苏科版八年级数学下册专题12.3二次根式的加减【八大题型】(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册专题12.3二次根式的加减【八大题型】(原卷版+解析)，共19页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17513" 【题型1 同类二次根式的判断】 PAGEREF _Tc17513 \h 1
\l "_Tc16179" 【题型2 求同类二次根式中的参数】 PAGEREF _Tc16179 \h 1
\l "_Tc23646" 【题型3 二次根式的加减运算】 PAGEREF _Tc23646 \h 2
\l "_Tc17779" 【题型4 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc17779 \h 3
\l "_Tc19681" 【题型5 已知字母的值化简求值】 PAGEREF _Tc19681 \h 3
\l "_Tc8513" 【题型6 已知条件式化简求值】 PAGEREF _Tc8513 \h 4
\l "_Tc3094" 【题型7 二次根式的新定义运算】 PAGEREF _Tc3094 \h 4
\l "_Tc23532" 【题型8 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc23532 \h 4
【知识点1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型1 同类二次根式的判断】
【例1】（2023春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．3与32B．6与12C．5与75D．12与27
【变式1-1】（2023春•郯城县期中）下列根式中，与6x不是同类二次根式的是（ ）
A．x6B．6xC．16xD．6+x
【变式1-2】（2023春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（ ）
A．8与32B．45与20C．27与75D．24与80
【变式1-3】（2023春•河西区校级月考）下列各式中与a+b是同类二次根式的是（ ）
1a(a+b)2B．133(a+b)C．a+b2D．9a+b
【题型2 求同类二次根式中的参数】
【例2】（2023春•怀远县期中）已知二次根式−x−2．
（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
（2）已知−x−2为最简二次根式，且与52为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．
【变式2-1】（2023秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式3a+8与12−a是同类二次根式，那么3a的值为 ．
【变式2-2】（2023春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：
如果16(2m+n)和m−n−1m+7在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n的值．
解：因为16(2m+n)与m−n−1m+7可以合并
所以m−n−1=216(2m+n)=m+7即m−n=331m+16n=7
解得m=5547n=−8647
问：
（1）以上解是否正确？答 ．
（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．
【变式2-3】（2023春•孟村县期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+y2的值．
【知识点2 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
【题型3 二次根式的加减运算】
【例3】（2023春•普兰店区期中）计算：
（1）18−32+2
（2）7a8a−4a218a+7a2a．
【变式3-1】（2023春•高密市校级月考）计算：
（1）0.25+925+0.49+|−1100|
（2）0.01−1100+（﹣1）3(−0.01)2+0
（3）45+45−8+42．
【变式3-2】（2023秋•浦东新区期中）化简：8ab−b2ab−ab2a（a＞0，b＞0）
【变式3-3】（2023秋•浦东新区期末）计算下列各式：
（1）5−6−20+23+95
（2）12−0.5−213−18+18
（3）27a−a3a+3a3+12a75a3
（4）23x9x+6xyx+yxy−x21x．
【题型4 二次根式的混合运算】
【例4】（2023春•安庆期末）计算：
（1）48÷3+215×30−（22+3）2
（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−2)0−(−4)2+25
【变式4-1】（2023春•岳池县期中）计算：2×63+（3−2）2−2（2−6）
【变式4-2】（2023春•天心区校级期中）计算：
（1）（20+5+5）÷5−13×24−5；
（2）18−92−3+63+（3−2）0+(1−2)2．
【变式4-3】（2023秋•昌江区校级期末）（a+b−aba+b）÷（aab+b+bab−a−a+bab）（a≠b）．
【题型5 已知字母的值化简求值】
【例5】（2023秋•如东县期末）已知x＝1−3，求代数式（4+23）x2+（1−3）x+83．
【变式5-1】（2023秋•杨浦区期中）计算与求值．
已知a=12+3，求a2−2a+1a−1−a2−2a+1a2−a的值．
【变式5-2】（2023春•容县校级月考）已知a＝2，b＝3，求式子a3b−ab+a3b3的值．
【变式5-3】（2023秋•天河区校级月考）已知x=12021−2020，则x6﹣22020x5−x4+x3−22021x2+2x−2021的值为（ ）
A．0B．1C．2020D．2021
【题型6 已知条件式化简求值】
【例6】（2023秋•虹口区校级期中）已知x−ba=2−x−ab，且a+b＝2，请化简并求值以下代数式：x+1−xx+1+x+x+1+xx+1−x．
【变式6-1】（2023春•阳信县期中）已知x−69−x=x−69−x，且x为奇数，求（1+x）•x2−5x+4x2−1的值．
【变式6-2】（2023秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a，b，c满足a+4ab+3b﹣2bc−c＝0，则a+bc的值是 ．
【变式6-3】（2023春•芝罘区期末）若实数a，b满足（a+b）（a+b−2）＝3，则a+b的值是 ．
【题型7 二次根式的新定义运算】
【例7】（2023春•郧阳区期中）对于任意的正数m，n定义运算*为：m*n=m−n(m≥n)m+n(m＜n)，计算（3*2）+（8*12）的结果为 ．
【变式7-1】（2023春•江岸区校级月考）对于实数a、b作新定义：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定义下，计算：（43−32）@12−（75−43）※2＝ ．
【变式7-2】（2023秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（3△2）﹣（23△32）＝ ．
【变式7-3】（2023秋•厦门期末）若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）3与 是关于1的平衡数，5−2与 是关于1的平衡数；
（2）若（m+3）×（1−3）＝﹣5+33，判断m+3与5−3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【题型8 二次根式的应用】
【例8】（2023春•定州市校级月考）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为243m、宽为128m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：6≈2.45）
【变式8-1】（2023春•岱岳区期末）在一个边长为（23+35）cm的正方形的内部挖去一个长为（23+10）cm，宽为（6−5）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
【变式8-2】（2023春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
【变式8-3】（2023秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13−1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

专题12.3 二次根式的加减【八大题型】
【苏科版】
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\l "_Tc17513" 【题型1 同类二次根式的判断】 PAGEREF _Tc17513 \h 1
\l "_Tc16179" 【题型2 求同类二次根式中的参数】 PAGEREF _Tc16179 \h 3
\l "_Tc23646" 【题型3 二次根式的加减运算】 PAGEREF _Tc23646 \h 4
\l "_Tc17779" 【题型4 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc17779 \h 6
\l "_Tc19681" 【题型5 已知字母的值化简求值】 PAGEREF _Tc19681 \h 7
\l "_Tc8513" 【题型6 已知条件式化简求值】 PAGEREF _Tc8513 \h 9
\l "_Tc3094" 【题型7 二次根式的新定义运算】 PAGEREF _Tc3094 \h 11
\l "_Tc23532" 【题型8 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc23532 \h 12
【知识点1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型1 同类二次根式的判断】
【例1】（2023春•西华县期末）下列各组二次根式中，化简后可以合并的是（ ）
A．3与32B．6与12C．5与75D．12与27
分析：化简二次根式，判断被开方数是否相同即可得出答案．
【解答】解：A选项，3与42不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
B选项，6与23不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C选项，5与53不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D选项，23与33是同类二次根式，可以合并，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】（2023春•郯城县期中）下列根式中，与6x不是同类二次根式的是（ ）
A．x6B．6xC．16xD．6+x
分析：根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式．
【解答】解：A、x6=166x，与6x是同类二次根式；
B、6x=1x6x，与6x是同类二次根式；
C、16x=16x6x，与6x是同类二次根式；
D、6+x与6x不是同类二次根式，
故选：D．
【变式1-2】（2023春•肥城市期中）若两个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，则称这样的二次根式为同类二次根式，那么下列各组二次根式，不是同类二次根式的一组是（ ）
A．8与32B．45与20C．27与75D．24与80
分析：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐个判断可知答案为D
【解答】解：∵24=26，80=45，
∵5≠6，
∴24与 80不是同类二次根式，
故选：D．
【变式1-3】（2023春•河西区校级月考）下列各式中与a+b是同类二次根式的是（ ）
A．1a(a+b)2B．133(a+b)C．a+b2D．9a+b
分析：根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、1a(a+b)2=a+ba与a+b不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、133(a+b)=133a+3b与a+b不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、a+b2=2a+2b2与a+b不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、9a+b=3a+ba+b与a+b是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【题型2 求同类二次根式中的参数】
【例2】（2023春•怀远县期中）已知二次根式−x−2．
（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；
（2）已知−x−2为最简二次根式，且与52为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．
分析：（1）根据二次根式有意义的条件得出x﹣2≥0，求出不等式的解集即可；
（2）先求出52=1210，得出x﹣2＝10，求出x即可．
【解答】解：（1）要使−x−2有意义，必须x﹣2≥0，
即x≥2，
所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；
（2）52=1210，
所以x﹣2＝10，
解得：x＝12，
这两个二次根式的积为−10×52=−5．
【变式2-1】（2023秋•仓山区校级期末）如果最简二次根式3a+8与12−a是同类二次根式，那么3a的值为 3 ．
分析：根据最简二次根式及同类二次根式概念作答．
【解答】解：由题意得3a+8＝12﹣a，
解得a＝1，
当a＝1时3a=3．
故答案为：3．
【变式2-2】（2023春•西华县期末）先阅读下面的解题过程，再回答后面的问题：
如果16(2m+n)和m−n−1m+7在二次根式的加减运算中可以合并成一项，求m、n的值．
解：因为16(2m+n)与m−n−1m+7可以合并
所以m−n−1=216(2m+n)=m+7即m−n=331m+16n=7
解得m=5547n=−8647
问：
（1）以上解是否正确？答 不正确 ．
（2）若以上解法不正确，请给出正确解法．
分析：（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同，故要分两种情况讨论．
（2）分两种情况讨论：被开方数相同和化简后被开方数相同．
【解答】解：（1）不正确；
（2）∵16(2m+n)与m−n−1m+7可以合并，
∴m−n−1=22m+n=m+7或m−n−1=216(2m+n)=m+7或m−n−1=24(2m+n)=m+7
解得m=5n=2或m=5547n=−8647或m=1911n=−1411．
故答案为：不正确．
【变式2-3】（2023春•孟村县期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+y2的值．
分析：（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）根据题意知3x−10=22x+y−5=x−3y+11，
解得：x=4y=3；
（2）当x＝4、y＝3时，
x2+y2=42+32=25=5．
【知识点2 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
【题型3 二次根式的加减运算】
【例3】（2023春•普兰店区期中）计算：
（1）18−32+2
（2）7a8a−4a218a+7a2a．
分析：（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案；
（2）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）18−32+2
＝32−42+2
＝0
（2）7a8a−4a218a+7a2a
＝7a×22a−4a2×2a4a+7a2a
＝14a2a−a2a+7a2a
＝20a2a．
【变式3-1】（2023春•高密市校级月考）计算：
（1）0.25+925+0.49+|−1100|
（2）0.01−1100+（﹣1）3(−0.01)2+0
（3）45+45−8+42．
分析：（1）先去绝对值符号，根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；
（2）先根据数的开方法则计算出各数，再由有理数的加减法则进行计算即可；
（3）先把各式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝0.5+35+0.7+110
＝1.9；
（2）原式＝0.1−110−0.01+0
＝﹣0.01；
（3）原式＝45+35−22+42
＝75+22．
【变式3-2】（2023秋•浦东新区期中）化简：8ab−b2ab−ab2a（a＞0，b＞0）
分析：本题较简单，分别将各二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝22ab−2ab−2ab2
=2ab2．
【变式3-3】（2023秋•浦东新区期末）计算下列各式：
（1）5−6−20+23+95
（2）12−0.5−213−18+18
（3）27a−a3a+3a3+12a75a3
（4）23x9x+6xyx+yxy−x21x．
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式=5−6−25+63+355
=−255−263；
（2）原式＝23−22−233−24+32
=433+924；
（3）原式＝33a−3a+3a+523a
=113a2；
（4）原式＝2xx+6xy+xy−xx
＝xx+7xy．
【题型4 二次根式的混合运算】
【例4】（2023春•安庆期末）计算：
（1）48÷3+215×30−（22+3）2
（2）（−12）﹣2﹣（﹣1）2012×(π−2)0−(−4)2+25
分析：（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；
（2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算．
【解答】解：（1）原式=48÷3+215×30−（8+46+3）
＝4+26−11﹣46
＝﹣7﹣26；
（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5
＝4﹣1﹣4+5
＝4．
【变式4-1】（2023春•岳池县期中）计算：2×63+（3−2）2−2（2−6）
分析：利用乘法公式展开，化简后合并同类二次根式即可．
【解答】解：2×63+（3−2）2−2（2−6）
＝2+3﹣43+4﹣2+23
＝7﹣23
【变式4-2】（2023春•天心区校级期中）计算：
（1）（20+5+5）÷5−13×24−5；
（2）18−92−3+63+（3−2）0+(1−2)2．
分析：（1）原式利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果；
（2）原式各项后，计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝（4+1+5）−8−5=3+5−22−5=3﹣22；
（2）原式＝32−322−（1+2）+1+（2−1）=322−1−2+1+2−1=322−1．
【变式4-3】（2023秋•昌江区校级期末）（a+b−aba+b）÷（aab+b+bab−a−a+bab）（a≠b）．
分析：先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
【解答】解：原式=a+ab+b−aba+b÷aab(ab−a)+bab(ab+b)−(a+b)(ab+b)(ab−a)ab(ab+b)(ab−a)
=a+ba+b÷a2−aab−bab−b2−a2+b2ab(a+b)(a−b)
=a+ba+b⋅ab(a−b)(a+b)−ab(a+b)
=−a+b．
【题型5 已知字母的值化简求值】
【例5】（2023秋•如东县期末）已知x＝1−3，求代数式（4+23）x2+（1−3）x+83．
分析：将x＝1−3代入原式，再根据二次根式的性质和运算法则计算可得．
【解答】解：当x＝1−3时，
原式＝（4+23）×（1−3）2+（1−3）2+83
＝（4+23）×（4﹣23）+4﹣23+83
＝16﹣12+4﹣23+83
＝8+63．
【变式5-1】（2023秋•杨浦区期中）计算与求值．
已知a=12+3，求a2−2a+1a−1−a2−2a+1a2−a的值．
分析：首先关键a的值求得1a=2+3，a﹣1＝1−3＜0，然后把原代数式变形为a﹣1+1a，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵a=12+3，
∴a＝2−3，
∴1a=2+3，a﹣1＝1−3＜0，
∴a2−2a+1a−1−a2−2a+1a2−a
=(a−1)2a−1+a−1a(a−1)
＝a﹣1+1a
＝1−3+2+3
＝3．
【变式5-2】（2023春•容县校级月考）已知a＝2，b＝3，求式子a3b−ab+a3b3的值．
分析：根据题目中a、b的值可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：∵a＝2，b＝3，
a3b−ab+a3b3
=aab−ab+abab
＝（a﹣1+ab）ab
＝（2﹣1+2×3）×2×3
＝76．
【变式5-3】（2023秋•天河区校级月考）已知x=12021−2020，则x6﹣22020x5−x4+x3−22021x2+2x−2021的值为（ ）
A．0B．1C．2020D．2021
分析：把已知的条件进行分母有理化，再把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：∵x=12021−2020，
∴x=2021+2020，
∴x6﹣22020x5−x4+x3−22021x2+2x−2021
=x4(x2−22020x−1)+x（x2−22021x+2）−2021
=x4[(x−2020)2−2021]+x[(x−2021)2−2019]−2021
=x4[(2021+2020−2020)2−2021]+x[(2021+2020−2021)2−2019]−2021
=x4(2021−2021)+x(2020−2019)−2021
＝x−2021
=2021+2020−2021
=2020．
故选：C．
【题型6 已知条件式化简求值】
【例6】（2023秋•虹口区校级期中）已知x−ba=2−x−ab，且a+b＝2，请化简并求值以下代数式：x+1−xx+1+x+x+1+xx+1−x．
分析：解方程得出x＝2，再分母有理化，化简得出原式＝4x+2，最后代入求出即可．
【解答】解：x−ba=2−x−ab，
b（x﹣b）＝2ab﹣a（x﹣a），
bx+ax＝（a+b）2，
∵a+b＝2，
∴2x＝4，
∴x＝2，
∴x+1−xx+1+x+x+1+xx+1−x
=(x+1−x)2(x+1+x)(x+1−x)+(x+1+x)2(x+1−x)(x+1+x)
＝x+1﹣2x(x+1)+x+x+1+2x(x+1)+x
＝4x+2
＝4×2+2
＝10．
【变式6-1】（2023春•阳信县期中）已知x−69−x=x−69−x，且x为奇数，求（1+x）•x2−5x+4x2−1的值．
分析：先根据二次根式的乘除法则求出x的值，再把原式进行化简，把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：∵x−69−x=x−69−x，
∴x−6≥09−x＞0，
解得6≤x＜9．
又∵x是奇数，∴x＝7．
∴（1+x）•x2−5x+4x2−1
＝（1+x）(x−1)(x−4)(x+1)(x−1)
＝（1+x）x−4x+1
∴当x＝7时，
原式＝（1+7）7−47+1
＝26．
【变式6-2】（2023秋•鼓楼区校级期末）若三个正数a，b，c满足a+4ab+3b﹣2bc−c＝0，则a+bc的值是 1 ．
分析：直接将原式凑成平方差公式，即可得出答案正数．
【解答】解：a+4ab+3b﹣2bc−c＝0，
(a+2b)2−(b+c)2=0，
∵a，b，c是正数，
∴a+2b=b+c，
∴a+b=c，
∴a+bc=1．
故答案为：1．
【变式6-3】（2023春•芝罘区期末）若实数a，b满足（a+b）（a+b−2）＝3，则a+b的值是 3 ．
分析：求出（a+b）2﹣2（a+b）﹣3＝0，再分解因式（a+b−3）（a+b+1）＝0，根据二次根式的性质得出a+b≥0，求出a+b−3＝0即可．
【解答】解：∵实数a，b满足（a+b）（a+b−2）＝3，
∴（a+b）2﹣2（a+b）﹣3＝0，
∴（a+b−3）（a+b+1）＝0，
∵a+b≥0，
∴a+b−3＝0，
∴a+b=3，
故答案为：3．
【题型7 二次根式的新定义运算】
【例7】（2023春•郧阳区期中）对于任意的正数m，n定义运算*为：m*n=m−n(m≥n)m+n(m＜n)，计算（3*2）+（8*12）的结果为 33+2 ．
分析：结合有理数的大小比较和新定义运算法则及二次根式的加减法运算法则先算小括号里面的，然后再算加法．
【解答】解：∵3＞2，8＜12，
∴原式＝（3−2）+（8+12）
=3−2+22+23
＝33+2，
故答案为：33+2．
【变式7-1】（2023春•江岸区校级月考）对于实数a、b作新定义：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定义下，计算：（43−32）@12−（75−43）※2＝ 1﹣32 ．
分析：利用新定义：a@b＝ab，a※b＝ab求解即可．
【解答】解：（43−32）@12−（75−43）※2
＝（233−62）×23−（75−43）2
＝（4﹣32）﹣3
＝1﹣32．
故答案为：1﹣32．
【变式7-2】（2023秋•内江期末）我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，其它运算符号的意义不变，计算：（3△2）﹣（23△32）＝ −3+42 ．
分析：根据已知将原式化简进而求出即可．
【解答】解：∵当a＞b时，a△b＝a+b；当a≤b时，a△b＝a﹣b，3＞2，23＜32，
∴（3△2）﹣（23△32）
=3+2−（23−32）
=−3+42．
故答案为：−3+42．
【变式7-3】（2011秋•厦门期末）若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）3与 ﹣1 是关于1的平衡数，5−2与 ﹣3+2 是关于1的平衡数；
（2）若（m+3）×（1−3）＝﹣5+33，判断m+3与5−3是否是关于1的平衡数，并说明理由．
分析：（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案．
（2）根据所给的等式，解出m的值，进而再代入判断即可．
【解答】解：（1）由题意得，3+（﹣1）＝2，5−2+（﹣3+2）＝2，
∴3与﹣1是关于1的平衡数，5−2与﹣3+2是关于1的平衡数．
（2）不是．
∵（m+3）×（1−3）
＝m−3m+3−3，…（5分）
又∵（m+3）×（1−3）＝﹣5+33，
∴m−3m+3−3＝﹣5+33，
∴m−3m＝﹣2+23．
即 m（1−3）＝﹣2（1−3）．
∴m＝﹣2．
∴（m+3）+（5−3）
＝（﹣2+3）+（5−3）
＝3，
∴（﹣2+3）与（5−3）不是关于1的平衡数．
【题型8 二次根式的应用】
【例8】（2023春•定州市校级月考）2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为243m、宽为128m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：6≈2.45）
分析：（1）根据长方形的周长＝（长+宽）×2，可以解答本题；
（2）根据长方形的面积＝长×宽和造价为每平方米2元的草坪，可以求得在该长方形土地上全部种植草坪的总费用．
【解答】解：（1）由题意可得，
该长方形土地的周长是：（243+128）×2=(93+82)×2=(183+162)m，
即该长方形土地的周长是(183+162)m；
（2）由题意可得，
在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：243×128×2=93×82×2=1446≈352.8（元），
即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元．
【变式8-1】（2023春•岱岳区期末）在一个边长为（23+35）cm的正方形的内部挖去一个长为（23+10）cm，宽为（6−5）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
分析：用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．
【解答】解：剩余部分的面积为：（23+35）2﹣（23+10）（6−5）＝（12+1215+45）﹣（62−215+215−52）＝（57+1215−2）（cm2）．
【变式8-2】（2023春•广丰区校级期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝9，b＝7，c＝8．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．
分析：（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积=12×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
【解答】解：（1）根据题意知p=a+b+c2=9+7+82=12，
所以S=p(p−a)(p−b)(p−c)=12×(12−9)×(12−7)×(12−8)=125，
∴△ABC的面积为125；
（2）∵S=12ch1=12bh2＝125，
∴12×8h1=12×7h2＝125，
∴h1＝35，h2=2475，
∴h1+h2=4575．
【变式8-3】（2023秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13−1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
分析：（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（83+98）＝2（83+72）＝163+142（米），
答：长方形ABCD的周长是163+142（米），
（2）通道的面积=(83×98)−(13+1)(13−1)
＝566−（13﹣1）
＝566−12（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（566−12）＝3366−72（元）．
答：购买地砖需要花费3366−72元