山西省怀仁市第一中学校2024届高三下学期第四次模拟考试数学试题

这是一份山西省怀仁市第一中学校2024届高三下学期第四次模拟考试数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，若，则m等于（ ）
A.1B.C.D.
2.设，，是三个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.甲，乙，丙，丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，且甲不去A学校实习，则不同的分配方案的种数是（ ）
A.48B.36C.24D.12
5.已知定义在上的函数满足，为奇函数，则等于（ ）
A.B.0C.1D.2
6.已知数列满足，.若数列是公比为2的等比数列，则等于（ ）
A.B.C.D.
7.已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A.8B.12C.16D.24
8.已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列有关回归分析的结论中，正确的是（ ）
A.若经验回归方程为，则变量y与x负相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点中心
C.样本相关系数的绝对值越小，说明两个变量之间的线性相关程度越强
D.若散点图中所有点都在直线上，则样本相关系数
10.已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（ ）
A.
B.恒成立
C.在上单调递减
D.将的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称
11.下列等式中正确的是（ ）
A.B.C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量，则的值为______.
13.已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为______.
14.已知集合，函数.若函数满足：对任意，存在，，使得，则的解析式可以是______.（写出一个满足条件的函数解析式即可）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物消费金额前200名的顾客，均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为，每次中奖与否相互不影响，中奖1次可获得50元奖金，中奖2次可获得100元奖金，中奖3次可获得200元奖金.
（1）求顾客甲获得了100元奖金的条件下，第一次抽奖就中奖的概率；
（2）若该商场开业促销活动的经费为1.5万元，则从数学期望的角度预测该活动是否会超过预算，请说明理由.
16.（15分）已知在矩形（如图1）中，点E在边上，且.现将沿向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图2所示的四棱锥.
图1 图2
（1）若点F在线段上，且平面，求的值；
（2）若平面平面，求平面和平面夹角的余弦值.
17.（15分）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）讨论极值点的个数.
18.（17分）已知双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
（1）若直线l的斜率k存在，求k的取值范围；
（2）记直线，的斜率分别为，，求的值；
（3）设G为直线与直线的交点，，的面积分别为，，求的最小值.
19.（17分）如果数列满足：且，则称数列为n阶“归化数列”.
（1）若某4阶“归化数列”是等比数列，写出该数列的各项；
（2）若某11阶“归化数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若为n阶“归化数列”，求证：.
2023∼2024学年怀仁一中高三年级下学期第四次模拟考试
数学试题答案
1.A [因为，，，
所以，解得.]
2.B [因为，，，则，可能相交，
故“”推不出“”；
因为，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”.
故“”是“”的必要不充分条件.]
3.D [设，
则由得，
整理得，
所以解得
所以在复平面内对应的点为，在第四象限.]
4.C [①若A学校只有1人去实习，则不同的分配方案的种数是.
②若A学校有2人去实习，则不同的分配方案的种数是.
则不同的分配方案的种数为.]
5.C [因为，
所以，
所以的一个周期为6.
又因为为奇函数，
所以，即，即，
令，则，即
所以.]
6.A [依题意，，，当时，，则，
所以
.]
7.C [在直三棱柱中，，所以为直角三角形，
则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆的圆心为斜边的中点，
因为直三棱柱外接球的直径为6，所以外接球的半径，
设上下底面三角形的外心分别为，，连接.则外接球的球心G为的中点，
如图，
连接，则，
设，所以，
则，
在中，，
则，
所以该棱柱的体积.
当且仅当，即时等号成立.]
8.A [因为点P为直线：与直线：的交点，
所以由可得，且过定点，设为A，过定点，设为B，
所以点P的轨迹是以为直径的圆，其圆心为，半径.
而圆的圆心为，半径，
所以两个圆心的距离，且，所以两圆外离，
所以的最大值为，的最小值为，
所以的取值范围是.]
9.AB [对于A，由于经验回归方程为，有，故变量y与x负相关，A正确；
对于B，运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点中心，B正确；
对于C，样本相关系数的绝对值越小，说明两个变量之间的线性相关程度越弱，C错误；
对于D，散点图中所有点都在直线上，则样本相关系数，D错误.]
10.AC [因为函数的图象在y轴上的截距为，
所以，因为，所以，故A正确；
又因为是该函数的最小正零点，
所以，所以，
解得，所以，，
所以（其中），故B错误；
当时，，故C正确；
将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
则该函数是非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，故D错误.]
11.BCD [对于A，因为，
令，得，则，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C，因为，
所以，故C正确；
对于D，，
对于，其含有的项的系数为，
对于，要得到含有的项，
须从第一个式子中取出个x，再从第二个式子中取出个x.
它们对应的系数和为.
所以.故D正确.]
12.16
解析 由可得，则.
13.
解析 由题意的最小值为曲线上点A到直线距离的最小值，
设，则为增函数，
令得，故当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故，即的图象在曲线图象的下方.
则当点A处的切线与平行时，取得最小值.
对求导有，由可得，即，
故.
14.（满足，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确）
解析 ，，
则，.
又，
则，
所以，
则的解析式可以为.
经检验，满足题意.
15.解（1）设“顾客甲获得了100元奖金”为事件A，“甲第一次抽奖就中奖”为事件B，
则，……2分
，……4分
故.……5分
（2）设一名顾客获得的奖金为X元，则X的取值可能为0，50，100，200，……6分
则，，……8分
，.……10分
则，……12分
于是.故预测该活动不会超过预算.……13分
16.解（1）作，交于点M，如图所示，易得，……2分
因为平面，平面平面，平面，……4分
所以，所以四边形为平行四边形，……5分
所以，所以，
由可得.……6分
（2）易知为等腰直角三角形，取的中点O，则.……7分
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.……9分
以O为坐标原点、，所在直线为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，……10分
设平面的法向量为.
则
令，则，，，……12分
易知平面的一个法向量为，
则.……14分
则平面和平面夹角的余弦值为.……15分
17.解（1）当时，，其定义域为，
又，……2分
所以，……3分
由，解得，此时单调递增；
由，解得，此时单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.……5分
（2）函数的定义域为，
由题意知，，……7分
当时，，
所以在上为增函数，
即极值点的个数为0；
当时，易知，
故解关于t的方程得，
，，
所以，
又，
，则恒成立，……11分
所以当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，……13分
即极值点的个数为1，……14分
综上，当时，极值点的个数为0；当时，极值点的个数为1.……15分
18.解（1）设，，直线的方程为，……1分
联立方程组
整理得，
因为直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，
可得
解得，……5分
又由直线的斜率，可得k的取值范围是.……6分
（2）由双曲线，可得，
由（1）可得，，
则，……7分
所以
.……11分
（3）由（2）可知，
所以直线与直线的方程分别为和，……12分
联立两直线方程可得交点G的横坐标为，……13分
于是
，……16分
故的最小值为3，当且仅当时等号成立.……17分
19.（1）解设，，，成公比为q的等比数列，显然，则由，
得，解得，……2分
由得，解得，
所以数列，，，或，，，为所求4阶“归化数列”.……4分
（2）解设等差数列，，，…，的公差为d，由，
所以，
所以，即，……5分
当时，与“归化数列”的条件相矛盾；……6分
当时，，又，
所以，，
所以；……8分
当时，，又，
所以，，
所以……10分
所以.……11分
（3）证明 由已知可知，数列中必有，也必有（i，，且）.……12分
设，，…，为中所有大于0的数，，，…，为中所有小于0的数.
由已知得，.……14分
所以.……17分