2024届山东省德州市高三三模数学试题+参考答案（Word版）

这是一份2024届山东省德州市高三三模数学试题+参考答案（Word版），共11页。试卷主要包含了设集合，则，已知两个非零向量满足，则，已知等差数列的前项和为，若，则，已知复数，则“”是“”的，双曲线具有光学性质等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1—3页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟.
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.
第I卷选择题（共58分）
一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知两个非零向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.35 B.21 C.14 D.7
4.某学习小组共有9名学生，其中有5名女生，现随机从这9名学生中抽取2名任小组组长，表示“抽到的2名学生都是女生”，表示“抽到的2名学生性别相同”，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知复数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知点为圆上一动点，点满足，记点的轨迹为.直线上有一动点，直线与相切于点，则的最小值为（ ）
A.2 B. C. D.
7.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，分别经过点和，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：
则（ ）
A.运动时长的众数为60 B.运动时长的平均数为60
C.运动时长的分位数为60 D.运动时长的极差为140
10.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，则（ ）
A.当时，点到平面的距离为
B.当时，二面角的余弦值为
C.若四棱锥的各顶点均在同一个球面上，则此球体积的最小值为
D.若四棱锥为正四棱锥且，则该四棱锥内切球的半径为
11.曲线上存在两个不同点，若在这两点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列曲线中存在“自公切线”的为（ ）
A. B.
C. D.
第II卷非选择题（共92分）
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小2，则__________.
13.设被9除所得的余数为，则的展开式中的常数项为__________.
14.数列中，，设是函数且的极值点，则的整数部分为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处切线的方程；
（2）若时，函数存在极值点，且恒成立，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）
如图，在多面体中，平面，且为的中点，连接，点满足.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
如图，四边形中，.
（1）若，求的长度；
（2）若，求面积的取值范围.
18.（本小题满分17分）
某学校为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康的生活和学习，组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动，现将该学校1500名学生一周的体育运动锻炼时间（单位：小时）统计如下表所示，其中每周的锻炼时间在6小时以上（包含6小时）的有975人.
（1）为了了解学生参与活动的情况，从每周锻炼时间在三组内的学生中，采取分层抽样的方法抽取了14人，现从这14人中随机抽取3人，记每周锻炼时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（2）以样本的频率估计概率，从每周锻炼时间在内的学生中随机抽取20人，这20人中每周锻炼时间在内的学生最可能有多少人？
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为，上顶点为，左顶点为，且为坐标原点.
（1）若直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，过点作斜率为的直线，直线与椭圆的另一个交点为，与直线的交点为，过点作直线的垂线，求证：直线恒过定点；
（2）过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点.若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由.
高三数学试题参考答案
一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.D 8.B
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.ACD 10.AC 11.ABD
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 13. 14.
四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.解：（1）当时，，
所以且
所以切线斜率.
所以切线方程为，即
故曲线在点处切线的方程为
（2）
因为函数存在极值点
所以，解得或
当时，，
令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减，
因此在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以恒成立
所以的最小值为
故
16.（1）证明：过作，交于点，过作，交于点，
则，
又，得，
所以是平行四边形，
所以，又平面平面，所以平面.
（2）解：由题意可知，
，
在中，
，即，
以中点为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
，
，
，
设平面的法向量为，则，
不妨取，则，即，
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1）在中，
由余弦定理可得
所以，
所以，
解得或（舍去），
所以；
（2）①
②
②-①可得，
在中，由正弦定理可得，可得，
因为，所以，因为，所以
所以
因为，所以.
18.解：（1）由每周锻炼时间在6小时以上（含6小时）的有975人得：
，
由题中统计表可知，每周锻㑈时间在三组的频率之比为，所以14人中每周锻炼时间在6小时以上（含6小时）在）内的学生人数为，，在内的学生人数为，在内的学生人数为，
则的取值可能为，
所以，
，
所以的分布列为：
所以数学期望.
（或者由题可知，所以）
（2）用样本频率估计概率，该校学生每周锻炼时间在内随机抽取20人，每周锻炼时间在内的概率，
设每周锻炼时间在内的人数为，
，
，
解得，
所以当时，，当时，，所以当时，最大，即这20人中每周锻炼时间在内的学生最可能有7人.
（注：由联立，相应得分）
19.解：（1）由题意可知，
解得.
所以椭圆的方程为.
联立可求得，
设.
设，则
由得.
则，
又，所以
由可得
则
即
所以直线恒过定点.
（2）直线与直线平行.证明如下：
显然直线斜率存在，设直线方程为.
由得.
因为直线与椭圆相切，
，
令解得或.
因为直线与椭圆相切于第三象限内的点，所以舍去.
所以，所以，
所以，
所以，直线斜率为
直线的斜率不存在时，，
所以，不成立.
设直线的方程为，
由，得.
直线交椭圆于两点.
所以或.
所以.
，同理
所以
所以，解得或；
因为或，所以.
所以直线与直线平行.星期
一
二
三
四
五
六
日
时长（分钟）
60
150
30
60
10
90
120
每周锻炼时间（单位：小时）
频率
0.2
0.3
0.1
0
1
2
3