专题26 四点共圆模型-中考数学几何模型（重点专练）

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【模型】如图26-1，已知在由点、、、构成的四边形中，
（1）点、、、四点在同一个圆上，且为圆的直径。
（2）圆内接四边形的对角互补。
【模型变式】
如图26-2，已知为和的公共边，点、在的同侧，且。
点、、、四点在同一个圆上，且为圆的直径。
【例1】如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【解析】∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
【例2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则的长为__．
【答案】4
【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出∠A=60°，进而得出∠BOD=120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解析】连接OB，OD，过O作OE⊥BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=2∠A，
∴∠C+∠A=3∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
在Rt△BEO中，OB=4，
∴BE=2，
∴AC=4，
故答案为：4．
【例3】如图，已知Rt和Rt，，，，，点在边上，射线交射线于点．
（1）如图，当点在边上时，联结．
①求证：；
②若，求的长；
（2）设直线与直线交于点，若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）的长为或
【分析】（1）①先证明，再证明，，推导出，得；
②由，得，依次求出、、、的长，再根据勾股定理求出的长，再求出的长；
（2）分三种情况讨论，一是，可证明，求出AP的长，在中根据勾股定理求出AE的长，再根据相似三角形的性质求出BF的长；二是，可证明，则，根据相似三角形的性质可求出BF的长；三是，可证明CE∥AB，此时射线CE与射线没有交点．
【解析】（1）①证明：如图1，，，
（AA），
，
，，
（AA），
，
，，
，
（SAS），
，
，．
②如图1，，
，
∵
∴∠BAE=∠CBA
又∵∠AFE=∠BFC
（AA），
，
，，
，
，，
∵
∴，
，
，，
∵∠ EAC =∠ CDE=90°
∴C、A、E、D四点共圆，
∴∠CEA=∠CDA
∴△AEF∽△DCF（AA）
∴，
∴，即，
解得，
．
（2）如图2，，
，
，
，
，，
，
，
，
∵
∴ C、E、A、D四点共圆
又∵∠ CDE=90°
∴ ∠ CAE=90°
∴，
，
，
，
∴ △AFE ∽ △ BFC
，
如图3，，
，
，，
设交于点，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
；
如图4，，则，
，，
，
，
，
射线与射线没有交点，
综上所述，的长为或．
一、单选题
1．如图，Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，O为AC的中点，K为BC上一点，NC⊥BC，且NC＝BK，AK分别交BN、OB于M、F，AC交BN于E，连接OM，下列结论：①AK⊥BN；②OE＝OF；③∠OMN＝45°；④若∠OAF＝∠BAF，则．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据K型全等和八字形倒角可证①正确；根据△ABC是等腰直角三角形，O为AC的中点，可得BO三线合一，可证△OBE≌△OAF(ASA)，得出②正确；根据∠AMB=90°∠AMB+∠AME=180°，可得∠AME+∠BOE=180°，可证E、M、F、O四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等，可得③正确；取AF的中点G连接OG，易得OG是直角三角形AOF的中线，根据∠BAC=45°，∠OAF=∠BAF，∠OAF+∠BAF=∠BAC，易证OM=OG=AF，可证④正确．
【解析】解:①∵NC⊥BC，
∴∠BCN=90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BCN=∠ABC，
∵AB=BC，NC＝BK，
∴△ABK≌△BCN（SAS），
∴∠KBM=∠BAM，
∵∠ABC=∠KBM+∠ABM=90°，
∴∠ABM+∠BAM=90°，
∵∠ABM+∠BAM+∠AMB=180°，
∴∠AMB=90°，
∴AK⊥BN；
②∵AB=AC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵O为AC的中点，
∴BO是等腰直角三角形ABC的中线垂线角平分线，
∴OB=OA，∠BOE=∠AOF=90°，∠OBC=∠ABC=45°，∠BAC=45°，
∵∠OBC=∠KBM+∠OBE=45°，∠BAC=∠BAM+∠OAF=45°，∠KBM=∠BAM，
∴∠OBE=∠OAF，
∴△OBE≌△OAF(ASA)，
∴OE=OF；
③∵∠BOE=90°，OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OFE=45°，
∵∠AMB=90°，∠AMB+∠AME=180°，
∴∠AME=90°，
∴∠AME+∠BOE=180°，
∴E、M、F、O四点共圆，
∴∠OMN=∠OFE，
∴∠OMN=45°；
④如图，取AF的中点G连接OG，
∵∠ABF=90°，
∴OG是直角三角形AOF的中线，
∴OG=AG=AF，
∴∠GOA=∠OAM，
∵∠BAC=45°，∠OAF=∠BAF，∠OAF+∠BAF=∠BAC，
∴∠OAF=22.5°，
∴∠GOA=22.5°，
∵∠OGM=∠GOA+∠OAF，
∴∠OGM=45°，
∵∠AME=∠OMN+∠OMG=90°，∠OMN=45°，
∴∠OMG=45°，
∴∠OMG=∠OGM=45°，
∴OM=OG，
∴OM=AF，
∴ ．
故选：D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①由旋转性质证明即可判断；
②由①的结论可得，，进而得到，即可判断；
③证明为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点，当时，的面积最大，通过勾股定理计算求出最大值，进而进行判断
【解析】①由旋转的性质可知：，
即
故①正确
②设相交于点,如图：
由①，可得，
又
故②正确
③，
可知四点共圆，
则
即
故③正确
④设到的距离为，
，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大，
由③可知是等腰三角，
,当点到的距离最大时即当时，最大
即当旋转角度时，过作于点，如图，
由②可知
由③可知,
由①可知
在中，，
在中，,
在中，

故④不正确
综上所述：①②③正确，共计3个
故选C
3．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．
【解析】弧、弧的长度分别为、
圆的周长为
（圆内接四边形的对角互补）
弧所对圆心角的度数为
则弧的长度为
故选：C．
二、填空题
4．在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是______．
【答案】，2．
【分析】设为正方形ABCD的一个内接正三角形，不妨假设F、G分别在AB，CD上，E在AD上，作的高EK，可得点E，K，G，D四点共圆，从而得点K为一个定点，当GF最大时，的面积最大，当GF最小时，的面积最小，进而即可求解．
【解析】解：设为正方形ABCD的一个内接正三角形，不妨假设F、G分别在AB，CD上，E在AD上，如图，作的高EK，
∵∠EKG=∠EDG=90°，
∴点E，K，G，D四点共圆，
∴∠KDE=∠KGE=60°，
同理：∠KAE=∠KFE=60°，
∴是一个正三角形，点K为一个定点，
∵正三角形的面积取决于它的边长，
∴当GF最大时，的面积最大，当GF最小时，的面积最小，
∴当KF⊥AB时，FG最小，即FG最小，此时，FG=AD=2，
当点F与点B重合时，KF最大，即FG最大，此时的面积最大，
过点K作AB的平行线交AD于点M，交BC于点N，
∴MK 为的高，
∴MK=DKsin60°=ADsin60°=，
∴KN=AB-MK=，
∵K为BG的中点，N为BC的中点，
∴CG=2KN=，
∴FG=．
故答案是：，2．
5．如图，已知在扇形中，，半径．P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接．点D是的外心，则点D运动的路径长为________．
【答案】．
【分析】根据点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可得，点运动路径所对的圆心角是，连接，取的中点，连接，，根据在和中，点是斜边的中点，可证得点，，，四点均在同一个圆，即上，过点作，垂足为点，由垂径定理，，，可求得，再根据点和点重合，得到点运动路径所对的圆心角是，根据弧长公式可求解．
【解析】解：点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，
当点与点重合时，，
当点与点重合时，，
点运动路径所对的圆心角是，
如图，连接，取的中点，连接，，
在和中，点是斜边的中点，
，
根据圆的定义可知，点，，，四点均在同一个圆，即上，
又，，
，，
过点作，垂足为点，
由垂径定理得，，
在中，，，则，
，
∵是的外接圆的圆心，
即：点和点重合，如图2
，
点是以点为圆心为半径，
点运动路径所对的圆心角是，
点运动路径所对的圆心角是，
点运动的路径长为．
故答案是：．
6．如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 __________．
【答案】102.5°
【分析】先根据旋转的性质得到，，得到点A、N、F、C共圆，再利用，根据平角的性质即可得到答案；
【解析】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，
根据旋转的性质得到：
AC=AF，，，，
∴点A、N、F、C共圆，
∴，
又∵点A、N、F、C共圆，
∴，
∴（平角的性质），
故答案为：102.5°
三、解答题
7．在等边中，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转120°，得到，连接．
（1）如图1，当、、三点共线时，连接，若，求的长；
（2）如图2，取的中点，连接，猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接、交于点．若，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）
【分析】（1）过点作于点，根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理求得，进而求得，在中，，，勾股定理即可求解；
（2）延长至，使得，连接，过点作，交于点，根据平行四边形的性质可得，，证明是等边三角形，进而证明，即可证明是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可得；
（3）过点作于点，过点作，连接，交于点，过点作，交于点，过点作于点，先证明，结合中位线定理可得，进而可得，设，分别勾股定理求得，进而根据求得，即可求得的值
【解析】（1）过点作于点，如图
将绕点顺时针旋转120°，得到，
是等边三角形
，
，
在中，，
（2）如图，延长至，使得，连接，过点作，交于点，
点是的中点
又
四边形是平行四边形
，
将绕点顺时针旋转120°，得到，
是等边三角形
，，
是等边三角形
设，则,
，
,
是等边三角形
，
即
（3） 如图，过点作于点，过点作，连接，交于点，过点作，交于点，过点作于点，
四点共圆
由（2）可知，
将绕点顺时针旋转120°，得到，
是的中点，
是的中位线
是等腰直角三角形
四边形是矩形
，
设
在中，
,
在中,
在中
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）分类讨论，过点作轴于点,①当点在轴正半轴时，②当点在轴负半轴时，求得根据即可求得;
（3）延长至，使得，连接，，，求得点的坐标，证明是等腰直角三角形，设，，设，则，，证明，，，进而证明四边形是正方形，延长至，使，则，进而证明四边形是平行四边形，求得，分别过作轴的垂线，垂足为，根据平行线的分线段成比例和相似三角形的性质求得点的坐标
【解析】解：（1），
，
抛物线y＝3ax2﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）如图，过点作轴于点,①当点在轴正半轴时，

抛物线的解析式为,点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，则
,，
,
是等腰直角三角形
即是等腰直角三角形
②当在轴负半轴时，如图，
综上所述：
（3）如图，延长至，使得，连接，，
到轴的距离相等，且在第二象限，即点在上，
解得
在线段的垂直平分线上，
设，则
解得
是等腰直角三角形
，
又
设，
则
即
，
三点共线
设，则，
在与中
又
即
是等腰直角三角形
在四边形中，
在与中
四点共圆
在与中
四边形是矩形
又
四边形是正方形
如图，延长至，使，则
又
四边形是平行四边形
四边形是正方形
如图，分别过作轴的垂线，垂足为
解得
9．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
【答案】（1）①20°；②，理由见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）①根据题目定义推出∠E＝∠A，从而得出结论；②直接根据求解①过程证明即可；
（2）首先根据题意推出A、B、C、D四点共圆，然后作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，再根据圆的内接四边形的性质等推出∠AFD＝∠DFE，然后根据“遥望角”的定义推出∠E＝∠DAF，即可证△DAF≌△DEF，从而得出结论．
【解析】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝20°．
故答案为：20°；
②，理由如下：
∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；
（2）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠DFC+∠DBC＝180°，
∵∠DFC+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DFE，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
由（1）得∠E＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵∠E+∠DCE＝∠BAC，
∴∠E＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DAF，
∴∠E＝∠DAF，
∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，
∴△DAF≌△DEF（AAS），
∴DA＝DE．
10．如图，在等腰中，，，垂足为，点为边上一点，连接并延长至，使，以为底边作等腰．
（1）如图1，若，，求的长；
（2）如图2，连接，，点为的中点，连接，过作，垂足为，连接交于点，求证：；
（3）如图3，点为平面内不与点重合的任意一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点，为直线上一动点，连接并在的右侧作且，连接，为边上一点，，，当取到最小值时，直线与直线交于点，请直接写出的面积．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【分析】(1)过E点作EH⊥AD于H点，在等腰Rt△ABC中求出，再结合已知条件∠ADE=30°求出，最后即可求出进而求出；
(2)连接FC，DM，AG，得到MD=，证明NH为△ACG的中位线，得到NG=，再证明△CDF≌△ADG，进而得到AG=CF即可得到NG=MD；
(3)过A点作AN∥BC，过C点作CN平∥AB，连接AN，证明△NAC’∽△CAD’，得到点D’在线段BC上运动时，C’在NC’上运动，当QC’⊥CC’时，QC’最小；证明∠BPK=90°，得到P点在以AB的中点G为圆心，为半径的圆上运动，进而G、P、C’三点共线时，有最小值；最后由△BGS∽△CC’S，其相似比为3：1即可求解．
【解析】解：(1)过E点作EH⊥AD于H点，如下图所示：
∵△ABC为等腰直角三角形，且AD⊥BC，
∴∠DAC=45°，△AHE为等腰直角三角形，
∴，
又已知∠ADE=30°，且△DHE为30°，60°，90°直角三角形，
∴，
∴，
∵△ADC为等腰直角三角形，
∴；
(2)如下图(1)所示：
连接GC，DG，
∵△DEG、△DAC均为等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠EGD=45°，
∴D、E、C、G四点共圆，
∴∠DCG=∠DEG=45°，
∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=45°+45°=90°，
如下图(2)所示：
连接FC，DM，AG，
∵DH⊥AC，
∴∠DHC=90°=∠ACG，
∴CG∥DH，
∵△ADC为等腰直角三角形，且DH⊥AC，
∴H为AC的中点，
∴NH为△ACG的中位线，
∴NG=，
∵点M和点D分别是BF和BC的中点，
∴MD是△BCF的中位线，
∴MD=，
∵∠CDF=∠CDG+∠GDF=∠CDG+90°，
∠ADG=∠CDG+∠CDA=∠CDG+90°，
∴∠CDF=∠ADG，
在△CDF和△ADG中：，
∴△CDF≌△ADG(SAS)，
∴AG=CF，
∴NG=MD；
(3)如下图(3)所示：过A点作AN∥BC，过C点作CN平∥AB，连接AN，
∴∠CAN=∠BAC=90°，∠NAC=∠BCA=45°，
∴△CAN为等腰直角三角形，
此时，
且∠NAC’=∠NAC+∠CAC’=45°+∠CAC’，
∠CAD’=∠D’AC’+∠CAC’=45°+∠CAC’，
∴∠NAC’=∠CAD’，
∴△NAC’∽△CAD’，
∴当点D’在线段BC上运动时，C’在NC’上运动，当QC’⊥CC’时，QC’最小，
∵∠BDK=∠BDA+∠ADK=90°+∠ADK，
∠ADK’=∠KDK’+∠ADK=90°+∠ADK，
∴∠ADK’=∠BDK，
在△ADK’和△BDK中，，
∴△ADK’≌△BDK(SAS)，
∴∠DAK’=∠DBK，
∴∠BPK=∠DAK’+∠AIP=∠DBK+∠BID=180°-∠BDA=180°-90°=90°，
又为定值，
∴P点在以AB的中点G为圆心，为半径的圆上运动，当G、P、C’三点共线时，有最小值，此时依然满足QC’⊥CC’，
故此时有最小值，
由已知条件及可知，
，
∴，
∵△QCC’为等腰直角三角形，
∴，
∵AB∥CC’，
∴△BGS∽△CC’S，且
∴，
且，
∴，
过C’作C’H⊥BC于H点，则，
∴，
∵△BGS∽△CC’S，其相似比为3：1，由相似三角形面积比等于相似比的平方可知：
∴，
且，
又，
∴，
∴，
∴．
11．直线与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为，与x轴交于B．
（1）如图1，求点A的横坐标；
（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若，设的面积为S，求S与k的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将沿CF翻折得到，直线FG交CE于点K，若，求点K的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）令，求x；
（2）过点D作y轴的垂线，先证明，再由K型全等，得E点坐标，即可求出S与k的函数关系式；
（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系，得出，再利用垂直平分线性质构造，通过解直角三角形求出求出k的值，再求点K的坐标．
【解析】解：（1）∵直线与x轴交于A，与y轴交于C点，
∵当时，；当时，，得：，∴，，
∴点A的横坐标为．
（2）过点D作轴于点H，
∵，，
∴，
∴，
对直线BC：当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
（3）连接AD，过AD的中点N作交DE于点M，连接AM，
（3）连接，过的中点作交于点，连接，
，，
，
在四边形中，，，
点、、、四点共圆，为圆的直径，点为圆心，
，
是的中垂线，
，
，
，
，
，
，
又，
，
即：，
在中，，
，
设，则：，
，
，
解得：，
，
，
，
，即：，
解得：，
，，，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
由，解得：，
点，，
点和点关于点对称，
，
直线的解析式为：，
由，解得：，
点的坐标为．
12．如图（1），已知矩形中，，点E为对角线上的动点．连接，过E作的垂线交于点F．
（1）探索与的数量关系，并说明理由．
（2）如图（2），过F作垂线交于点G，交于点H，连接．若点E从A出发沿方向以的速度向终点C运动，设E的运动时间为．
①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
②t为何值时，是等腰三角形；
③当时，求的面积．
【答案】（1）；（2）①t=1，②，③ ；
【分析】(1)连接BF，易证B. C. F. E四点共圆，即可求证出 ；
(2)①存在，当H、B重合时，如图所示，结合(1)知可得BG=3， ，同理可知CF=2，FG=1,， ，由此可得t=1，
②先得出 ，再由△FHC为等腰三角形，推出△FHC 为等边三角形进而得出 ，∠ABE=15°，∠EBC=75°，根据∠BCH=30°得出CH=CB=CF，根据题意列等式 求出 ，
③过点E作MN垂直AB，设，求证出 ，根据相似的性质结合， ， 得出 ，再结合得出，进而表示出CG，代入面积公式 即可；
【解析】解：(1)连接BF，如图：
已知矩形中， ，
∴∠BEF=∠BCF=90°，
∴点B， C，F， E四点共圆，
∴∠EBF=∠ACD （同圆中同弧所对圆周角相等），
∴
∴
(2) ①存在，当H、B重合时，如图所示：
由(1)知，∠EBF=30°，
∴∠ACD=∠EBF=30°，
则∠ACB=60°，
∵ 即∠BGC=90°，，
∴BG=3， ，
同理可得CF=2，FG=1，，
∴ ，
∴ ，
又∵已知矩形中，，
∴ ，
∴
∵点E从A出发沿方向以的速度向终点C运动，
∴t=1；
②
∵△CFH为等腰三角形，
又∵∠ACD=30°，
∴ ，
∴△CFH为等边三角形，
∴FG=GH，
又由（1）知，
∴FG=GH=EG，
∴ ，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=75°，
∵∠BCH=30°，
∴△CHB为等腰三角形，
∴CH=CB=CF，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
③
由题意知：过点E作MN垂直AB，设，
则由（1）得，，
∵∠FME=∠ENB，∠FEM+∠BEN=∠BEN+∠EBN=90°，
∴∠FEM =∠EBN，
∴ ，
∴ ，
即，
∴MF=t，
∴，则 ，
∴ ，
∴ ，
，
在中， ，

∴ ，
∴，
∴
∵，
∴ ；
13．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．
①若AP＝2，求△APC的面积；
②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．
【答案】（1）证明见解析；（2）①△APC的面积＝1；②．
【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；
（2）①通过证明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性质可求CF＝1，即可求解；
②过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，设AP＝2a，则BP＝a，可得CE＝＝a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面积法可求PH2，即可求解．
【解析】证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°＝∠ACB，
∴点A，点B，点E，点C四点共圆，
∴∠AEC＝∠ABC＝45°；
（2）①如图2，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，
∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，
∴∠PBE＝45°＝∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBE，
∵∠AEB＝90°＝∠ACB，
∴点A，点B，点E，点C四点共圆，
∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，
∴△APB∽△CEB，
∴CE＝＝，
∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，
∴∠FCE＝∠CEF＝45°，
∴CF＝EF＝CE＝1，
∴△APC的面积＝×AP×CF＝1；
②如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，
设AP＝2a，则BP＝a，
由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a，
∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°，
∴BE＝PE＝a，
∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a，
∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣a）2＝a2﹣a2，
AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+a）2＝a2+a2，
∵S△ACP＝×AC×PH＝×AP×CF，
∴（AC•PH）2＝（AP•CF）2，
∴PH2＝a2，
∵（sin∠ACP）2＝＝＝，
∴sin∠ACP＝，
故答案为：．
14．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形是圆美四边形．
（1）求美角的度数；
（2）如图1，若的半径为5，求的长；
（3）如图2，若平分，求证：．
【答案】（1）60°；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据美角的定义可得，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；
（2）连接DO并延长，交与点E，连接BE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠A=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠DBE=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论；
（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD，先证出△ABD为等边三角形，然后利用SAS证出△ABF≌△ADC，从而得出AF=AC，∠F=∠DCA=60°，再证出△ACF为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论．
【解析】解：（1）根据题意可得：，而∠A＋∠C=180°
∴∠A=60°
（2）连接DO并延长，交与点E，连接BE
∴∠E=∠A=60°
∵DE为的直径，的半径为5，
∴∠DBE=90°，DE=10
在Rt△DBE中，BD=DE·sin∠E=10×=；
（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD
由（1）可知：∠BAD=60°，∠BCD=2∠BAD=120°
∵平分，
∴∠BCA=∠DCA==60°
∴∠ABD=∠DCA=60°
∴∠ADB=180°－∠ABD－∠BAD=60°
∴△ABD为等边三角形
∴AB=AD
根据圆内接四边形的性质可得∠ABF=∠ADC
在△ABF和△ADC中
∴△ABF≌△ADC
∴AF=AC，∠F=∠DCA=60°
∴∠FAC=180°－∠F－∠ACF=60°
∴△ACF为等边三角形
∴CF=AC
∴BC＋BF=AC
∴BC＋CD=AC
15．如图1，抛物线经过原点，两点．
（1）求的值；
（2）如图2，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线与轴交于点，作，连接交抛物线于点，点在线段上，连接、、，交于点，若，，求点的坐标．
【答案】（1）；（2）点，；（3）点，．
【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；
（2）过点作于点，设点，，结合，列出关于m的方程，即可求解；
（3）连接，易得直线解析式为：，点，，根据三角形内角和定理与外角的性质，得点，点，点，点四点共圆，从而得，进而得点，过点，点，点，点四点的圆的圆心，，设点，根据两点间的距离公式，列出关于a，b的方程，得，可得直线解析式为：，进而即可得到点Q的坐标．
【解析】（1）抛物线经过原点，两点．
，
；
（2）如图2，过点作于点，
，，
抛物线解析式为：
点是第一象限内抛物线上一点，
设点，
，
，
，
点，；
（3）连接，
直线过点，，
，
直线解析式为：，
当，，
点，，
，且，
，
，，
，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，，
，，
，
，
，
设点
，
点
设过点，点，点，点四点的圆的圆心，，
，
，
，
，，
设点，
，，
①，②，
由①②组成方程组可求：，
设直线解析式为：，且过点，
，
，
直线解析式为：，
，
（不合题意舍去），，
点，．