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【二轮复习】2024年中考数学 题型7 函数的基本性质 类型2反比例函数49题（专题训练）
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【答案】D
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，
∴，
∵，
∴，即，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
2．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
4.对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2023·云南·统考中考真题）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】将点代入反比例函数，即可求解．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵-3＜0，-1＜0，
∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单
7．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答
【详解】解：，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
故点M可能在第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键．
8.若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x3＜x1＜x2
【分析】将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）分别代入反比例函数y=10x，求得x1，x2，x3的值后，再来比较一下它们的大小．
【解析】∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，
∴﹣5=10x，即x1＝﹣2，
2=10x，即x2＝5；
5=10x，即x3＝2，
∵﹣2＜2＜5，
∴x1＜x3＜x2；
故选：C．
9．（2023·天津·统考中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
10.如图是反比例函数y=的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是．
【详解】解：设A（x，y）则OB=x，AB=y，
∵A为反比例函数y=图象上一点，∴xy=1，
∴S△ABO=AB•OB=xy=×1=，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，即k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍，数形结合比较直观．
11．（2023·山西·统考中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵
∴位于第三象限，
∴
∵
∴
∵
∴点位于第一象限，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12.已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数的图象与性质解题．
【详解】
解：反比例函数图象分布在第二、四象限，
当时，
当时，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．
【详解】解：∵当时，有，
∴反比例函数的图象在一三象限，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．
14.若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
15．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．
【详解】解：轴于点M，轴于直N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．
16.已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据反比例函数图像的增减性分析解答．
【详解】
解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴当时，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键
17.若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解析】∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
此不等式无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故选：B．
18.如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】设，由S△BCD=即可求解.
【详解】解：设，
∵BD⊥y轴∴S△BCD==5，解得：故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，O三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作轴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴，B，O三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将其代入得：，
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
20.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】
设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解．
【详解】
解：设D点坐标为，
∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，
∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，
∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，
∴E点坐标为，
同理可得C点坐标为，
∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，
∵点E为AC的中点，的面积为1，
∴，即，可得，，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．
21.反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．
【详解】∵经过，
∴解析式为，
设正方形的边长为x，则点，
∴，
解得（舍去），
故点，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22.如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】
设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．
【详解】
解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵轴于点，轴于点，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵轴
∴A（，n）
∴，解得，n=，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中，，
由勾股定理得，
解得，（负值舍去）
∴
故选：B
【点睛】
此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】解：由题意，设，
∵过原点，
∴，
过点A作于E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
24．（2023·四川成都·统考中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．
【答案】
【分析】根据题意求得，，进而即可求解．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
25．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．
【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为：4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
26．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则______．
【答案】
【分析】作交于点，根据题意可得，由点为的中点，可得，在 中，通过解直角三角形可得，从而得到点，代入函数解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于点，
，
，，，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
27.如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则_____．
【答案】32
【分析】根据求出A点坐标，再代入即可．
【详解】∵点B的坐标为
∴
∵，点C与原点O重合，
∴
∵与y轴平行，
∴A点坐标为
∵A在上
∴，解得
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键．
28．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______．
【答案】
【分析】如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，
∴
∵四边形是面积为9的正方形，
∴，即，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．
29．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
30．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．
【答案】
【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答．
【详解】解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，
，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
,
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键．
31．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)，；(2)或
【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．
32.如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（2，m）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【分析】
（1）将点A坐标代入一次函数解析式可求m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式，可求解；
（2）联立方程组可求解．
【解析】
（1）∵一次函数y=12x+1的图象过点A（2，m），
∴m=12×2+1＝2，
∴点A（2，2），
∵反比例函数y=kx的图象经过点A（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x；
（2）联立方程组可得：y=12x+1y=4x，
解得：x1=-4y1=-1或x2=2y2=2，
∴点B（﹣4，﹣1）．
33．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】(1)，；(2)见解析
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）如图所示，
由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
34.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【分析】
（1）把A（3，4）代入y=mx（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（-bk，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】
（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（-bk，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴12×4×|-bk|＝2×12×|-bk|×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k=23，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．
35．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为；(2)M点的坐标为或
【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入，可得，
解得，
经检验，是方程的解，
，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O点左侧时，；
M点在O点右侧时，，
综上，M点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键．
36．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；(2)或或
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，
解得：，
故一次函数的解析式为，
把点代入，得，
，
把点代入，得，
故反比例函数的解析式为；
（2）解：，，，
当时，或，
当时，点关于直线对称，
，
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
37.如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．
(1)求k值；(2)求的面积．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．
(1)解：根据题意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中点是B，
，
；
(2)解：当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
38．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)；；(2)或；(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图像位置关系即可得解；
（3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为或；
（3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则，
，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．
如图，过作轴于点，过作轴于点，设，
由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
综上所述：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．
39.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【分析】
（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数图像上，
∴，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（-1，n）代入，
得：，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
40．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．
(1)求直线和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为；(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴，，即，
∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．
（2）解：∵直线的图象与y轴交于点B，
∴当时，，
∴，
∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
41.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6 (2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
(1)解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
(2)当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
42．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：对于，当时，，
∴，
，
∵，
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
43.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值
【答案】（1）一次函数y=，（2）．
【分析】
（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，
∴，
解得，
一次函数y=，
（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=，
当y=0时，，，当x=0时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
，
消去y得，
解得，
解得，，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
在Rt△MON中，
∴MN=,
∴PQ=，
∴．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键．
44．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
【答案】(1)；；(2)或
【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可．
【详解】（1）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
（2）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得或，
故点C的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
45.如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；
（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．
【详解】
解：（1）设点A坐标为（m，n），
∵∠ABO=90°，
∴B（m，0），又AN=，
∴N（m，），
∵△AOB的面积为12，
∴，即，
∵M为OA中点，
∴M（，），
∵M和N在反比例函数图像上，
∴，化简可得：，又，
∴，解得：，
∴，
∴M（2，3），代入，
得；
（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），
设直线MN的表达式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线MN的表达式为．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键．
46．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)9；(3)或
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）由图象可得，不等式的解集是或．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．
47.如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】
（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；
（3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．
【解析】
（1）把A（3，4）代入y=mx，
∴m＝12，
∴反比例函数是y=12x；
把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝﹣12．
把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中，
得3k+b=4-12k+b=-1，
解得k=13b=3，
∴一次函数的解析式为y=13x+3；
（2）∵A（3，4），
∴OA=32+42=5，
∵△AOC为等腰三角形，
分三种情况：
①当OA＝OC时，OC＝5，
此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）；
②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为（6，0）；
③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，
在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x=256，
此时点C的坐标为(256，0)；
综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），(256，0)，（﹣5，0）；
（3）由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
﹣12＜x＜0或x＞3，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．
48．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)；(2)当或时，；当时，；(3)或
【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）根据图象可知，，，当时， 或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
49．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，点在反比例函数图象上．一次函数的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且与的面积比为．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出时，x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为或；(2)当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或
【分析】（1）将代入得，，解得，可得反比例函数解析式为；当，，则，，当，，则，，由与的面积比为，可得，整理得，即，解得或，当时，将代入得，，解得，则；当时，将代入得，，解得，则；
（2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为时，如图1，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可；②当一次函数解析式为时，如图2，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可．
【详解】（1）解：将代入得，，解得，
∴反比例函数解析式为；
当，，则，，
当，，则，，
∵与的面积比为，
∴，整理得，即，解得或，
当时，将代入得，，解得，则；
当时，将代入得，，解得，则；
综上，一次函数解析式为或；
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为或；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
①当一次函数解析式为时，如图1，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
②当一次函数解析式为时，如图2，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
综上，当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【答案】D
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，
∴，
∵，
∴，即，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
2．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
4.对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5） B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣，
A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2023·云南·统考中考真题）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】将点代入反比例函数，即可求解．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数中k＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
∵-3＜0，-1＜0，
∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限，
∴y1＞0，y2＞0，
∵-3＜-1＜0，
∴0＜y1＜y2．
∵2＞0，
∴点C（2，y3）位于第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：A．
【点睛】
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单
7．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】根据反比例函数中的，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点的横坐标判断点M所在的象限，即可解答
【详解】解：，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
故点M可能在第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键．
8.若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x3＜x1＜x2
【分析】将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）分别代入反比例函数y=10x，求得x1，x2，x3的值后，再来比较一下它们的大小．
【解析】∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y=10x的图象上，
∴﹣5=10x，即x1＝﹣2，
2=10x，即x2＝5；
5=10x，即x3＝2，
∵﹣2＜2＜5，
∴x1＜x3＜x2；
故选：C．
9．（2023·天津·统考中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：，，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
10.如图是反比例函数y=的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由反比例函数的几何意义可知，k=1，也就是△AOB的面积的2倍是1，求出△AOB的面积是．
【详解】解：设A（x，y）则OB=x，AB=y，
∵A为反比例函数y=图象上一点，∴xy=1，
∴S△ABO=AB•OB=xy=×1=，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，即k的绝对值，等于△AOB的面积的2倍，数形结合比较直观．
11．（2023·山西·统考中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵
∴位于第三象限，
∴
∵
∴
∵
∴点位于第一象限，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12.已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数的图象与性质解题．
【详解】
解：反比例函数图象分布在第二、四象限，
当时，
当时，
故选：B．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13．（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．
【详解】解：∵当时，有，
∴反比例函数的图象在一三象限，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．
14.若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式，得：
，解得；
，解得；
，解得；
∵-8<2<4，
∴，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
15．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．
【详解】解：轴于点M，轴于直N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．
16.已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据反比例函数图像的增减性分析解答．
【详解】
解：反比例函数经过第一，三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴当时，
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的图像性质，利用数形结合思想解题是关键
17.若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y=kx（k＜0）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解析】∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
此不等式无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故选：B．
18.如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】设，由S△BCD=即可求解.
【详解】解：设，
∵BD⊥y轴∴S△BCD==5，解得：故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
19．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，O三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作轴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∵与关于直线对称，
∴，
∴，
∴，B，O三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将其代入得：，
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
20.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，的面积为1，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】
设D点坐标为，表示出E、F、B点坐标，求出的面积，列方程即可求解．
【详解】
解：设D点坐标为，
∵四边形ABCD是矩形，则A点坐标为，C点纵坐标为，
∵点E为AC的中点，则E点纵坐标为，
∵点E在反比例函数图象上，代入解析式得，解得，，
∴E点坐标为，
同理可得C点坐标为，
∵点F在反比例函数图象上，同理可得F点坐标为，
∵点E为AC的中点，的面积为1，
∴，即，可得，，
解得，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质和矩形的性质，解题关键是设出点的坐标，依据面积列出方程．
21.反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据经过确定解析式为，设正方形的边长为x，则点，代入解析式计算即可．
【详解】∵经过，
∴解析式为，
设正方形的边长为x，则点，
∴，
解得（舍去），
故点，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
22.如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】
设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．
【详解】
解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵轴于点，轴于点，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵轴
∴A（，n）
∴，解得，n=，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中，，
由勾股定理得，
解得，（负值舍去）
∴
故选：B
【点睛】
此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】解：由题意，设，
∵过原点，
∴，
过点A作于E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，
∴，
∴，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
24．（2023·四川成都·统考中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则_______（填“”或“”）．
【答案】
【分析】根据题意求得，，进而即可求解．
【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
25．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．
【答案】4（答案不唯一，满足均可）
【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数图像过时，；
当反比例函数图像过时，；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为：4（答案不唯一，满足均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
26．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，，．若反比例函数的图象经过的中点，交于点，则______．
【答案】
【分析】作交于点，根据题意可得，由点为的中点，可得，在 中，通过解直角三角形可得，从而得到点，代入函数解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，作交于点，
，
，，，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
27.如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则_____．
【答案】32
【分析】根据求出A点坐标，再代入即可．
【详解】∵点B的坐标为
∴
∵，点C与原点O重合，
∴
∵与y轴平行，
∴A点坐标为
∵A在上
∴，解得
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键．
28．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为______．
【答案】
【分析】如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
∵点A在反比例函数图像的一支上，点B在反比例函数图像的一支上，
∴
∵四边形是面积为9的正方形，
∴，即，解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．
29．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
30．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是___________．
【答案】
【分析】求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答．
【详解】解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，
，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
,
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点的横坐标是解题的关键．
31．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．
(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围．
【答案】(1)，；(2)或
【分析】（1）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点可得的值，进而可求反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
（2）由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．
32.如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A（2，m）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【分析】
（1）将点A坐标代入一次函数解析式可求m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式，可求解；
（2）联立方程组可求解．
【解析】
（1）∵一次函数y=12x+1的图象过点A（2，m），
∴m=12×2+1＝2，
∴点A（2，2），
∵反比例函数y=kx的图象经过点A（2，2），
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为：y=4x；
（2）联立方程组可得：y=12x+1y=4x，
解得：x1=-4y1=-1或x2=2y2=2，
∴点B（﹣4，﹣1）．
33．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】(1)，；(2)见解析
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）如图所示，
由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
34.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【分析】
（1）把A（3，4）代入y=mx（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（-bk，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】
（1）∵反比例函数y=mx（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y=12x；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（-bk，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴12×4×|-bk|＝2×12×|-bk|×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k=23，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：y=23x+2，y＝2x﹣2．
35．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若，求点M的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为；(2)M点的坐标为或
【分析】（1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
将代入，可得，解得，
反比例函数的解析式为，
把代入，可得，
解得，
经检验，是方程的解，
，
设一次函数的解析式为，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：当时，可得，
解得，
，
，
，
，
，
，
M在O点左侧时，；
M点在O点右侧时，，
综上，M点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键．
36．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；(2)或或
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，
解得：，
故一次函数的解析式为，
把点代入，得，
，
把点代入，得，
故反比例函数的解析式为；
（2）解：，，，
当时，或，
当时，点关于直线对称，
，
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
37.如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，，，反比例函数的图像经过的中点B，与交于点D．
(1)求k值；(2)求的面积．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）在中，，，再结合勾股定理求出，，得到，再利用中点坐标公式即可得出，求出值即可；
（2）在平面直角坐标系中求三角形面积，找平行于坐标轴的边为底，根据轴，选择为底，利用代值求解即可得出面积．
(1)解：根据题意可得，
在中，，，
，
，
，，
，
的中点是B，
，
；
(2)解：当时，，
，
，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到勾股定理，三角函数求线段长，中点坐标公式、待定系数法确定函数关系式中的，平面直角坐标系中三角形面积的求解，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．
38．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数）
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图像直接写出不等式的解集；
(3)为轴上一点，若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)；；(2)或；(3)或
【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）根据图像位置关系即可得解；
（3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
将点代入得，
∴，
将点、分别代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足，
∴不等式的解集为或；
（3）如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、，
设，则，
∴，
则，
，
，
，
，
∵的面积为，
∴，
∴，
即点的坐标为．
如图，过作轴于点，过作轴于点，设，
由（1）得：，，
∴，，
∴，，，
则
，
，
∴，
即点的坐标为，
综上所述：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键．
39.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），；（2）（1，0）或（3，0）
【分析】
（1）根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将A，B代入一次函数解析式；
（2）设点P的坐标为（a，0），求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数图像上，
∴，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（-1，n）代入，
得：，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
【点睛】
本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
40．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．
(1)求直线和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为；(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴，，即，
∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．
（2）解：∵直线的图象与y轴交于点B，
∴当时，，
∴，
∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
41.如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．
(1)求k与m的值；(2)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
【答案】(1)k的值为，的值为6 (2)或
【分析】（1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案；（2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可．
(1)解：把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴．
把代入，
得．
∴k的值为，的值为6．
(2)当时，．
∴．
∵为x轴上的一动点，
∴．
∴，
．
∵，
∴．
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键．
42．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
【答案】(1)；(2)或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出，，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可得，求出，则点P的纵坐标为2或，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：对于，当时，，
∴，
，
∵，
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
43.一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值
【答案】（1）一次函数y=，（2）．
【分析】
（1）利用点A(2，3)，求出反比例函数，求出 B(6，1)，利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用平移求出y=，联立，求出P(-6,-1),Q(-2,-3),在Rt△MON中，由勾股定理MN=,PQ=即可．
【详解】
解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，
∴，
解得，
一次函数y=，
（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=，
当y=0时，，，当x=0时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
，
消去y得，
解得，
解得，，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
在Rt△MON中，
∴MN=,
∴PQ=，
∴．
【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理，掌握待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，利用平移求平移后直线l.，解方程组，一元二次方程，勾股定理是解题关键．
44．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
【答案】(1)；；(2)或
【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可．
【详解】（1）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
（2）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得或，
故点C的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
45.如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．
【答案】（1）6；（2）
【分析】
（1）设点A坐标为（m，n），根据题意表示出点B，N，M的坐标，根据△AOB的面积得到，再根据M，N在反比例函数图像上得到方程，求出m值，即可得到n，可得M点坐标，代入反比例函数表达式，即可求得k值；
（2）由（1）得到M，N的坐标，再利用待定系数法即可求出MN的解析式．
【详解】
解：（1）设点A坐标为（m，n），
∵∠ABO=90°，
∴B（m，0），又AN=，
∴N（m，），
∵△AOB的面积为12，
∴，即，
∵M为OA中点，
∴M（，），
∵M和N在反比例函数图像上，
∴，化简可得：，又，
∴，解得：，
∴，
∴M（2，3），代入，
得；
（2）由（1）可得：M（2，3），N（4，），
设直线MN的表达式为y=ax+b，
则，解得：，
∴直线MN的表达式为．
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，求出相应的点的坐标是解决问题的关键．
46．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)9；(3)或
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）由图象可得，不等式的解集是或．
【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．
47.如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】
（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；
（3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．
【解析】
（1）把A（3，4）代入y=mx，
∴m＝12，
∴反比例函数是y=12x；
把B（n，﹣1）代入y=12x得n＝﹣12．
把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝kx+b中，
得3k+b=4-12k+b=-1，
解得k=13b=3，
∴一次函数的解析式为y=13x+3；
（2）∵A（3，4），
∴OA=32+42=5，
∵△AOC为等腰三角形，
分三种情况：
①当OA＝OC时，OC＝5，
此时点C的坐标为（5，0），（﹣5，0）；
②当AO＝AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，
此时点C的坐标为（6，0）；
③当CA＝CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，
过A作AD⊥x轴，垂足为D，
由题意可得：OD＝3，AD＝4，AO＝5，设OC＝x，则AC＝x，
在△ACD中，42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x=256，
此时点C的坐标为(256，0)；
综上：点C的坐标为：（6，0），（5，0），(256，0)，（﹣5，0）；
（3）由图得：
当一次函数图象在反比例函数图象上方时，
﹣12＜x＜0或x＞3，
即使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：﹣12＜x＜0或x＞3．
48．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)；(2)当或时，；当时，；(3)或
【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）根据图象可知，，，当时， 或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
49．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，点在反比例函数图象上．一次函数的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且与的面积比为．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出时，x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为或；(2)当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或
【分析】（1）将代入得，，解得，可得反比例函数解析式为；当，，则，，当，，则，，由与的面积比为，可得，整理得，即，解得或，当时，将代入得，，解得，则；当时，将代入得，，解得，则；
（2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为时，如图1，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可；②当一次函数解析式为时，如图2，联立，解得或，根据函数图象判断x的取值范围即可．
【详解】（1）解：将代入得，，解得，
∴反比例函数解析式为；
当，，则，，
当，，则，，
∵与的面积比为，
∴，整理得，即，解得或，
当时，将代入得，，解得，则；
当时，将代入得，，解得，则；
综上，一次函数解析式为或；
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为或；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
①当一次函数解析式为时，如图1，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
②当一次函数解析式为时，如图2，
联立，解得或，
由函数图象可知，时，x的取值范围为或；
综上，当一次函数解析式为时，x的取值范围为或；当一次函数解析式为时x的取值范围为或．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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