2023-2024学年山东省济宁市泗水县高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市泗水县高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(2,4)，b=(−1,1)，则2a−b=( )
A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)
2.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图(图中虚线分别与x′轴和y′轴平行)，则△OAB的面积为( )
A. 8 2
B. 12 2
C. 24
D. 48
3.将正弦函数f(x)=sinx的图象先向左平移π3个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，最后得到函数g(x)的图象，则g(x)=( )
A. g(x)=sin(2x+2π3)B. g(x)=sin(2x+π3)
C. g(x)=sin(x2+π3)D. g(x)=sin(x2+π6)
4.复数z=i1−i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.一个球的外切正方体的表面积为6cm2，则此球的体积为( )
A. 66πcm3B. 16πcm3C. 43πcm3D. 68πcm3
6.已知函数f(x)=2sin(x+π4)+m在区间(0,π)上有零点，则实数m的取值范围为( )
A. (− 2, 2)B. (− 2,2]C. [−2, 2]D. [−2, 2)
7.在△ABC中，AB=3，AC=2 2，AB⋅AC=6，D，E分别是BC边上的三等分点，则AD−⋅AE的值是( )
A. 6B. 649C. 8D. 809
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A. f(2)C. f(−2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是( )
A. 若|z1−z2|=0，则z1−=z2−B. 若z1=z2−，则z1−=z2
C. 若|z1|=|z2|，则z1⋅z1−=z2⋅z2−D. 若|z1|=|z2|，则z12=z22
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是( )
A. 若sinA>sinB，则a>b
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若B=30°，b= 2，c=2，则符合条件的三角形有2个
D. 若△ABC的面积S= 34(b2+c2−a2)，则A=π3
11.一对不共线的向量a，b的夹角为θ，定义a×b为一个向量，其模长|a×b|=|a|⋅|b|sinθ，其方向同时与向量a，b垂直(如图1所示).在平行六面体OACB−O′A′C′B′中(如图2所示)，下列结论正确的是( )
A. S△OAB=12|OA×OB|
B. 当∠AOB∈(0,π2)时，|OA×OB|=OA⋅OBtan∠AOB
C. 若|OA|=|OB|=2，OA⋅OB=2，则|OA×OB|= 3
D. 平行六面体OACB−O′A′C′B′的体积V=|OO′⋅(OA×OB)|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，把与复数3− 3i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，则所得向量对应的复数为______(用代数形式表示)．
13.已知|a|=3，|b|=5，a⋅b=−12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．
14.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=PC=8，∠APB=∠APC=∠BPC=40°，过点A作截面，分别交侧棱PB，PC于E，F两点，则△AEF周长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=(a+i)2，z2=4−3i，其中a是实数．
(1)若z1=iz2，求实数a的值；
(2)若z1z2是纯虚数，a是正实数，求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2022．
16.(本小题15分)
函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−π,0]上的单调递减区间及对称轴．
17.(本小题15分)
已知向量a=(1,0)，b=(m,1)，且a与b的夹角为π4．
(1)求|a+2b|；
(2)若a−λb与a+b的夹角为钝角，求实数λ的取值范围．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．
(1)证明：2a2=b2+c2；
(2)若a=5，csA=2531，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
设函数f(x)=sin(ωx+π3)+2cs(ωx−π6)(0<ω<4)，将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后图象关于原点对称．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=3 32，
①若a2= 3bc，求b2+c2a2的值；
②若b=4，AC⋅CB>0，求c的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础题．
【解答】
解：由a=(2,4)，b=(−1,1)，得：
2a−b=2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：根据原图和直观图关系可知，
△OAB的底边OB=6，底边OB对应的高为16，
故△OAB的面积为12×6×16=48．
故选：D．
根据原图和直观图关系得到底边和高，再求解面积即可．
本题考查的知识点是斜二测画法，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：将正弦函数f(x)=sinx的图象向左平移π3个单位长度，
得到y=sin(x+π3)的图象，
再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，
最后得到函数g(x)的图象，则g(x)=sin(2x+π3).
故选：B．
直接根据平移变换规律即可得．
本题考查平移变换规律，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：复数z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i2，
可得复数z=i1−i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为(−12,12)，
位于第二象限，
故选：B．
运用复数的除法运算法则，化简复数z，再由复数的几何意义，即可得到所求象限．
本题考查复数的除法运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵正方体的全面积为6cm2，
∴正方体的棱长为1cm，
又∵球内切于该正方体，
∴这个球的直径为1cm，
则这个球的半径为12，
∴球的体积V=4π3×R3=π6(cm3).
故选：B．
根据已知中正方体的全面积为6cm2，一个球内切于该正方体，结合正方体和球的结构特征，我们可以求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案．
本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和球的结构特征，求出球的半径，是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：由0所以− 22所以− 2<2sin(x+π4)≤2，
所以− 2<−m≤2，
故−2≤m< 2．
故选：D．
由已知结合正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：如图，
AD⋅AE=(AB+BD)⋅(AC+CE)
=(AB+13BC)⋅(AC−13BC)
=(AB+13AC−13AB)⋅(AC−13AC+13AB)
=(23AB+13AC)⋅(13AB+23AC)
=29AB2+59AB⋅AC+29AC2
=29×9+59×6+29×8=649．
故选：B．
作图，根据向量三角形法用AB、AC表示出AD⋅AE，结合已知条件得答案．
本题考查平面向量数量积的运算性质，数形结合思想，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：依题意得，函数f(x)的周期为π，
∵ω>0，
∴ω=2ππ=2．
又∵当x=2π3时，函数f(x)取得最小值，
∴2×2π3+φ=2kπ+3π2，k∈Z，可解得：φ=2kπ+π6，k∈Z，
∴f(x)=Asin(2x+2kπ+π6)=Asin(2x+π6).
∴f(−2)=Asin(−4+π6)=Asin(π6−4+2π)>0．
f(2)=Asin(4+π6)<0，
f(0)=Asinπ6=Asin5π6>0，
又∵3π2>π6−4+2π>5π6>π2，而f(x)=Asinx在区间(π2,3π2)是单调递减的，
∴f(2)故选：A．
依题意可求ω=2，又当x=2π3时，函数f(x)取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f(x)=Asin(2x+π6)，利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．
本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：若|z1−z2|=0，则z1−z2=0，z1=z2，所以z1−=z2−为真，故A为真命题；
若z1=z2−，则z1和z2互为共轭复数，所以z1−=z2为真，故B为真命题；
设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a1，b1，a2，b2∈R，
若|z1|=|z2|，则 a12+b12= a22+b22，
z1⋅z1−=a12+b12,z2⋅z2−=a22+b22，所以z1⋅z1−=z2⋅z2−为真，故C为真命题；
若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而z12=1,z22=−1，所以z12=z22为假，故D为假命题．
故选：ABC．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数模公式，复数的四则运算，即可求解．
本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于A：由于sinA>sinB，利用正弦定理：a2R>b2R，所以a>b，故A正确；
对于B：若sin2A=sin2B，整理得：sin2A=sin(π−2B)则：2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=π2，△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C：在△ABC中，由于B=30°，b= 2，c=2，则b= 2>csinB=1，故满足条件的△ABC有两个，故C正确；
对于D：若△ABC的面积S= 34(b2+c2−a2)，整理得12bcsinA= 34⋅2bccsA，所以tanA= 3，由于A∈(0,π)，所以A=π3，故D正确．
故选：ACD．
直接利用正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式及三角形的解的情况判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式，三角形解的情况，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A．S△OAB=12|OA||OB|sin∠AOB=12|OA×OB|，A正确；
B.|OA×OB|=|OA||OB|sin∠AOB=|OA||OB|cs∠AOB⋅tan∠AOB=OA⋅OBtan∠AOB，B正确；
C.∵|OA|=|OB|=2,OA⋅OB=2，∴cs∠AOB=1，sin∠AOB=0，∴|OA×OB|=0，C错误；
D.设平行六面体的高为h，向量OO′与OA×OB的夹角为θ，则：V=S平行四边形OACB⋅h=|OA||OB|sin∠AOB⋅|OO′||csθ|=|OO′⋅(OA×OB)|，D正确．
故选：ABD．
根据三角形的面积公式及|a×b|的定义即可判断A的正误；根据数量积的计算公式及|a×b|的定义即可判断B，C的正误；根据a×b的方向和|a×b|的定义及向量数量积的计算公式，以及平行六面体的体积公式即可判断D的正误．
本题考查了a×b的方向的定义，|a×b|的定义，三角形的面积公式，向量数量积的计算公式，平行六面体的体积公式，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】−2 3i
【解析】解：复数3− 3i对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，
则所得向量对应的复数为(3− 3i)[cs(−π3)+isin(−π3)]=(3− 3i)(12− 32i)=−2 3i．
故答案为：−2 3i.
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】−125e
【解析】解：设a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a|⋅|b|=−123×5=−45，
∴a在b上的投影向量为|a|csθ⋅e=3×(−45)⋅e=−125e．
故答案为：−125e．
由已知利用数量积求a与b的夹角，再由投影向量的概念求解．
本题考查由数量积求夹角，考查向量投影的概念，是基础题．
14.【答案】8 3
【解析】解：将三棱锥由PA展开，如图，
则图中∠APA1=120°，
AA1为所求，
由余弦定理可得AA1= 82+82+2×8×8×12=8 3，
故答案为：8 3．
画出侧面展开图，不难求得结果．
本题考查棱锥的侧面展开图，表面距离的最小值的求法，是基础题．
15.【答案】解：(1)因为z1=(a+i)2，z2=4−3i，z1=iz2，
所以(a+i)2=a2−1+2ai=3+4i，
从而a2−1=32a=4，
解得a=2，
即实数a的值为2;
(2)依题意得：z1z2=(a+i)24−3i=(a2+2ai−1)·(4+3i)25
=(4a2−6a−4)+(3a2+8a−3)i25，
因为z1z2是纯虚数，
所以：4a2−6a−4=03a2+8a−3≠0，
从而a=2或a=−12，
又因为a是正实数，
所以a=2，
当a=2时，z1z2=16i+12i−3i25=i，
因为i1=i，i2=−1，i3=−i，i4=1，……，
i4n+1=i，i4n+2=−1，i4n+3=−i，i4n=1，(n∈N)，
所以z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2022
=i+i2+i3+i4+⋅⋅⋅+i2022=i+i2+(i3+i4+i5+i6)+(i7+i8+i9+i10)+⋅⋅⋅+(i2019+i2020+i2021+i2022)=i+i2+0+0+⋅⋅⋅+0
=−1+i，
所以z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2022=−1+i．
【解析】本题考查了复数的运算，重点考查了运算能力，属于中档题．
(1)由复数的运算求解即可；
(2)由复数的运算及纯虚数的概念求解即可．
16.【答案】解：(1)由图可得A=2，周期为T=2(2π3−π6)=π=2π|ω|，所以|ω|=2，
因为ω>0，所以ω=2；
根据图像可得2×π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π6+2kπ,k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=π6，所以f(x)=2sin(2x+π6)；
(2)令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z，
解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z，
令2x+π6=kπ+π2,k∈Z，
解得对称轴方程为：x=kπ2+π6,k∈Z；
所以f(x)单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z)；
对称轴方程为：x=kπ2+π6,k∈Z；
所以f(x)在[−π,0]上的单调减区间为[−5π6,−π3]；
f(x)在[−π,0]上的对称轴方程为x=−5π6和x=−π3．
【解析】(1)由函数图像得A=2，计算得周期T=π，从而得ω=2，再代入最大值计算可得φ值，从而可得函数解析式；
(2)由整体法计算函数f(x)的单调递减区间和对称轴方程，然后结合[−π,0]的范围，可得答案．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，是基础题．
17.【答案】(1)解：向量a=(1,0),b=(m,1)，可得|a|=1,|b|= m2+1，且a⋅b=m，
因为a与b的夹角为π4，可得a⋅b|a|⋅|b|=m1× m2+1= 22，
解得m=1或m=−1(舍)，所以b=(1,1)，则a+2b=(1,0)+2⋅(1,1)=(3,2)，
所以|a+2b|= 22+32= 13．
(2)解：由向量a=(1,0),b=(1,1)，
可得a−λb=(1,0)−λ(1,1)=(1−λ,−λ),a+b=(1,0)+(1,1)=(2,1)，
由(a−λb)⋅(a+b)=(1−λ,−λ)⋅(2,1)=2(1−λ)−λ=2−3λ<0，解得λ>23，
当向量a−λb与a+b共线时，可得1⋅(1−λ)=−λ⋅2，解得λ=−1，
所以实数λ的取值范围为(23,+∞)．
【解析】(1)由向量的夹角公式，求得m=1，所以b=(1,1)，求得a+2b=(3,2)，即可求得|a+2b|；
(2)根据(a−λb)⋅(a+b)<0，求得λ>23，再结合向量a−λb与a+b共线时，求得λ=−1，即可求得实数的取值范围．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】(1)证明：△ABC中，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，
所以sinC(sinAcsB−csAsinB)=sinB(sinCcsA−csCsinA)，
所以sinAsinBcsC+sinAcsBsinC=2csAsinBsinC，
即sinA(sinBcsC+csBsinC)=2csAsinBsinC，
所以sinAsin(B+C)=2csAsinBsinC，
由正弦定理得a2=2bccsA，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
所以2a2=b2+c2；
(2)当a=5，csA=2531时，b2+c2=2×52=50，2bc=a2csA=252531=31，
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，解得b+c=9，
所以△ABC的周长为a+b+c=5+9=14．
【解析】(1)利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论；
(2)利用(1)中结论求出b2+c2和2bc的值，即可求出△ABC的周长．
本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+π3)+2cs(ωx−π6)=sin(ωx+π3)+2cs[(ωx+π3)−π2]=3sin(ωx+π3)，
将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度后图象关于原点对称，则f(x−π6)=3sin[ω(x−π6)+π3]=3sin[ωx−(π6ω−π3)]，
∴π6ω−π3=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，k∈Z，
又0<ω<4，则ω=2，即f(x)=3sin(2x+π3)，
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z；
(2)由(1)得f(x)=3sin(2x+π3)，f(A)=3 32，则sin(2A+π3)= 32，
在△ABC中，A∈(0,π)，则2A+π3∈(π3,7π3)，则2A+π3=2π3，解得A=π6，
①a2= 3bc，由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2− 3bc=b2+c2−a2，即b2+c2=2a2，
∴b2+c2a2=2；
②在△ABC中，AC⋅CB=−CA⋅CB=−abcsC>0，则csC<0，即π2∵C=5π6−B，∴π2<5π6−B<5π6，解得0由正弦定理得bsinB=csinC，即c=bsinCsinB=4sin(5π6−B)sinB=2csB+2 3sinBsinB=2 3+2tanB，
∵0 33，
∴c>2 3+2 33=8 33，
故c的取值范围为(8 33,+∞)．
【解析】(1)由题意得f(x)=3sin(ωx+π3)，f(x−π6)=3sin[ω(x−π6)+π3]=3sin[ωx−(π6ω−π3)]，结合题意可得ω，利用三角函数的性质，即可得出答案；
(2)①由(1)得f(x)=3sin(2x+π3)，f(A)=3 32，求出A，结合余弦定理，即可得出答案；
②由题意得C=5π6−B，可得0本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．