福建省莆田第二中学、仙游第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份福建省莆田第二中学、仙游第一中学2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题（含答案），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.9，则P（0＜ξ＜2）＝（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
2．（5分）一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B，再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可以爬行的不同最短路径条数有（ ）
A．40B．60C．80D．120
3．（5分）若，则a0+a2+a4＝（ ）
A．﹣40B．40C．41D．82
4．（5分）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．E（X）＝1D．
5．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣﹣alnx（a∈R）在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．a＜12B．a⩽12C．aD．
6．（5分）在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足＝x+y+（1﹣x﹣y），点N满足＝﹣（λ﹣1），当AM、DN最短时，•＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
7．（5分）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事件Ak表示“第k次取出的球是黑球”，k＝1，2，…，5，则下面不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）已知，，，则（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）已知变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.4x+7.6，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m的值等于5
C．变量x，y之间的相关系数r＝﹣0.4
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
（多选）10．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，N是棱DD1上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥A1﹣AMN的体积为定值
B．若N是棱DD1的中点，则过A，M，N的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形的周长为
C．若N是棱DD1的中点，则四面体D1﹣AMN的外接球的表面积为7π
D．若CN与平面AB1C所成的角为θ，则
（多选）11．（6分）如图，一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为pn，qn（n∈N+）．下列说法正确的有（ ）
A．p3＝
B．p2n+q2n＝1
C．p2n﹣1＝
D．pk＞505
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在的展开式中，x3的系数为 ．
13．（5分）已知空间三点A（1，﹣1，﹣1），B（﹣1，﹣2，2），C（2，1，1），则在上的投影向量的坐标是 ．
14．（5分）已知函数函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则实数t的取值范围是 ；的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）9月22日秋分，在第三个“中国农民丰收节”到来之际，全国处处五谷丰登、瓜果飘香，广大农民共庆丰年、分享喜悦四川某地也是“小小花椒树种出致富路”!但花椒树一般需要3年长成，为更好提高花椒等级，该地某村组织了一次关于花椒田间种植技术学习时长的调查，随机收集了该村150户种植户的统计数据，以此研究种植户参与田间种值技术学习的时长和花椒等级的关系．
（Ⅰ）根据以上数据，是否有99.9%的把握认为种植户参与田间种植技术学习时长和花椒等级具有相关性？
（Ⅱ）若以该村种植户参与田间种植技术学习的时长和花椒等级的情况估计全县的情况，则从该县中任取3户花椒种植户，记取到参与田间种植技术学习时长不足三年且种植花椒等级为“一等”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：
16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1和ABB1A1均为正方形，AA1＝2AB1，交A1B于点O，D为A1C1中点，AB⊥AD．
（1）证明：AB⊥AC；
（2）设，当λ为何值时，平面ODE与平面A1ACC1夹角的余弦值等于
17．（15分）袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球，当袋中的红球全部取出时停止取球．甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停止取球时袋中剩余1个白球”．
（1）求甲发生的概率；
（2）证明：甲与乙相互独立．
18．（17分）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
19．（17分）已知函数．
（1）证明：函数f（x）在定义域内存在唯一零点；
（2）设0＜a＜b，试比较与的大小，并说明理由：
（3）若数列{an}的通项，求证ln（2n+1）＞an．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.9，则P（0＜ξ＜2）＝（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.6
【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，2），
∴正态曲线的对称轴是x＝2，
∵P（ξ＜4）＝0.9，
∴P（ξ≥4）＝0.1
∴P（0＜ξ＜2）＝0.5﹣0.1＝0.4．
故选：C．
2．（5分）一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的网格线爬行到点B，再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点C处，则它可以爬行的不同最短路径条数有（ ）
A．40B．60C．80D．120
【解答】解：由题意，从A到B最短路径有＝10条，
由点B沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点C，最短路径有＝6条，
∴它可以爬行的不同的最短路径有10×6＝60条．
故选：B．
3．（5分）若，则a0+a2+a4＝（ ）
A．﹣40B．40C．41D．82
【解答】解：根据，
令x＝1，故（2﹣1）4＝1＝a4+a3+a2+a1+a0，
令x＝﹣1，故34＝1＝a4﹣a3+a2﹣a1+a0，
所以a0+a2+a4＝．
故选：C．
4．（5分）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．E（X）＝1D．
【解答】解：根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故，，
∴，
，
E（2X﹣1）＝2E（X）﹣1＝2×2﹣1＝3，
．
故选：D．
5．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣﹣alnx（a∈R）在（2，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．a＜12B．a⩽12C．aD．
【解答】解：因为函数f（x）＝x3﹣﹣alnx（a∈R）在（2，+∞）上单调递增，
所以f′（x）＝3x2﹣3x﹣≥0在（2，+∞）上恒成立，
所以a≤3x3﹣3x2在（2，+∞）上恒成立，
令g（x）＝3x3﹣3x2，g′（x）＝9x2﹣6x＝3x（3x﹣2），
故x＞2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故g（x）在（2，+∞）的函数值满足：g（x）＞g（2）＝3×23﹣3×22＝12．
故a≤12．
故选：B．
6．（5分）在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足＝x+y+（1﹣x﹣y），点N满足＝﹣（λ﹣1），当AM、DN最短时，•＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【解答】解：∵＝x+y+（1﹣x﹣y），＝﹣（λ﹣1），
∴M∈平面BCD，N∈直线AB，
当AM、DN最短时，
AM⊥平面BCD，DN⊥AB，
∴M为△BCD的中心，N为线段AB的中点，
如图：
又正四面体的棱长为1，
∴AM＝，
∵AM⊥平面BCD，
∴•＝||•||＝||，
∴•
＝•（﹣）
＝•（﹣）
＝•﹣
＝﹣||2
＝﹣×＝﹣．
故选：A．
7．（5分）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事件Ak表示“第k次取出的球是黑球”，k＝1，2，…，5，则下面不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是，它们等可能，
对于A，A3表示第3次取出黑球，，A正确；
对于B，A1A2表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正确；
对于C，，，
所以，C正确；
对于D，，所以，D错误．
故选：D．
8．（5分）已知，，，则（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【解答】解：设函数f（x）＝（x＞e），
则f′（x）＝＜0，
所以f（x）在（e，+∞）上单调递减，
因为e＜3＜＜e3，
又a＝f（）＝，f（e3）＝＝＞，c＝f（3）＝，
所以f（3）＞f（）＞f（e3）＞b，
所以b＜a＜c，
故选：C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）已知变量x，y之间的线性回归方程为＝﹣0.4x+7.6，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
A．变量x，y之间呈现负相关关系
B．m的值等于5
C．变量x，y之间的相关系数r＝﹣0.4
D．由表格数据知，该回归直线必过点（9，4）
【解答】解：对于A：根据回归系数＝﹣0.4＜0，
判断量x，y之间呈现负相关关系，A正确；
对于B，根据表中数据，计算＝×（6+8+10+12）＝9，
＝×（6+m+3+2）＝，
代入回归方程得＝﹣0.4×9+7.6，
解得m＝5，B正确；
对于C：变量x，y之间的相关系数r≠﹣0.4，C错误；
对于D：由线性回归方程一定过（，），且＝9，
∴线性回归方程过点（9，4），D正确；
故选：C．
（多选）10．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，N是棱DD1上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三棱锥A1﹣AMN的体积为定值
B．若N是棱DD1的中点，则过A，M，N的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形的周长为
C．若N是棱DD1的中点，则四面体D1﹣AMN的外接球的表面积为7π
D．若CN与平面AB1C所成的角为θ，则
【解答】解：对A选项，∵，
又△ANA1的面积为定值，且M到平面ANA1的距离也为定值，
∴三棱锥A1﹣AMN的体积为定，∴A选项正确；
对B选项，若N是棱DD1的中点，
如图取CC1的中点P，再取PC的中点Q，
则易证AN∥BP∥MQ，
∴则过A，M，N的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形为梯形AMQN，
又易知AM＝AN＝，MQ＝，NQ＝＝，
∴梯形AMQN的周长为＝，∴B选项错误；
对C选项，如图，若N是棱DD1的中点，
在后侧面内作D1N的垂直平分线EI，且EI与AD1的垂直平分线A1D交于点E，
则易知E为A1D上靠近A1的四等分点，在B1C上取靠近B1的四等分点F，
则EF垂直前后侧面，
∴EF上的点到A，N，D1的距离相等，且EF⊥AE，EF⊥FM，
过F作FG⊥BC于点G，设后侧面中心为H，
则易知FM＝＝，AE＝＝，
设四面体D1﹣AMN的外接球的半径为R，
∴当四面体D1﹣AMN的外接球的球心O为EF的中点时，
可得R＝OM＝OA＝＝，
∴四面体D1﹣AMN的外接球的表面积为4πR2＝14π，∴C选项错误；
对D选项，建系如图：
则C（2，0，0），A（0，2，0），B1（0，0，2），设N为（2，2，t），t∈[0，2]，
∴，，，
设平面AB1C的法向量为，
则，取，
∴CN与平面AB1C所成的角θ的正弦值为：
sinθ＝|cs＜，＞|＝＝
＝＝，
当t＝0时，sinθ＝，
当t∈[0，2]时，sinθ＝，
又对勾函数y＝在t∈（0，2]上单调递减，且y＝＞0，
∴y＝在t∈（0，2]上单调递增，
∴sinθ＝y＝在[0，2]上单调递增，
∴sinθ∈[，]，∴D选项正确．
故选：AD．
（多选）11．（6分）如图，一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为pn，qn（n∈N+）．下列说法正确的有（ ）
A．p3＝
B．p2n+q2n＝1
C．p2n﹣1＝
D．pk＞505
【解答】解：一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，
设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为pn，qn（n∈N+），
对于A，有四种情形：A→B→C→B，A→D→A→B，A→B→A→B，A→D→C→B，
∴p3＝+++＝，故A正确；
对于B，当n为偶数时，从顶点A出发，只能到达A点或C点，此时pn+qn＝0，pn＝qn＝0，
当n为奇数时，从顶点A出发，只能到达B点或D点，此时pn+qn＝1，
即从顶点A出发经过2n步到达B，D两点为不可能事件，∴p2n＝q2n＝0，故B错误；
对于C，当n为偶数时，pn＝0，当n为奇数时，先计算从B点或D点出发经过丙步到达B点的概率，
分别为pB→B＝＝，pD→B＝＝，
∴现讨论从顶点A出发经过n步到达B点的两种情形：
①从顶点A出发经过n﹣2步到达B点，再经过两点到达B点的概率为；
②从顶点A出发经过n﹣2步到达D点，再经过两步到达B点的概率为，
可得，
又＝＝，∴pn＝×+，故C正确；
对于D，＝[（﹣）0+（﹣）1+…+（﹣）n﹣1]+
＝+＝，
∴＞，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在的展开式中，x3的系数为 224 ．
【解答】解：根据二项式的展开式（r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8），
当r＝6时，x3的系数为．
故答案为：224．
13．（5分）已知空间三点A（1，﹣1，﹣1），B（﹣1，﹣2，2），C（2，1，1），则在上的投影向量的坐标是 （，，） ．
【解答】解：∵A（1，﹣1，﹣1），B（﹣1，﹣2，2），C（2，1，1），
∴，＝（1，2，2），
∴＝﹣2﹣2+6＝2，，
∴在上的投影向量的坐标是＝＝（，，）．
故答案为：（，，）．
14．（5分）已知函数函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则实数t的取值范围是 （0，2） ；的取值范围是 （4，+∞） ．
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝＝，
由对勾函数的性质可知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x＝1时，f（x）max＝2，
作出f（x）的图象，如图所示：
若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，则函数y＝f（x）的图象与直线y＝t有3个交点，
由图可知，实数t的取值范围为（0，2），
当y＝2时，x1＝﹣，x2＝x3＝1，
此时＝4，
因为（0＜t＜2），所以，
所以x2+x3＝，x2x3＝1，
所以＝＝，
又因为﹣＝t，
所以＝t，
由对勾函数的性质可知，y＝t在（0，2）上单调递减，
所以＞4，
即的取值范围为（4，+∞）．
故答案为：（0，2）；（4，+∞）．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）9月22日秋分，在第三个“中国农民丰收节”到来之际，全国处处五谷丰登、瓜果飘香，广大农民共庆丰年、分享喜悦四川某地也是“小小花椒树种出致富路”!但花椒树一般需要3年长成，为更好提高花椒等级，该地某村组织了一次关于花椒田间种植技术学习时长的调查，随机收集了该村150户种植户的统计数据，以此研究种植户参与田间种值技术学习的时长和花椒等级的关系．
（Ⅰ）根据以上数据，是否有99.9%的把握认为种植户参与田间种植技术学习时长和花椒等级具有相关性？
（Ⅱ）若以该村种植户参与田间种植技术学习的时长和花椒等级的情况估计全县的情况，则从该县中任取3户花椒种植户，记取到参与田间种植技术学习时长不足三年且种植花椒等级为“一等”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．临界值表：
【解答】解：（Ⅰ）依题意，补全2×2列联表如下：
则，
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性；
（Ⅱ）由题知，取到参与田间种植技术学习时长不足三年且种植花椒等级为“一等”的人的概率为，
所以ξ～B（3，），ξ的所有可能取值0，1，2，3，
则，，，，
故ξ的分布列为：
所以ξ的数学期望为．
16．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面A1ACC1和ABB1A1均为正方形，AA1＝2AB1，交A1B于点O，D为A1C1中点，AB⊥AD．
（1）证明：AB⊥AC；
（2）设，当λ为何值时，平面ODE与平面A1ACC1夹角的余弦值等于
【解答】解：（1）证明：因为平面ABB1A1为正方形，
所以AB⊥AA1，
又因为AB⊥AD，AA1∩AD＝A，AA1⊂平面A1ACC1，AD⊂平面A1ACC1，
所以AB⊥平面A1ACC1，
因为AC⊂平面A1ACC1，所以AB⊥AC；
（2）由（1）知，AB⊥AC，AB⊥AA1，
因为平面A1ACC1为正方形，所以AC⊥AA1，
所以AA1，AB，AC两两互相垂直，
以A为坐标原点，AA1，AB，AC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，0，2），O（1，1，0），
因为D为A1C1中点，所以D（2，0，1），，
因为＝（0，2λ，﹣2λ），所以E（0，2λ，2﹣2λ），
因为，
设平面ODE的法向量为，
则，
令x＝1，则y＝3﹣2λ，z＝2﹣2λ，所以，
由题可知，平面A1ACC1的一个法向量为，
则 ，
即 ，
整理得：4λ2﹣4λ+1＝0，即（2λ﹣1）2＝0，所以，
所以当λ＝时，平面ODE与平面A1ACC1夹角的余弦值为．
17．（15分）袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球，当袋中的红球全部取出时停止取球．甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停止取球时袋中剩余1个白球”．
（1）求甲发生的概率；
（2）证明：甲与乙相互独立．
【解答】解（1）记事件丙为“第一次取出的球是红球”，
则，，
，，
所以，
则；
（2）证明：由题意知，乙等价于“停止取球时共取出了1个白球和2个红球”，且第三次取出的球一定为红球，
∴此时取出顺序只有“红、白、红”与“白、红、红”两种可能，
则，
其中，甲乙同时发生等价于“白、红、红”的情况，
∴，
∴P（甲乙）＝P（甲）P（乙），
∴甲与乙相互独立．
18．（17分）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛．已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；
（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；
（3）某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：
方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；
方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
【解答】解：（1）3人全通过初赛的概率为，
所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；
（2）甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，
丙参加市知识竞赛的概率为，
所以这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为；
（3）方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则Y＝600X，且，
所以元，
方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为600、900、1200、1500，
则，，，，
所以．
所以E（Y）＜E（Z），
所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．
19．（17分）已知函数．
（1）证明：函数f（x）在定义域内存在唯一零点；
（2）设0＜a＜b，试比较与的大小，并说明理由：
（3）若数列{an}的通项，求证ln（2n+1）＞an．
【解答】解：（1）证明：已知，函数定义域为（0，+∞），
可得，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）＝0，
所以函数在定义域内存在唯一零点；
（2），理由如下：
要证，
需证，
要证，
即证，
令，t＞1，
此时要证，
不妨设，
易知函数h（t）在区间（1，+∞）上单调递增，
所以h（t）＞h（1）＝0，
此时成立，
故有；
（3）证明：由（2）知，若b＞a＞0，总有成立，
不妨令b＝2n+1，a＝2n﹣1，
此时，
因为n∈N*，
所以，
易得，
所以，
故ln（2n+1）＞an成立．
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
花椒等级
学习时长
一等
非一等
三年
90
10
不足三年
30
20
P（K2＞k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
花椒等级
学习时长
一等
非一等
三年
90
10
不足三年
30
20
P（K2＞k0）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
花椒等级
学习时长
一等
非一等
合计
三年
90
10
100
不足三年
30
20
50
合计
120
30
150
5
0
1
2
3
P