专题10 对数与对数函数 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题10 对数与对数函数
【考点预测】
1、对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
【方法技巧与总结】
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
【典型例题】
例1．（2024·广东·一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，）
A．23B．100C．150D．232
例2．（2024·高三·江西·开学考试）研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是，则的整数部分为（ ）
A．3B．4C．5D．6
例3．（2024·高一·河南·开学考试）已知函数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
例4．（2024·全国·模拟预测）在等差数列中，已知与是方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．E．均不是
例6．（2024·高一·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
例8．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数① y＝lgax；② y＝lgbx；③ y＝lgcx；④ y＝lgdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋aB．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋dD．b＋d＜a＋c
例9．（2024·高一·青海西宁·开学考试）函数 的图象是（ ）
A．B．
C．D．
例10．（2024·天津南开·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
例11．（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例12．（2024·高一·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示）
例13．（2024·高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
例14．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则 .
例15．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值；
（2）求值：.
例16．（2024·高一·江苏常州·期末）（1）计算：；
（2）已知，计算的值并证明．
例17．（2024·高一·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12B．13C．14D．15
2．（2024·高三·四川·期末）苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数．利用对数运算可以求大数的位数．已知，则是（ ）
A．9位数B．10位数C．11位数D．12位数
3．（2024·青海·一模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高一·山西大同·阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·高三·全国·专题练习）函数f(x)＝＋ln (3x－1)的定义域为( )
A．(，]B．(，)
C．[－，)D．[－，]
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·高一·湖南·阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·高一·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·高二·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·江苏扬州·期末）年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素数即质数，，计算结果取整数）
A．B．C．D．
12．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该蓄电池的Peukert常数约为（参考数据：，）（ ）
A．1.12B．1.13
C．1.14D．1.15
二、多选题
13．（2024·高一·河南省直辖县级单位·期末）下列说法正确的是（ ）
A．幂函数的图象都过点
B．函数与是同一函数
C．函数与的图象关于直线对称
D．，是以为周期的函数
三、填空题
14．（2024·高一·山东威海·期末）已知，，则 .
15．（2024·高一·福建漳州·期末）设，则的值为 .
16．（2024·四川广安·二模）已知函数.则的值为 .
17．（2024·高三·上海·阶段练习）方程的解是 .
18．（2024·高一·云南·阶段练习）计算： .
19．（2024·高一·山西吕梁·期末）设是定义在R上的函数，满足，且，当时；，则 ．
20．（2024·高一·山东青岛·期末）写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式 ．
①的定义域为；②；③当时，．
21．（2024·高一·北京东城·期末）函数的定义域是 .
22．（2024·云南·模拟预测）若为奇函数，则 .
23．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）函数的最大值为 .
24．（2024·高一·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ．
25．（2024·高一·四川绵阳·开学考试）函数（且）的图象经过点，则函数的反函数 ．
四、解答题
26．（2024·高一·四川眉山·开学考试）（1）
（2）已知，求的值．
27．（2024·高一·广西百色·开学考试）计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
28．（2024·高一·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域.
29．（2024·高一·湖北十堰·开学考试）求函数．
(1)定义域和值域；
(2)增区间和减区间．
30．（2024·高一·湖南长沙·期末）已知函数．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的值域．
31．（2024·高一·云南昆明·期末）设函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值．
32．（2024·高一·云南·期末）已知函数且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．
图象

性质
定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数
在上是减函数
当时，，当时，
当时，，当时，