2024年浙江省绍兴市上虞区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在本试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题卡上的“注意事项”，按规定答题．本次考试不能使用计算器．
试卷I（选择题）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 要使运算式子“”成立，则“”内应填入的数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，先移项再运算减法，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
2. 上虞越窑青瓷的历史文化渊源流长．如图是一只平放在水平桌面上的青花瓷碗，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
根据主视图是从正面看得到的图形，可得答案．
【详解】解：它的主视图是．
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查多项式除以单项式，单项式乘以单项式，完全平方公式的应用，幂的乘方运算，分别按照以上运算的运算法则逐一分析判断即可．
【详解】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
4. 在周长为24的菱形中，若，则的长为（ ）
A. 3B. 6C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质求解，含度角的直角三角形特征，根据菱形性质可以求出边长，根据含度角的直角三角形特征求出的长，从而得出结果．
【详解】解：如图，
四边形为菱形，
，且平分，
，，，
，
，
，
故选：B．
5. 为做好“上虞氧气吉象音乐节”的安保工作，某基层公安派出所需从2名男警和2名女警中抽调两人前去音乐节现场做志愿者．则恰好抽到一名男警和一名女警的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两人恰好是一名男警和一名女警的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男警分别记为，，两名女警分别记为，，画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男警和一名女警的结果有种，
∴恰好抽到一名男警和一名女警的概率为：，
故选：C．
6. 我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组，
故选：A.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
7. 已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．
【详解】解：当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确；
当时，画出图象如图所示，
根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误；
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键．
8. 如图，在四边形中，，，分别是对角线，的中点，连结，，．则下列判断不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，和三角形外角的性质，
根据直角三角形斜边中线的性质可判断A选项；根据等腰三角形三线合一性质可判断B选项；根据等边对等角和三角形外角的性质可判断C选项；根据得到，即可判断D选项．
【详解】∵在四边形中，，是对角线的中点，
∴，
∴，故A选项正确；
∵是对角线的中点，
∴，故B选项正确；
∵
∴
∵
∴，故C选项正确；
∵
∴，故D选项错误．
故选：D．
9. 点、是一次函数的图像上的两个点，若点在如图位置，则下列可能表示的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点，坐标代入一次函数，得，，则点即，在同一直线上，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，，
，，
设点和所求点在直线上，
则，
解得，
点和所求点在直线上，
与平行，
应为点，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象，一次函数图象上的点的特征，求一次函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
10. 如图，在由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，四边形与四边形均为正方形，连结并延长，分别交边，于点，．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键．
根据正方形的性质得到，过M作，根据相似三角形的性质得到，设，进而得到，求得，根据全等三角形的性质得到，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
过M作，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
卷Ⅱ（非选择题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分．）
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
12. 不等式的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式．不等式去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，即可求出解．
【详解】解：，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
解得．
故答案为：．
13. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3=__________°．
【答案】20
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出∠5的度数，然后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵直尺两边平行， ∴∠5=∠2=50°，
根据三角形外角的性质可得：∠1+∠3=∠5=50°， ∴∠3=50°－30°=20°．
故答案为：20.
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，属于基础题型．解决这个问题时要综合应用两个性质．
14. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径等于_________cm．
【答案】20
【解析】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到，求出r即可．
【详解】解：设圆的半径为rcm，
如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，
∵，
∴四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，
∴OD=（r-8）cm，
在Rt△AOD中，
即，
解得：r=20，
即该圆的半径为20cm．
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径．
15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据题意可得：，从而利用平行线的性质可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得的值，即可解答．
详解】解：如图：连接，
由题意得：
，
∴，
在中，，
，
，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查网格中的锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16. 如图，反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为，在轴的正半轴上取一点，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，点经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则点的坐标是__________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形性质及判定，待定系数法求反比例函数解析式，解一元二次方程．根据题意先设点，在求出反比例函数解析式，利用等腰三角形性质列式即可得到本题答案．
【详解】解：设点，
∵点，
∴将点代入中得：，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，令直线与轴交于点，
，
∴，
∵点和点关于直线对称，
∴，，
∴，即，
∴轴，
∴，
∵，
∴，整理得：，解得：或（舍），
故答案：．
三、解答题（本大题有8小题，第17，18小题每题6分，第19，20小题每题8分，第21，22小题每题10分，第23，24小题每题12分，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
17. （1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）利用特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂分别化简计算即可；
（2）先去分母，移项，合并同类项，再系数化1，最后再检验．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
18. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
（1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形；
（2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和网格的特点，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可．
（2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可
【小问1详解】
取格点，使平行且等于，即可得到平行四边形．
【小问2详解】
连接、交于点，过点、作直线交于点，直线平分平行四边形的周长和面积．
19. 为进一步增强学生的自我保护意识，某校组织七、八年级学生开展“校园安全知识竞赛”．本次竞赛满分为10分，所有学生的成绩均为整数分，9分及以上为优秀等级．在两个年级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计整理，获得如下统计图表．
七年级抽取学生的竞赛成绩统计表
七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______．
（2）该校七、八年级共有学生1000名，估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数．
（3）你认为哪个年级的学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好？请说明理由．
【答案】（1）7.5，8
（2）估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数为250人
（3）七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为抽取20名学生，成绩排序后取第10和11名的成绩的平均数，即为a的值，出现次数最多的成绩分数为众数，即为b的值；
（2）用800乘以达到优秀等级的人数所占的百分比即可作答；
（3）运用中位数和众数作决策，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，观察八年级的统计图，得出第10和11名的成绩分别为7和8分
∴；
观察七年级抽取学生的竞赛成绩统计表，
得出成绩为8的个数有6个，其他成绩的个数比6要少，
∴；
【小问2详解】
解：（人）
∴估计本次竞赛成绩达到优秀等级的人数为250人；
【小问3详解】
七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
理由如下：
从平均数来看，两年级相同，从“中位数”“众数”这两个统计量来看，七年级均高于八年级，
从而说明七年级学生对“校园安全知识”掌握的总体水平较好．
20. 某款便捷式手机支架如图1所示，通过调节两支架夹角的大小可改变手机屏幕的高度．图2是该款手机支架的平面示意图，已知，．
（1）当时，求点到水平桌面的距离．
（2）当由调整到时，则点到水平桌面的距离将抬高多少？(结果精确到．参考数据：，，．)
【答案】（1）点到水平桌面的距离为
（2）当由调整到时，点到水平桌面的距离将抬高
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）过点作于点，在中，利用求出即可得解；
（2）过点作于点，可得，利用求出即可得解．
【小问1详解】
如图1，当时，
，
．
过点作于点，
在中，，，
．
点到水平桌面的距离为．
【小问2详解】
如图2，当由调整到时，则，
过点C作，作于点，
，
在中，，，
．
当由调整到时，点到水平桌面的距离将抬高．
21. 如图1是一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的内只进水不出水，在接下来的内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图2所示．

（1）当时，求关于的函数解析式．
（2）当容器内的水量为时，求对应的时间．
（3）每分钟的进水和出水各是多少升？
【答案】（1）关于的函数解析式为
（2）对应的时间
（3）每分钟的进水量为，出水量为
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，然后根据题意利用待定系数法确定函数的解析式以及利用函数的性质成为解题的关键．
（1）用待定系数法求对应的函数关系式即可；
（2）求出的自变量取值即可；
（3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解即可．
【小问1详解】
解：当时，设关于的函数解析式为，
，两点在函数图象上，
，．
关于的函数解析式为．
【小问2详解】
解：当容器内的水量为时，即，由（1）知，
．
对应的时间．
【小问3详解】
解：每分钟的进水量为．每分钟的出水量为．
每分钟的进水量为，出水量为．
22. 【特例发现】
正方形与正方形如图1所示放置，，，三点在同一直线上，点在边上，连结，．通过推理证明，我们可得到两个结论：①；②．

【旋转探究】
将正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度到图2所示的位置，则在“特例发现”中所得到的关于与的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

【迁移拓广】
如图3，在矩形与矩形中，若，．连结，．探索线段与线段存在怎样的数量关系和位置关系？为什么？

【联想发散】如图4，与均为正三角形，连结，．则线段与线段的数量关系是______；直线与直线相交所构成的夹角中，较小锐角的度数为______．

【答案】【旋转探究】结论仍然成立．证明见解析；【迁移拓广】有结论：①；②．理由见解析；【联想发散】，．
【解析】
【分析】【旋转探究】根据正方形的性质易证，得出，延长与、交于点I、H，利用角的转化得出，从而结论得证；
【迁移拓广】 根据矩形的性质及条件“，”，易证，得出，，设和的交点为M，与的交点为N，利用角的转化得出，从而得到结论；
【联想发散】 延长交的延长线于点，交于点．证明，推出，，利用角的转化得出，可得结论．
【详解】【旋转探究】 结论仍然成立．
证明：如图，延长与、交于点I、H，

，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
且；
【迁移拓广】 解：，．理由如下：
四边形与四边形都为矩形，
，
，
，，
，
，
，，
，
如图，设和的交点为M，与的交点为N，

，，，
，
，
．
【联想发散】 解：如图，延长交的延长线于点，交于点．

，都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，直线与直线相交所成较小角的度数是．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质等，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键．
23. 如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，．
（1）填空：该二次函数的解析式为______．
（2）已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
（3）过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积．
【答案】（1）
（2），见解析
（3）以，，，为顶点的四边形的面积为8
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象性质：
（1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到；
（3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵当时，，
∴，
把，代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵且，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：当时，解得或
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，（舍去）或，（舍去），
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8．
24. 如图，内接于，，与直径交于点．
（1）如图1，若，．则的长为______．
（2）如图2，在上取点，使，连接并延长交于点．求证：平分．
（3）如图3，在（2）的条件下，已知，．求线段的长．
【答案】（1）4 （2）见解析
（3）线段的长为
【解析】
【分析】（1）如图，连接，，可得，，即可求解；
（2）如图2，，，而，可得，则，即可求解；
（3）证和即可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接，
，
，即：B是的中点，
∴为等腰直角三角形，
∵，
，，
在中，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
而，
，
，
即：平分；
【小问3详解】
解：，
∴设，则，
如图，延长交延长线于H，连接，
为直径，
，
∴，
又平分，
∴，
∵，
∴，
，，
∵，
，
∵，
，
也是等腰三角形，即：，
，
其中，，，，
代入上式解得：，
而，
由，
解得：负值已舍去，
则：，，，
由（1）知，B是的中点，为等腰直角三角形，
∴，
如图，过点A作于点M，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，，
，
∴，
∴，
解得：，
，
答：线段的长为．
【点睛】本题属于圆的综合题，涉及了三角形相似的判定与性质知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
成绩（分）
4
6
7
8
9
10
人数
2
4
3
6
3
2
年级
统计量
七年级
八年级
平均数
7.4
7.4
中位数
8
众数
7