北师大版七年级数学下册专题2.5平行线的性质与判定大题专练(填空型问题)(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册专题2.5平行线的性质与判定大题专练(填空型问题)(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了5平行线的性质与判定大题专练等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2021-2022学年七年级上学期期中数学试题）完成下面的证明．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，
又∠COA＝∠BOD（① ）
∴∠C＝②
∴AC∥BD（③ ）
2．（江苏省南京师范大学附属中学树人学校2020-2021学年七年级下学期第一次月考数学试题）完成下面的推理说明：
如图，AB⊥BC，垂足为点B．∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE//DF，理由如下：
∵AB⊥BC，∴∠ABC= ，即∠3+∠4= ．
又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴ ＝
理由是： ．
∴BE//DF．理由是： ．
3．（江苏省扬州市邗江区实验学校2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
4．（江苏省南通市如皋市实验初中2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝ （ ）．
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（ ）
∵∠α+∠β＝90°．（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）
5．（福建省福州屏东中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD=180°（已知），
∠AGC+∠AGD=180°（邻补角的性质），
所以∠BAG=∠AGC（________________）
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG（________________）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12______________，
得∠1=∠2（等量代换），
所以_________________（________________）．
6．（陕西省西安交通大学附属中学分校2020-2021学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
7．（江苏省盐城市初级中学2019-2020学年七年级下学期期中数学试题）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证：AB∥CD
证明：∵CE平分∠ACD( )
∴∠2=∠ ( )，
∵∠1=∠2.(已知)
∴∠1=∠ ( )
∴AB//CD( )
8．（广东省珠海市第十一中学2020-2021学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，已知∠1=∠3，CD//EF，试说明AB//EF．请将过程填写完整．
证明：∵∠1=∠3
又∠2=∠3（_____________）
∴∠1=_______（______________）
∴AB//CD（______________）
又∵CD//EF
∴AB//______________．
9．（江苏省灌云县西片2019-2020学年七年级线上教学质量检测数学试题）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，∠A与∠AEF互补，以下是证明CD∥EF的推理过程及理由，请你在横线上补充适当条件，完整其推理过程或理由．
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴∠ABD＝∠CDB＝ （ ）
∴∠ABD+∠CDB＝180°
∴AB∥ （ ）
又∠A与∠AEF互补 （ ）
∠A+∠AEF＝
∴AB∥ （ ）
∴CD∥EF （ ）
10．（福建省三明市明溪县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）填空，将本题补充完整．
如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD（已知）
∴∠2＝ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝ （等量代换）
∴AB∥GD（ ）
∴∠BAC+ ＝180°（ ）
∵∠BAC＝65°（已知）
∴∠AGD＝ °
11．（山东省济南东南片区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2= （ ）．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（ ）．
∴AB∥ （ ）．
∴∠BAC+ =180°（ ）．
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD= ．
12．（浙江省台州市黄岩区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∴______∥______（________________________）．
∴∠A=∠BED（_____________________________）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴______∥______（__________________________）．
∴∠B=∠C（______________________________）．
13．（重庆市忠县花桥镇初级中学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）完成下面推理过程：
如图，AB∥CD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°，求∠BCP的度数．
解：∵∠PNB=60°，∠NDC=60°，（已知）
∴∠PNB=∠NDC，（等量代换）
∴PN // CD，（ ）
∴∠CPN+∠_________=180°，（ ）
∵∠CPN=150°，（已知）
∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°
∵AB//CD，（已知）
∴∠ABC= ∠____________，（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC=50°，（已知）
∴∠BCD=__________，（等量代换）
∴ ∠BCP=∠BCD－∠PCD=____________°－30°=_________°．
14．（江西省南昌市江西育华学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，在△ABC中点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1=∠2，若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．
解：∵DE∥AC（已知）
∴∠1＝∠ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠C＝∠2（ ）
∴AF∥ （ ）
∴∠B+∠BAF＝180°（ ）
∵∠B＝50°（已知）
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝130°（角的运算）
∵AC平分∠BAF（已知）
∴∠2＝12∠BAF＝65° （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝65°（ ）
15．（江苏省南通市如皋初级中学2021-2022学年七年级下学期月考数学试题）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC∥ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1＝12∠AED，∠2＝12∠ABC（ ）
∵BC∥ED，
∴∠AED＝ （ ）．
∴12∠AED ＝12∠ABC （ ）
∴∠1＝∠2（ ）
∴BD∥EF（ ）
16．（山东省日照市开发区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证∠1+∠2=90°．
证明：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠2= （ ），
同理∠1= ，
∴∠1+∠2=12 ，
又∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC+∠BCD= （ ），
∴∠1+∠2=90°．
17．（广东省江门市新会陈经纶中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）完成下面的证明：
如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数?
解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=_________（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=_________（ ）
∴AD//BC（ ）
∴∠C+________=180°（ ）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=__________．
18．（山西省大同市广灵县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB//DC．
证明：∵∠ABC=∠ADC，
∴12∠ABC=12∠ADC．（ ）
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（ ）
∵∠______＝∠______．（ ）
∵∠1=∠3，（ ）
∴∠2＝______．（等量代换）
∴______//______．（ ）
19．（北京市石景山区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知∠AOB=120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至C．
（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数_______°．
（2）完成下列证明过程：
证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=12∠_______．（_______）
∵∠AOB=120°，
∴∠AOP=_______°．
∵∠BOC=_______°．
∴∠AOP=∠BOC．（_________）
20．（四川省广安市邻水县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知: 如图，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.求: ∠AGD的度数
解: 因为 EF//AD （已知）
所以 ∠2=__ __ ( 两条直线平行，同位角相等 )
又因为 ∠1=∠2 （已知）
所以 ∠1=∠3 ( 等量代换 )
所以 //__ ___ ( 内错角相等，两直线平行 )
所以 ∠BAC+___ ___=180°(_________ ____ ______________)
因为 ∠BAC=70° （已知）
所以 ∠AGD=110°
21．（河南省周口市鹿邑县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）将下列推理过程依据补充完整．
如图，已知CD平分∠ACB，AC//DE，CD//EF
求证：EF平分∠DEB
证明：∵CD平分∠ACB（已知）
∴∠DCA=∠DCE（角平分线的定义）
∵AC//DE（已知）
∴∠DCA=∠CDE（________________________________）
∴∠DCE=∠CDE（等量代换）
∵CD//EF（已知）
∴________________=∠CDE（________________________________）
∴∠DCE=∠BEF（________________________________）
∴∠DEF=________________（等量代换）
∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）
22．（河南省信阳市淮滨县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）完成下面的求解过程．
如图，FG∥CD，∠1=∠3，∠B=50°，求∠BDE的度数．
解：因为FG∥CD（ ），
所以∠2= （ ）
又因为∠1=∠3，
所以∠3=∠2（ ），
所以BC∥ （ ），
所以∠B+ =180°（ ）．
又因为∠B=50°，
所以∠BDE= ．
23．（重庆市南川区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴______∥______（______），
∴∠BAP＝______（______），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠FPA＝______．
∴______∥______（______），
∴∠E＝∠F（______）．
24．（江苏省徐州市丰县初级中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图．己知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2=180°．请填写∠CGD=∠CAB的理由．
∵AB⊥BC,EF⊥BC
∴∠ADC=90°,∠EFC=90°（____________________）
∴∠ADC=∠EFC
∴AD∥EF（________________________________）
∴∠3+∠2=180°（________________________________）
∵∠1+∠2=180°（已知）
∴ ∠_________= ∠_________（____________________）
∴DG∥_________（________________________________）
∴∠CGD=∠CAB．
25．（山东省青岛市市南区青岛第五十一中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
∴AD∥EG，（__________________）
∴∠1＝∠2，（__________________）
∠______＝∠3，（__________________）
又∵∠E＝∠1（已知），
∴______＝______
∴AD平分∠BAC
26．（上海七年级下学期期末精选60题（压轴版）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））填写理由或步骤
如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E
因为AD∥BE ．
所以∠A+ ＝180° ．
因为∠A＝∠E（已知）
所以 + ＝180° ．
所以DE∥AC ．
所以∠1＝ ．
27．（重庆市江津区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题（B卷））如图，直线PQ分别与直线AB、CD交于点E、点F，∠1=∠2，射线EM、EN分别与直线CD交于点M、N，且EM⊥EN，则∠3与∠4有何数量关系，并给出证明．
请你将以下证明过程补充完整．
解：∵∠1=∠2，
∴______（同位角相等，两直线平行）
∴∠4=______（两直线平行，内错角相等）．
∵EM⊥EN，
∴______=90°．
∵∠MEB=∠3+______，
∴______．
28．（北京市通州区2021-2022年七年级下学期期末数学试题）请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
已知：如图，∠B=∠BGD，∠BGC=∠F．
求证：∠B+∠F=180°．
证明：∵∠B=∠BGD（已知），
∴______//______(______)．
∵∠BGC=∠F（已知），
∴CD//EF(______)．
∴AB//______(______)．
∴∠B+∠F=180°(______)．
29．（上海市静安区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知∠ED B +∠B= 180°，∠1=∠2，GF⊥AB，请填写CD⊥AB的理由
解：因为∠ED B +∠B= 180°（ ）
所以 ∥ （ ）
所以∠1=∠3 （ ）
因为 = （ 已 知 ）
所以∠2=∠3 （ 等量代换 ）
所以 ∥ （ ）
所以∠FGB=∠CDB （ ）
因为GF⊥AB（ 已 知 ）
所以∠FGB=90° （ ）
所以∠CDB =90°（ ）
所以CD⊥AB （ 垂直的意义 ）
30．（2023秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（_______），
∴∠2=∠3 （等量代换），
∴BD∥CE（_______），
∴∠D=∠______（_______），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠C=∠____（等量代换），
∴_______∥_______（_______），
∴∠A=∠F（_______）．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】
专题2.5平行线的性质与判定大题专练（填空型问题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学2021-2022学年七年级上学期期中数学试题）完成下面的证明．
如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD．
求证：AC∥BD．
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，
又∠COA＝∠BOD（① ）
∴∠C＝②
∴AC∥BD（③ ）
答案:①对顶角相等；②∠D；③内错角相等，两直线平行．
分析：先根据对顶角相等、等量代换可得∠C=∠D，再根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：∵∠C=∠COA,∠D=∠BOD，
又∠COA=∠BOD（对顶角相等），
∴∠C= ∠D，
∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行），
故答案为：①对顶角相等；②∠D；③内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
2．（江苏省南京师范大学附属中学树人学校2020-2021学年七年级下学期第一次月考数学试题）完成下面的推理说明：
如图，AB⊥BC，垂足为点B．∠1+∠2=90°，∠2=∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE//DF，理由如下：
∵AB⊥BC，∴∠ABC= ，即∠3+∠4= ．
又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴ ＝
理由是： ．
∴BE//DF．理由是： ．
答案:90°，90°，∠1,∠4，等角的余角相等，同位角相等，两直线平行．
分析：根据垂线的性质求出∠ABC为90°，然后根据同角的余角相等得出∠1=∠4，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明．
【详解】BE//DF，理由如下：
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠3+∠4=90°，
又∵∠1+∠2=90°，且∠2=∠3，∴∠1=∠4
理由是：等角的余角相等，∴BE//DF．
理由是：同位角相等，两直线平行
【点睛】此题考查了垂线的性质，平行线的判定，等角的余角相等等知识，解题的关键是熟练掌握垂线的性质，平行线的判定，等角的余角相等．
3．（江苏省扬州市邗江区实验学校2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
答案:ECD；角平分线的性质；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行
分析：根据平行线的判定依据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ECD（角平分线的性质），
∵∠1＝∠2．（已知），
∴∠1＝∠ECD（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：ECD；角平分线的定义；ECD；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定和角平分线的性质，解题的关键是根据平行线的判定解答．
4．（江苏省南通市如皋市实验初中2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）完成下面的证明：
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
证明：∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝ （ ）．
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（ ）
∵∠α+∠β＝90°．（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）
答案:角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行
分析：首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2(∠α+∠β)，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案．
【详解】证明：∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β(角平分线的定义)．
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°．（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换），
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；2∠β；角平分线的定义；等量代换；180°；等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法．
5．（福建省福州屏东中学2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD=180°（已知），
∠AGC+∠AGD=180°（邻补角的性质），
所以∠BAG=∠AGC（________________）
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG（________________）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12______________，
得∠1=∠2（等量代换），
所以_________________（________________）．
答案:同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，AE∥GF，内错角相等两直线平行
分析：根据补角的性质，角平分线的定义，及平行线的判定定理依次分析解答．
【详解】解：因为∠BAG+∠AGD=180°（已知），
∠AGC+∠AGD=180°（邻补角的性质），
所以∠BAG=∠AGC（同角的补角相等）
因为EA平分∠BAG，
所以∠1=12∠BAG（角平分线的定义）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2=12∠AGC，
得∠1=∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等两直线平行），
故答案为：同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，AE∥GF，内错角相等两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记补角的性质，角平分线的定义及平行线的判定定理是解题的关键．
6．（陕西省西安交通大学附属中学分校2020-2021学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ADC（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
答案:角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
分析：根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决．
【详解】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（江苏省盐城市初级中学2019-2020学年七年级下学期期中数学试题）请将下列证明过程补充完整：
已知：如图,点E在AB上,且CE平分∠ACD,∠1=∠2.求证：AB∥CD
证明：∵CE平分∠ACD( )
∴∠2=∠ ( )，
∵∠1=∠2.(已知)
∴∠1=∠ ( )
∴AB//CD( )
答案:已知，ECD，角平分线的定义，ECD，等量代换，内错角相等两直线平行．
分析：根据平行线的判定和角平分线的定义即可解决问题．
【详解】证明：∵CE平分∠ACD（已知）
∴∠2=∠ECD（角平分线的定义），
∵∠1=∠2．（已知）
∴∠1=∠ECD（等量代换））
∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）．
故答案为：已知，ECD，角平分线的定义，ECD，等量代换，内错角相等两直线平行．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．（广东省珠海市第十一中学2020-2021学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，已知∠1=∠3，CD//EF，试说明AB//EF．请将过程填写完整．
证明：∵∠1=∠3
又∠2=∠3（_____________）
∴∠1=_______（______________）
∴AB//CD（______________）
又∵CD//EF
∴AB//______________．
答案:对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF
分析：若能得到AB//CD，再由CD//EF，则可得结论，由∠2=∠3，∠1=∠3可得∠2=∠1，从而可证得AB//CD，因而问题解决．
【详解】∵∠1=∠3
又∠2=∠3（对顶角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴AB//CD（同位角相等两直线平行）
又∵CD//EF
∴AB//EF(平行于同一条直线的两条直线平行)
故答案分别为：对顶角相等；∠2；等量代换；同位角相等两直线平行；EF．
【点睛】本题考查了平行线的判定、解题的关键是掌握平行于同一直线的两条直线平行这一性质．
9．（江苏省灌云县西片2019-2020学年七年级线上教学质量检测数学试题）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，∠A与∠AEF互补，以下是证明CD∥EF的推理过程及理由，请你在横线上补充适当条件，完整其推理过程或理由．
证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知）
∴∠ABD＝∠CDB＝ （ ）
∴∠ABD+∠CDB＝180°
∴AB∥ （ ）
又∠A与∠AEF互补 （ ）
∠A+∠AEF＝
∴AB∥ （ ）
∴CD∥EF （ ）
答案:90°；垂直的定义；CD；同旁内角互补，两直线平行；已知；180°；EF；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
分析：根据同旁内角互补，两直线平行得出AB∥CD，AB∥EF，最后由平行于同一条直线的两条直线平行得出CD∥EF，进而得证．
【详解】证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD（已知），
∴∠ABD＝∠CDB＝90°（垂直的定义），
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
又∠A与∠AEF互补（已知），
∠A+∠AEF＝180°，
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）．
故答案为：90°；垂直的定义；CD；同旁内角互补，两直线平行；已知；180°；EF；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．
10．（福建省三明市明溪县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）填空，将本题补充完整．
如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．
解：∵EF∥AD（已知）
∴∠2＝ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝ （等量代换）
∴AB∥GD（ ）
∴∠BAC+ ＝180°（ ）
∵∠BAC＝65°（已知）
∴∠AGD＝ °
答案:∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；115°
分析：由EF∥AD，可得∠2＝∠3，由等量代换可得∠1＝∠3，从而得到DG∥BA，根据平行线的性质可得∠BAC＋∠AGD＝180°，即可求解．
【详解】解：∵EF∥AD（已知）
∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠3（等量代换）
∴AB∥GD（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC＋∠AGD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC＝65°（已知）
∴∠AGD＝115°．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补定理；内错角相等，两直线平行的应用．
11．（山东省济南东南片区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数．
解：∵EF∥AD，
∴∠2= （ ）．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（ ）．
∴AB∥ （ ）．
∴∠BAC+ =180°（ ）．
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD= ．
答案:∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°
分析：根据平行线的性质和已知求出∠1=∠3，根据平行线的判定推出AB∥DG，根据平行线的性质求出∠BAC+∠DGA=180°即可．
【详解】解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等．）
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
12．（浙江省台州市黄岩区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求证：∠B=∠C．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∴______∥______（________________________）．
∴∠A=∠BED（_____________________________）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴______∥______（__________________________）．
∴∠B=∠C（______________________________）．
答案:DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
分析：先通过已知条件证明DE∥AF，再由两直线平行同位角相等和等量代换证出AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等得出∠B=∠C．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），
∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠A=∠BED（两直线平行，同位角相等）．
∵∠A=∠D（已知），
∴∠BED=∠D（等量代换）．
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：DE；AF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AB；CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
13．（重庆市忠县花桥镇初级中学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）完成下面推理过程：
如图，AB∥CD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°，求∠BCP的度数．
解：∵∠PNB=60°，∠NDC=60°，（已知）
∴∠PNB=∠NDC，（等量代换）
∴PN // CD，（ ）
∴∠CPN+∠_________=180°，（ ）
∵∠CPN=150°，（已知）
∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°
∵AB//CD，（已知）
∴∠ABC= ∠____________，（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC=50°，（已知）
∴∠BCD=__________，（等量代换）
∴ ∠BCP=∠BCD－∠PCD=____________°－30°=_________°．
答案:同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50；20．
分析：根据平行线的判定推出PN∥CD，可得∠CPN＋∠PCD＝180°，求出∠PCD＝30°，根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCD，求出∠BCD＝50°，代入∠BCP＝∠BCD−∠PCD计算即可．
【详解】解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知）
∴∠PNB＝∠NDC，（等量代换）
∴PN∥CD，（同位角相等，两直线平行）
∴∠CPN＋∠PCD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠CPN＝150°，（已知）
∴∠PCD=180°−∠CPN=180°−150°=30°，
∵AB∥CD，（已知）
∴∠ABC＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC＝50°，（已知）
∴∠BCD＝50°，（等量代换）
∴∠BCP＝∠BCD−∠PCD＝50°−30°＝20°，
故答案为：同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50；20．
【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，也考查了学生的推理能力，灵活运用各性质定理是解题的关键．
14．（江西省南昌市江西育华学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图，在△ABC中点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠1=∠2，若AC平分∠BAF，∠B=50°，求∠1的度数．
解：∵DE∥AC（已知）
∴∠1＝∠ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠C＝∠2（ ）
∴AF∥ （ ）
∴∠B+∠BAF＝180°（ ）
∵∠B＝50°（已知）
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝130°（角的运算）
∵AC平分∠BAF（已知）
∴∠2＝12∠BAF＝65° （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝65°（ ）
答案:C，两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；角平分线的定义；等量代换．
分析：根据平行线的性质得出∠1＝∠C，求出∠C＝∠2，根据平行线的性质得出∠B＋∠BAF＝180°，求出∠BAF＝130°，根据角平分线的定义求出∠2＝12∠BAF＝65°即可．
【详解】解：∵DE∥AC（已知），
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠C＝∠2（等量代换），
∴AF∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠B＋∠BAF＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝50°（已知），
∴∠BAF＝180°−∠B＝130°（角的运算），
∵AC平分∠BAF（已知），
∴∠2＝12∠BAF＝65° （角平分线的定义），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝65°（等量代换），
故答案为：C，两直线平行，同位角相等；等量代换；BC，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；角平分线的定义；等量代换．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
15．（江苏省南通市如皋初级中学2021-2022学年七年级下学期月考数学试题）请补全证明过程及推理依据．
已知：如图，BC∥ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求证：BD∥EF．
证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1＝12∠AED，∠2＝12∠ABC（ ）
∵BC∥ED，
∴∠AED＝ （ ）．
∴12∠AED ＝12∠ABC （ ）
∴∠1＝∠2（ ）
∴BD∥EF（ ）
答案:角平分线的定义；∠ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行．
分析：根据角平分线的定义得出∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED＝∠ABC，求出∠1＝∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．
【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，
∴∠1=12∠AED，∠2=12∠ABC（角平分线的定义），
∵BC∥ED，
∴∠AED＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∴12∠AED=12∠ABC（等量代换），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
故答案为：角平分线的定义；∠ABC；两直线平行，同位角相等；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．
16．（山东省日照市开发区2020-2021学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证∠1+∠2=90°．
证明：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠2= （ ），
同理∠1= ，
∴∠1+∠2=12 ，
又∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC+∠BCD= （ ），
∴∠1+∠2=90°．
答案:12∠ABC；角平分线的定义；12∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补
分析：由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°，再结合角平分线的定义可求得∠1+∠2=90°，可得出结论，据此填空即可．
【详解】证明：∵BE平分∠ABC（已知），
∴∠2=12∠ABC（角平分线的定义），
同理∠1=12∠BCD，
∴∠1+∠2=12(∠ABC+∠BCD)，
又∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补 ），
∴∠1+∠2=90°．
故答案为：12∠ABC；角平分线的定义；12∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
17．（广东省江门市新会陈经纶中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）完成下面的证明：
如图，在四边形ABCD中，BE平分∠ABC交线段AD于点E，∠1=∠2，∠C=110°，求∠D的度数?
解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=_________（ ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=_________（ ）
∴AD//BC（ ）
∴∠C+________=180°（ ）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=__________．
答案:∠EBC；角平分线的性质；∠EBC；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，同旁内角互补；70°
分析：根据角平分线的性质结合题意证得AD//BC，利用平行线的性质可求得∠D的度数．
【详解】解：∵BE平分∠ABC （已知）
∴∠2=∠EBC（ 角平分线的性质 ）
又∵∠1=∠2 （已知）
∴∠1=∠EBC（ 等量代换 ）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠C+∠D =180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠C=110°（已知）
∴∠D=70°
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质，熟知对应的判定方法以及性质是解决本题的关键．
18．（山西省大同市广灵县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB//DC．
证明：∵∠ABC=∠ADC，
∴12∠ABC=12∠ADC．（ ）
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC．（ ）
∵∠______＝∠______．（ ）
∵∠1=∠3，（ ）
∴∠2＝______．（等量代换）
∴______//______．（ ）
答案:等式的性质；角平分线的定义；1；2；等量代换；已知；3；AB ；DC ；内错角相等，两直线平行
分析：由∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，可得∠1＝∠2，又由∠1=∠3，得到∠2=∠3，从而得到AB//DC．
【详解】证明：∵∠ABC=∠ADC，
∴12∠ABC=12∠ADC，（ 等式的性质 ）
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC，（角平分线的定义 ）
∵∠1＝∠2，（ 等量代换 ）
∵∠1=∠3，（ 已知 ）
∴∠2=∠3（等量代换）
∴AB//DC ．（内错角相等，两直线平行 ）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
19．（北京市石景山区2021-2022学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知∠AOB=120°，OP平分∠AOB．反向延长射线OA至C．
（1）依题意画出图形，直接写出∠BOC的度数_______°．
（2）完成下列证明过程：
证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=12∠_______．（_______）
∵∠AOB=120°，
∴∠AOP=_______°．
∵∠BOC=_______°．
∴∠AOP=∠BOC．（_________）
答案:（1）画图见解析，60；（2）AOB，角平分线的定义，60，60，等量代换
分析：（1）根据题意画出图形即可，利用平角的定义以及角的和差即可求得∠BOC的度数；
（2）利用角平分线的定义求得∠AOP=60°，即可证明∠AOP=∠BOC．
【详解】解：（1）画出图形如图所示，
∵∠AOB=120°，且∠AOC=180°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°，
故答案为：60；
（2）证明：如图，∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOP=12∠AOB．（角平分线的定义）
∵∠AOB=120°，
∴∠AOP=60°．
∵∠BOC=60°．
∴∠AOP=∠BOC．（等量代换）
故答案为：AOB，角平分线的定义，60，60，等量代换．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，掌握角平分线的定义、根据图形正确计算是解题的关键．
20．（四川省广安市邻水县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）已知: 如图，EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°.求: ∠AGD的度数
解: 因为 EF//AD （已知）
所以 ∠2=__ __ ( 两条直线平行，同位角相等 )
又因为 ∠1=∠2 （已知）
所以 ∠1=∠3 ( 等量代换 )
所以 //__ ___ ( 内错角相等，两直线平行 )
所以 ∠BAC+___ ___=180°(_________ ____ ______________)
因为 ∠BAC=70° （已知）
所以 ∠AGD=110°
答案:∠3 AB DG ∠AGD 两直线平行,同旁内角互补
分析：根据平行线性质推出∠2=∠3，根据平行线判定推出AB//DG，根据平行线判定推出∠BAC+∠AGD=180°，求出即可．
【详解】解：因为EF//AD(已知)，
所以 ∠2 =∠3(两直线平行，同位角相等)，
又因为 ∠1 = ∠2(已知)，
所以 ∠1 = ∠3(等量代换)，
所以AB//DG(内错角相等，两直线平行)，
所以∠BAC + ∠AGD = 180°(两直线平行，同旁内角互补)，
又因为∠BAC = 70°(已知)，
所以∠AGD =110°，
故答案为：∠3 AB DG ∠AGD 两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质定理与判定定理是解题的关键．
21．（河南省周口市鹿邑县2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）将下列推理过程依据补充完整．
如图，已知CD平分∠ACB，AC//DE，CD//EF
求证：EF平分∠DEB
证明：∵CD平分∠ACB（已知）
∴∠DCA=∠DCE（角平分线的定义）
∵AC//DE（已知）
∴∠DCA=∠CDE（________________________________）
∴∠DCE=∠CDE（等量代换）
∵CD//EF（已知）
∴________________=∠CDE（________________________________）
∴∠DCE=∠BEF（________________________________）
∴∠DEF=________________（等量代换）
∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）
答案:两直线平行，内错角相等；∠DEF；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠BEF．
分析：根据角平分线的定义可得∠DCA=∠DCE，再由AC//DE可得∠DCA=∠CDE，从而∠DCE=∠CDE，又由CD//EF，得到∠DEF =∠CDE，∠DCE=∠BEF，即可求证．
【详解】证明：∵CD平分∠ACB（已知）
∴∠DCA=∠DCE（角平分线的定义）
∵AC//DE（已知）
∴∠DCA=∠CDE（两直线平行，内错角相等）
∴∠DCE=∠CDE（等量代换）
∵CD//EF（已知）
∴∠DEF =∠CDE（两直线平行，内错角相等）
∴∠DCE=∠BEF（两直线平行，同位角相等）
∴∠DEF= ∠BEF（等量代换）
∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22．（河南省信阳市淮滨县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）完成下面的求解过程．
如图，FG∥CD，∠1=∠3，∠B=50°，求∠BDE的度数．
解：因为FG∥CD（ ），
所以∠2= （ ）
又因为∠1=∠3，
所以∠3=∠2（ ），
所以BC∥ （ ），
所以∠B+ =180°（ ）．
又因为∠B=50°，
所以∠BDE= ．
答案:见解析
分析：分别利用平行线的性质和判定即可求解．
【详解】解：∵FG∥CD（已知）
∴∠2＝∠1（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2（等量代换）
∴BC∥DE（内错角相等，两直线平行）
∴∠B＋∠BDE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠B＝50°
∴∠BDE＝130°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，性质有两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，判定有同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行．
23．（重庆市南川区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．
证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知），
∴______∥______（______），
∴∠BAP＝______（______），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠FPA＝______．
∴______∥______（______），
∴∠E＝∠F（______）．
答案:AB；CD；同旁内角互补，两直线平行； ∠APC；两直线平行,内错角相等；∠EAP；AE；PF；内错角相等, 两直线平行； 两直线平行，内错角相等
分析：根据∠BAP+∠APD=180°可得AB//CD，从而可得∠BAP＝∠APC，结合∠1=∠2根据角的和差即可得出∠FPA= ∠EAP，继而证明AE//FP后即可得出结论．
【详解】证明：∵∠BAP+∠APD=180°（已知）；
∴ AB ∥ CD （同旁内角互补，两直线平行）；
∴∠BAP= ∠APC （两直线平行,内错角相等）；
又∵∠1=∠2（已知），
∴∠FPA= ∠EAP ，
∴ AE ∥ PF （ 内错角相等, 两直线平行）；
∴∠E=∠F（ 两直线平行，内错角相等）.
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，能正确识图，利用定理得出角度之间的关系是解题关键．
24．（江苏省徐州市丰县初级中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图．己知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2=180°．请填写∠CGD=∠CAB的理由．
∵AB⊥BC,EF⊥BC
∴∠ADC=90°,∠EFC=90°（____________________）
∴∠ADC=∠EFC
∴AD∥EF（________________________________）
∴∠3+∠2=180°（________________________________）
∵∠1+∠2=180°（已知）
∴ ∠_________= ∠_________（____________________）
∴DG∥_________（________________________________）
∴∠CGD=∠CAB．
答案:见解析
分析：根据同位角相等，两直线平行得出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠3+∠2= 180°，求出∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD=∠CAB即可．
【详解】解：∵AD⊥BC,EF⊥BC
∴∠ADC=90°,∠EFC=90°（垂直的定义）
∴∠ADC=∠EFC
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠1+∠2=180°（已知）
∴ ∠1= ∠3（同角的补角相等）
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠CGD=∠CAB．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
∠3；同角的补角相等；AB；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角定义的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；反之亦然．
25．（山东省青岛市市南区青岛第五十一中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
∴AD∥EG，（__________________）
∴∠1＝∠2，（__________________）
∠______＝∠3，（__________________）
又∵∠E＝∠1（已知），
∴______＝______
∴AD平分∠BAC
答案:同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；E；两直线平行，同位角相等；∠ 2；∠ 3
分析：由AD与EG都与BC垂直，得到AD与EG平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等得到两对角相等，根据已知角相等，等量代换得到∠2＝∠3，即AD为角平分线，得证．
【详解】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠E ＝∠3，（两直线平行，同位角相等）
∵∠E＝∠1（已知），
∴ ∠2 ＝∠3 ，
∴AD平分∠BAC．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； E；两直线平行，同位角相等；∠ 2；∠ 3
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
26．（上海七年级下学期期末精选60题（压轴版）-2021-2022学年七年级数学下学期考试满分全攻略（沪教版））填写理由或步骤
如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E
因为AD∥BE ．
所以∠A+ ＝180° ．
因为∠A＝∠E（已知）
所以 + ＝180° ．
所以DE∥AC ．
所以∠1＝ ．
答案:（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）
分析：由已知的AD与BE平行，得到一对同旁内角互补，然后根据已知的两角相等，等量代换得到另一对同旁内角互补，根据同旁内角互补，两直线平行推出DE与AC平行，然后再根据两直线平行，内错角相等即可得证．
【详解】解：如图，已知AD∥BE，∠A＝∠E，
因为AD//BE（已知）
所以∠A+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠A＝∠E（已知）
所以∠ABE+∠E＝180°（等量代换）
所以DE//AC（同旁内角互补，两直线平行）
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
故答案为：（已知）；∠ABE，（两直线平行，同旁内角互补）；∠ABE，∠E，（等量代换）；（同旁内角互补，两直线平行）；∠2，（两直线平行，内错角相等）。
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
27．（重庆市江津区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题（B卷））如图，直线PQ分别与直线AB、CD交于点E、点F，∠1=∠2，射线EM、EN分别与直线CD交于点M、N，且EM⊥EN，则∠3与∠4有何数量关系，并给出证明．
请你将以下证明过程补充完整．
解：∵∠1=∠2，
∴______（同位角相等，两直线平行）
∴∠4=______（两直线平行，内错角相等）．
∵EM⊥EN，
∴______=90°．
∵∠MEB=∠3+______，
∴______．
答案:AB∥CD；∠BEM；∠MEN；∠MEN；∠4−∠3=90°
分析：利用平行线的判定及性质解答即可．
【详解】解：∠4与∠3的数量关系为∠4−∠3=90°，
理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠4=∠BEM（两直线平行，内错角相等）．
∵EM⊥EN（已知），
∴∠MEN=90°（垂直的定义）．
∵∠BEM−∠3=∠MEN，
∴∠4−∠3=90°．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，垂直，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及性质．
28．（北京市通州区2021-2022年七年级下学期期末数学试题）请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
已知：如图，∠B=∠BGD，∠BGC=∠F．
求证：∠B+∠F=180°．
证明：∵∠B=∠BGD（已知），
∴______//______(______)．
∵∠BGC=∠F（已知），
∴CD//EF(______)．
∴AB//______(______)．
∴∠B+∠F=180°(______)．
答案:AB;CD；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；EF；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
分析：由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．
【详解】证明：∵∠B=∠BGD（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∵∠BGC=∠F（已知），
∴CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
∴AB∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴∠B+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：AB;CD；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；EF；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质，并灵活运用．
29．（上海市静安区2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知∠ED B +∠B= 180°，∠1=∠2，GF⊥AB，请填写CD⊥AB的理由
解：因为∠ED B +∠B= 180°（ ）
所以 ∥ （ ）
所以∠1=∠3 （ ）
因为 = （ 已 知 ）
所以∠2=∠3 （ 等量代换 ）
所以 ∥ （ ）
所以∠FGB=∠CDB （ ）
因为GF⊥AB（ 已 知 ）
所以∠FGB=90° （ ）
所以∠CDB =90°（ ）
所以CD⊥AB （ 垂直的意义 ）
答案:已知；DE∥BC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠1=∠2；FG∥CD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； 垂直的意义； 等量代换
分析：根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】解：因为∠EDB +∠B= 180°（已知）
所以 DE ∥ BC （同旁内角互补，两直线平行）
所以∠1=∠3 （两直线平行，内错角相等）
因为 ∠1 = ∠2 （ 已 知 ）
所以∠2=∠3 （ 等量代换 ）
所以 FG ∥ CD （ 同位角相等，两直线平行 ）
所以∠FGB=∠CDB （两直线平行，同位角相等）
因为GF⊥AB（ 已 知 ）
所以∠FGB=90° （垂直的意义）
所以∠CDB =90°（等量代换）
所以CD⊥AB （垂直的意义）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
30．（2023秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F．
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（_______），
∴∠2=∠3 （等量代换），
∴BD∥CE（_______），
∴∠D=∠______（_______），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠C=∠____（等量代换），
∴_______∥_______（_______），
∴∠A=∠F（_______）．
答案:对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；DF；AC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
分析：因为∠1=∠3，∠1=∠2，所以∠2=∠3，由同位角相等证明BD∥CE，则有∠D=∠4，又因为∠C=∠D，所以∠C=∠4，由内错角相等证明DF∥AC，故可证明∠A=∠F．
【详解】证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠2=∠3 （等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行），
∴∠D=∠4（两直线平行，同位角相等），
又∵∠C=∠D（已知），
∴∠C=∠4（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．