2024年山东省青岛市崂山区九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是( )
A. 7B. -7C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】解：的相反数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了求一个数的相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．轴对称图形指一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这条直线是图形的对称轴；中心对称图形指一个图形绕着某个点顺时针或逆时针旋转后与原来图形重合，这个点是图形的对称中心．
【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，此项不符合题意；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，此项不符合题意；
C.是轴对称图形，也是中心对称图形，此项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，此项符合题意．
故选：D．
3. 文化和旅游部5月6日发布数据显示，2024年“五一”假期，全国国内旅游出游合计295000000人次．数据“295000000”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法．科学记数法指一个数可写成（其中，为整数）的形式，根据题意，逐项判断即可．
【详解】解：．
故选：C．
4. 某校计划对教室进行多媒体安装改造，现安排两家公司共同完成．已知A公司的工作效率是B公司工作效率的1.2倍，B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天．若设B公司每天安装x间教室，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．根据“B公司安装30间教室比A公司安装同样数量的教室多用2天”列式即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
故选A.
5. 由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图的知识，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形．
故选A．
6. 两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形中两锐角互余的性质，熟练掌握其内容是解题的关键．由，可得，根据，可得，而，由此可求出．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
．
故选：B．
7. 已知点，，将线段平移至，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，点的横坐标为，点的纵坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. 7D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形中的平移规律．根据规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可．
【详解】解：点，，段平移至，点的对应点在轴上，点的对应点在轴上，
点的横坐标加5，点的纵坐标减3，
，
．
故选：C．
8. 如图，在菱形中，点分别是，，，上的点，且，若菱形的面积为120，，则的长为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定与性质．先根据面积及求出，然后由可证，，再根据相似三角形的性质可得，，故运算化简即可．
【详解】解：菱形的面积为120，
同理可证
．
故选：A．
9. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的两对角互补、圆周角定理以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握圆内接四边形的两对角互补是解答的关键．根据圆周角定理得到，进而利用直角三角形的两锐角互余得到，再根据圆内接四边形的两对角互补求得．
【详解】解： 是半圆O的直径，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
故选：B．
10. 反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示．则函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质，由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，且，可得函数过点，从而可得答案．
【详解】解：由反比例函数的图象可得，由一次函数的图象可得，
且当时，，
∴，
∵，
当时，，
∴函数过点；
∴A符合题意，
故选：A．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算的结果是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算零次幂，再计算乘法，最后算加减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：3．
12. 已知某十字路口交通信号灯，红灯、绿灯、黄灯亮的时间分别是60秒、25秒、5秒，则某辆车到达路口，遇见绿灯的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据简单地概率公式计算即可．本题考查了简单地概率公式计算应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】根据题意，红灯、绿灯、黄灯亮的时间分别是60秒、25秒、5秒，则某辆车到达路口，遇见绿灯的概率是，
故答案为：．
13. 在春季中学生运动会上，参加男子引体向上的10名运动员的成绩如下表所示．
这10名运动员成绩的方差为__________．
【答案】9.4
【解析】
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的运算公式．先计算出这组数据的平均数，再根据方差的运算公式求解，即可解题．
【详解】解：（个），
,
故答案为：9.4．
14. 如图，将长方形纸片沿，折叠成图1，使与在一条直线上，再沿折叠成图2，使点落在点处，若，则的度数为__________．
【答案】63
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理．由得，再结合折叠的性质可得，，最后根据三角形内角和定理可得到答案．
【详解】解：在图1中，
,
由折叠的性质得：
,
,
在图2中，由折叠的性质得：
,
．
故答案为：63．
15. 如图，为的直径，是的弦，过点B的切线交的延长线于点C，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，证明，可得，求解，结合，再进一步计算即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
由圆周角定理得，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，求解扇形的面积，掌握以上基础知识是解本题的关键．
16. 如图，矩形中，点在边上，且，平分．作于点，连接，，的延长线交于点，交于点．以下结论：①；②；③；④若，则．正确的有__________．（填写序号）

【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质．
①四边形是矩形，平分易得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形即可；
②由是等腰直角三角形得，，故，得；
③先求，得，故，再由，，得，故即可；
④设，则，先证得，再证得，故，解出，再算出即可．
【详解】解：四边形是矩形
平分
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
，①正确；
是等腰直角三角形
，②不正确；
,
，
，③正确；
,
设，则
，④不正确．
故答案为：①③．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17. 已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可．
【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求．
理由：平分
到和的距离相等
垂直平分
是半径
即为的弦．
故即为所求．
四、解答题（本大题共8小题，共68分）
18. 计算
（1）解不等式组；
（2）化简．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了不等式组的求解以及分式的化简；
（1）解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
（2）根据分式的运算法则，求解即可．
【小问1详解】
解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【小问2详解】
解：
19. 在一次数学兴趣小组活动中，王小和李立两位同学设计了如图所示的两个转盘游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则王小获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则李立获胜（若指针停在等分线上，则重转一次，直到指针指向某一份内为止）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】游戏对双方不公平
【解析】
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：列表如下：
由表可知共有12种等可能的结果，小于12的情况数有6种，大于12的情况数有3种，
，，
，
游戏对双方不公平．
20. 杂交水稻技术是中国农业科技史上的一座丰碑．为了考察甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，并获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下：
数据1，甲种水稻稻穗谷粒数：
171，172，176，176，178，182，184，193，196，202，
206，206，206，206，208，208，214，215，216，219
数据2，乙种水稻稻穗谷粒数的折线统计图：

数据3，甲、乙两种水稻稻穗谷粒数的平均数、中位数、众数（单位：颗）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）__________；__________；
（2）甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）；
（3）若单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，则从水稻优良率分析，应推荐__________（填“甲”或“乙”）；若该试验田中有甲、乙两种水稻各3000株，据此估计，优良水稻共有多少株？
【答案】（1）204；195
（2）乙 （3）甲；优良水稻共有2850株
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，样本估计总体，中位数，众数等，根据统计图得出相关信息是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义，结合题目所给数据和统计图，即可解答；
（2）根据表格分析即可求解；
（3）分别计算出两种水稻的优良率即可求解；分别求出两种水稻的优良水稻数量，相加即可求解．
【小问1详解】
解：∵抽取甲种水稻的稻穗20株，
∴中位数为第10株和第11株的平均数，
∴，
由折现统计图可得：乙种水稻稻穗谷粒数中195出现的次数最多，
∴，
故答案为：204，195；
【小问2详解】
解：根据表格可知：乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定，
故答案为：乙．
【小问3详解】
解：甲：，
乙：，
∴应推荐甲，
故答案为：甲；
（株），
答：优良水稻共有2850株．
21. 【图形定义】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．类似的，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．
例如：如图1，在四边形中，点是的中点，点是的中点，是四边形的中位线．
【方法探究】
如图2，已知是的中位线，以点为中心将旋转得到，可证．
【方法应用】
（1）如图3，是梯形的中位线．若，，则__________；若，，且，则__________．
（2）如图4，是四边形的中位线．若，，则的取值范围是__________；若，，且，则的取值范围是__________．
【答案】（1）4；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，旋转的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定与性质．
（1）以为中心，将梯形旋转得到梯形，则，，且四边形都是平行四边形，易得即可；
（2）以为中心，将四边形旋转得到四边形,连接，则四边形都是平行四边形，则,,，在中得（在同一直线上时，等号成立），故即可．
【小问1详解】
解：如图，以为中心，将梯形旋转得到梯形，
则，，且四边形都是平行四边形
,
若，，则，
若，，则，
故答案为：4，；
【小问2详解】
如图，以为中心，将四边形旋转得到四边形,连接，则四边形都是平行四边形，
,,
在中得（在同一直线上时，等号成立）
即
若，，则，即，
若，，且，则．
故答案为：，．
22. 如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）判断圆心O与点C及两切点为顶点的四边形的形状并证明．
【答案】（1）详见解析
（2）四边形的形状是正方形，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
（1）连接，，过点O作于E，根据，点O为边中点，可得平分，根据角平分线的性质，得到，即证明为的半径，点在圆上，结合，根据切线的判定定理即可得证；
（2）由，，可得，，得到四边形是矩形，又，即证明四边形是正方形．
【小问1详解】
证明：如图，连接，，过点O作于E．
，
，点O为边中点，
平分，
与相切于点D，
为的半径，且，
平分，，，
，
为的半径，点在圆上，
又，
是的切线．
【小问2详解】
四边形的形状是正方形．
证明：，，
，
又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形．
23. 2024年1月17日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员3人280天生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，当时，，求此时点C到工作台的距离（结果精确到0.1）
（参考数据：，，，，，）
【答案】点C到工作台的距离为6.8米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长，过点B作于点G，过点C作于点H，与交于点I，则四边形是矩形，在中，在中分别求得，根据，即可求解．
【详解】解：延长，过点B作于点G，过点C作于点H，与交于点I，
则，
四边形是矩形．
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
（米），
点C到工作台的距离为6.8米．
24. 某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图1所示，其中支架米，米，两种支架各用了200根．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），经费预算为40000元．
（1）分别以和所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；
②求出改造前大棚的最大高度；
（2）只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】（1）①；②
（2）最大值是2米
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，一元一次函数的增减性，是解题的关键．
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；②把得到函数的解析式配方，即可得到结论；
（2）求出，设改造后抛物线解析式为，根据对称轴，得到，根据时，求出 ，得到．同理时，得到 ， 根据经费预算为40000元，得到，解得，根据随a增大而减小，得到时， ．
【小问1详解】
①设改造前的抛物线解析式为，
由题意可知，，，在抛物线上，
∴，
解得，，
∴．
②∵，，，
∴时，
．
【小问2详解】
中，当时，，
∴，
设改造后抛物线解析式为，
∵对称轴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴．
当时，，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵经费预算为40000元，
∴，
解得，，
∵，
∴随a增大而减小，
∴时，最大，．
答：最大值是2米．
25. 如图，在正方形中，，动点P从点A出发，经过点B，向点C匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，向点C匀速运动，速度为．连接，，，设运动时间为．
（1）当时，求t的值；
（2）是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，为等腰三角形？
（4）设的面积为S，求出S关于t的函数表达式，以及当t为何值时，S等于正方形面积的．
【答案】（1）
（2）
（3）当时，为等腰三角形
（4）；；当时，
【解析】
【分析】（1）根据题意证明，利用相似三角形的性质建立等式求解，即可解题；
（2）利用勾股定理分别表示出、、，再根据，利用勾股定理建立方程求解，即可解题；
（3）由为等腰三角形，分以下三种情况讨论，①若，则，②若，则，③若，则，根据以上三种情况讨论分析，即可解题；
（4）由动点P从点A出发，经过点B，向点C匀速运动，速度为；分以下情况讨论S关于t的函数表达式，以及当t为何值时，S等于正方形面积的，①当点P在上运动时，易知，根据求解即可，②当点P在上运动时，易知，根据求解即可．
【小问1详解】
解：正方形中，，
，
由题知，，，，
通过可证，
，即，解得；
【小问2详解】
解：存在，
在中，由勾股定理得，
同理可得，，
若，则在中，由勾股定理得，
即，
，解得，（舍）；
【小问3详解】
解：易知点P在上运动时，可能为等腰三角形．
①若，则，
由（1）得，
，解得（舍），（舍），
②若，则，
由（1）得，
，即，
解得，（舍），
③若，则，
由（1）得，
，即，
解得（舍），（舍），
综上，当时，为等腰三角形．
【小问4详解】
解：，
．
①当点P在上运动时，易知，
，
，
若，则，即，
解得，（舍）．
②当点P在上运动时，易知，
，
，
若，则，解得（舍），
综上，当点P在上运动时，；
当点P在上运动时，；
当时，．
【点睛】本题考查了正方形性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形性质和判定，二次函数的实际应用，解题的关键在于根据动点运动情况，以及几何图形性质，结合方程建立等式求解．成绩/个
10
12
14
15
18
19
20
人数
1
2
1
3
1
1
1
乙和甲
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14
平均数
中位数
众数
甲
196．7
a
206
乙
196．8
195
b