2024年湖南省长沙市芙蓉区中考一模数学试题

这是一份2024年湖南省长沙市芙蓉区中考一模数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来.用科学记数法表示35000000是（ ）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4.下列命题中正确的个数是（ ）
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似
（2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似
（3）两个等边三角形一定相似
（4）任意两个矩形一定相似
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.在 中，，则的余弦值为（ ）
A. 3B. C. D.
6.如图，点在上，，则的度数为（ ）
A. 15° B. 30° C. 50° D. 60°
7.二次函数图象与一次函数只有一个交点，则的值为（ ）
A. B. 或 C. D. 或该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。 8.如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，交于点，则的度数是（ ）
A. 54° B. 36° C. 27° D. 18°
9.如图所示，一次函数（是常数，）与正比例函数（是常数，）的图像相交于点，下列判断错误的是（ ）
A. 关于的方程的解是
B. 关于的不等式的解集是
C. 当时，函数的值比函数的值大
D. 关于的方程组的解是
10.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：___________.
12.如图，转盘中有6个面积都相等的扇形，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为______.
13.如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点的对应点的坐标是______.
14.如图，在菱形中，对角线相交于点，，，交于点，则的长为______.
15.如图，与的边相切，切点为.将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点.若，则______度.
16.由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分).则图中的长应是______.
三、答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题6分）
计算：.
18.（本小题7分）
先化简，再求值：，其中
19.（本小题7分）
如图，在中，，，的平分线交于点.
（1）尺规作图：作的平分线交于点.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求的度数．
20.（本小题8分）
购物支付方式日益增多，主要有：微信，支付宝，现金，其他.数学兴趣小组对消费者的支付方式进行了抽样调查，得到如两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了多少名消费者？
（2）补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中对应的圆心角度数.
21.（本小题8分）
如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域长为6米，当身高为米的学生进入识别区域时，在点处测得摄像头的仰角为30°，在点处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门的高是多少米.
22.（本小题8分）
如图，中，分别是的中点，，过点作，交的延长线于点.
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求菱形的面积．
23.（本小题9分）
在村村通公路某项目建设中，计划修建公路共15千米，有甲、乙两个工程队可供选择，已知甲队每天比乙队每天多修路0.5千米，乙队单独完成修路所需时间是甲队单独完成修路所需时间的1.5倍．
（1）求甲、乙两队每天修路多少米？
（2）已知甲队每天工作费用7500元，乙队每天工作费用6000元，若该项目由甲、乙两队合作完成，且工程总工作费用不超过78000元，求甲队至少要工作多少天？
24.（本小题9分）
在平面直角坐标系中，对于点和.给出如下定义：如果，那么称点为点的“沉毅点”.例如点的“沉毅点”为点，点的“沉毅点”为点.
（1）若直线上点的“沉毅点”是，求点的坐标；
（2）若双曲线上点的“沉毅点”为点，且，求的值；
（3）若点在函数上，其“沉毅点”的纵坐标的取值范围是，结合图象写出的取值范围.
25.（本小题10分）
如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和.过作轴于，交于，且.
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）点是线段上的一个动点，过作轴于，连接，若面积为，求的取值范围（如图2）；
（3）经过点的直线交轴于点，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（如图3）.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、汉字中是轴对称图形，故A符合题意；
B、C、D选项中的汉字都不是轴对称图形，故B、C、D不符合题意．
故选：A
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】B
【解析】解：将35000000用科学记数法表示为：
故选：B
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】C
【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：C.
A、利用合并同类项法则判断；
B、根据幂的乘方运算法则计算判断；
C、利用同底数幂除法运算法则计算判断；
D、利用平方差公式计算判断．
此题考查了整式的混合运算，平方差公式，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：（1）有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故本选项正确；
（2）斜边和一直角边对应成比例满足两边对应成比例的两三角形相似；
∵设比例为，斜边是直角边则另外一条直角边就是，对应另外一个三角形的斜边是，直角边是.
另外一条直角边就是，这样三条对应边都成相同的比例 ，就相似了，
故本选项正确；
（3）两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故本选项正确；
（4）任意的两个矩形满足对应角相等但不满足对应边的比相等，故不一定相似，故本选项错误；
故真命题有（1）（2）（3）一共3个，
故选：C.
利用相似三角形的判定方法对四个命题进行判定即可．
本题考查了相似三角形的判定及相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理及相似多边形的判定方法．
5.【答案】C
【解析】解：如图．
在中，，
∴
∴.
故选：C.
根据勾股定理求得，再根据余弦值的定义求得
本题主要考查勾股定理、余弦值，熟练掌握勾股定理以及余弦值的定义是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵，，
∴
故选：D.
根据圆周角定理即可得出答案．
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：把代入得，
把代入得，
∴抛物线
如图，
把代入得，
∴，
把代入得，
解得，
当时，抛物线经过满足题意，
∴，
解得或（舍），
∴
如图，
令，整理得，
∴，
解得
∴或.
故选：D.
由可得线段端点坐标为，然后通过数形结合求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是通过数形结合方法，通过分类讨论，根据抛物线与线段只有1个交点和抛物线与直线相切两种情况求解．
8.【答案】D
【解析】解：由尺规作图可知，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故选：D.
由尺规作图可知，，则，由，可得，即可得，在中，结合三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握垂线的基本作图方法是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵一次函数（是常数，）与正比例函数（是常数，）的图像相交于点，∴关于的方程，的解是，选项A判断正确，不符合题意；
关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；
当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；
关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意．
故选：B.
根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
10.【答案】C
【解析】解：设点C的坐标为，即，，
∴，
故当时，最短，，
直线分别与轴、轴交于两点，在线段上取一点，
∴点的坐标为，
∴，
∴当时，最短，此时点的坐标为，
故选：C.
设点C的坐标为，即，根据勾股定理表示出的长度，根据二次函数图像的性质求出最小值即可．
本题考查了一次数点的特征，勾股定理，利用二次函数解决最值问题，熟练掌握二次函数的性质列出的二次函数解析式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法和平方差公式因式分解，掌握公因式的提取方法和公式法的结构特征是正确应用的前提．
12.【答案】
【解析】解：指针指向的可能情况有6种，而其中是奇数的有3种，
∴“指针所落扇形中的数为奇数”发生的概率为，
故答案为：
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13.【答案】
【解析】解：由图可知，点坐标为，
∵图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，
∴点横坐标加3，纵坐标减5，
即，
即的坐标为
故答案为：.
根据“左减右加，上加下减”的原则即可求解．
本题考查的是坐标与图形变化-平移，掌握“左减右加，上加下减”的原则是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：∵菱形中，对角线相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴.
由菱形的性质可得：，借助勾股定理求出，再证明是的中位线即可求解．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等知识，熟记各性质是解题的关键．
15.【答案】85
【解析】解：
∵与的边相切，
∴，
∴，
连接，如图，
∵绕点按顺时针方向旋转得到，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴.
故答案为85.
根据切线的性质得到，连接，如图，再根据旋转的性质得，
，则判断为等边三角形得到，所以，然后利用三角形外角性质计算.
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是求出的长，属于中考常考题型．
根据裁剪和拼接的线段关系可知，在中应用勾股定理即可求解．
【解答】
解：∵地毯面积被平均分成了3份，
∴每一份的边长为，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
又根据剪裁可知，
∴.
17.【答案】解：原式
.
【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：原式
，
当时，原式.
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.【答案】解：（1）如图，即为所求；
（2）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴.
【解析】（1）根据角平分线的作法即可作的平分线交于点；
（2）根据角平分线定义和内角和定理即可求的度数
本题考查了作图-基本作图，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
20.【答案】解：（1）（名），
答：本次调查的总人数为200名；
（2）支付方式的人数为（名），
支付方式的人数为（名），
补全条形统计图如下：
（3）在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为.
【解析】（1）由支付方式及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以对应百分比可得其人数，根据各支付方式的人数之和等于总人数求出支付方式的人数，从而补全图形；
（3）用360°乘以对应人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：由题意得：
米，米，，
∵是的一个外角，
∴
∴，
∴，
∴米，
在中，（米），
∴米，
∴学校大门的高是米．
【解析】根据题意得：米，米，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】（1）证明：∵分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）知，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴.
【解析】（1）先证四边形是平行四边形．再证，即可得出结论；
（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性质解答即可．
此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：（1）设乙队每天修路千米，则甲队每天修路千米，
由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：乙队每天修路1千米，甲队每天修路1.5千米；
（2）设甲队需要工作天，则甲队修路千米，乙队修路千米，
∵乙队每天修路1千米，
∴乙队修路天数为：，
∵程总工作费用不超过78000元，
∴，
解得，
答：甲队至少要工作8天．
【解析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以先设甲需要工作的天数，然后即可表示出乙工作的天数，再根据总费用不超过78000元，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
24.【答案】解：（1）∵直线上点的“沉毅点”是，
∴点的坐标为，
当时，根据“沉毅点”的定义可得：，
解得：，
此时点的坐标为，
当时，根据“沉毅点”的定义可得：，
解得：，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为：或；
（2）由题意可设点，且，
根据“沉毅点”的定义可得点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图为“沉毅点”函数图象：
从函数图象看，“沉毅点”的纵坐标的取值范围是，
而，
当时，，
当时，或-2，
当时，，解得：（舍去负值），
观察图象可知满足条件的的取值范围为.
【解析】（1）先根据题中条件写出点的坐标为，然后根据“沉毅点”的定义分和两种情况进行讨论，分别求出的值，即可得出点的坐标；
（2）设点，且，根据“沉毅点”的定义可得点的坐标为，即可求得，然后利用三角形面积公式得到，解得；
（3）时，求出的值，再根据“沉毅点”的定义即可解决问题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
25.【答案】解：（1）过作轴于，如图：
∵轴，轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
将代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入得：
，
解得，
∴双曲线的解析式为；
（2）设点坐标为，
∴，
∵，
∴当时，有最大值2，
∵，
∴当或3时，有最小值为；
∴的取值范围是；
（3）存在点，使得，理由如下：
过作直线交直线于，在轴上取点，使，过作直线交直线于，如图：
∵与同底等高，
∴是符合条件的点，
由对称性可知，与同底等高，也是符合条件的点，
在中，令得，
∴，
把代入得：，
∴直线解析式为，
∵直线为，直线，
∴解析式为，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又直线，
∴直线解析式为，
解得，
∴，
综上所述，坐标为或.
【解析】（1）过作轴于，由，得，又，，，可得，用待定系数法即得直线的解析式为，双曲线的解析式为；
（2）设点坐标为，可得，即知当时，有最大值2，而，可得当或3时，有最小值为，故的取值范围是；
（3）过作直线交直线于，在轴上取点，使，过作直线交直线于，因与同底等高，由对称性可知，与同底等高，所以是符合条件的点，可求得直线解析式为，解析式为，解得，直线解析式为，解得.
本题考查一次函数与反比例函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积等知识，解题的关键是分类思想的应用及作辅助线，构造等底同高的三角形．