证明,,,也符合题意.
故答案为：(答案不唯一).
14．答案：14；
解析：由题意知,截去的八个四面体是全等的正三棱锥,8个底面三角形,
再加上6个小正方形,所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是,那么石凳的表面积是
.
故答案为：14,.
15．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取的中点E,连接交于O,连接,
因为为矩形,所以O为的中点,
所以,又平面,平面,
所以平面,
(2)设,如图建立空间直角坐标系,则,,,,
所以,,,
又平面的法向量可以为,设平面的法向量为,
则,取,
因为二面角为,所以,解得(负值舍去),
所以,
所以,
又点E到平面的距离,
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设A：发送的信号为1,B：接收到的信号为1,
则：发送的信号为0,：接收到的信号为0,
则,,,
故
,
故；
(2)采用三次传输方案译码为1的概率为,
采用单次传输方案译码为1的概率为,
由题意得
而,故,,
故.
17．答案：(1)
(2)存在定点,使得恒成立
解析：(1)依题意可得点在椭圆上,
所以,解得,所以椭圆的方程为.
(2)当l垂直于x轴时,设直线l与椭圆相交于A,B两点,如果存在点N满足条件,
则有,即,所以点N在x轴上,设,
当l与x轴重合时,设直线l与椭圆相交于A,B两点,不妨设,,
则由,即,解得或,
所以若存在不同于点M的定点N满足条件,则点N的坐标为；
下面证明：对任意的直线l,均有,
当l不平行于x轴且不垂直于x轴时,设直线l方程为,,,
联立,消去y,得,
因为直线l恒过椭圆内定点,故恒成立,
所以,,
所以,
易知点B关于x轴的对称点的坐标为,
又,,
所以,则N,A,三点共线,所以；
综上：存在与点M不同的定点,使恒成立.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)令,
当时,所以在上单调递增,
当时,所以时,
时,
所以在上单调递减,在上单调递增,
又,当时,且时,
当时,
则的图象如下所示：
因为关于x的方程有三个根,即与有三个交点,
由图可知,即实数m的取值范围为.
(2)由(1)可知,又,,
且在上单调递增,所以,使得,
所以,
由,所以,即,
令,则,
所以,,
令,,
则,令,,
所以,即在上单调递减,
所以,
又,即,所以,
即,所以,
所以在上单调递减,
即随着t的增大而减小.
19．答案：(1)不存在,理由见解析
(2)5
(3)存在,最小值为819316
解析：(1)若等于同一常数,
根据等差数列的定义可得构成等差数列,所以,
解得,与矛盾,
所以不存在一组解,使得等于同一常数；
(2)因为,
依题意时,即当,时,,
所以,,
设有y个405,则有个404,由,解得,
所以,,,,中有4个405,1个404,
所以方程①的解共有5组.
(3)因为平均数,
又方差,即,
所以,因为为常数,所以当方差取最小值时S取最小值,
又当时,即,方程无正整数解,故舍去；
当时,即是密集时,S取得最小值,
且.