专题20 三角函数的图象与性质-2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题20 三角函数的图象与性质
【考点预测】
1、“五点法”作图原理
在确定正弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.
在确定余弦函数的图像时，起关键作用的5个点是.
2、三角函数的图像与性质
3、与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
（，）的图象，可以用下面的方法得到：
= 1 \* GB3 ①画出函数的图象；
= 2 \* GB3 ②把的图象向左（）或向右（）平移个单位长度，得到函数的图象；
= 3 \* GB3 ③把图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
= 4 \* GB3 ④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象.
【典例例题】
例1．（2024·陕西西安·一模）将函数的图象向左平移m（）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（ ）．
A．B．πC．D．
【答案】D
【解析】将函数的图象向左平移m个单位，
得的图象，
因为的图象关于原点对称，
所以，即，
当时，得，
使，，的整数不存在.
故选：D
例2．（2024·高三·江苏扬州·阶段练习）函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，故最小正周期为.
故选：B
例3．（2024·高三·全国·阶段练习）函数在上没有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数中，当时，，
由在上没有最小值，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C
例4．（2024·全国·二模）若函数的图象关于轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，函数是偶函数，则，
即，而，所以.
故选：B
例5．（2024·四川·模拟预测）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，显然它定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数，
，则，
所以，.
故选：C.
例6．（2024·高三·江苏·专题练习）已知函数，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递增
D．不等式的解集为
【答案】B
【解析】A选项，，
由于的定义域为R，且，
故为奇函数，故A错误；
B选项，由选项A可知，故的图象的对称轴为，即，
令可得，即的图象关于直线对称，故B正确；
C选项，时，，其中在上不单调，
故在上不单调，故C错误；
D选项，，则，则，
故，D错误.
故选：B
例7．（2024·高三·安徽·阶段练习）已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象.若是偶函数，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，
由是偶函数，得，，
而，则.
故选：B
例8．（2024·北京门头沟·一模）下列函数中， 既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A：定义域为，为非奇非偶函数，故A错误；
对于B：定义域为，为奇函数，但是函数在上单调递减，故B错误；
对于C：为奇函数，定义域为，但是函数在上不单调，故C错误；
对于D：令定义域为，且，
所以为奇函数，且当时，函数在上单调递增，故D正确.
故选：D
例9．（2024·山东淄博·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】对于A，函数的最小正周期，A错误；
对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误；
对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误；
对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此函数在区间上单调递增，D正确.
故选：D
例10．（2024·高三·全国·专题练习）若，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【解析】由题意知的最小正周期为，
且，
故
，
故选：C
例11．（2024·高三·全国·专题练习）要得到余弦曲线y＝cs x，只需将正弦曲线y＝sin x（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移π个单位长度
D．向右平移π个单位长度
【答案】A
【解析】y＝cs x＝sin （x＋），所以要得到余弦曲线y＝cs x，只需将正弦曲线y＝sin x向左平移个单位长度．
【考查意图】考查正弦函数与余弦函数图象的关系．
例12．（2024·高一·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 ．

【答案】/
【解析】由已知可得，，所以，所以，
所以.
又因为在处取得最大值，
所以有，
所以.
又因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
例13．（2024·河北邯郸·三模）写出一个，使得函数的图象关于点对称，则可以为 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为的图象关于点对称，
所以，则，故，
又，所以，，，…．.
故答案为：（答案不唯一）.
例14．（2024·高三·上海浦东新·期中）向量，令.
(1)求的周期:
(2)求时，的单调递增区间;
(3)求的值域.
【解析】（1）,
所以的周期
（2）令，
即，，
当时，
当时，的单调递增区间是
（3）由，得，
故，所以的值域为
例15．（2024·高三·上海静安·期末）记，其中为实常数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值．
【解析】（1）．
∴函数的最小正周期为．
（2），
，则．
令，因为，则．
当或，即或时，．
当，即时，．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·湖北·二模）已知函数，，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：
，
当时，则，所以
故选：B.
2．（2024·高三·云南·阶段练习）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则时，的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，
所以当时，，.
故选：C
3．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，由，
得，所以的图象的一条对称轴为，
D选项正确，ABC选项错误.
故选：D
4．（2024·陕西榆林·二模）若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为的图象关于直线对称，
所以，得，
因为，所以.
故选：C.
5．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数，若时，函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,
因为，所以
则，
所以函数的值域为.
故选：A.
6．（2024·吉林延边·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】结合题意可得，
因为曲线关于轴对称，所以，
解得,因为，所以当时，有最小值.
故选：B.
7．（2024·广东佛山·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．E．均不是
【答案】A
【解析】由题意知，（）
又因为为偶函数，所以关于轴对称.
所以，，解得，，
又，所以当时，取得最小值为.
故选：A.
8．（2024·四川泸州·二模）已知函数的最小正周期为，且的图象关于直线对称，则b的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】因为（其中），
又的最小正周期为，，所以，则，
所以，
又函数的图象关于直线对称，
所以，
所以，解得.
故选：D
9．（2024·四川泸州·二模）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】因为（其中），
又函数的图象关于直线对称，
所以，
所以，解得.
故选：D
10．（2024·四川南充·二模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，，
令，，
则，，或，，
即，，或，，
可得，，，，
，，，，
相邻交点距离的最小值为．
故选：A．
11．（2024·陕西渭南·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的图象的一条对称轴为（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
【答案】D
【解析】由题意可得，
令，则，
当时，有，其余选项均不符合.
故选：D.
二、多选题
12．（2024·云南昆明·一模）已知函数，若，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】令或，,
故或，，
故,
取和可得或，
故的值可以为或，
故选：BD
13．（2024·山东枣庄·一模）已知函数，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．在上有2个零点
D．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【解析】函数
．
选项A：，，故最大值为2，A正确；
选项B：时，，不单调递增，故B错误；
选项C：时，，可知当以及时，即以及时，在上有2个零点，故C正确；
选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误.
故选：AC．
14．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．若是偶函数，则，
C．在区间上的值域为
D．的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】对A：，故A正确．
对B：因为是偶函数，
所以，，即，，故B正确．
对C：当时，，，
所以，故C错误．
对D：当时，，故D正确
15．（2024·河南南阳·一模）已知函数的部分图像如图所示、则下列结论正确的是（ ）

A．在上有两个极值点B．
C．函数的图象关于轴对称D．若，则的最小值为
【答案】AC
【解析】由题图知，
所以，
由图象可知在时取得极大值，则在时取得极小值，
所以上有两个极值点，A正确；
又，所以，
所以.
因为，所以令，即.
所以.所以，B错误；
因为函数的周期为，将图象上的所有点沿轴向右平移个单位长度后得到的图象，为偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，C正确；
若，则的最小值为错误.
故选：.
16．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的周期为
B．函数为偶函数
C．函数的图像关于直线对称
D．函数在上的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，的周期，故A正确；
对于B，令，
因为，所以函数为奇函数，
即数为奇函数，故B错误；
对于C，因为，
所以函数的图像关于直线对称，故C正确；
对于D，由，得，
所以函数在上的最小值为，故D错误.
故选：AC.
17．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数,则下列描述正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一个对称轴
C．是函数图象的一个对称中心
D．若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,则为奇函数
【答案】ACD
【解析】函数的最小正周期,故A正确;
,所以关于对称,故B错误;
,所以是函数图象的一个对称中心,故C正确;
根据题意,
则,所以为奇函数,故D正确.
故选:ACD.
18．（2024·浙江·二模）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为B．关于点中心对称
C．最大值为D．在区间上单调递减
【答案】BC
【解析】，
，
函数的最小正周期，故A错误；
，所以函数图象关于点中心对称，故B正确；
，所以函数的最大值为，故C正确；
由，，函数在区间单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故D错误.
故选：BC
19．（2024·福建莆田·二模）已知函数，则（ ）
A．
B．的最大值为1
C．在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位长度后与的图象重合
【答案】AD
【解析】对于AB，，，故A对B错；
当，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为，故D正确.
故选：AD.
20．（2024·河北·模拟预测）要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
C．纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
【答案】BC
【解析】对于A，所得解析式为，A错误；
对于B，所得解析式为，B正确；
对于C，所得解析式为，C正确；
对于D，所得解析式为，D错误.
故选：BC
21．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】AD
【解析】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，A正确；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，B错误；
把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，C错误；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，D正确；
故选：AD.
三、填空题
22．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）已知 ，则的最小正周期为 ， ．
【答案】
【解析】，
其最小正周期，
因为
故.
故答案为：；.
23．（2024·北京门头沟·一模）若函数 的最大值为 ， 则 ， ．
【答案】 1
【解析】，
由最大值为，,则,
所以，
所以，
故答案为：；
24．（2024·重庆·模拟预测）设函数在上为减函数，如果 ，，，那么 . (写出 一个即可)
【答案】（答案不唯一）
【解析】由已知函数在上单调递减，
又在上单调递减，
可令，符合题意.
故答案为：（答案不唯一）.
25．（2024·高三·重庆永川·阶段练习）函数（其中，，）的图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将该函数的图象上的各点的横坐标伸长为原来的3倍（纵坐标不变）得到函数，则 .
【答案】
【解析】由图象易知，，图象过点，即，，，所以，
又图象过点，即，
所以，解得，
所以函数的解析式为，
可得，
故，
故答案为：；.
26．（2024·高三·北京海淀·期中）已知函数的部分图象如图所示．

①函数的最小正周期为 ；
②将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为奇函数，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】空1：由图可知,即
空2：,即，
则，又过点，
所以，即，
又在原图增区间上，所以可取，
所以，
向右平移个单位可得，
又为奇函数，所以，
即,
又，
所以.
故答案为：；.
27．（2024·高三·上海嘉定·期中）若将函数向右平移个单位后其图像关于轴对称，则 .
【答案】
【解析】易知函数向右平移个单位后得函数，
此时函数关于轴对称，则，
又，所以时，.
故答案为：.
28．（2024·高三·全国·对口高考）为了得到函数的图象，只需把函数的图象向 长度单位.
【答案】向右平移个
【解析】，，
因此，只需将函数的图象向右平移个长度单位即：
.
故答案为：向右平移个.
四、解答题
29．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，且函数在上的最大值为．
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间．
【解析】（1），
，，解得：.
（2）由（1）知：，
令，解得：，
的单调递减区间为.
30．（2024·高三·山西吕梁·阶段练习）已知函数，将图象上每一点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向上平移1个单位长度得到函数的图象．
(1)求图象的对称中心；
(2)若函数在上没有最小值，求实数m的取值范围．
【解析】（1）根据题意，，
由，得，，
所以函数图象的对称中心为，．
（2）由（1）知：，
因为，所以，
要使在上没有最小值，
则，解得，即实数的取值范围为．
31．（2024·高三·宁夏银川·阶段练习）已知函数的两条相邻对称轴之间距离为．
(1)求的值；
(2)将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值．
【解析】（1）
，
由题意得，解得；
（2），
故，
，故，
因为，所以，
因为，所以，
故，
所以
.
32．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知向量
(1)若⊥，求的值；
(2)记，将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到函数图象，求函数在上的最小值．
【解析】（1）⊥，故，
即，
故有或，
当时，又
，
当，即，
又，故，
或；
（2），
由题意知，
，
∴，
由于在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故在上的最小值为.
33．（2024·高三·四川内江·阶段练习）已知函数．
(1)判断函数在上的单调性；
(2)将函数的图象向右平移个周期后得到函数的图象，求函数在区间上的值域．
【解析】（1）原式，
令，解得，
又因为，可得函数的递增区间为，递减区间为，
所以函数在单调递增，在单调递减.
（2）因为，周期，
向右平移个周期后得到函数的图象，则，
因为，
所以
在上
的图像
定义域
值域（有界性）
最小正周期
（周期性）
奇偶性（对称性）
奇函数
偶函数
单调增区间
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应自变量值
时
时
最小值及对应自变量值
时
时
函数
正切函数
图像
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性
在上是单调增函数
对称轴
无
对称中心