湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期5月模拟（一）数学试卷

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期5月模拟（一）数学试卷，共16页。试卷主要包含了人工智能领域让贝叶斯公式，已知，，，则，已知，下列判断正确的是等内容，欢迎下载使用。

命题人：陈正 审题人：薛祖山､陈朝阳
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某中学的高中部共有男生1200人，其中高一年级有男生300人，高二年级有男生400人.现按分层抽样抽出36名男生去参加体能测试，则高三年级被抽到的男生人数为（ ）
A.9 B.12 C.15 D.18
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸
4.已知椭圆和抛物线相交于､两点，直线过抛物线的焦点，且，椭圆的离心率为.则抛物线和椭圆的标准方程分别为（ ）.
A.； B.；
C.； D.；
5.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ）
A. B.1 C. D.
6.人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ）
A. B. C. D.
7.加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）.已知椭圆：，是直线：上一点，过作的两条切线，切点分别为､，连接（是坐标原点），当为直角时，直线的斜率（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设，为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
10.已知，下列判断正确的是（ ）
A.若，且，则
B.时，直线为图象的一条对称轴
C.时，将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.若在上恰有9个零点，则的取值范围为
11.若实数满足，则下列选项正确的是（ ）
A.且 B.的最小值为9
C.的最小值为 D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数，其中为虚数单位，则__________.
13.已知数列满足，则__________.
14.设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
为了了解高中生运动达标情况和性别之间的关系，某调查机构随机调查了100名高中生的情况，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，已知运动达标与运动欠佳的人数比为3∶2，运动达标的女生与男生的人数比为2∶1，运动欠佳的男生有5人.
（1）根据上述数据，完成下面2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生体育运动时间达标与性别因素有关系；
（2）现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2.人进行体能测试，求选中的2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式，.
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求a的取值范围.
17.（本小题满分15分）
如图，已知在正三棱柱中，，且点分别为棱的中点.
（1）过点作三棱柱截面交于点，求线段长度；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
18.（本小题满分17分）
由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆：与椭圆：相似.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为椭圆上异于其左､右顶点，的一点.
①当时，过点分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于，两点，求的值.
19.（本小题满分17分）
设n次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由可得切比雪夫多项式，由可得切比雪夫多项式.
（1）若切比雪夫多项式，求实数a，b，c，d的值；
（2）对于正整数时，是否有成立？
（3）已知函数在区间上有3个不同的零点，分别记为，证明：.
雅礼中学2024届模拟试卷（一）
数学参考答案
一､二､选择题
1.C 【解析】高三年级被抽到的男生人数为.故选：C.
2.B 【解析】因为，，所以.故选：B
3.C 【解析】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
则盆中水的体积为立方寸，
所以平地降雨量等于寸.
故选：C.
4.B 【解析】由椭圆与抛物线的对称性知，轴，且，故
根据抛物线的定义可知，所以抛物线的标准方程为.
所以椭圆过点，又因为椭圆离心率为，
因此，解得，
则椭圆的标准方程为.
故选：B.
5.D 【解析】在正八边形中，连接，则，
而，即，于是，
在等腰梯形中，，
所以.
故选：D
6.C 【解析】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，
则，
由贝叶斯公式得：，
故选：C.
7.D 【解析】由椭圆：可知：，
当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和，
其对角线长为，因此蒙日圆半径为4，圆方程为，
当为直角时，可知点当在圆，
因为到直线的距离为，
所以直线：为圆的切线，
因为直线，，所以.
故选：D.
8.A 【解析】由，得到，又，所以，
所以，，又，
所以，又，得到，
令，则，所以，
得到，
令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，当时，，
得到在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又，所以，得到，
故选：A.
9.BD 【解析】对于A，直线可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误.
对于B，设直线为平面内的任意一条直线，因为，，所以，
又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确.
对于C，若，，则直线与直线可能平行，也可能异面，故C错误.
对于D，过直线作平面，使得平面与平面相交，设，
因为，，，所以，
又，，所以，则，故D正确.
故选：BD
10.BD 【解析】，
对于，根据条件，可得，故A错误；
对于，当时，，
所以直线为的一条对称轴，故B正确；
对于，当时，，将向左平移个单位长度后可得，为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，由题意，则，因为在上恰有9个零，
所以，解得，故D正确.故选：BD.
11.ABD 【解析】对于A，由，可得，
所以且，即，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，故B正确；
对于C，因为，可得，即，
所以，当且仅当，即，即时，等号成立，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，因为，则，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 【解析】由复数，可得，则，所以.
13. 【解析】因为，
当时，，
当时，，所以，所以，
当时，不成立，所以
14. 【解析】根据题意，作图如下：
依题意，为的角平分线，且，
设，由角平分线定理可得：，则；
在中，由余弦定理；
在中，由余弦定理可得，
，
即，解得.
故，，
所以的渐近线方程是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）列联表为
零假设为：性别与锻炼情况独立，即学生体育运动时间达标与性别因素无关，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即学生体育运动时间达标与性别因素有关系，此推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）因为“运动达标”的男生､女生分别有20人和40人，
按分层随机抽样的方法从中抽取6人，
则男生､女生分别抽到2人和4人，
则选中的2人中恰有一人是女生的概率为.
16.【解析】（1）由于，则切点坐标为，
因为，所以切线斜率为，
故切线方程为，即.
（2）当时，等价于，令，，恒成立，则恒成立，，
当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；
当时，由，得，
时，，函数单调递减，，不符合题意；
当时，，因为，所以，则，
所以函数在上单调递增，，符合题意.
综上所述，.
17.【解析】（1）由正三棱柱中，，
又因为点分别为棱的中点，可得，
如图所示，延长交的延长线于点，连接交于点，过点作的平行线交于，
则四边形为所求截面，又由，所以.
（2）以点为原点，以所在的直线分别为轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，可得，
则，
设平面的法向量为，则
取，则，所以，
取的中点，连接.因为为等边三角形，可得，
又因为平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
又由，可得，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18.【解析】（1）对于椭圆：，则长轴长为，短轴长为，焦距为，
椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，
依题意可得，所以，
则椭圆的离心率.
（2）①由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
设，则直线的方程为，即，
记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以为关于的方程的两根，
所以.
又点在椭圆上，
所以，
所以，为定值.
②由相似比可知，，解得，所以椭圆：，
其左､右顶点分别为，，恰好为椭圆的左､右焦点，
设，易知直线､的斜率均存在且不为，所以，
因为在椭圆上，所以，即，所以.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为.
由，得，
设，，则，，
所以
，
同理可得，
所以.
19.【解析】（1）依题意，
，
因此，即，则，
（2）成立.
这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式.
首先有如下两个式子：
，
，
两式相加得，，
将替换为，所以.
所以对于正整数时，有成立.
（3）函数在区间上有3个不同的零点，
即方程在区间上有3个不同的实根，
令，由知，而，则或或，
于是，
则，
而，
所以.性别
运动达标情况
合计
运动达标
运动欠佳
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
B
D
C
D
A
BD
BD
ABD
性别
运动达标情况
合计
运动达标
运动欠佳
男生
20
5
25
女生
40
35
75
合计
60
40
100