专题11 切线问题（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题11 切线问题
1.椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.
2.双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.
3.抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.
4．设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.
5．设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.
6．设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.
1. 已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是:
2. 已知圆方程为:,
若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为;
3. 已知圆方程为圆:.
(1)过圆上的点的切线方程为.
(2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为.
例1．（2021·河南郑州·统考三模）已知圆过点、、，则圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设圆的一般方程为，将点、、的坐标代入圆的方程，可求得、、的值，可得出圆心的坐标，求出所在直线的斜率，可求得切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程．
【详解】设圆的一般方程为，
由题意可得，解得，
所以，圆的方程为，圆心为，
直线的斜率为，
因此，圆在点处的切线方程为，即.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．
如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任意弦的中垂线上；
③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
例2．（2023·全国·高三专题练习）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案．
【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径，
过点作圆的两条切线，设切点分别为、，
而，则，
则以为圆心，为半径为圆为，即圆，
所以为两圆的公共弦所在的直线，则有，
作差变形可得：；
即直线的方程为.
故选：B.
1．（2022·河北石家庄·一模）与直线垂直，且与圆相切的直线方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
设所求的直线方程为，解方程即得解．
【详解】
解：由题得直线的斜率为，所以所求的直线的斜率为，
设所求的直线方程为.
因为所求直线与圆相切，所以.
所以所求的直线方程为或.
故选：C
2．（2022·江西·模拟预测（理））已知圆O：，直线l：，P为直线l上一动点，过点P作圆O的两条切线PA，PB，A，B为切点，则（ ）
A．点P到圆O上的点的最小距离为B．线段PA长度的最小值为
C．的最小值为3D．存在点P，使得的面积为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件结合圆的性质、圆的切线长定理逐项分析各个选项，计算判断作答．
【详解】
圆O：的圆心，半径，如图，
对于A，点O到直线l的距离，则点P到圆O上的点的最小距离为，A不正确；
对于B，由选项A知，，由切线长定理得，B不正确；
对于C，依题意，，在中，，
则，
由选项B知，，而函数在上单调递增，则当时，，C正确；
对于D，，
，由选项B知，显然对单调递增，
因此，当时，，D不正确．
故选：C
3．（2021·重庆八中模拟预测）已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值．
【详解】
设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以，
所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为，
又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点，
又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为，
所以，所以的最小值为，
故选：A．
【点睛】
方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点．取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点．
1．设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2+yy0b2=1
设 Px0,y0 为椭圆 x2a2+y2b2=1 外一点, 过该点作椭圆的两条切线,切点为 A, B 则弦 AB 的方程为:
xx0a2+yy0b2=1例3．（2023下·天津·模拟）圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】类比得到在点处的切线方程为，代入数据计算得到答案．
【详解】在点处的切线方程为，
类比得到在点处的切线方程为，
故椭圆在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力．
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆在点处的切线方程为 类似地,可以求得椭圆在点(4,2)处的切线方程为
【答案】
【分析】把写成，切线方程写成，根据圆方程与其切线方程的结构形式可以得到椭圆相应的切线方程．
【详解】圆的方程可写成,圆在点处的切线方程为,类似地,因椭圆方程为：，故椭圆在点处的切线方程为即，
故答案为：.
1．（2022·河南焦作·一模（理））已知椭圆的左､右焦点分别为，，M为C上一点，且的内心为，若的面积为4b，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，三角形的面积可求出椭圆的离心率，所求即为离心率的倒数可得解．
【详解】
由题意可得，的内心到轴的距离就是内切圆的半径．
又点在椭圆上，由椭圆的定义，得，，即.
又，所以，
因为，
所以，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
故选：B
2．（2022·河南·一模（理））已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点P，过点P作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件解得a，b，进而可得椭圆的标准方程．不妨设，得，换元，利用函数单调性即可求解．
【详解】
由椭圆：，
其长轴长为4且离心率为，
，，，解得，，
椭圆的标准方程为：．
再设点，则，可得，点，
，
，则
不妨设，
则
，
令，，
则，
由对勾函数的性质可知，在递增，
故，此时，
故的最小值为0，
故选：D．
3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值．
【详解】
因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，
所以，，当且仅当时，等号成立．
故选：A.1、设 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2=1 上的点, 则过该点的切线方程为:xx0a2−yy0b2=1
过 Px0,y0 为双曲线 x2a2−y2b2= 的两支作两条切线, 则切点弦方程为xx0a2−yy0b2=1
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
例6．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程．
【答案】.
【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程．
【详解】由可得，
根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程，
∴曲线在点P处的切线斜率为
∴曲线在点P处的切线方程为
化简得
∴双曲线C在点P处的切线的方程为．1、（2021·山西吕梁·一模（理））过双曲线：的右焦点作圆的一条切线，切点为B，交y轴于D，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，利用三角形的等积法建立方程可化简求出离心率．
【详解】
因为，且切点为B，
所以，
因为，
所以，
故，
因为，
故，
化简可得，
即，
所以，
故选：C
2．（2022·广西广西·模拟预测（理））已知为双曲线的左焦点，若双曲线右支上存在一点，使直线与圆相切，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线与圆相切以及直线与渐近线的斜率的关系列不等式，化简求得离心率的取值范围．
【详解】
依题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
即，
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
两边平方并化简得，
双曲线的一条渐近线为，
由于在双曲线的右支，所以，
即，
，
.
故选：A
1、设 Px0,y0 为抛物 线 y2=2px 上的点, 则过该点的切线方程为yy0=px+x0
设 Px0,y0 为抛物线 y2=2px 开口外一点, 则切点弦的方程为:yy0=px+x0
例7．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线的一条切线方程为，则的准线方程为 ．
【答案】
【分析】由，消去得，由求出，从而求得准线方程．
【详解】由，消去得，
由题意，解得，
则抛物线方程为：，
所以抛物线的准线方程为：，即．
故答案为：．
例8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可．
【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以．
设．由，求导得，
则直线，直线．
由解得所以，
又在直线上，得．
所以
．
故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程．
1、(2014年辽宁卷)已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线为：，设，则切线方程为：，代入点A，得，选D。
秒杀公式：阿基米德三角形：由，选D。
2、（2021·江西·上高二中模拟预测（文））抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则（ ）
A．49B．68C．32D．52
【答案】A
【解析】
【分析】
将P坐标代入双曲线方程求得双曲线的方程，进一步求得抛物线的方程中的参数p,利用导数几何意义求得两切线的方程，利用韦达定理求得两根之和，两根之积，利用抛物线的定义，将A,B到焦点的距离转化为到准线的距离，表示为A,B的纵坐标的关系式，求得|AF||BF|关于A,B纵坐标的表达式．
【详解】
由P在双曲线上，将P点坐标代入双曲线的方程，，
∴双曲线的方程为，双曲线的焦点在y轴上，∴,
∴,双曲线的焦点坐标为,抛物线的焦点坐标为,
∵抛物线与双曲线的焦点重合，∴，∴抛物线的准线为，，
抛物线的方程为,即,
,设,切线PA,PB的斜率分别为,切线方程分别为
将P的坐标及,代入，并整理得,,
可得为方程的两个实数根，由韦达定理得
,
=,
故选:A.
【点睛】
本题考查双曲线与抛物线的方程和性质，考查利用导数研究切线问题，关键是设而不求思想和韦达定理的灵活运用．
例9．（2020·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程．
【答案】(1)
(2)1，
【解析】
【分析】
（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程．
(1)
设，，，
则以A为切点的切线为，整理得：，
同理：以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得：，
恒成立，
由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；
(2)
解：由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题．
例10．（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知圆过点，且与直线相切．
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)过点作直线交轨迹于、两点，点关于轴的对称点为，过点作，垂足为，在平面内是否存在定点，使得为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在定点，使得，点.
【解析】
【分析】
（1）设出点M的坐标，利用给定条件列式化简作答．
（2）设出直线的方程，与轨迹的方程联立，探求出直线所过定点，再推理计算作答．
(1)
设圆心，依题意，，化简整理得：，
所以圆心的轨迹的方程是：.
(2)
依题意，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，，则，，
由抛物线对称性知，点在轨迹C上，直线的斜率为，
直线的方程为：，化简整理得：，
由消去x并整理得：，则有，
直线的方程化为：，因此直线恒过定点，
因于点Q，于是得是直角三角形，且点是斜边的中点，则恒有，
令点为E，从而有，
所以存在定点，使得为定值，点E坐标为.
【点睛】
思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解．
例11．（2022·山西晋中·一模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆：相切，另外，椭圆：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于C，D两点．且．
(1)求圆的方程与椭圆的方程；
(2)经过圆上一点P作椭圆的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆相交于M，N两点（异于点P），求△OAB的面积的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由直线与圆的相切关系及点线距离公式求参数r，即可得圆的方程，根据椭圆离心率、及椭圆参数关系求出a、b、c，即可得椭圆的方程．
（2）设、、，讨论直线PA，PB斜率存在性，则直线PA为、直线PB为，联立椭圆方程并结合所得一元二次方程求、，进而得直线PA为、直线PB为，结合在直线PA，PB上有AB为，联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式，结合三角形面积公式得求面积范围．
(1)
由题设，圆：的圆心为，
因为直线与圆相切，则，
所以圆的方程为，
因为椭圆的离心率为，即，即，
由，则，又，
所以，解得，，
所以椭圆的方程为．
综上，圆为，椭圆为.
(2)
设点，，．
当直线PA，PB斜率存在时，设直线PA，PB的斜率分别为，，则直线PA为，直线PB为．
由，消去y得：．
所以．
令，整理得，则，
所以直线PA为，化简得：，即．
经验证，当直线PA斜率不存在时，直线PA为或也满足．
同理，可得直线PB为．
因为在直线PA，PB上，所以，．
综上，直线AB为．
由，消去y得：．
所以，．
所以．
又O到直线AB的距离．
所以．
令，，则，又，
所以△OAB的面积的取值范围为．
【点睛】
关键点点睛：第二问，设点及直线PA，PB的方程，联立椭圆结合相切关系求参数关系，进而确定PA，PB的方程，由在直线PA，PB上求直线的方程，再联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求三角形面积的范围．
例12．（2021·江西·新余四中模拟预测（理））已知椭圆：的离心率为，且过点
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左半个椭圆上含短轴顶点上一点P作圆C：的两条切线，分别交椭圆于A，B两点，记直线PA，PB的斜率为，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)根据离心率可得，再将点代入椭圆可得，解方程组即可求出，从而可得椭圆的方程；
(2)设，，设过P的切线方程为，根据由直线和圆相切的条件可得，即，由，为方程的两根，利用根与系数关系可得，再根据，即，消去，利用函数法即可求出的取值范围．
【详解】
（1）由题意可得，即，
又，解得，，
所以椭圆的方程为；
（2）设，，则即，
设过P的切线方程为，
圆C：的圆心为，半径为1，
由直线和圆相切的条件可得，
化为，
由，为上面方程的两根，可得
，
令，则，
则在递增，
所以的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的范围问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法:
(1)利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
(2)利用代数方法，即把要求范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法进行求解．