北京市汉德三维集团2024届高三下学期第二次联考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市汉德三维集团2024届高三下学期第二次联考数学试题（原卷版+解析版），文件包含北京市汉德三维集团2024届高三下学期第二次联考数学试题原卷版docx、北京市汉德三维集团2024届高三下学期第二次联考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，基本初等函数，导数.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别解不等式可得集合与，进而可得.
【详解】因为，，
所以，
故选：B．
2. 已知函数，则的值是（ ）
A. －2022B. 0C. 1D. 2022
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数为奇函数可求的值.
【详解】的定义域为，定义域关于原点对称.
，故为奇函数，
则．
故选：B.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，运算求解即可得函数的定义域.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. -2B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为函数为奇函数，所以从而求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时，
所以，故C项正确.
故选：C.
5. 函数的一个零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为的定义域为，且在内单调递增，
可知在内单调递增，
且，
所以函数的唯一一个零点所在的区间是.
故选：B.
6. 已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据=2，由求解.
【详解】解：∵，
∴，当且仅当，即，时取等号.
故选：C.
7. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，，得，则，再令可得答案.
【详解】依题意，，
可得，
,
,
,
令，可得
而，
故.
故选:A.
8. 已知函数,若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出的图象，得到，问题转化为，换元后进行求解，得到答案.
【详解】作出的图象，如图所示：

由，可得，
则，
令，
则，
故．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知条件p：，则是条件p的充要条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由充要条件的定义，根据不等式的性质和幂函数单调性判断.
【详解】幂函数在R上不是单调函数，时不能得到，时也不能得到，A选项错误；
幂函数在R上单调递增，时一定有，时也一定有，B选项正确；
由不等式的性质可知，当时有，即，当时有，即，C选项正确；
当时，若，则不成立，D选项错误.
故选:BC.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 为偶函数
C. 的值域为D. 在上单调递减
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性以及单调性的定义，结合对数的运算法则以及对数函数的定义域，可得答案.
【详解】由函数，
则可得，解得，即该函数的定义域为，
由，则函数为偶函数，A错，B对；
因为，所以，的值域为，C错；
取任意，令，则，
，，且，则，即，
可得，故函数在上单调递减，D对；
故选：BD.
11. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值是4B. 的最大值是
C. 的最大值是D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断.
【详解】因为正实数满足，
对于选项A：因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是4，故A正确；
对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是，故B错误；
对于选项C：因为，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是，故C正确；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是，故D正确；
故选：ACD.
12. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数的最小值为
B. 当时，函数的极大值点为
C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增
D. 若恒成立，则实数的取值范围为
【答案】AD
【解析】
【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D.
【详解】因为函数，则，其中，
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，故A正确；
当时，则，令，可得，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误；
假设存在实数使得函数在定义域上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以在上恒成立，因为的值域为，
所以函数无最小值，
故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误；
若恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，令，则，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确；
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 命题：“，”的否定是__________.
【答案】，
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题可得.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，
则命题：“，”的否定是“，”.
故答案为：，.
14. 曲线过原点的切线方程为______.
【答案】或.
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】由题意可得，
设切点为，则，
所以函数过原点的切线方程为，
解之得，则，
此时切线方程为，
若切点为原点，则，此时切线方程为.
故答案为：或.
15. 已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】解出的范围，并设、，根据是的必要不充分条件，得出，根据集合包含关系即可得出.
【详解】解可得，即，
因为，所以，解可得，
即.
设，，
因为若是的必要不充分条件，所以，
所以有，且不能同时取等号，所以.
故答案为：.
16. 已知定义在上函数满足，且当时，有，若，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】依据题意判断函数关于直线对称，结合，构造函数，易得其关于对称，最后分类讨论即可.
【详解】因为定义在上的函数满足
所以函数关于直线对称，即
因为当时,有即
故令则，在上单调递增,
因为，
所以关于点对称，
所以在上单调递增，因为，
所以所以当时, ,
所以，当时,，
所以且,即无解.所以不等式的解集是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查求导数，解题关键是合理构造合适的原函数，得到，然后构造，再进行分类讨论，得到所要求的解集即可．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 已知关于的不等式的解集是．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）直接将代入不等式即可解出；
（2）使用二次函数知识将二次不等式化为两根式，然后比较系数得到方程组，再解出方程组即可.
【小问1详解】
等价于原不等式对成立，即.
解得，所以的取值范围是.
【小问2详解】
意味着，且.
展开并比较系数可知，故.
而，故，从而，解得，进而得到.
经验证当，时条件满足，所以，.
18. 已知函数，．
（1）若，求函数的极值；
（2）试讨论函数的单调性．
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当，求出，令得出方程根，判断所求根两边导函数的符号即可得到函数的极值；
（2）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域范围内分别求解即可.
【小问1详解】
若，，定义域为，
则，
令，可得，
由，可得，所以在上单调递增，
由，可得，所以在上单调递减，
所以在处取得极小值，极小值为，无极大值；
【小问2详解】
的定义域为，
，，
当时，，则在上单调递减，
当时，令，可得或，
因为，所以舍去，
所以当时，，
则在上单调递减，
所以当时，，
则在上单调递增，
综上，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
19. 如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）．
（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；
（2）当DG长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．
【答案】（1）
（2）当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米
【解析】
【分析】（1）根据相似关系列出等式即可求解；（2）根据均值不等式即可求解.
【小问1详解】
因为，，所以，
又，所以，即，所以，
所以，
解得或，即x的取值范围是；
【小问2详解】
由（1）知
，
当且仅当时等号成立．
故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米．
20. 已知函数（为实常数）．
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的性质可求得，并代入检验；
（2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值．
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为，
若函数为奇函数，则，解得，
此时，
则，
即，可知为奇函数，则符合题意，
综上所述：.
【小问2详解】
由（1）可知，
由不等式，得，
原题意等价于，
因为，令，
则
又因为函数在单调递增，则，
可得，所以实数的最大值为1.
21. 已知函数
（1）时，求的值域；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，结合二次函数的性质计算可得；
（2）利用换元法及基本不等式求出的最小值，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可.
【小问1详解】
令，因为，所以，
令，，
因，所以当时，取最小值为，
当时，取最大值为，即，
故当时，值域为；
【小问2详解】
，
令，则，且，
所以
，
其中，当且仅当即时取等号，此时，
即，
所以，解得，即实数的取值范围为.
22. 已知函数.
（1）若在定义域上单调递增，求的取值范围；
（2）若恒成立，求实数的值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据导数与单调性的关系，建立不等式，利用参数分离的解题方法，将不等式恒成立问题转化为，函数求最值问题，可得答案；
（2）根据不等式构造函数，并明确函数的最值，利用最值与极值的关系，求得参数的值，得到具体函数，并利用导数验证最值的真假，可得答案.
【小问1详解】
依题意可知，，即在上恒成立.
设，显然当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
故，因此；
【小问2详解】
设，注意，即，因此为最大值.
由.
下证明当时，恒有，
注意到，令，，
由（1）可知，
因此.
当时，，当时，，
因此，故，故单调递减，而，
因此时，单调递增，当时，单调递减.
即，证毕.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.