新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题26数列的通项公式(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题26数列的通项公式(原卷版+解析)，共115页。

类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【题型归纳目录】
题型一：观察法
题型二：叠加法
题型三：叠乘法
题型四：待定系数法
题型五：同除以指数
题型六：取倒数法
题型七：取对数法
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
题型九：周期数列
题型十：前n项积型
题型十一：“和”型求通项
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
题型十三：因式分解型求通项
题型十四：其他几类特殊数列求通项
题型十五：双数列问题
题型十六：通过递推关系求通项
【典例例题】
题型一：观察法
例1．（2023·山东聊城·高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________.
例2．（2023·河南商丘·高三阶段练习（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
例3．（2023·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．
(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．
例4．（2023·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为．
(1)写出，，，的值；
(2)猜想数列的表达式，并写出推导过程；
(3)求证：．
例5．（2023·安徽·合肥市第六中学高二期末）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴．
(1)试写出，并求；
(2)记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和．
例6．（2023·全国·高二课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，写出以及.
例7．（2023·全国·高二课时练习）观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)1，3，7，____，31，____，127；
(2)2，5，____，17，26，____，50；
(3)，，____，，，____，；
(4)1，，____，2，，____，．
例8．（2023·广东·广州市培正中学三模）设是集合{且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表．
（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由）；
（2）设是该三角形数表第行的个数之和所构成的数列，写出的通项公式；
（3）求的值.
【方法技巧与总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型二：叠加法
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求通项________.
例10．（2023·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知数列满足则求___________
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
例12．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，则__________.
例13．（2023·湖北·华中师大一附中模拟预测）在数列中，已知，，.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)记，若在数列中，，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和
题型三：叠乘法
例14．（2023·浙江浙江·二模）已知等差数列的前项和为，满足，．数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，，记数列的前项和为，若，求的最小值．
例15．（2023·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
例16．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
例17．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
例18．（2023·福建南平·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
例19．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
例20．（2023·山西太原·二模（理））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列数列的前n项和______．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
例22．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
例23．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式
题型四：待定系数法
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设，．则__________．
例25．（2023·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项.
例30．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式.
例31．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
例32．（2023·全国·高三专题练习）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．
例33．（2023·江苏·高三阶段练习）已知数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和
例34．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
【方法技巧与总结】
形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
题型五：同除以指数
例35．（2023·河南·高三阶段练习（文））已知数列的首项，且满足，
（1）设，证明是等差数列；
（2）求数列的前项和.
例36．（2023·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
例38．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【方法技巧与总结】
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
题型六：取倒数法
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
例40．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
例41．（2023·江苏南京·模拟预测）已知数列满足．若，则______；若，则______．
【方法技巧与总结】
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型七：取对数法
例42．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和 ．
例43．（2023•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为 ．
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则________
【方法技巧与总结】
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例45．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式；
例46．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；
例47．（2023·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
例48．（2023·福建·福州三中高三阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
例50．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
例51．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
例52．（2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和．
例53．（2023·福建·三明一中模拟预测）设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
例54．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
例55．（2023·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例56．（2023·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，令
(1)求证：是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求.
例57．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．
例58．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列满足，求证：．
例59．（2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））设数列前n项和为，若，，则___________.
例60．（2023·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知数列满足，则___________.
例61．（2023·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．C．D．
例62．（2023·陕西省神木中学高一期末）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
例63．（2023·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））在数列中，，，则的值为( )
A．B．C．D．无法确定
【方法技巧与总结】
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型九：周期数列
例64．（2023·河南安阳·模拟预测（理））已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例65．（2023·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例66．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
例67．（2023·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
例68．（2023·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
例69．（2023·云南师大附中模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，，则______.
例70．（2023·重庆一中高三阶段练习）已知数列满足：，，则______．
例71．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
例72．（2023·全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.
【方法技巧与总结】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型十：前n项积型
例73．（2023•徐州模拟）已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为 ．
例74．（2023•重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则 ．
例75．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.
例76．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．
例77．（2023·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
例78．（2023·全国·高三专题练习（理））已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【方法技巧与总结】
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型十一：“和”型求通项
例79．（2023秋•河南月考）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 ．
例80．（2023秋•南明区校级月考）若数列满足，则 ．
例81．（2023·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
例82．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
例83．（2023·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8B．6C．－5D．4
例84．（2023·浙江省春晖中学模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和.
例85．（2023·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
【方法技巧与总结】
满足，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
例86．数列满足，前16项和为540，则 ．
例87．（2023•夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则 ．
例88．（2023秋•舒城县校级月考）已知数列满足：，则数列的前40项和 ．
例89．（2023春•漳州期末）已知数列满足，则的前40项和为 ．
例90．（2023秋•普陀区校级期末）已知数列的首项，且满足，则 ．
例91．（2023•鼓楼区校级模拟）已知数列中，，，则 ．
例92．（2023春•东安区校级期中）已知数列满足：，则的前40项的和为
A．860B．1240C．1830D．2420
例93．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，则_________.
例94．（2023·辽宁·盘锦市高级中学高三阶段练习）已知数列，满足且，设是数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例95．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．
若数列满足______，求的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【方法技巧与总结】
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
题型十三：因式分解型求通项
例96．（2023秋•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．
例97．（2023•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
例98．（2023秋•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
例99．已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
例100．（2023•四川模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/10 10:14:40；用户：18316341968；邮箱：18316341968；学号：32362679
【方法技巧与总结】
利用十字相乘进行因式分解
题型十四：其他几类特殊数列求通项
例101．（2023·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））设数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例102．（2023•辽宁三模）在数列中，已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
例103．（2023•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
例104．（2023•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．
①求证：数列是“平方递推数列”；
②求证：数列是等比数列；
③求数列的通项公式．
（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．
例105．（2023秋•上城区校级月考）已知正项数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：．
例106．（2023•湖南一模）在数列中，已知，，．
（Ⅰ）证明数列 是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，的前项和为，求证．
【方法技巧与总结】
（1）二次型：形如
（2）三阶递推：形如型，多在大题中，有引导型证明要求
（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”
（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）
题型十五：双数列问题
例107．（2023·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
例108．（2023·全国·高三专题练习）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
例109．（2023·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______.
例110．（2023·全国·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
例111．（2023·吉林长春·模拟预测（文））已知数列和满足，，，，则______，______．
例112．（2023·河南洛阳·三模（文））若数列和满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
消元法
题型十六：通过递推关系求通项
例113．（2023·青海西宁·一模）如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则
A．220B．216C．212D．208
例114．（2023·全国·高三专题练习）如图，曲线y2＝x（y≥0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an，n∈N*（记Q0为O），Qn（Sn，0）.数列{an}的通项公式an＝_____.
例115．（2023·全国·高三专题练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______．
例116．（2023·山东·日照青山学校高三阶段练习）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________.
例117．（2023·安徽马鞍山·二模（理））为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）证明：(，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(近似看作0).
例118．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·山西大同·高三阶段练习）等比数列的前n项和，则（ ）
A．B．2C．1D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，对任意的都有，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列满足，，则（ ）
A．30B．31C．22D．23
4．（2023·新疆喀什·高三期末（文））已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项积，已知，则= （ ）
A．B．C．D．
6．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列第2022项为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·浙江·三模）设数列满足，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．B．存在，使
C．D．数列不具有单调性
二、多选题
9．（2023·山东淄博·高三阶段练习）若数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
10．（2023·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D．－5050
12．（2023·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）
A．和均为数列中的项
B．数列为等差数列
C．仅有有限个整数使得成立
D．记数列的前项和为，则恒成立
三、填空题
13．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则______．
14．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和，数列满足，，，则的通项公式为______．
15．（2023·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若等差数列的前项和分别为，且满足，则________
16．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，是的前n项和．
（1）求；
（2）若为数列的前n项和，求证：．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求证：数列的前项和．
19．（2023·全国·河源市河源中学模拟预测）已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．
（1）求的值；
（2）记为数列的前n项和，求．
20．（2023·江西·模拟预测（理））设数列满足，．
（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（2023·湖北·黄冈中学三模）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：．
专题26 数列的通项公式
【考点预测】
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【题型归纳目录】
题型一：观察法
题型二：叠加法
题型三：叠乘法
题型四：待定系数法
题型五：同除以指数
题型六：取倒数法
题型七：取对数法
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
题型九：周期数列
题型十：前n项积型
题型十一：“和”型求通项
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
题型十三：因式分解型求通项
题型十四：其他几类特殊数列求通项
题型十五：双数列问题
题型十六：通过递推关系求通项
【典例例题】
题型一：观察法
例1．（2023·山东聊城·高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________.
答案： 8
【解析】（1）根据题意，第5行的数列依次为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2
从左数起第6个数的值为8；
（2）,
,
,
,
故有
则
故答案为：①8；②
例2．（2023·河南商丘·高三阶段练习（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
答案：
【解析】数列中的项为：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，…
经检验，数列中的偶数项都是数列中的项.
即，，，256，… 可以写成的形式，观察，归纳可得.
故答案为：.
例3．（2023·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．
(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．
【解析】(1)，.
(2)由图形的作法可知：
从边数看，后一个图形的边数是前一个图形的边数的倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边数是
以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边数为，
从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长的倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边长是
以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边长为，
所以，.
例4．（2023·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为．
(1)写出，，，的值；
(2)猜想数列的表达式，并写出推导过程；
(3)求证：．
【解析】(1)解：根据图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，
可知，，，，.
(2)解：数列的通项公式为：；
推导过程如下：
由图可得；
；
；
；
；

由上式规律，可得，
所以，
所以，当n=1符合
即数列的通项公式为.
(3)解：由，当时，，
所以原式，
因为，可得，可得.
例5．（2023·安徽·合肥市第六中学高二期末）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴．
(1)试写出，并求；
(2)记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和．
【解析】(1)由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
(2)由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即．
例6．（2023·全国·高二课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，写出以及.
【解析】由题意得：，
所以
累加可得，
当n=1时，满足上式，
所以，
所以
例7．（2023·全国·高二课时练习）观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)1，3，7，____，31，____，127；
(2)2，5，____，17，26，____，50；
(3)，，____，，，____，；
(4)1，，____，2，，____，．
【解析】(1)观察数列得各项加1后是2的幂次，应填空；，；
(2)观察数列得各项减1后是正整数的平方，应填空10；37，；
(3)观察数列得后项等于前项乘以，应填空；，；
(4)观察数列得各项都化为二次根式后，为正整数的正的平方根，应填空；，．
例8．（2023·广东·广州市培正中学三模）设是集合{且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表．
（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由）；
（2）设是该三角形数表第行的个数之和所构成的数列，写出的通项公式；
（3）求的值.
【解析】（1）由题意，，，，，，，
∴第四行：，，，，
第五行：，，，，，
（2）由（1）知：第行的个数之和，
∴的通项公式；
（3）由前n行的项数为个，而，易知为第十四行的第9项，由上知：通项公式中表示第行，表示第+1列，
∴.
【方法技巧与总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型二：叠加法
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求通项________.
答案：
【解析】解： ，即，
， ，，， ，
以上各式相加得，
又，所以，
而也适合上式，.
故答案为：
例10．（2023·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知数列满足则求___________
答案：
【解析】∵
∴
∴,
,
,
…
，
将以上99个式子都加起来可得，
.
故答案为：.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
答案：
【解析】由题意可知，满足，
当时，，
，以上各式累加得，
.
，
当时，也满足上式，∴，则.
∴数列的前n项和为，
∴.
故答案为：.
例12．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，则__________.
答案：
【解析】因为，所以，
则当时， ，将个式子相加可得
，因为，则，
当时，符合题意，所以.
所以
故答案为：.
例13．（2023·湖北·华中师大一附中模拟预测）在数列中，已知，，.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)记，若在数列中，，求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意， ，得： ，运用累加法：
，
，
，
，n=1时，也成立，∴ ；
(2)由（1） ， ，
由题意 ，即 ，
化简得： ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
即 ；
综上，，.
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和
题型三：叠乘法
例14．（2023·浙江浙江·二模）已知等差数列的前项和为，满足，．数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，，记数列的前项和为，若，求的最小值．
【解析】(1)设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得：，
所以，所以数列的通项公式为；
因为数列满足，，，
所以
当时，
，
又满足，所以数列的通项公式为.
(2)由（1）可得: ，所以，
所以.
所以，即为.
又因为恒成立，
所以单调递减,且，所以解得n≥6,
故n的最小值为6.
例15．（2023·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【解析】(1)解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)解：结合（1）得
，
所以
.
例16．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
【解析】因为a1=1，(n≥2)，所以，
所以·…··1=.
又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以.
例17．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】(1)∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
例18．（2023·福建南平·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
【解析】(1)因为，，
所以当时，，则，即，
当时，也成立，所以.
(2)由（1），，，
则，
则
.
例19．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
答案：
【解析】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
例20．（2023·山西太原·二模（理））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列数列的前n项和______．
答案：．
【解析】解：因为，
所以，则，
则，
，
当时，，
当时，，
综上：，
所以，
所以数列的前n项和为：
，
故答案为：
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
答案：n
【解析】解：∵，∴
当时，，
当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
例22．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
答案：
【解析】解：因为，
所以， ，，，
累乘得：， ，
所以，．
由于，所以，．
显然当时，满足，
所以，．
故答案为：
例23．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】解:由，得
，
所以，当时，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函数在上单调递增，所以当时，，所以.
故选：A．
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式
题型四：待定系数法
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设，．则__________．
答案：
【解析】依题意，
，
所以数列是首项，公比为的等比数列，
所以，.
，也满足，
所以，
，
所以.
故答案为：
例25．（2023·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
答案：
【解析】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
故答案为：
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.
答案：
【解析】由，有，；
两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，，，从而.
所以.
故答案为：
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【解析】令.先求出数列的不动点，
解得.
将不动点代入递推公式，
得，
整理得，，
∴.
令，
∴，.
∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列.
∴的通项公式为.
将代入，得.
∴.
例28．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
【解析】因为，故且，
故，而 ，故，故，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，解得.
例29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项.
【解析】因为的特征函数为，
则特征方程为，即，
解得，
则，①
.②
则①÷②得，
∴数列是公比为的等比数列，
∴.
∵，∴，
即.
例30．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式.
【解析】设，
即，解得，即不动点为，，
可变形为，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
其通项公式，
得.
例31．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【解析】解：当时，，，，以此类推可知；
当时，，，，以此类推可知；
当且且时，特征方程为，即，解得或，
因为且且，且且，可知对任意的，且.
构造数列，则，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，解得.
综上所述，.
例32．（2023·全国·高三专题练习）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．
【解析】(1)由得：，
令，则上式为．
因此是一个等差数列，，公差为1，故．
由于，
又，，即．
(2)由递推关系式，得，
令，则，且．
符合该式，
，
令，则，即，
即，且，
故是以为首项，为公比的等比数列．
，即，
.
例33．（2023·江苏·高三阶段练习）已知数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和
【解析】（1），
由此可得数列构成以为首项，公比的等比数列，
利用等比数列通项公式得： ，
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）得
，
例34．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
【解析】， ，即
又，则
是首项为，公差为的等差数列，
，即，
故答案为：
【方法技巧与总结】
形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
题型五：同除以指数
例35．（2023·河南·高三阶段练习（文））已知数列的首项，且满足，
（1）设，证明是等差数列；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）将等式两边都减去得.
再除以得，即.
即.且.
所以是首项为，公差为的等差数列.
(2) 由（1）知，所以.
所以.
则①
②
①-②得：
所以.
例36．（2023·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
(2)证明：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
(3)证明：由（2）得，
故
，
所以.
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
【解析】解：由，
得：，
∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，
得．
例38．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【解析】(1)因为，所以，
由于，
因此，
所以，即.
于是，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)由（1）知，故，
所以，
，
两式相减，得，
所以.
【方法技巧与总结】
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
题型六：取倒数法
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
答案：
【解析】解：由两边取倒数可得，即
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，
所以；
故答案为：
例40．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由，
故，记，则，
两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，
又，所以，所以，
故.
故选：C.
例41．（2023·江苏南京·模拟预测）已知数列满足．若，则______；若，则______．
答案： 2604 【解析】由取倒数得，即，
则当时，，
当时，上式也成立，于是得，
当时，，有，于是得；
当时，，即，所以.
故答案为：2604；
【方法技巧与总结】
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型七：取对数法
例42．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和 ．
【解析】解：数列的首项为9，且，
所以：，
所以两边取对数得：，
整理得：（常数），
所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以：，
所以：，
由于，所以：，
故：两边取倒数得到：，
所以数列的前项和．
故答案为：
例43．（2023•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为 ．
【解析】解：数列满足，
．
，
，变形为：，
．
数列是等比数列，首项为，公比为．
．
则．
，只考虑为偶数时，
时，．
时，．
因此（4）取得最大值．最大值为．
故答案为：．
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则________
答案：
【解析】
等价变形，换元设，得
，两边取对数，得是首项，公比的等比数列，求出可解 .
【详解】
，，
，设，则，，两边取对数，
， ，所以是首项，公比的等比数列，
， ，
故答案为：
【方法技巧与总结】
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例45．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式；
【解析】，
两式相减得到.
当时，可得，
又，是首项为，公比为的等比数列
的通项公式为.
例46．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；
【解析】①；
当时，代入①得.
当时，②；
①-②得，
整理得，
因为，所以，
所以数列为等差数列，公差为1，
所以.
例47．（2023·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【解析】(1)当时，，
∵，∴.
当时，由，得，
两式相减得
即
∴数列，均为公比为4的等比数列
∴，
∴
(2)∵
∴数列的前项和
例48．（2023·福建·福州三中高三阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】(1)由于，所以①，
当时，②，
①-②得，
整理得，所以为常数数列，又，
所以.
(2)由（1）得，
所以①，
②，
①-②得，
故.
例49．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
【解析】(1)因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
(2)由（1）得，，
则．
又，
所以，
化简得，解得m＝7或（舍）．
所以m的值为7．
例50．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
【解析】(1)当时，，．
当时，，两式相减得，
即，，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得，，当时，，
数列的通项公式为．
，
，
令，
得，解得．
例51．（2023·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】(1)解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以．
(2)解：因为，
则，
则．
例52．（2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和．
【解析】(1)当时，；
当时，．
综上，
(2)因为，
所以当时，，所以．
当时，由
得，所以．
又当时，，所以．
所以，
，
所以，
所以．
例53．（2023·福建·三明一中模拟预测）设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】(1)因为．
所以，解得．
当时，，
所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
(2)由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．
例54．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】(1)解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
例55．（2023·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】(1)解：当时，，解得，
由题知①，②，
由②①得，因为，所以，
于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即，
偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即
所以的通项公式；
(2)解：由（1）可得，
.
例56．（2023·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
【解析】(1)证明：因为时，，
则，
即，，·
因为，·
则①，
所以②，
则①②得，
即，·
所以为等差数列.
(2)解：由（1）可得的首项为，公差为，所以，
所以，
所以，则，
记的前n项和为，
则①，
所以②，
则①②得，·
所以，·
所以.·
（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，令
(1)求证：是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求.
【解析】(1)证明：，
，①
②
①-②得，
经检验，当时上式也成立，
即.
所以
即，且.
所以是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)由（1）得，.
所以，
两式相减，得
，
例57．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．
【解析】(1)由题，
当时，，∴；
当时，由，
所以，两式相减，
可得，∴．
当时，满足，∴．
(2)由题，
所以，
∵，∴，∴．
例58．（2023·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列满足，求证：．
【解析】(1)证明：两边同时除以，
得，
又，故是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可知，，
则．
当时，，
而符合上式，故．
(3)证明：因为，故，
且，
而，
故．
例59．（2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））设数列前n项和为，若，，则___________.
答案：
【解析】解：当时，，
，整理可得，
，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，
.
故答案为：
例60．（2023·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知数列满足，则___________.
答案：
【解析】①，
②，
两式相减得：，
所以，经检验符合要求.
则，
则③，
④，
③-④得：
，
所以
故答案为：
例61．（2023·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】当时，由①，可得：②，两式相减得：，
所以，，
当时，，
故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以，
所以
故选：C
例62．（2023·陕西省神木中学高一期末）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，则，于是得，
因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.
故选：D
例63．（2023·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））在数列中，，，则的值为( )
A．B．C．D．无法确定
答案：A
【解析】∵，，∴，解得.
∵，∴，两式相减得，，
∴，
∴是以＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴，两边同除以，则，
∴是以为公差，为首项的等差数列，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【方法技巧与总结】
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型九：周期数列
例64．（2023·河南安阳·模拟预测（理））已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】数列中，，，则有，因此，，，
因数列的前n项积的最大值为3，则当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
显然，综上得或，
所以的取值范围为.
故选：A
例65．（2023·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，
所以，，
当为偶数时，，则，两式相减得，
所以，，
故，
故选：D.
例66．（2023·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（ ）
A．4B．2C．-2D．-4
答案：D
【解析】因为，，，所以，
则，，，…，
所以数列是以3为周期的数列，
则.
故选：D.
例67．（2023·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
答案： 2024
【解析】由，得，又，
所以，，，，，
可知数列为周期数列，周期为4，
故.
故答案为：；2024.
例68．（2023·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
答案：【解析】由题意知：，
故是周期为3的周期数列，则.
故答案为：.
例69．（2023·云南师大附中模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，，则______.
答案：1011
【解析】解：由，
得，
，
，
所以数列是以3为周期的周期数列，
又，，
所以．
故答案为：1011
例70．（2023·重庆一中高三阶段练习）已知数列满足：，，则______．
答案：
【解析】由题意得：，，，，
数列是周期为的周期数列，.
故答案为：.
例71．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
答案：
【解析】由，，可得，．
∴可得．所以数列的周期为3.
．
故答案为：.
例72．（2023·全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.
答案：4
【解析】由题意，，，，，，…，
数列从第二项起是周期数列，周期为3，
所以．
故答案为：4．
【方法技巧与总结】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型十：前n项积型
例73．（2023•徐州模拟）已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为 ．
【解析】解：数列的前项积为，若对，，都有成立，
且，，
则：，，
进一步求出：，，
，
所以：，，，，
故：．
故答案为：1023
例74．（2023•重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则 ．
【解析】解：数列满足其前项的积为，故前项的积为，，
，当时，，显然，它对于第一项也是成立的，
故，．
故答案为：，．
例75．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.
【解析】(1)因为，
所以，
即，
同理得所以，
因为，所以，所以得，
则，因为当时，，得，
所以不恒等于0，
所以，即是首项为，公比为的等比数列，
则，即.
(2)由（1）可得，
所以，
所以，
所以当时，，
当时，，
所以的最小值为.
例76．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．
【解析】(1)当时，，则，由可得，则，
则，即，即，故数列是首项为，公差为的等差数列；
(2)由（1）知，，则，当时，，则；
当时，，，则；
综上可得：对于任意的正整数是与的等比中项．
例77．（2023·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为，
所以
两式相除得，
又当时，满足上式，所以
从而，
所以，
，，
累加可得时，则，
又当时，亦符合该通项，
所以的通项公式为，．
(2)设，则数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数．
所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现．
（i）考查奇数项，令，解得，此时，
又，且，所以,
所以有，这表明数列的最小项为．
（ii）考查偶数项，令，解得，此时，
又，即，
所以有，这表明数列的最大项为．
综上所述，存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项．
例78．（2023·全国·高三专题练习（理））已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【解析】(1)因为，所以，
所以，
两式相除，得，整理为，
再整理得，．
所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
(2)因为，所以，
由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因为，
所以．
【方法技巧与总结】
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型十一：“和”型求通项
例79．（2023秋•河南月考）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则 ．
【解析】解：由，，
，即，
，，，即，
，，，．
，
由此可知．
故答案为：．
例80．（2023秋•南明区校级月考）若数列满足，则 ．
【解析】解：，
则
．
故答案为：．
例81．（2023·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2024
答案：C
【解析】当时， ，
当时，由得，
两式相减可得
，即，
所以，可得，
所以.
故选：C.
例82．（2023·全国·高三专题练习）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99B．103C．107D．198
答案：B
【解析】由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴，
①为奇数时，，；
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，
综上所述，.
故选：B.
例83．（2023·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8B．6C．－5D．4
答案：C
【解析】对于，
当时有，即
，
，
两式相减得：
，
由可得
即从第二项起是等比数列，
所以，
即，
则，故，
由可得，
故选C.
例84．（2023·浙江省春晖中学模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和.
【解析】(1)因为，
所以当 时，，
故两式相减得： ，即的奇数项和偶数项各自成等差数列，且公差为2，且，
所以奇数项 ，则为奇数时， ，
偶数项，则为偶数时， ，
故数列的通项公式为；
(2)由（1）可得，，
所以，
设,故 ，
令，则 ，由于m是整数，故m的值取1，2，3，4，5，
故区间内所有“幸福数"的和为
.
例85．（2023·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
【解析】(1)解：由得，
又，所以，
由得
从而，
因此数列和数列都是等差数列，它们的公差都等于.
所以
即当n为奇数时，；
即当n为偶数时，
综上，数列{}的通项公式为
(2)解：由（1）可得
所以
当n为奇数时，
当n为偶数时，，且随着n的增大，在减小，
所以当时，取得最大值.
【方法技巧与总结】
满足，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
例86．数列满足，前16项和为540，则 ．
【解析】解：因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
例87．（2023•夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则 ．
【解析】解：由，
当为奇数时，有，
可得，
，
累加可得；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案为：3．
例88．（2023秋•舒城县校级月考）已知数列满足：，则数列的前40项和 ．
【解析】解：由，
当时，有，①
当时，有，②
当时，有，③
①②得：，
①③得：，
．
．
故答案为：420．
例89．（2023春•漳州期末）已知数列满足，则的前40项和为 ．
【解析】解：，
当为奇数时，，
，，，，，．
从第一项开始，相邻两项的和构成以为首项，以为公差的等差数列．
所以的前40项和为，
故答案为：．
例90．（2023秋•普陀区校级期末）已知数列的首项，且满足，则 ．
【解析】解：因为，
所以，
两式相除可得，
所以数列的各个奇数项成等比数列，公比为2，
数列的各个偶数项成等比数列，公比为2，
又因为，所以，
又，所以，
可得当为偶数时，，
所以．
故答案为：512．
例91．（2023•鼓楼区校级模拟）已知数列中，，，则 ．
【解析】解：，，
可得，
由，
即为奇数时，；为偶数时，；
可得数列的奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，偶数项是首项为0，公差为的等差数列，
则，
故答案为：．
例92．（2023春•东安区校级期中）已知数列满足：，则的前40项的和为
A．860B．1240C．1830D．2420
【解析】解：由，
得，，，，
，，，，．
从而可得：，，，，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都为3，从第二项起，依次取2个相邻偶数项的和，
构成以13为首项，以24为公差的等差数列，
则的前40项的和为．
故选：．
例93．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，则_________.
答案：960
【解析】由，
当n为奇数时，有；当n为偶数时，，
∴数列的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
例94．（2023·辽宁·盘锦市高级中学高三阶段练习）已知数列，满足且，设是数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由且，
得，， ，
所以，，
，
又，所以，解得.
故选:C.
例95．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．
若数列满足______，求的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)因为，且，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以当为奇数时，，当为偶数时，，
综上，．
(2)方案一：选条件①．
当为偶数时，，则，
所以是以5为首项，3为公比的等比数列；
当为奇数时，，则，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以．
方案二：选条件②．
当为偶数时，，则，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列；
当为奇数时，，则，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列．
所以．
方案三：选条件③．
当为偶数时，，则，
所以是以6为首项，9为公比的等比数列；所以当为偶数时，
当为奇数时，，则，
所以是以2为首项，9为公比的等比数列．所以当为奇数时，
所以，，即是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以．
【方法技巧与总结】
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
题型十三：因式分解型求通项
例96．（2023秋•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．
【解析】解：（Ⅰ），，
又数列为正项数列，
，
①当时，数列不是等比数列；
②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
，
．
例97．（2023•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
【解析】解：（1），，，
可得，
则，
数列为首项为1，公比为2的等比数列，
可得；
，
，；
（2）数列为等差数列，理由：，
则数列为首项为0，公差为1的等差数列；
（3），
前项和为．
例98．（2023秋•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
【解析】证明：由，
变形得：，
由于为正项数列，，
利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
从而．
例99．已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
【解析】解：（1），
当时，，，
解得．
又，，
，
当时，，
当时上式也成立，
．
（2）数列满足，且．
．
，
当为偶数时，数列的前项和为
．
当为奇数时，数列的前项和为
．
当时也成立，
．
例100．（2023•四川模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】解：（1）当时，，
；
当时，，
；
由已知可得，且，
．
（2）设，
，
是公比为4的等比数列，
．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/10 10:14:40；用户：18316341968；邮箱：18316341968；学号：32362679
【方法技巧与总结】
利用十字相乘进行因式分解
题型十四：其他几类特殊数列求通项
例101．（2023·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））设数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为数列的前n项和为，满足，
所以当时， ，解得或，
当时，，整理得，
所以数列是以1为公差的等差数列，
当时，，所以或
所以，首项满足此式，或首项满足此式，
所以或，
所以CD错误，
当时，
，
当时，
，
所以A正确，B错误，
故选：A
例102．（2023•辽宁三模）在数列中，已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
【解析】（1）证明：各项都为正数的数列满足，
得，，
所以数列是公比为的等比数列；
（2）解：因为，，
所以，
由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
于是，，
所以，即．
例103．（2023•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
【解析】证明：（1）各项都为正数的数列满足，
得，，
所以数列是公比为3的等比数列；
（2）因为，，
所以，
由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以，
于是，，
所以，即，也符合．
故．
例104．（2023•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．
①求证：数列是“平方递推数列”；
②求证：数列是等比数列；
③求数列的通项公式．
（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．
【解析】解：（1）①由条件，得．
数列是“平方递推数列”；
②令，．则．
，．
数列是等比数列；
③由②知，，，
（2）两边同乘以得，，
，
两边取对数得：
数列是以为首项，3为公比的等比数列
例105．（2023秋•上城区校级月考）已知正项数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：．
【解析】证明：（1）．
．
，，，
数列首项为2公比为2的等比数列，
（2）由（1）可得，．
．
，时取等号）．
，
．
例106．（2023•湖南一模）在数列中，已知，，．
（Ⅰ）证明数列 是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，的前项和为，求证．
【解析】证明：（Ⅰ）由得：，
又，，即，
所以， 是首项为2，公比为2的等比数列．（3分）
，（4分）
；（7分）
（Ⅱ），（8分）
，（9分）
，
所以
．（14分）
【方法技巧与总结】
（1）二次型：形如
（2）三阶递推：形如型，多在大题中，有引导型证明要求
（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”
（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）
题型十五：双数列问题
例107．（2023·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
例108．（2023·全国·高三专题练习）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
答案：
【解析】解：因为，，
所以，
所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，
所以可设数列的通项公式为，因为，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案为：
例109．（2023·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______.
答案：
【解析】
求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出，进一步推导出数列为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得的通项公式，进一步求出和，由此可求得结果.
【详解】
，，且，，则，
由可得，代入可得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
在等式两边同时除以可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
所以，，，
则，
因此，.
故答案为：.
例110．（2023·全国·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
【解析】（1）证明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化为：，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得：，
化为：，
数列是等比数列，首项为16，公比为2.
，
可得：，
.
例111．（2023·吉林长春·模拟预测（文））已知数列和满足，，，，则______，______．
答案：
【解析】由题设，，则，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，故，
，则，
令，则，
故，而，
所以是常数列，且，则.
故答案为：，.
例112．（2023·河南洛阳·三模（文））若数列和满足，，，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：因为， ，
所以，即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故选：C
【方法技巧与总结】
消元法
题型十六：通过递推关系求通项
例113．（2023·青海西宁·一模）如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则
A．220B．216C．212D．208
答案：B
【解析】由题意，在函数的图象上，若点坐标为的纵坐标为的横坐标为，所以矩形的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，，故选B.
例114．（2023·全国·高三专题练习）如图，曲线y2＝x（y≥0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an，n∈N*（记Q0为O），Qn（Sn，0）.数列{an}的通项公式an＝_____.
答案：.
【解析】
由是边长为的正三角形，得的坐标，再将其坐标代入中，可求出的值， 又由于每一个三角形都为正三角形，从而可得，再将点的坐标代入中，可得，再由求出，所以数列为等差数列，从而可求得.
【详解】
由条件可得△P1OQ1为正三角形，且边长为，
∴，在曲线上，代入（）中，得，
∵＞0，∴，根据题意得点，
代入曲线（）并整理，得.
当，时，，
即.
∵，∴，
当＝1时，，∴或（舍）
∴，故
∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴an.
故答案为：.
例115．（2023·全国·高三专题练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______．
答案：
【解析】∵，∴，
又∵，
∴，，
∴，
又
∴，
又，且，
所以，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴的前项和为，则.
故答案为：.
例116．（2023·山东·日照青山学校高三阶段练习）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________.
答案：15
【解析】解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到杆上，需要最少的次数为，
可这样操作：先将个圆环从杆全部套到杆上， 至少需要的次数为，
然后将最大的圆环从杆套在杆上，需要1次，
再将杆上个圆环从杆套到木杆上，至少需要的次数为，
所以，
易知，则，
故答案为：15.
例117．（2023·安徽马鞍山·二模（理））为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）证明：(，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(近似看作0).
【解析】解：（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，
所以，，；
（2）当第天选择汽修培训时，第天选择汽修培训的概率为，
当第天选择面点培训时，第天选择汽修培训的概率为，
则，而，
所以是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；
（3）设第天政府的补贴费为，则，
又因为是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列，
所以，
所以，
故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为元.
例118．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式.
【解析】因为，则，
所以在处的切线方程为，
令，得，（易知），
所以,
所以，
从而，
所以.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·山西大同·高三阶段练习）等比数列的前n项和，则（ ）
A．B．2C．1D．
答案：A
【解析】，当时，，
因为是等比数列，所以，得，所以A正确．
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，对任意的都有，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由得：，
，，，…，，
各式作和得：，
，．
故选：C．
3．（2023·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列满足，，则（ ）
A．30B．31C．22D．23
答案：B
【解析】因为数列满足，，
所以，，，，
所以，
所以，
故选：B
4．（2023·新疆喀什·高三期末（文））已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
所以，，，……，，
所以，
因为，
所以，
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）记为数列的前项积，已知，则= （ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】则，代入，
化简得：，则．
故选：C．
6．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
答案：C
【解析】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，
通过观察可知，同理可得，
所以，
因为，所以①正确，③错误；
由，解得，由，解得，
又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．
当n为偶数时，，故④正确．
故选：C．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列第2022项为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
所以
累加得
故选：C．
8．（2023·浙江·三模）设数列满足，记数列的前n项的和为，则（ ）
A．B．存在，使
C．D．数列不具有单调性
答案：C
【解析】由于，则，
又由，则与同号．
又由，则，可得，
所以数列单调递增，故B、D错误；
又因为，
由数列单调递增，且，所以，所以，
累加得，所以，故A错误；
由可得，
因为，所以，故C正确．
故选：C．
二、多选题
9．（2023·山东淄博·高三阶段练习）若数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．
C．数列是等比数列D．
答案：AC
【解析】将代入得，A对；
因为，
则，
，即
所以数列是首项为，公比为的等比数列，C对；
，
，BD错误．
故选：AC
10．（2023·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确．
故选：BCD．
11．（2023·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D．－5050
答案：BCD
【解析】Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得－＝－1（常数），
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以＝－1－（n－1）＝－n，故Sn＝－．
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，
故an＝故B正确，A错误；
所以，
故D正确．
故选：BCD
12．（2023·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（ ）
A．和均为数列中的项
B．数列为等差数列
C．仅有有限个整数使得成立
D．记数列的前项和为，则恒成立
答案：BD
【解析】对于A选项，分析可知当为奇数时，为奇数，
当为偶数时，为偶数，
令可得，不合乎题意，
令可得，合乎题意，
所以，不是数列中的项，是数列中的项，A错；
对于B选项，因为，
所以，数列是公差为的等差数列，B对；
对于C选项，若为偶数，由可得，矛盾，
若为奇数，由可得，即，解得，
所有满足条件的奇数都合乎题意，
所以，有无限个整数使得成立，C错；
对于D选项，为偶数，则，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，D对．
故选：BD．
三、填空题
13．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则______．
答案：．
【解析】当时，，
又时，不符合上式，
∴，
故答案为：．
14．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和，数列满足，，，则的通项公式为______．
答案：
【解析】当时，，所以．
当时，，当时，也符合上式，故．
因为，，所以，
即数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即．
故答案为：．
15．（2023·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若等差数列的前项和分别为，且满足，则________
答案：
【解析】，令，则，，
，故．
故答案为：．
16．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______．
答案：
【解析】因为，所以，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，
所以，
因此不等式，即，即，
因为，故满足不等式的最小整数为．
故答案为：．
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，是的前n项和．
（1）求；
（2）若为数列的前n项和，求证：．
【解析】（1）∵，∴，，…．
由上述个等式相加得，∴，
∴，；
（2），
，
∴．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求证：数列的前项和．
【解析】（1）由题意：，
当时，可得，
两式相减得到
又，是首项为，公比为的等比数列
的通项公式为．
（2）由题意知，
19．（2023·全国·河源市河源中学模拟预测）已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．
（1）求的值；
（2）记为数列的前n项和，求．
【解析】（1）因为和是方程的两个根
由韦达定理可知，，
因此．
所以，，，，
由累加法得，又因为，所以
因此．
（2）由，可知，
而数列的偶数项为公差为-1的等差数列，因此，
因此，
因此．
20．（2023·江西·模拟预测（理））设数列满足，．
（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）解：因为，，
所以，即
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
（2）解：由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
21．（2023·湖北·黄冈中学三模）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则
解得，
所以
因为，
所以当时，；
当时，，
所以
显然符合．
综上可知．
（2）解：由（1）知，
设，则
所以是以8为公比，为首项的等比数列，
所以数列的前项和为
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：．
【解析】（1）当时，；
当时，，
所以，整理得．
所以，又，故．
所以，即为等比数列．所以
（2）由题意得，所以与同号，
又因为，所以，即，即．
所以数列为递增数列，所以，
即，累加得．
令，，所以，
两式相减得：，
所以，所以，所以．