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江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题（原卷及解析版）
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这是一份江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2024届高三三模数学试题（原卷及解析版），文件包含江苏省金陵中学海安中学南京外国语学校2024届高三三模数学试题原卷版docx、江苏省金陵中学海安中学南京外国语学校2024届高三三模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数不等式可得，再由集合交集的定义即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了指数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数除法求出z，即可判断.
【详解】因为，
所以点位于第四象限.
故选：D.
3. 下列结论中正确是（ ）
A. 若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个
B. 若平面α平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与m平行
C. 若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行
D. 若直线l平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个
【答案】B
【解析】
【分析】A.由异面直线的定义判断；B.由面面平行的性质定理判断；C. 由直线与平面的位置关系判断；D.由面面垂直的判定定理判断.
【详解】A.若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面只有一个，故错误；
B. 因为平面α平面β，直线m⊂α，点M∈β，所以由平面的基本性质得，点M与直线m确定一个平面，且，由面面平行的性质定理得，，所以过点M有且只有一条直线与m平行，故正确；
C. 若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行或在平面α内，故错误；
D.若直线l平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有无数个，故错误；
故选：B
4. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义求出点的坐标，最后利用两点间距离公式即可求解.
【详解】设点.
由抛物线可得：焦点坐标为，准线方程为.
因为抛物线上一点到其焦点的距离为，
所以根据抛物线的定义可得：，解得：，则.
所以点到坐标原点的距离为.
故选：C.
5. 对于函数，部分与的对应关系如下表：
数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（ ）
A. 9400B. 9408C. 9410D. 9414
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，
∴，则，∴数列是周期数列，且周期为，一个周期内的和为，∴，故选B.
考点：1、函数的表示方法；2、数列的性质；3、数列求和.
【易错点睛】本题主要考查函数的表示方法、数列的性质、数列求和，属难题.本题先根据函数，部分与的对应关系表求得，从而得出数列为周期数列，且周期为，一个周期内的和为，所求数列的和为个周期的和，从而求得数列的和.做题时注意①根据函数求得对应的的值；②根据数据观察出数列为周期数列；③将除以是否有余数，否则容易出错.
6. 定义：一对轧辊的减薄率.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为，若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】据题意，第对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到，由次求出，进而求出.
【详解】设轧辊的半径为，
由轧辊的横截面积可得：，
解得：，所以轧辊的周长为，
由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，
在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，
因宽度不变，有，
所以，
所以
故选：D.
7. 已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象的对称性排除C D；根据函数的最值排除B，从而可得答案.
【详解】由图象关于轴对称可知，函数为偶函数，
因为与为奇函数，所以排除C D；
因为，当且仅当时，等号成立，
所以在时取得最小值，由图可知在时取得最大值，故排除B.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键.
8. 已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线方程为，直线方程为，且设，将直线分别与双曲线联立，求出，再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题意设直线方程为，直线方程为，
设
则，
同理，
所以，，
即.
故选：D
【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A.
B.
C. 与为相交直线或异面直线
D. 在向量上的投影向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.
【详解】因为平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则，即，则或，故A不正确；
又平面的一个法向量为，所以，即
，所以，故B正确；
由直线的方向向量为，所以不存在实数使得，故与为相交直线或异面直线，故C正确；
在向量上的投影向量为，故D不正确.
故选：BC.
10. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由三角恒等变换得，作出函数的图象，在一个周期内考虑，可得或，即可得解.
【详解】由题意
作出函数的图象，如图所示，
在一个周期内考虑问题，若要使函数的值域为，
则或，
所以的值可以为区间内的任意实数，
所以A、B可能，C、D不可能.
故选：CD.
【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.
11. 钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（ ）
（台体的体积计算公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）
A. 若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为
B. 若，则该几何体的表面积为
C. 该几何体存在外接球，且外接球的体积为
D. 若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为
【答案】BD
【解析】
【分析】分别取AF，，，CD的中点Q，R，S，T，连接RS，RQ，TS，TQ，得到Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，连接PM，则N在PM上，进而得到为二面角的平面角，进而判定A错误；连接PM，则，结合截面PORST，利用表面积公式可判定B正确；连接PM，设外接球半径为R，连接OA，，OD，，求得外接球的半径，可判定C错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为，，结合，可得，利用，可判定D正确．
【详解】设M，N分别为正六棱台上、下底面中心．
对于选项A，如图1，分别取AF，，，CD的中点Q，R，S，T，
连接RS，RQ，TS，TQ，则，，
可得Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，
连接PM，则N在PM上，得如图2所示的截面PQRST，四边形QRST为等腰梯形，
且为二面角的平面角，即，
过点R作交QT于点L，则，可得，
即，而，
故，解得，故A错误；
对于选项B，如图3为截面，依题意得，，
连接PM，则，又，所以，，
如图4为截面PORST，从而，，故该几何体的表面积，故B正确；
对于选项C，如图5所示的截面，
连接PM，依题意可知，，，
若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM上，
设外接球半径为R，连接OA，，OD，，得，，解得，又，矛盾，
故该几何体不存在外接球，C错误；
对于选项D，设该几何体上、下两部分的体积分别为，，，，
则，，由，可得，
结合，可知，，
因此该几何体的体积，故D正确．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则的值为______________．
【答案】78
【解析】
【分析】令求，分别令，代入已知关系式，然后两式相加即可求解．
【详解】令，可得，
令，可得 ①
令，则②
所以②①可得：，
所以，即
故答案为：
13. 已知，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】由条件两边平方结合平方关系可求，再由平方关系可求，由此可求.
【详解】将两边平方，得，即，因为，所以，所以，故．
故答案为：.
14. 已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，，若，则_____________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得的值，由此求得的值.
【详解】在中，令，得.
又，故.
而.
所以.
综上所述，即，
所以
故答案为：10
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记是等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）由（1）求得，再利用累乘法求得，从而利用及与的关系式的性质即可得证.
【小问1详解】
因为是等差数列，设其公差为，
则由，得，解得，
所以数列通项公式为.
【小问2详解】
数列的前项和，
则，
所以
，
因为，所以，则；
因为，
当增大，则减少，所以时，取得最大值为，
所以最大为；
综上，.
16. 佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；
（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数，利用二项分布的概率概率公式求即可；
（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.
【小问1详解】
由题设，能卖出3件水牛奶的概率为，3件以下的概率为，
所以三天中卖出3件水牛奶的天数，
则.
【小问2详解】
由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货情况为A={销售0件}或B={销售1件}，
所以，，
令C={第二天货架上有1件存货}，则，，
所以.
第一天营业结束后补货的情况为D={销售3件}或E={销售2件}，
所以，，
令F={第二天货架上有1件存货}，则，，
所以.
综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，M为线段的中点，，N为线段上的动点．
（1）证明：；
（2）当N为线段的中点时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）通过证明平面，可证；
（2）根据，利用棱锥的体积公式可求出结果.
【详解】（1）证明：平面，平面，∴，
又，、平面，
∴平面，又平面，∴，
在中，，M为的中点，∴，
∵，、平面，
∴平面，
∵平面，∴．
（2）．
【点睛】关键点点睛：（1）中，通过证明平面得到是解题关键；（2）中，转化为求是解题关键.
18. 若函数，当时函数有极值.
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
分析】（1）根据极值点和极值列出方程组，求出，得到解析式；
（2）在第一问的基础上，设出切点，结合导数的几何意义求出切线方程.
【小问1详解】
，由题意得：
，解得：，
所以，
经验证：是函数的极小值点，所以满足要求；
小问2详解】
由（1）知：，
设切点方程为，，
所以切线方程为，
代入点可得，即，
解得或，
所以切线方程为或，
即或.
19. 某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心距离地面高度为，半径为，装置上有一小球（视为质点），的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球按逆时针匀速旋转，转一周需要．小球距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系满足．
（1）写出关于的函数解析式，并求装置启动后小球距离地面的高度；
（2）如图2，小球（视为质点）在半径为的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球以角速度为顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求两球高度差的最大值．
【答案】（1）m
（2）2m
【解析】
【分析】（1）根据题意，代入相关数据得到，从而得解；
（2）同理得到小球的高度关于的解析式，再利用三角恒等变换即可得解.
【小问1详解】
由题意，半径为m，，
根据小球转一周需要需要6，可知小球转动的角速度，
所以关于的函数解析式为，，
当时，，
所以圆形轨道装置启动1min后小球距离地面的高度为m．
【小问2详解】
根据题意，小球的高度关于的函数解析式为
，，
则，两点高度差为，，
当，即时，的最大值为2，
所以,两球高度差的最大值为2m．1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
4
5
8
1
3
5
2
6
日销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数不等式可得，再由集合交集的定义即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了指数不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
2. 已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数除法求出z，即可判断.
【详解】因为，
所以点位于第四象限.
故选：D.
3. 下列结论中正确是（ ）
A. 若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面有无数多个
B. 若平面α平面β，直线m⊂α，点M∈β，则过点M有且只有一条直线与m平行
C. 若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行
D. 若直线l平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有且只有一个
【答案】B
【解析】
【分析】A.由异面直线的定义判断；B.由面面平行的性质定理判断；C. 由直线与平面的位置关系判断；D.由面面垂直的判定定理判断.
【详解】A.若直线a，b为异面直线，则过直线a与直线b平行的平面只有一个，故错误；
B. 因为平面α平面β，直线m⊂α，点M∈β，所以由平面的基本性质得，点M与直线m确定一个平面，且，由面面平行的性质定理得，，所以过点M有且只有一条直线与m平行，故正确；
C. 若直线m与平面α内无数条直线平行，则直线m与平面α平行或在平面α内，故错误；
D.若直线l平面α，则过直线l与平面α垂直的平面有无数个，故错误；
故选：B
4. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程，再根据抛物线的定义求出点的坐标，最后利用两点间距离公式即可求解.
【详解】设点.
由抛物线可得：焦点坐标为，准线方程为.
因为抛物线上一点到其焦点的距离为，
所以根据抛物线的定义可得：，解得：，则.
所以点到坐标原点的距离为.
故选：C.
5. 对于函数，部分与的对应关系如下表：
数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（ ）
A. 9400B. 9408C. 9410D. 9414
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，
∴，则，∴数列是周期数列，且周期为，一个周期内的和为，∴，故选B.
考点：1、函数的表示方法；2、数列的性质；3、数列求和.
【易错点睛】本题主要考查函数的表示方法、数列的性质、数列求和，属难题.本题先根据函数，部分与的对应关系表求得，从而得出数列为周期数列，且周期为，一个周期内的和为，所求数列的和为个周期的和，从而求得数列的和.做题时注意①根据函数求得对应的的值；②根据数据观察出数列为周期数列；③将除以是否有余数，否则容易出错.
6. 定义：一对轧辊的减薄率.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为，若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】据题意，第对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间钢带体积与冷轧机出口处两疵点间钢带体积相等，因宽度不变，可得到，由次求出，进而求出.
【详解】设轧辊的半径为，
由轧辊的横截面积可得：，
解得：，所以轧辊的周长为，
由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，
在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，
因宽度不变，有，
所以，
所以
故选：D.
7. 已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图象的对称性排除C D；根据函数的最值排除B，从而可得答案.
【详解】由图象关于轴对称可知，函数为偶函数，
因为与为奇函数，所以排除C D；
因为，当且仅当时，等号成立，
所以在时取得最小值，由图可知在时取得最大值，故排除B.
故选：A
【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键.
8. 已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设直线方程为，直线方程为，且设，将直线分别与双曲线联立，求出，再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】由题意设直线方程为，直线方程为，
设
则，
同理，
所以，，
即.
故选：D
【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系中的定值问题，考查了学生的计算能力，属于基础题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ）
A.
B.
C. 与为相交直线或异面直线
D. 在向量上的投影向量为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可.
【详解】因为平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则，即，则或，故A不正确；
又平面的一个法向量为，所以，即
，所以，故B正确；
由直线的方向向量为，所以不存在实数使得，故与为相交直线或异面直线，故C正确；
在向量上的投影向量为，故D不正确.
故选：BC.
10. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】由三角恒等变换得，作出函数的图象，在一个周期内考虑，可得或，即可得解.
【详解】由题意
作出函数的图象，如图所示，
在一个周期内考虑问题，若要使函数的值域为，
则或，
所以的值可以为区间内的任意实数，
所以A、B可能，C、D不可能.
故选：CD.
【点睛】本题考查了三角恒等变换及三角函数图象与性质的综合应用，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.
11. 钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面的距离为3a，则下列说法正确的是（ ）
（台体的体积计算公式：，其中，分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）
A. 若平面平面，则正六棱锥P-ABCDEF的高为
B. 若，则该几何体的表面积为
C. 该几何体存在外接球，且外接球的体积为
D. 若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为
【答案】BD
【解析】
【分析】分别取AF，，，CD的中点Q，R，S，T，连接RS，RQ，TS，TQ，得到Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，连接PM，则N在PM上，进而得到为二面角的平面角，进而判定A错误；连接PM，则，结合截面PORST，利用表面积公式可判定B正确；连接PM，设外接球半径为R，连接OA，，OD，，求得外接球的半径，可判定C错误；设该几何体上、下两部分的体积分别为，，结合，可得，利用，可判定D正确．
【详解】设M，N分别为正六棱台上、下底面中心．
对于选项A，如图1，分别取AF，，，CD的中点Q，R，S，T，
连接RS，RQ，TS，TQ，则，，
可得Q，R，S，T四点共面，且点P，M，N均在该平面上，
连接PM，则N在PM上，得如图2所示的截面PQRST，四边形QRST为等腰梯形，
且为二面角的平面角，即，
过点R作交QT于点L，则，可得，
即，而，
故，解得，故A错误；
对于选项B，如图3为截面，依题意得，，
连接PM，则，又，所以，，
如图4为截面PORST，从而，，故该几何体的表面积，故B正确；
对于选项C，如图5所示的截面，
连接PM，依题意可知，，，
若该几何体存在外接球，则外接球球心．在PM上，
设外接球半径为R，连接OA，，OD，，得，，解得，又，矛盾，
故该几何体不存在外接球，C错误；
对于选项D，设该几何体上、下两部分的体积分别为，，，，
则，，由，可得，
结合，可知，，
因此该几何体的体积，故D正确．
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则的值为______________．
【答案】78
【解析】
【分析】令求，分别令，代入已知关系式，然后两式相加即可求解．
【详解】令，可得，
令，可得 ①
令，则②
所以②①可得：，
所以，即
故答案为：
13. 已知，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】由条件两边平方结合平方关系可求，再由平方关系可求，由此可求.
【详解】将两边平方，得，即，因为，所以，所以，故．
故答案为：.
14. 已知是定义在R上的函数，，且对于任意都有，，若，则_____________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得的值，由此求得的值.
【详解】在中，令，得.
又，故.
而.
所以.
综上所述，即，
所以
故答案为：10
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 记是等差数列的前项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式得到关于的方程组，解之即可得解；
（2）由（1）求得，再利用累乘法求得，从而利用及与的关系式的性质即可得证.
【小问1详解】
因为是等差数列，设其公差为，
则由，得，解得，
所以数列通项公式为.
【小问2详解】
数列的前项和，
则，
所以
，
因为，所以，则；
因为，
当增大，则减少，所以时，取得最大值为，
所以最大为；
综上，.
16. 佛山顺德双皮奶是一种粤式甜品，上层奶皮甘香，下层奶皮香滑润口，吃起来，香气浓郁，入口嫩滑，让人唇齿留香．双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
（1）求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；
（2）已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设三天中卖出3件水牛奶的天数，利用二项分布的概率概率公式求即可；
（2）讨论第一天营业结束是否需要补货，利用全概率公式分别求出不需补货、需要补货情况下在第二天营业结束货架上有1件存货的概率，即可得结果.
【小问1详解】
由题设，能卖出3件水牛奶的概率为，3件以下的概率为，
所以三天中卖出3件水牛奶的天数，
则.
【小问2详解】
由（1）及题意知：第一天营业结束后不补货情况为A={销售0件}或B={销售1件}，
所以，，
令C={第二天货架上有1件存货}，则，，
所以.
第一天营业结束后补货的情况为D={销售3件}或E={销售2件}，
所以，，
令F={第二天货架上有1件存货}，则，，
所以.
综上，第二天营业结束后货架上有1件存货的概率.
17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，M为线段的中点，，N为线段上的动点．
（1）证明：；
（2）当N为线段的中点时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）通过证明平面，可证；
（2）根据，利用棱锥的体积公式可求出结果.
【详解】（1）证明：平面，平面，∴，
又，、平面，
∴平面，又平面，∴，
在中，，M为的中点，∴，
∵，、平面，
∴平面，
∵平面，∴．
（2）．
【点睛】关键点点睛：（1）中，通过证明平面得到是解题关键；（2）中，转化为求是解题关键.
18. 若函数，当时函数有极值.
（1）求函数的解析式；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
分析】（1）根据极值点和极值列出方程组，求出，得到解析式；
（2）在第一问的基础上，设出切点，结合导数的几何意义求出切线方程.
【小问1详解】
，由题意得：
，解得：，
所以，
经验证：是函数的极小值点，所以满足要求；
小问2详解】
由（1）知：，
设切点方程为，，
所以切线方程为，
代入点可得，即，
解得或，
所以切线方程为或，
即或.
19. 某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心距离地面高度为，半径为，装置上有一小球（视为质点），的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球按逆时针匀速旋转，转一周需要．小球距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系满足．
（1）写出关于的函数解析式，并求装置启动后小球距离地面的高度；
（2）如图2，小球（视为质点）在半径为的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，的初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球以角速度为顺时针匀速旋转．两装置同时启动，求两球高度差的最大值．
【答案】（1）m
（2）2m
【解析】
【分析】（1）根据题意，代入相关数据得到，从而得解；
（2）同理得到小球的高度关于的解析式，再利用三角恒等变换即可得解.
【小问1详解】
由题意，半径为m，，
根据小球转一周需要需要6，可知小球转动的角速度，
所以关于的函数解析式为，，
当时，，
所以圆形轨道装置启动1min后小球距离地面的高度为m．
【小问2详解】
根据题意，小球的高度关于的函数解析式为
，，
则，两点高度差为，，
当，即时，的最大值为2，
所以,两球高度差的最大值为2m．1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
4
5
8
1
3
5
2
6
日销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10
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