广东省南澳县南澳中学2024届高三下学期冲刺高考模拟考试数学试题

这是一份广东省南澳县南澳中学2024届高三下学期冲刺高考模拟考试数学试题，共9页。试卷主要包含了设集合，，则，已知，则，下列区间中，函数单调递增的区间，记为数列的前n项和，设甲，已知，，则，已知正方体，则等内容，欢迎下载使用。

答卷时间：120分钟，全卷满分150分，时间：2024年5月19日星期日下午3：00—5：00．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．2B．C．4D．
4．下列区间中，函数单调递增的区间（ ）
A．B．C．D．
5．基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ ）
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
6．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
7．记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
10．已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为B．直线AB与C相切C．D．
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．的展开式中的系数为______（用数字作答）．
13．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是______
14．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，则B＝______；（2） 的最小值为______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和．
16．（15分）
随着中国实施制造强国战略以来，中国制造（Made in China）逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制．某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标的范围为，经过数据处理后得到如下频率分布直方图：（1）为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标在和的两组中抽取3件产品，记取自的产品件数为，求的分布列和数学期望；
（2）该企业采用混装的方式将所有的产品按200件一箱包装，质量指标在内的产品利润是5元，质量指标在之外的利润是3元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱产品的利润．
17．（15分）
如图，在正四棱柱中，AB＝2，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：；
（2）点P在棱上，当二面角为时，求．
18．（17分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求a的取值范围．
19．（17分）
已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且，，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．
南澳中学2024冲刺期高考模拟考试高三数学科答案
14．（1） ；（2）
10．【详解】将点A的代入抛物线方程得1＝2p，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线AB的方程为，联立，可得，解得x＝1，故B错误；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为，，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确．故选：BCD
11．【详解】因为，均为偶函数，
所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线，x＝2对称，又，且函数可导，所以，，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误，故选BC．
15．解：（1）由题设可得，又，，故即即所以为等差数列，故．
（2）设的前20项和为，则，因为
，，…，，所以
．
16．解：（1）样本中质量指标在的产品有40×10×0.015＝6件，质量指标在的有40×10×0.01＝4件，可能的取值为0，1，2，3，
相应的概率为：，，
，，
随机变量的分布列为：
所以期望
（2）解：设质量指标在内有X件，每箱产品的利润为Y元，则质量指标在外的有件，由题意知，
因为，所以，所以．
17．（1）以C为坐标原点，CD，CB，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
∴，，∴，又，不在同一条直线上，∴
（2）设，则
，，，
设平面的法向量，则，令z＝2，得，，
∴，设平面的法向量，则
令a＝1，得b＝1，c＝2，∴，∴，
化简可得，，解得或，∴或，∴．
18．解：（1） ，∴，∴． ，∴切点坐标为，∴函数在点处的切线方程为，即，∴切线与坐标轴交点坐标分别为，，∴所求三角形面积为；
（2）解法一： ，，且．设，则，
∴在上单调递增，即在上单调递增，当a＝1时，
，∴，∴成立．当时，，∴，，∴存在唯一，使得，且当时，当时，∴，∴，因此，
∴，∴恒成立；当时，，∴，不是恒成立．综上所述，实数a的取值范围是．
解法二：等价于，
令，上述不等式等价于，显然为单调增函数，∴又等价于，即，
令，则在上，单调递增；在上，单调递减，∴，，即，∴a的取值范围是．
19．解：（1）由题意可得：，解得：，，故椭圆方程为：．
（2）设点，．因为，∴，即，①
当直线MN的斜率存在时，设方程为，如图1．代入椭圆方程消去y并整理得：
，，②，
根据，，代入①整理可得：
将②代入，，
整理化简得，∵不在直线MN上，∴，
∴，，于是MN的方程为，所以直线过定点直线过定点．
当直线MN的斜率不存在时，可得，如图2．代入得，结合，解得 （舍），，此时直线MN过点，
由于AE为定值，且为直角三角形，AE为斜边，
所以AE中点Q满足为定值（AE长度的一半）
由于，，故由中点坐标公式可得
故存在点，使得为定值．
图1图2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
B
C
B
A
B
D
C
D
ABD
BCD
BC
0
1
2
3
P