江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

这是一份江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了已知集合，则，已知集合，则“”是“”的，已知数列对于任意，都有，若，则，已知函数，则的解集为，不等式恒成立，则实数的最大值为，已知等比数列中，满足，则等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟
命题人：高二命题中心 审题人：高二命题中心
第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.已知集合，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知数列对于任意，都有，若，则（ ）
A.2 B. C.4 D.
4.若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
6.已知函数既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7.函数在实数集上连续可导，且在上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.2
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，（若有3个正确选项，选对一个得2分.选对两个得4分，若有2个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分），有错选的得0分.
9.已知等比数列中，满足，则（ ）
A.数列是等比数列
B.数列是递增数列
C.数列是等差数列
D.数列中，仍成等比数列
10.已知函数的导函数是的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.函数在上单调递减
B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极大值
D.函数共有2个极小值点
11.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A.函数在上为减函数
B.是函数的极小值点
C.函数必有2个零点
D.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在等差数列中，，则的前19项和__________.
13.已知函数，若曲线在处的切线方程为，则__________.
14.若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （本题13分）已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值.
16.（本题15分）在数列中，是公差为1的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.
17. （本题15分）已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这.个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，
（1）求的通项公式及
（2）设为数列的前项和，求.
18. （本题17分）已知函数.
（1）若有且仅有一个零点，求的取值范围；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
19. （本题17分）已知函数.
（1）当时，证明：有且仅有一个零点.
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
（3）当时，证明：.
南昌十九中2023-2024学年下学期高二期中考试
数学试卷答案
选择题填空题答案汇总
12.76 13.-2 14.
1.【答案】A
【分析】求出集合，根据集合交集运算可得结果.
【详解】因为，
所以.故选：A.
故选：A.
2.【答案】A
【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，由集合的包含关系，判断条件的充分性和必要性.
【详解】不等式解得，则；
不等式解得，则.
，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3.【答案】C
【分析】根据题意，分别取然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为数列对于任意，都有，
取，则，
取，则，则.
故选：C
4.【详解】由，得.
因为在上不单调，所以在上有极值点.
当时，在上恒成立，
所以在上单调递减，不满足题意；
当时，令，得
所以有，解得.
综上所述，实数的取值范围为.故选：B.
5.【详解】定义域为，故为上偶函数，
当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
整理得，，解得，
故选：D.
6.【详解】由题意得，
既有极大值，也有极小值，
有两个不同的根，
即有两个不同的根，
显然，故有两个不同的根，
令，则与图象有两个交点，
因为在上单调递增，且，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以；而时，时，，
所以，即，即，故选：D.
7.【详解】解：由，可得设，
则，
，即在上单调递减，
，即，
又，即，所以，
由于无法确定的取值情况，故无法判断与的大小关系，
故选：C.
8.【详解】故选：B.
9.【详解】等比数列中，满足，则，有，
由，数列是首项为2公比为4的等比数列，故正确；
而，则数列是递减数列，故B不正确；
又，
故数列是首项为0公差为1的等差数列，故C正确；
数列中，，故D错误.
故选：AC.
10.【详解】解：由导函数图象知当时，所以函数在上为单调递增函数，故A错误；
由导函数图象知时，所以函数在上为单调递减函数，故B正确；
由导函数图象知时时在时不是极值，故C错误，
由导函数图象知时时在时取极小值，
由导函数图象知时时在1时取极小值，故函数有两个极小值点；故D正确.故选：BD.
11.【详解】因为，所以，
因为导函数满足
当时，，则，所以是增函数；
当时，，则，所以是减函数；
故A错误，B正确；
又，则，
当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，可能有1个或2个零点，故C错误；
因为函数在上为增函数，
所以，即，整理得，故D正确；
故选：ABD
12.【详解】设的公差为，则，即.故.故答案为：76.
13.【详解】函数，
若曲线在处的切线方程为，则切点坐标为，切线斜率，则有，解得，
所以.故答案为：-2.
14.【详解】由已知可知关于的方程有三个不等实数根，
即函数的图象与直线有三个公共点，
构造函数，求导，
令，解得
当时，，故在区间上单调递增，
当时，，故在区间和上单调递减，
且，当或时，，
且当时，，当时，，
画出的大致图象如图，要使的图象与直线有三个交点，需，即，即的取值范围是.
故答案为：
15.【详解】（1）的定义域为.
所以，又，
因此，在处的切线方程为：.
化简得
（2），
令，解得或3.
因此，的单调递增区间为；单调递减区间为.
的极大值为，极小值为.
16.【详解】（1）由可知.
由题设条件可知，所以，
当时，，
所以.
当时，满足，故的通项公式为.
（2）由（1）可知，
所以
.
则.
17.解：（1）
（2）易知.
所以，
两式相减得
，
所以.
18.【详解】（1）函数的定义域为，
，令，易知在单调递增，在单调递减
由图像可得或
（2）当时，，则
设，其定义域为，
则
有唯一的实根，且.
当时，；当时，，
在单调递增，在单调递减
19.【详解】（1）当时，函数定义域为，则，
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，
则，即在上恒成立，在上单调递增，
而，
所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点.
（2）当时，等价于，
令，求导得，
令，
则，当时，单调递增，当时，单调递减，则，于是当时，单调递增，
当时，单调递减，因此，
所以的取值范围为.
（3）要证明，只要证明
令，则，
在为增函数，为减函数，
，令
所以在为减函数，在为增函数，
所以，又因为，所以即所以得证1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
A
C
B
D
D
C
B
AC
BD
ABD