湖北省武汉市2024届高三年级下学期五月模拟训练试题数学

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武汉市教育科学研究院命制
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，若，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ）
A.B.1C.0D.
3.设抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（ ）
A.1B.C.D.
4.已知一组数据，，，，的上四分位数是，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
5.若，则（ ）
A.180B.C.D.90
6.已知菱形，，将沿对角线折起，使以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
7.抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ）
A.当时，B.当时，事件与事件不独立
C.当时，D.当时，事件与事件不独立
8.在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9.已知（，，）的部分图像如图所示，则（ ）
A.B.的最小正周期为
C.在内有3个极值点D.在区间上的最大值为
10.在平面直角坐标系中，椭圆，圆，为圆上任意一点，为椭圆上任意一点.过作椭圆的两条切线，，当，与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为，，则（ ）
A.椭圆的离心率为B.的最小值为1
C.的最大值为D.
11.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.函数的单调递减区间为
B.
C.若方程有6个不等实数根，则
D.对任意正实数，，且，若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的最小值为______.
13.已知，则______.
14.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为.______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知.
（1）求并写出的表达式；
（2）证明：.
16.（15分）
如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，，点在平面内的投影恰好是的重心.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）
已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点.
（1）若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求；
（2）设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0.
18.（17分）
某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.
附：若，取，.
（1）求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；
（2）若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
①若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？
②假设该系统配置有个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.
19.（17分）
混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.
（1）当时，若满足对，有，求的通项公式；
（2）证明：当时，中不存在连续的三项构成等比数列；
（3）若，，记，证明：.
武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题
数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题
二、选择题
三、填空题
12.13.14.
四、解答题
15.解：（1）因为，令解得，所以.
（2）构造，.
当时，，于是在单调递增；
当时，，于是在单调递减，
所以，于是，所以.
16.（1）证：平面，平面，，
又，，
与相交于点，平面，
又平面，平面平面.
（2）解：取中点，，四边形是平行四边形
，.
平面，平面，.
如图所示，以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
此时，，，，，.
连，为的重心，在线段内且.
设，，，
平面，，.
由题意知，平面，
又平面，，，即，
解得，，.
由于是的重心，所以，
于是，，，.
设是平面的法向量，则
令，，.
设直线与平面所成角为，则
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称.
设，，，
于是，.
因为，，三点都在双曲线，
所以，
两式作差，，所以
.
（2）已知，可设直线，直线，，，，.
，.
联立直线方程与双曲线的方程：.
整理得，，当时，.
，.
于是，
同理可得，.
因为，所以
整理得，，而，所以.
18.解：（1）技术改造前，易知，，则其优品率为
；技术改造后，，，则其优品率为；所以优品率之差为.
（2）①记为原系统中正常工作元件个数，为增加一个元件后正常工作元件个数.
由条件知，，.
，.
因为，所以可靠性提高.
②方法一：
根据上一问的假设，易知，.
当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知，
.
所以，，这说明可靠性降低.
当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知，
.
所以，，这说明可靠性提高.
综上，若原系统中元件个数为奇数，增加一个元件后可靠性会降低；若原系统中元件个数为偶数，增加一个元件后可靠性会提高.
方法二：
当为奇数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知，
于是，
，
这说明可靠性降低.
当为偶数时，设，原系统的可靠性为，新系统的可靠性为，由题意可知，
于是，
.
这说明可靠性提高.
综上，若原系统中元件个数为奇数，增加一个元件后可靠性会降低；若原系统中元件个数为偶数，增加一个元件后可靠性会提高.
19.解：（1）当时，，由题意可得，
①
②
两式作差，，所以或.
当时，代入①式解得，或，因为，所以.
当时，将代入①式解得，.
经过上述讨论可知，.下面考虑一般情况：由题意可知，
③
④
两式作差，，所以或
如果，这说明是常数列，所以.
如果，将代入③式，解得，这说明依然是常数列.
综上，的通项公式为.
（2）下面假设，，构成等比数列，那么
，
于是，又因为，所以，解得，与假设矛盾，
所以中不存在连续的三项构成等比数列.
（3）由题意知，，所以，易知单调递减且，
.
记，于是
因为
所以
.
于是，.1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
C
C
A
C
D
A
9
10
11
ABD
AC
BCD