浙江省杭州市2024届高三下学期二模数学试题

这是一份浙江省杭州市2024届高三下学期二模数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 函数的最小正周期是（ ）
A . B . C . D .
2. 设表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A . 若 ， 则 B . 若 ， 则 C . 若 ， 则 D . 若 ， 则
3. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为 ， 则向量与向量的夹角为（ ）
A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°
4. 设甲：“函数在单调递增”，乙：“”，则甲是乙的（ ）
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
5. 设数列满足 ． 设为数列的前项的和，则（ ）
A . 110 B . 120 C . 288 D . 306
6. 将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（ ）
A . 300 B . 240 C . 150 D . 50
7. 设集合 ， 函数（且），则（ ）
A . 为增函数 B . 为减函数 C . 为奇函数 D . 为偶函数
8. 在中，已知 ． 若 ， 则（ ）
A . 无解 B . 1 C . 2 D . 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。(共3题；共18分)
9. 已知关于的方程的两根为和 ， 则（ ）
A . B . C . D .
10. 已知函数对任意实数均满足 ， 则（ ）
A . B . C . D . 函数在区间上不单调
11. 过点的直线与抛物线C：交于两点．抛物线在点处的切线与直线交于点 ， 作交于点 ， 则（ ）
A . 直线与抛物线C有2个公共点 B . 直线恒过定点 C . 点的轨迹方程是 D . 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 写出与圆相切且方向向量为的一条直线的方程．
13. 函数的最大值为．
14. 机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 ， 开口直径为 ． 旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 已知等差数列的前项和为 ， 且 ．
（1） 求数列的通项公式；
（2） 数列满足 ， 令 ， 求证： ．
16. 已知函数 ．
（1） 讨论函数的单调性；
（2） 若函数有两个极值点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．
17. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点， ．
（1） 证明：；
（2） 若多面体的体积为 ， 求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最小值为1．
（1） 求点的坐标．
（2） 过点作直线交椭圆于两点（与不重合），连接 ， 交于点 ．
（ⅰ）证明：点在定直线上；
（ⅱ）是否存在点使得 ， 若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
19. 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为 ， 根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为 ．
（1） 若袋中这两种颜色球的个数之比为 ， 不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为 ， 则 ．
注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）
（ⅰ）完成下表；
（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的 ， 作为的估计值，记为 ， 请写出的值．
（2） 把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．
具体步骤：先对参数构建对数似然函数 ， 再对其关于参数求导，得到似然方程 ， 最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为 ， 其中 ． 求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
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