云南省开远市第一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式解法和指数函数图象性质求出集合，即可求得结果.
【详解】解不等式可得，
由指数函数的值域可得，
所以，即为.
故选：D
2. 已知复数z满足（i为虚数单位），则（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用复数乘法化简复数，应用公式求复数的模.
【详解】复数，故．
故选：D．
3. 设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.
【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足，
如图：满足，，但不成立，故必要性不满足，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.

4. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
5. 安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A. 36种B. 30种C. 24种D. 12种
【答案】B
【解析】
【分析】利用间接法，先求所有的可能情况，再排除甲、乙安排在同一所学校的可能情况.
【详解】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有种，
若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有种，
所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有种.
故选：B.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助进行比较判断选项.
【详解】，，
而，则，即，所以.
故选：B
7. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据差角公式和辅助角公式将题中所给的条件化简，求得，再利用诱导公式得到结果.
【详解】因为，
可得，
所以.
故选：B
8. 过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出圆心坐标与半径，根据平面几何的知识可知，则，又，从而只需求，利用点到直线的距离公式求出，即可得解.
【详解】因为圆的方程为，所以圆心，半径.
因为是圆的两条切线，所以，
由圆的知识可知四点共圆，且，
所以，
又，所以当最小，即时，取得最小值，
此时，
所以.
故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中，真命题有（ ）
A. 若随机变量，则
B. 数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5
C. 若随机变量，，则
D. 若事件，满足且，则与独立
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：利用方差公式求解；对于B：通过百分位数的概念计算；对于C：利用正态分布的对称性计算；对于D：利用独立事件的概念判断.
【详解】对于A：根据二项分布的方差公式可得，A正确；
对于B：数据1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10的分位数，，则，B错误；
对于C：随机变量，，则，C错误；
对于D：因为，
所以，故与独立，D正确.
故选：AD
10. 已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由点坐标代入求出，即可求出抛物线方程与焦点坐标，设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式判断B，根据数量积的坐标表示判断C，根据斜率公式判断D.
【详解】因抛物线经过点，所以，解得，故A正确；
所以抛物线方程为，则焦点，
设直线，则，消去整理得，
则，所以，，
则，
，
所以，故B正确；
所以，，所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
11. 已知函数和是定义域为的函数.若，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B.
C. 函数的图像关于直线对称
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先由判断选项C；得出，再令为结合已知可判断B选项；由BC的计算可判断A选项；最后得出4是的周期，并计算出，最终判断D选项即可.
【详解】由可知的图象关于直线对称，C正确；
所以，则①，
令为，则②.
的图象关于点对称，，令，故B正确；
由①②可知，所以的图象关于直线对称.故错误；
所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024项，故，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
【答案】448
【解析】
【分析】由题可得展开式通项，令的指数为0，可得常数项为第几项，即可得答案.
【详解】展开式的通项为，
令，解得，故常数项为．
故答案为：448.
13. 记为数列的前项和，已知则______．
【答案】
【解析】
【分析】注意到，进一步由裂项相消法即可求解.
【详解】由题意，
所以
.
故答案为：.
14. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是右支上一点，线段与的左支交于点．若为正三角形，则的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和双曲线定义求得且，在中，利用余弦定理列出方程，化简得到，即可求得双曲线的离心率.
【详解】因为点是右支上一点，线段与的左支交于点，且，
因为为等边三角形，所以，，
由双曲线定义得，，
又由，解得，
则，且，
在中，由余弦定理得，
化简整理得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：
①直接求出、，可计算出离心率；
②构造、的齐次方程，求出离心率；
③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若是的角平分线，，的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换求解角度即可.
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理列出方程，求解即可.
【小问1详解】
由及正弦定理得，，
所以，因为，
所以，又，所以
【小问2详解】
由，得，
又，
所以，
由余弦定理得
所以.
16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖．其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力．某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表：
（1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？
（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y，求Y的数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）可以认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.
（2）分布列见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；
（2）求得男生的人数为人，女生的人数为人，根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列；
（2）根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为，结合服从二项分布，即可求解.
【小问1详解】
解：零假设学生对长跑的喜欢情况与性别无关联，
根据题意，由列联表中的数据，
可得，
所以在的独立性检验中，可以推断不成立，
即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.
【小问2详解】
从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，
其中男生的人数为人，女生的人数为人，
从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为，
可得，
，
则随机变量的分布列为：
【小问3详解】解：由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为，
所以随机变量服从二项分布，即，所以.
17. 如图，在四棱台中，底而为平行四边形，侧棱平面，，，.

（1）证明：；
（2）若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；
（2）利用台体体积公式求出，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.
【小问1详解】
底面为平行四边形，
，
，，
由余弦定理可得：，，
则，，
侧棱平面，平面，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，.
【小问2详解】
四棱台中的体积为，
，
，
，解得：.
如图，以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立如图的空间直角坐标系，

则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则有，所以
平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
18. 已知椭圆：的短轴长等于，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组得到，进而求得，得出中垂线的方程，求得，再由弦长公式求得，即可求解.
【小问1详解】
椭圆：的短轴长等于，离心率可得，
，解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由椭圆的方程，可得右焦点，
当直线斜率不存在时被轴垂直平分，不符合题意；
当直线斜率为0时，；
直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，中点为，
联立方程组，整理得，
可得，
所以，则，
即，则中垂线的方程为，
令，可得，所以，
又由
，
所以（定值）；
综上所述，为定值.
19. 已知曲线在点处的切线为．
（1）求直线的方程；
（2）证明：除点外，曲线在直线的下方；
（3）设，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导，得到，利用导数的几何意义写出切线方程；
（2）令，二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以，当且仅当等号成立，得到证明；
（3）求导得到的单调性，结合函数图象得到，不妨令，结合曲线在点的切线方程为，得到，转化为证明，又，只要证，令，求导得到函数单调性，结合特殊点函数值得到答案.
【小问1详解】
因为，
所以，
所以直线的方程为：，即
【小问2详解】
令，则，
令，则，
由，解得，由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当等号成立，
所以除切点之外，曲线在直线的下方．
【小问3详解】
由，解得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
当时，．
因为，则，不妨令．
因为曲线在点的切线方程为，
设点在切线上，有，故，

由（1）知时，，
则，即，
要证：，
只要证：，
只要证：，
又，
只要证：，
令，
则，
易证在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在上单调递减，所以成立，
所以原命题成立．
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数在零点处的切线方程，得到，且，从而只需证明，再勾股函数进行求解.喜欢
不喜欢
合计
男生
120
80
200
女生
100
100
200
合计
220
180
400
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
0
1
2
3