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2024年山东省青岛市多校联考中考数学一模试题
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这是一份2024年山东省青岛市多校联考中考数学一模试题，文件包含2024年山东省青岛市多校联考中考数学一模试题原卷版docx、2024年山东省青岛市多校联考中考数学一模试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念，求一个数的算术平方根，根据无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数即可判断．
【详解】解：，，， ，，是有理数，是无理数，无理数的个数是1个，
故选：A．
2. 窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、即不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 地球上七大洲的总面积约为平方千米，近似数精确到( )
A. 十分位B. 百分位C. 千万位D. 百万位
【答案】C
【解析】
【分析】根据近似数的精确度的定义即可求解.
【详解】=150000000，故精确到千万位
故选C.
【点睛】此题主要考查近似数的精确度，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.
4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
5. 直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据平行线的性质得到，再由邻补角互补即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
，
∵，
∴，
由题意得，直尺的两边平行，
∴，
∴，
故选D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中垂线的性质，作出合适的辅助线，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，且为的中点，得到，利用勾股定理可求出，进而得到，在中，可求出，进而求出，再运用勾股定理即可求．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
且为的中点，
，，
在中，
，
在中，
．
在中．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，A点坐标为，线段绕原点逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，根据旋转的性质可证，根据全等三角形的性质可得和的长，即可确定点坐标．
【详解】解：过点A作轴于点B，过点作轴于点C，如图所示，
则，
∵A点坐标为，
∴，
根据旋转的性质，，
∴．
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
9. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图，连接．
由圆周角定理可得，
，
，
，
，
．
是的切线，
，
．
．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等，难度不大，解题的关键是先利用圆周角定理得出，进而利用上述知识点逐步求解．
10. 如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断．
【详解】解：∵若，分别是抛物线上的两个点，
∵对称轴为，开口向下，
∴，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴；
∴；故②正确；
∵对称轴为，开口向下，
∴当时，为最大值
∴
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴
由图象可得，当时，
∴
∴，故④正确；
综上所述，正确的说法是：①②③④．
故选D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：________________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂可以解答本题．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
12. 一组数据有个数，它们的平方和是，平均数是，则这组数据的方差是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了方差的求法，解决问题的关键是对方差公式的正确应用．根据已知条件个数据的平方和是，平均数是，可知应该应用求方差公式推导出代入求出即可．
【详解】解：根据求方差公式：
，
故答案为：．
13. 师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用；理解工程问题中：工作量工作效率工作时间的基本关系是解题的关键．根据工作量工作效率工作时间，表示两者各自完成零件所用的时间，时间相等构建方程即可．
【详解】解：师傅所用时间为，徒弟所用时间为，于是
；
故答案为：．
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
15. 一个玻璃球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．已知每块地砖的大小、质地完全相同，则该玻璃球停留在白色区域的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，用白色区域的面积整个图形的面积即可求解．
【详解】解：如图，设每个小正方形的边长为1，
整个图形的面积，
白色区域的面积，
玻璃球停留在白色区域的概率为，
故答案为：．
16. 如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝．其中正确的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】过作于，证明得，从而，可判断①正确；中，，中，，由是等腰直角三角形，得，可判断②正确；由，，可判断③不正确；中，，得，可判断④正确．
【详解】解：，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，①正确；
中，，
中，，
过作于，如图：
，
是等腰直角三角形，
，故②正确；
，
，故③不正确；
是等腰直角三角形，
，
，
中，，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识，解题的关键是证明．
三、解答题：本题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，中，．
（1）请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与边交于点，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：．
【答案】（1）画图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤画图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得，从而，可证，然后根据即可证明．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
连接，
是的垂直平分线，
．
．
又，
．
又∵，，
．
．
【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
18. （1）化简：．
（2）解一元一次不等式组．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查分式的加减乘除混合运算，解一元一次不等式组．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可；
（2）根据不等式的性质，分别解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
19. 数学兴趣小组成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cs63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cs53°≈0.60，tan53°≈1.32)
【答案】62.9米
【解析】
【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE=CF，CE=BF，
∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，
∴CF=AF=AC=50，
∵∠CBF=63.5°，
∴（米），
∵CD∥AB，
∴∠D=53°，
∵∠BED=90°，
∴（米），
∴CD=CE+DE=62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
20. 2024年4月18日上午10时08分，华为系列正式开售，华为和已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“改变生活，改变社会”，不一样的手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．
（1）求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；
（2）某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】（1）A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元．
（2）营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一次函数的应用，一元一次不等式的应用：
（1）设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，由售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元，再建立方程组即可；
（2）设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元，，再利用一次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，
由题意得：
解得．
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
【小问2详解】
解：设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元，
由题意得，，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的，
∴，
解得，
∵，，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，．
答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
21. 为了解某县年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按，，，四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图．
请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生有 名；请补全条形统计图；
（2）根据调查结果，请估计该县名初中毕业生数学质量检测成绩为级的人数是多少？
（3）等级中有甲、乙、丙、丁名学生成绩并列第一，现在要从这位学生中抽取名学生在校进行学习经验介绍，用树状图或列表格求出恰好选中甲乙两位学生的概率．
【答案】（1）；补全条形统计图1见解析
（2）名
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）用A的人数除以A所占的百分比求出总人数，求出C的人数即可补全图形；
（2）用该校初中毕业的人数乘以A级的人数所占的百分比即可；
（3）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
本次抽取的学生有（名）；
故B组人数为：名，
补全统计图如图所示；
【小问2详解】
根据题意得：（名），
答：该县名初中毕业生数学质量检测成绩为级的人数是286名．
【小问3详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到甲乙的有2种结果，
∴恰好选中甲乙两位学生的概率为．
22. 已知，如图．在中，，是中线．是的中点，连接并延长到，使，连接、．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中线性质可得，再题目已知条件可证得；
（2）根据直角三角形中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解．
【小问1详解】
是的中点，
，
，，
．
【小问2详解】
，是中线，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接．已知，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出时对应自变量的取值范围；
（3）若点Q在线段AB上，且，求点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，根据图象求不等式的解集：
（1）根据，求出代入求出，再把代入得，从而求出；
（2）联立方程组，求出两个函数图象的交点坐标，再根据图象与交点坐标直接写出答案；
（3）利用面积公式，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴点坐标为；
∵
∴，
∴点坐标为，
∵点，点在直线上，
∴，
解得，，
∴，
把点代入，得，，
解得，，
∴，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：联立方程组，
解得，
∴
由图象得，不等式的解集为或，
即时对应自变量的取值范围是或；
【小问3详解】
解：如图，设，
∵
∴，
解得，，
∴，
∴点的坐标为．
24. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
（1）【探究发现】
操作一：先把矩形对折，折痕；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________；
（2）【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时，________，________；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】
在（2）的探究中，当，请直接写出的长．
【答案】（1）30 （2）①，；②
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果；
（2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解
【小问1详解】
解：，
，
，
如图，取的中点O，连接，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：30；
【小问2详解】
①四边形是正方形，
，，
由折叠性质得：，，
，
，
，
，，
同法（1）可得：，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
解得：，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
，
，
故答案为：15，；
②，理由如下：
，，
，
；
【小问3详解】
当点Q在点F的下方时，如图，
，，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
即，
解得：，
；
当点Q在点F的上方时，如图，
，，
，
由（2）可知，，
设，
即，
解得：，
，
综上所述，或
【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键
25. 如图，抛物线与直线相交于两点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）点为轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）把拋物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
（3）的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（2）设，根据是以为底边的等腰三角形可得，然后利用两点距离公式构建关于p的方程，然后求解即可；
（3）先求直线解析式，然后设平移后的抛物线解析式为，联立方程组，化简得，根据抛物线与直线始终有交点得出即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与直线相交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
小问2详解】
解：设，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，即，
∴，
解得，
∴点Р的坐标为；
【小问3详解】
解：设平移后的函数解析式为，
设直线解析式为，
把，代入，得
，
解得，
∴，
联立方程组，
整理得，，
∵抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 在，，，，，，这个数中，无理数的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查无理数的概念，求一个数的算术平方根，根据无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数即可判断．
【详解】解：，，， ，，是有理数，是无理数，无理数的个数是1个，
故选：A．
2. 窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、即不是是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3. 地球上七大洲的总面积约为平方千米，近似数精确到( )
A. 十分位B. 百分位C. 千万位D. 百万位
【答案】C
【解析】
【分析】根据近似数的精确度的定义即可求解.
【详解】=150000000，故精确到千万位
故选C.
【点睛】此题主要考查近似数的精确度，解题的关键是熟知科学记数法的表示方法.
4. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
5. 直尺和三角板如图摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
根据平行线的性质得到，再由邻补角互补即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
，
∵，
∴，
由题意得，直尺的两边平行，
∴，
∴，
故选D．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂乘除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中垂线的性质，作出合适的辅助线，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，且为的中点，得到，利用勾股定理可求出，进而得到，在中，可求出，进而求出，再运用勾股定理即可求．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
且为的中点，
，，
在中，
，
在中，
．
在中．
故选：C．
8. 在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，A点坐标为，线段绕原点逆时针旋转，得到线段，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，根据旋转的性质可证，根据全等三角形的性质可得和的长，即可确定点坐标．
【详解】解：过点A作轴于点B，过点作轴于点C，如图所示，
则，
∵A点坐标为，
∴，
根据旋转的性质，，
∴．
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
9. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图，连接．
由圆周角定理可得，
，
，
，
，
．
是的切线，
，
．
．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等，难度不大，解题的关键是先利用圆周角定理得出，进而利用上述知识点逐步求解．
10. 如图为二次函数的图象，有下列四个结论：若，分别是抛物线上的两个点，则；；；．其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断．
【详解】解：∵若，分别是抛物线上的两个点，
∵对称轴为，开口向下，
∴，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴；
∴；故②正确；
∵对称轴为，开口向下，
∴当时，为最大值
∴
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴
由图象可得，当时，
∴
∴，故④正确；
综上所述，正确的说法是：①②③④．
故选D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：________________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂可以解答本题．
【详解】解：
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
12. 一组数据有个数，它们的平方和是，平均数是，则这组数据的方差是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了方差的求法，解决问题的关键是对方差公式的正确应用．根据已知条件个数据的平方和是，平均数是，可知应该应用求方差公式推导出代入求出即可．
【详解】解：根据求方差公式：
，
故答案为：．
13. 师傅和徒弟两人每小时共做40个零件，在相同时间内，师傅做了300个零件，徒弟做了100个零件．师傅每小时做了多少个零件？若设师傅每小时做了个零件，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用；理解工程问题中：工作量工作效率工作时间的基本关系是解题的关键．根据工作量工作效率工作时间，表示两者各自完成零件所用的时间，时间相等构建方程即可．
【详解】解：师傅所用时间为，徒弟所用时间为，于是
；
故答案为：．
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式且计算即可．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
15. 一个玻璃球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．已知每块地砖的大小、质地完全相同，则该玻璃球停留在白色区域的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，用白色区域的面积整个图形的面积即可求解．
【详解】解：如图，设每个小正方形的边长为1，
整个图形的面积，
白色区域的面积，
玻璃球停留在白色区域的概率为，
故答案为：．
16. 如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线AE的距离为；③S△APD+S△APB＝；④S正方形ABCD＝．其中正确的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】过作于，证明得，从而，可判断①正确；中，，中，，由是等腰直角三角形，得，可判断②正确；由，，可判断③不正确；中，，得，可判断④正确．
【详解】解：，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，①正确；
中，，
中，，
过作于，如图：
，
是等腰直角三角形，
，故②正确；
，
，故③不正确；
是等腰直角三角形，
，
，
中，，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积等知识，解题的关键是证明．
三、解答题：本题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，中，．
（1）请用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与边交于点，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：．
【答案】（1）画图见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤画图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得，从而，可证，然后根据即可证明．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
连接，
是的垂直平分线，
．
．
又，
．
又∵，，
．
．
【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
18. （1）化简：．
（2）解一元一次不等式组．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查分式的加减乘除混合运算，解一元一次不等式组．
（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可；
（2）根据不等式的性质，分别解一元一次不等式，然后求出两个解集的公共部分即可．
【详解】解：（1）
；
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以原不等式组的解是．
19. 数学兴趣小组成员在观察点A测得观察点B在A的正北方向，古树C在A的东北方向；在B处测得C在B的南偏东63.5°的方向上，古树D在B的北偏东53°的方向上，已知D在C正北方向上，即CD//AB，AC=50米，求古树C、D之间的距离。(结果保留到0.1米，参考数据：≈1.41 ，sin63.5°≈0.89，cs63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，sin53°≈0.80 ，cs53°≈0.60，tan53°≈1.32)
【答案】62.9米
【解析】
【分析】过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到BE=CF，CE=BF，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过B作BE⊥CD于E，过C作CF⊥AB于F，
则四边形BFCE是矩形，
∴BE=CF，CE=BF，
∵∠CAF=45°，∠AFC=90°，
∴CF=AF=AC=50，
∵∠CBF=63.5°，
∴（米），
∵CD∥AB，
∴∠D=53°，
∵∠BED=90°，
∴（米），
∴CD=CE+DE=62.9（米），
答：古树C、D之间的距离约为62.9米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
20. 2024年4月18日上午10时08分，华为系列正式开售，华为和已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“改变生活，改变社会”，不一样的手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A、B两种型号的手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元．
（1）求A、B两种型号的手机每部利润各是多少元；
（2）某营业厅再次购进A、B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】（1）A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元．
（2）营业厅购进A种型号手机12部，B种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一次函数的应用，一元一次不等式的应用：
（1）设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，由售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元，再建立方程组即可；
（2）设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元，，再利用一次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，
由题意得：
解得．
答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元；
【小问2详解】
解：设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元，
由题意得，，
∵B型手机的数量不超过A型手机数量的，
∴，
解得，
∵，，
∴w随x的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，．
答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．
21. 为了解某县年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按，，，四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图．
请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生有 名；请补全条形统计图；
（2）根据调查结果，请估计该县名初中毕业生数学质量检测成绩为级的人数是多少？
（3）等级中有甲、乙、丙、丁名学生成绩并列第一，现在要从这位学生中抽取名学生在校进行学习经验介绍，用树状图或列表格求出恰好选中甲乙两位学生的概率．
【答案】（1）；补全条形统计图1见解析
（2）名
（3）
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）用A的人数除以A所占的百分比求出总人数，求出C的人数即可补全图形；
（2）用该校初中毕业的人数乘以A级的人数所占的百分比即可；
（3）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．
【小问1详解】
本次抽取的学生有（名）；
故B组人数为：名，
补全统计图如图所示；
【小问2详解】
根据题意得：（名），
答：该县名初中毕业生数学质量检测成绩为级的人数是286名．
【小问3详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，恰好抽到甲乙的有2种结果，
∴恰好选中甲乙两位学生的概率为．
22. 已知，如图．在中，，是中线．是的中点，连接并延长到，使，连接、．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中线性质可得，再题目已知条件可证得；
（2）根据直角三角形中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解．
【小问1详解】
是的中点，
，
，，
．
【小问2详解】
，是中线，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，连接．已知，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出时对应自变量的取值范围；
（3）若点Q在线段AB上，且，求点Q的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，根据图象求不等式的解集：
（1）根据，求出代入求出，再把代入得，从而求出；
（2）联立方程组，求出两个函数图象的交点坐标，再根据图象与交点坐标直接写出答案；
（3）利用面积公式，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴点坐标为；
∵
∴，
∴点坐标为，
∵点，点在直线上，
∴，
解得，，
∴，
把点代入，得，，
解得，，
∴，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
解：联立方程组，
解得，
∴
由图象得，不等式的解集为或，
即时对应自变量的取值范围是或；
【小问3详解】
解：如图，设，
∵
∴，
解得，，
∴，
∴点的坐标为．
24. 如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
（1）【探究发现】
操作一：先把矩形对折，折痕；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接，．根据以上操作，当点M在上时，写出图1中________；
（2）【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点M在上时，________，________；
②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】
在（2）的探究中，当，请直接写出的长．
【答案】（1）30 （2）①，；②
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，得，取的中点O，连接，根据直角三角形那个斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果；
（2）①根据折叠的性质，可证即可求解；②证明，即可；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解
【小问1详解】
解：，
，
，
如图，取的中点O，连接，
，
为等边三角形，
，
，
，
故答案为：30；
【小问2详解】
①四边形是正方形，
，，
由折叠性质得：，，
，
，
，
，，
同法（1）可得：，
，
，
，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
解得：，
，
在中，，
根据勾股定理：，即，
，
，
故答案为：15，；
②，理由如下：
，，
，
；
【小问3详解】
当点Q在点F的下方时，如图，
，，
，
，
由（2）可知，，
设，
，
即，
解得：，
；
当点Q在点F的上方时，如图，
，，
，
由（2）可知，，
设，
即，
解得：，
，
综上所述，或
【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键
25. 如图，抛物线与直线相交于两点．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）点为轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）把拋物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求的最大值．
【答案】（1），
（2）
（3）的最大值为
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的图象与性质，即可得出答案；
（2）设，根据是以为底边的等腰三角形可得，然后利用两点距离公式构建关于p的方程，然后求解即可；
（3）先求直线解析式，然后设平移后的抛物线解析式为，联立方程组，化简得，根据抛物线与直线始终有交点得出即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与直线相交于两点，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
小问2详解】
解：设，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，即，
∴，
解得，
∴点Р的坐标为；
【小问3详解】
解：设平移后的函数解析式为，
设直线解析式为，
把，代入，得
，
解得，
∴，
联立方程组，
整理得，，
∵抛物线与直线始终有交点，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
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