湖北省武汉市华中科技大学附属中学2024届高三高考适应性考试1数学试题

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.已知全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
又因为，所以，.
故选：A.
2.已知，则（ ）
A. B. 5C. 3D.
【答案】B
【解析】因为，
得
所以．
故选：B.
3.展开式中的常数项为（ ）
A. 8B. -15C. D. 10
【答案】C.
【解析】通项公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，
令12﹣3r＝0，解得r＝4．
∴展开式中的常数项=15．
故选：C
4.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥母线长为，侧面积较小的圆锥半径为，
侧面积较大的圆锥半径为，它们的高分别为、，
则，得，
因为两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，
所以，得，
再由勾股定理，得，
同理可得，
所以两个圆锥的体积之比为：
.
故选：A.
5.将一枚均匀的骰子独立投掷两次,所得的点数依次记为x,y,记A事件为“>”,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】抛掷两次总的基本事件有36个.当x=1时,没有满足条件的基本事件；
当x=2时，y=1满足；当x=3时，y=1，2，6满足；当x=4时，y=1，2，3，5，6满足；
当x=5时，y=1，2，6满足；当x=6时，y=1满足.
总共有13种满足题意，所以P(A)=.
故选：C.
6.已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为为奇函数，则，
可得，
注意到，可知不恒成立，
则，即，可得，
所以，
则，故，
可知切点坐标为，切线斜率为2，
所以切线方程.
故选：C.
7.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中作出，，，的图象，

由图象可知.
故选：B.
8.四棱锥各顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，，设分别是的中点，则平面截球所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如下图所示，
易知四棱锥外接球与以为棱长的长方体的外接球相同；
由题意可知球心为中点，
故球O的直径，解得
由分别是的中点可得，可得平面；
所以球心到平面的距离等于点到平面的距离，
设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，
在三棱锥中，易知平面，且，
所以，
而，由等体积法得，
所以，故截面面积为．
故选：B
选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：）记其均值为，中位数为，标准差为，则（ ）
A.
B.
C. 新数据：的标准差为
D. 新数据：的标准差为
【答案】AD
【解析】对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，
由中位数的定义可知，A对；
对于B选项，不妨令，则，B错；
对于C选项，数据的均值为，
方差为，
所以，数据的标准差为，C错；
对于D选项，数据的均值为
，
其方差为，
所以，新数据：的标准差为，D对.
故选：AD.
10.已知函数的图象如图所示，令，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数图象的对称轴方程为
C. 若函数的两个不同零点分别为，则的最小值为
D. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线斜率为
【答案】AC
【解析】由图象可知，
设的最小正周期为，又，解得；
由图可得，又，所以，即；
因此，所以；
即可得，故A正确；
令，解得，所以函数图象的对称轴方程为，即B错误；
令，即可得，解得；
可得，当时，的最小值为，即C正确；
易知，而，
因此不存在点，使得在点处的切线斜率为，即D错误；
故选：AC
11.已知抛物线y的焦点为,准线为,过F的直线与抛物线C交于A,B两点，为线段AB中点，分别为A,B,M在上的射影，且,则下列结论中正确的是
A.F的坐标为(1,0)
B.
C.四点共圆
D.直线AB的方程为
11.【答案】BCD.
【解析】F的坐标为(0,1),故A错.
过点B作BN垂直于AA',N为垂足，如图所示(点A在第一象限时)
设则
所以,直线AB的方程为
同理(点在第二象限时):直线AB的方程为
故D正确.
由题意可知所以.故B正确.
因为
所以
又因为
所以,即
所以四点共圆，故C正确.
所以选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为 （若，则
12.【答案】
【解析】因为，且，所以，
又质量指标介于99至101之间的产品为良品，且该产品的良品率达到，
所以，，，即，解得，
所以至多为．
故答案为：．
13.已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】由圆，可得圆心，半径为，
又由点，可得点在直线上的动点，
因为点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，
则，
如图所示，设点关于直线的对称点为，
可得，解得，即，
设直线与直线的交点为，
则直线的方程为，联立方程组，解得，
即，则，
当点与重合时，此时，则，
此时取得最大值，最大值为，
所以，即的最大值为.
故答案为：.
14.已知函数，令，当时，有，则______；若函数恰好有4个零点，则实数的取值范围为_________.
【答案】 ①. 0或 ②.
【解析】当时，，即，
当时，，令，，
在上恒成立，
故在上单调递增，
又，故在恒成立，无解，
当时，，即，
故或，
解得或或，
但舍去，其余两个满足要求，
当时，，故0为的一个零点，
当时，令，
当时，，当时，，
令，
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故在时取得极大值，也是最大值，且，
且当时，恒成立，
画出其图象如下，
要想有3个不同的零点，只需；
故答案为：0或；
解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.设是数列的前n项和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
【详解】（1）由得即
，即，又，所以，
（2）当时，，
当时，，
两式相加可得，得，
由于，所以

16．飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.
附:，其中.
【详解】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，
按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.
随机变量的取值为:.
,
,
随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.
（2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.
根据列联表重的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.
列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，
根据小概率值的独立性检验，推断成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.
所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来的 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.
17.中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，是正方形，平面，，点，是，的中点．
(1)若要经过点和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面周长；
(2)若要经过点B，E，F将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由．
【详解】（1）因为平面，平面，
所以平面，又平面，
设平面平面，则，
设的中点为，连接，则，又，
所以，即为，就是应画的线，
因为平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，平面，
所以，即截面为直角梯形，又，
所以，，
所以，截面周长为；
（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴的正向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设平面，设，又，
∴，，
由，可得，即，
即为的三等分点，连接，即就是应画的线.
18.已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.
【详解】（1）设，则以为直径的圆的圆心为，根据圆与y轴相切，可得，化简得 ，
所以C的方程为
（2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，，
联立，所以，
设直线的倾斜角为，则
所以，
所以 ，由题意可知四边形为梯形，所以 ，
设，则 ，
所以，
当单调递增，当单调递减，
所以当时，即时，面积最小，此时，故直线的方程为： ，即 或
19.已知函数，其中．
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【详解】（1）由有两个零点，得方程有两个解，
设，则，由，可得，单调递增，由，可得，单调递减，所以的最大值为，当时，当时，，
所以，解得，所以，有两个零点时，的取值范围是；
（2）设，即，则恒成立，
由，，可得，
下面证明当时，，即证，
令，则证，，令为开口向上的二次函数，对称轴为，由（1）可知，故在时单调递增，则，
下面只需证明即可，即证，
令，则，
令，则，
所以函数单调递减，且，所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即，从而不等式得证，综上，的取值范围是．性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828