新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题08幂函数与二次函数(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题08幂函数与二次函数(原卷版+解析)，共56页。

1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
O
图2-9
O
图2-8
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【方法技巧与总结】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的定义及其图像
题型二：幂函数性质的综合应用
题型三：二次方程的实根分布及条件
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【典例例题】
题型一：幂函数的定义及其图像
例1．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
例3．（2023·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
例4．（2023·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
例5．（2023·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【方法技巧与总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
例7．（2023·河北石家庄·高三期末）已知实数a，b满足，，则（ ）
A．-2B．0C．1D．2
例8．（2023·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
例9．（2023·广西·高三阶段练习（理））已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例10．（2023·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
例11．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
例12．（2023·上海市实验学校高三阶段练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
例13．（2023·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【方法技巧与总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
题型三：二次方程的实根分布及条件
例15．（2023·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例16．（2023·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
例18．（2023·湖北·高一期末）已知函数，．
(1)求的最大值及取最大值时的值；
(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．
【方法技巧与总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（ ）
A．0B．1
C．2D．4
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
(1)求的表达式；
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．
例21．（2023·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
例22．（2023·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：
，的最大值为4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在① 对任意都成立，② 函数的图像关于轴对称，③ 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
例24．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
【方法技巧与总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
2．（2023·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．1或B．1C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习（理））设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．、或
5．（2023·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·北京·高三专题练习）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是
A．3B．4C．5D．6
7．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·广东揭阳·高三期末）已知函数，实数满足不等式，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）设点满足．则点（ ）
A．只有有限个B．有无限多个
C．位于同一条直线上D．位于同一条抛物线上
三、填空题
13．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
14．（2023·全国·高三专题练习（文））已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
15．（2023·广东肇庆·模拟预测）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
16．（2023·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则______.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）解不等式．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在区间上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数.
(1)当时，函数定义域和值域都是，，求的值；
(2)若函数在区间上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，
(1)若函数在，上存在零点，求的取值范围；
(2)设函数，，当时，若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且.
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
专题08 幂函数与二次函数
【考点预测】
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
O
图2-9
O
图2-8
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； = 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，；.
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【方法技巧与总结】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
4.有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
【题型归纳目录】
题型一：幂函数的定义及其图像
题型二：幂函数性质的综合应用
题型三：二次方程的实根分布及条件
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【典例例题】
题型一：幂函数的定义及其图像
例1．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A．B．0或2C．0D．2
答案：D
【解析】
分析：
根据函数为幂函数求出，再验证单调性可得.
【详解】
因为是幂函数，所以，解得或，
当时，在上为减函数，不符合题意，
当时，在上为增函数，符合题意，
所以.
故选：D.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
答案：D
【解析】
分析：
根据给定函数的图象分析函数的性质，即可得出p、q的取值情况.
【详解】
因函数的图象关于y轴对称，于是得函数为偶函数，即p为偶数，
又函数的定义域为，且在上单调递减，则有0，
又因p、q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确.
故选：D
例3．（2023·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
答案：##0.5
【解析】
分析：
点坐标代入幂函数解析式，求得，然后计算函数值．
【详解】
点A（4，2）代入幂函数解得，，
故答案为：．
例4．（2023·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．
答案：
【解析】
分析：
先求得幂函数的解析式，根据函数的奇偶性、单调性来求得的取值范围.
【详解】
设，
则，
所以，
在上递增，且为奇函数，
所以.
故答案为：
例5．（2023·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
答案：α越大函数增长越快
【解析】
分析：
根据幂函数的图象与性质确定结论．
【详解】
解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．
从上面任取一个即可得出答案．
故答案为：α越大函数增长越快．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
答案：（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析.
【解析】
（1）由题意可得：，解不等式结合即可求解；
（2）由（1）可得，分别讨论、、且时奇偶性即可求解.
【详解】
（1）因为幂函数（）在是严格减函数，
所以，即 ，解得：，
因为，所以，
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
所以，
（2），
令
当时，，，此时是奇函数，
当时，，此时是偶函数，
当且时，，，
，，此时是非奇非偶函数函数.
【方法技巧与总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
例7．（2023·河北石家庄·高三期末）已知实数a，b满足，，则（ ）
A．-2B．0C．1D．2
答案：B
【解析】
分析：
由已知构造函数，利用，，及函数的单调性、奇偶性即可得出结果.
【详解】
构建函数，则为奇函数，且在上单调递增.
由，，
得，，所以.
故选：B.
例8．（2023·四川眉山·三模（文））下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
对于A、B：作出和在第一象限的图像判断出：在上，有，在上，有，在上，有.即可判断A、B；对于C：判断出, ，即可判断；对于D：判断出，，即可判断.
【详解】
对于A、B：
作出和在第一象限的图像如图所示：
其中的图像用虚线表示，的图像用虚线表示.
可得，在上，有，在上，有，在上，有.
因为，所以，故A正确；
因为，所以，故B错误；
对于C：,而，所以.故C错误；
对于D：，而，所以.故D错误.
故选：A
例9．（2023·广西·高三阶段练习（理））已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
【解析】
分析：
分析函数的性质，作出图象，数形结合即可求解作答.
【详解】
当时，函数是增函数，函数值集合是，当时，是减函数，函数值集合是，
关于的方程有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，
在坐标系内作出直线和函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线和函数的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根，
所以实数的取值范围为.
故选：A
例10．（2023·浙江·模拟预测）已知，函数的图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】
分析：
分类讨论，与三种情况下函数的单调性情况，从而判断.
【详解】
当时，，此时函数为一条射线，且函数在上为增函数，B选项符合；当时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上为增函数，此时函数在上只有一个零点，A选项符合；当时，时，函数的增长速度远小于函数的增长速度，所以时，函数一定为减函数，选项D符合，C不符合.
故选：C
例11．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为：_________．
答案：
【解析】
分析：
将不等式化为，构造根据其单调性可得，求解即可.
【详解】
不等式变形为
所以，
令，则有，显然在R上单调递增，
则，可得解得.
故不等式的解集为．
故答案为：
例12．（2023·上海市实验学校高三阶段练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
答案：
【解析】
分析：
根据幂函数的定义及所过的点求出，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】
解：因为函数是幂函数，
所以，解得，
又其图象过点，
所以，所以，
则，
则，解得或，
令，
则函数在上递增，在上递减，
又因函数为减函数，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
例13．（2023·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ．
答案：
【解析】
分析：
根据题意，作出函数的图像，进而数形结合，将问题转化为方程在区间上有两个不相等的实数根，再结合二次函数零点分布求解即可.
【详解】
解：根据题意，作出函数的图像，如图：
令，因为方程有8个相异的实数根，
所以方程在区间上有两个不相等的实数根，
故令，则函数在区间上有两个不相等的零点.
所以，即，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1），；（2）存在，.
【解析】
分析：
（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；
（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.
【详解】
（1）（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，
故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
【方法技巧与总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
题型三：二次方程的实根分布及条件
例15．（2023·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
由可得，由可得，进而判断两集合关系，即可得到答案.
【详解】
由，则，解得；
由，方程的两根为，，
则，解得，
因为 ，所以是的充分不必要条件，
故选：A
例16．（2023·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
分析：
根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】
二次函数，对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，
需，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
例17．（2023·江西省丰城中学高一开学考试）函数且，函数.
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.
答案：(1)；
(2).
【解析】
分析：
(1)根据求出a即可；
(2)方程参变分离得，换元法求值域即可.
(1)
由，可得：，解得：，
∴；
(2)
由，可得，
令，则，
则原问题等价于y＝m与y＝h(t)＝在上有交点，
数形结合可知m∈[h()，h(4)]＝.
故实数的取值范围为：.
例18．（2023·湖北·高一期末）已知函数，．
(1)求的最大值及取最大值时的值；
(2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围．
答案：(1)当，，时，
(2)
【解析】
分析：
（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令，问题转化为在上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出的取值范围.
(1)
∵，
∴当时，
∴当时， ．
故当时， ．
(2)
令，则，使方程存在8个不等的实数根，则方程在上存在两个相异的实根，
令，则，解得：．
故所求的的取值范围是．
【方法技巧与总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（ ）
A．0B．1
C．2D．4
答案：C
【解析】
分析：
设，即有，，可得函数，的图象为的图象的部分，即有的值域为的值域的子集，即有的范围，可得最大值为2．
【详解】
解：设，由题意可得，，
函数，的图象为的图象的部分，
即有的值域为的值域的子集，
即，，，
可得，
即有的最大值为2．
故选：C．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
(1)求的表达式；
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．
答案：(1)；
(2).
【解析】
分析：
（1）根据可以判断函数的对称轴，再根据函数的值域可以确定二次函数的顶点坐标，则可设，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知进行求解，求出的值，即可得出的表达式；
（2）根据题意，可以判断出函数在区间上的单调性，由，求得，进而可知的对称轴方程为，结合二次函数的图象与性质以及单调性，得出，即可求出的取值范围.
(1)
解：由，可得的图象关于直线对称，
函数的值域为，所以二次函数的顶点坐标为，
所以设，
根据根与系数的关系，可得，，
因为方程的两个实根满足
则，
解得：，所以.
(2)
解：由于函数在区间上的最大值为，最小值为，
则函数在区间上单调递增，
又，即，
所以的对称轴方程为，则，即，
故的取值范围为.
例21．（2023·贵州毕节·高一期末）已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
答案：(1)
(2)或
【解析】
分析：
（1）代入解不等式组可得答案；
（2）由题意，结合最大值为0最小值是分、数形结合可得答案.
(1)
当时，不等式，
即为，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集为．
(2)
，
由题意或，这时解得，
若，则，所以；
若，即，
所以，则，
综上，或．
例22．（2023·全国·高三专题练习）问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：
，的最大值为4，____？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在① 对任意都成立，② 函数的图像关于轴对称，③ 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.
答案：答案见解析
【解析】
分析：
由，可求得，由条件可得函数的对称轴，又的最大值为4，可得关于的方程组，求解即可.
【详解】
解：由，可求得，则
若选择① 对任意都成立
可得的对称轴为，所以1，又的最大值为4，可得且，即，解得，此时；
若选择函数的图像关于轴对称
可得的对称轴为，则2，
又f（x）的最大值为4，可得且，即，解得a，，此时
若选择③ 函数f（x）的单调递减区间是，
可得f（x）关于x对称，则，
又的最大值为4，可得且，即
解得，此时
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数满足．
（1）求的解析式；
（2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围．
答案：（1）；（2）[1,2].
【解析】
分析：
（1）利用待定系数法求函数的解析式，设，根据已知条件建立方程组，从而可求出解析式；
（2）根据在上有最小值，最大值，，从而函数的对称轴在区间上，离对称轴远，建立关系式，从而求出的范围
【详解】
（1）设，
则
解之得：
（2）根据题意：
解之得：
的取值范围为
例24．（2023·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据，结合可解；
（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.
(1)
∵，∴.即，
因为任意实数x，恒成立，则
且，∴，，
所以.
(2)
因为，
设，要使在上单调，只需要
或或或，
解得或，所以实数k的取值范围.
【方法技巧与总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
答案：B
【解析】
分析：
根据题目条件，画出函数草图，即可判断.
【详解】
由，，可知，，抛物线开口向上．因为
，，即1是方程的一个根，
所以，都有，B正确，A、C、D错误.
故选：B．
2．（2023·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.
【详解】
由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．1或B．1C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据幂函数的定义和单调性求得的值.
【详解】
依题意是幂函数，所以，解得或.
当时，在递增，不符合题意.
当时，在递减，符合题意.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习（理））设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（ ）
A．或B．或C．或D．、或
答案：A
【解析】
分析：
由幂函数的相关性质依次验证得解.
【详解】
因为定义域为，所以，，
又函数为奇函数，所以，则满足条件的或.
故选:A
5．（2023·全国·高三专题练习（理））已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.
【详解】
幂函数的图像过点，
，解得，
，
的值域是.
故选：D.
6．（2023·北京·高三专题练习）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是
A．3B．4C．5D．6
答案：B
【解析】
【详解】
因为表示不超过的最大整数．由得，
由得，
由得，所以，
所以，
由得，
所以，
由得，与矛盾，
故正整数的最大值是4．
考点：函数的值域，不等式的性质．
7．（2023·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
答案：C
【解析】
分析：
根据幂函数的图像和性质利用排除法求解
【详解】
由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D；
当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；
故选：C.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合得到，然后结合一元二次方程根的分布即可求出结果.
【详解】
因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；时，，则单调递减；且，，时，；
作出在上的图象，如图：
关于x的方程有5个不同的实根，
令，则有两个不同的实根，所以，
令，则，解得，
故选：A.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：BC
【解析】
分析：
画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】
函数的图象如图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.
故选： BC.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，定义域为，值域为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】
分析：
根据题意，令，则，结合的值域为，求出的取值范围，进而区间的特征，即可得到正确选项.
【详解】
令，则，
由，得，即，得；
由，得（舍）或2，即；
根据的图象特征，知，，.
故选：BCD．
11．（2023·广东揭阳·高三期末）已知函数，实数满足不等式，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
先判断函数的奇偶性及单调性结合不等式可得所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断.
【详解】
因为，
所以为奇函数，
因为，
所以上单调递增，
由，
得，
所以，
即，，
因为在R上是增函数，所以，故A正确；
因为在上是增函数，所以，故C正确；
因为在R上是增函数，所以，故D错误；
令，可验证B错误.
故选：AC
12．（2023·全国·高三专题练习）设点满足．则点（ ）
A．只有有限个B．有无限多个
C．位于同一条直线上D．位于同一条抛物线上
答案：BC
【解析】
分析：
由已知得，根据的单调性有，即可知的性质.
【详解】
由题意，可得，
又单调递增，得，则，
故满足条件的点有无穷多个，且都在直线上．
故选：BC
三、填空题
13．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；
②当时，；
③；
答案：（答案不唯一）；
【解析】
分析：
根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式.
【详解】
由所给性质：在上恒正的偶函数，且，
结合偶数次幂函数的性质，如：满足条件.
故答案为：（答案不唯一）
14．（2023·全国·高三专题练习（文））已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
答案：-1
【解析】
分析：
根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.
【详解】
解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.
故答案为：-1.
15．（2023·广东肇庆·模拟预测）已知函数，，用表示m，n中的最小值，设函数，若恰有3个零点，则实数a的取值范围是___________.
答案：
【解析】
分析：
分析函数的零点情况，可确定符合题意的情况，从而得到不等式组，解得答案.
【详解】
函数恒过点 ，且其图象开口向上，的零点为1，
当的零点至少有一个大于或等于1时，如图示：
函数的零点至多有两个，不符合题意，
故要使恰有3个零点，则函数在区间上存在两个零点，如图示，
故
解得，
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）是幂函数图象上的点，将的图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若点（，且）在的图象上，则______.
答案：30
【解析】
分析：
先求出函数的解析式，得到，从而得到，对利用分组求和法求和即可.
【详解】
由，得，，.
因为点在函数上，所以，即.
所以
，
所以
.
故答案为：30.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）解不等式．
答案：．
【解析】
分析：
不等式变形为，将视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数，然后由函数的单调性解不等式．
【详解】
令，易知在R上单调递增．
原不等式变形为，即．
由在R上单调递增得，解得或．
所以原不等式的解集为．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在区间上单调递增.
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.
答案：（1）；（2）证明见解析.
【解析】
分析：
（1）由幂函数的系数为得，再根据函数为增函数得；
（2）由（1）得，再根据函数单调性的定义证明即可.
【详解】
（1）解：由题可知：，解得或.
若，则在区间上单调递增，符合条件；
若，则在区间上单调递减，不符合条件.
故.
（2）证明：由（1）可知，.
任取，，且，
则.
因为，
所以，，，
所以，
即，故在区间上单调递减.
【点睛】
本题考查幂函数的解析式，定义法证明函数的单调性，解题的关键在于幂函数的系数为1，且在在区间上单调递增，考查运算求解能力，是中档题.
19．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；
（2）将（1）中求得的解析式代入后，假设存在使得命题成立，分情况讨论利用函数单调性求值域，列出方程组求解即可.
【详解】
（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以.
（2）由（1）得，所以，
假设存在使得命题成立，则
当时，即，在单调递增，
所以；
当，即，显然不成立；
当，即，在单调递减，
所以，无解；
综上所述：存在使命题成立.
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义及单调性及函数的值域，意在考查学生的数形结合思想及数学运算能力，属基础题.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数.
(1)当时，函数定义域和值域都是，，求的值；
(2)若函数在区间上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.
答案：(1)10
(2)
【解析】
分析：
（1）确定二次函数对称轴为，再分类讨论与对称轴的关系，结合单调性确定函数最值，进而得解；
（2）可设，结合根与系数关系表示出，代换可得
，由基本不等式即可求解.
(1)
当时，函数，其图象的对称轴为直线，
故在区间，单调递减，在区间，单调递增.
①当时，在区间，上单调递减；故，此时无解；
②当时，在区间，上单调递减，，上单调递增，且，故，解得；
③当时，在区间，上单调递减，，上单调递增，且，故，此时无解.
综上所述，的值为10；
(2)
设函数的两个零点为，，
则，
又，，
，
，
因为，故，
即的取值范围为
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，
(1)若函数在，上存在零点，求的取值范围；
(2)设函数，，当时，若对任意的，，总存在，，使得，求的取值范围．
答案：(1)
(2)或
【解析】
分析：
（1）根据判别式和零点存在性定理列不等式求解；
（2）将问题转化为的值域是的值域的子集，求出和的值域，然后列不等式组求解即可.
(1)
依题意知，
解得．
(2)
依题意知，当，时，
，
即，当，时的值域为，
若对任意的，，总存在，，使得，可得的值域是的值域的子集，
又
或
解得或
即的范围是或．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，且.
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.
答案：（1）或,（2）存在;
【解析】
分析：
（1）根据函数为偶函数,且可知且为偶数,即可求得的值,进而确定的解析式.
（2）将（1）所得函数的解析式代入即可得的解析式.根据复合函数单调性对底数分类讨论,即可求得在区间上为减函数时实数的取值范围.
【详解】
（1）因为
则,解不等式可得
因为
则或或
又因为函数为偶函数
所以为偶数
当时, ,符合题意
当时, ,不符合题意,舍去
当时, ,符合题意
综上可知, 或
此时
（2）存在.理由如下:
由（1）可得
则且
当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为增函数且满足在上恒成立
即解不等式组得
当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为减函数且满足在上恒成立
即解不等式组得
综上可知,当或时, 在上为减函数
所以存在实数,满足在上为减函数
【点睛】
本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题.
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减，在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
公共点
根的分布
图像
限定条件
在区间内
没有实根
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根