河北省唐县第一中学2024届高三第三次模拟考试数学试题

这是一份河北省唐县第一中学2024届高三第三次模拟考试数学试题，共11页。试卷主要包含了已知锐角，满足，则的值为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则
A．{0，1，2} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{2，3}
2．复数（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点为
A．（2，-1） B．（2，1） C．（-2，-1） D．（-2，1）
3．某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈“科目三”，已知某人在一周的七天中，随机选择两天到该店吃火锅，则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率为
A． B． C． D．
4．已知在等差数列中，，公差．若数列也是等差数列，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若是一组数据，，…，的平均数，则这组数据的方差为．已知数据，，…，的平均数为4，方差为2，数据，，…，的平均数为2，方差为4，若将这两组数据混合形成一组新的数据，则新的一组数据的方差为
A．6 B．2 C．3 D．4
6．已知二次函数（且）的图象与曲线交于点P，与x轴交于点A（异于点O），若曲线在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为
A． B．-1 C． D．-2
7．已知锐角，（）满足，则的值为
A． B． C． D．
8．已知的值域为D，，则a的取值范围是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知四边形ABCD为等腰梯形，，l为空间内的一条直线，且平面ABCD，则下列说法正确的是
A．若，则平面ABCD B．若，则
C．若，，则平面ABCD D．若，，则平面ABCD
10．已知函数在R上单调递增，且对任意恒成立，则
A． B．是奇函数
C．是奇函数 D．恒成立
11．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线过点A且与OA垂直，直线过点B且与OB垂直，直线与相交于点Q，则
A．设AB的中点为H，则轴 B．点Q的轨迹为抛物线
C．点Q到直线l距离的最小值为 D．的面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的展开式中，常数项为75，则________．
13．若双曲线C：的左、右焦点为，，P是其右支上的动点．若存在P，使得，，依次成等比数列，则t的取值范围为________．
14．在三棱锥P-ABC中，已知是边长为2的正三角形，且．若和的面积之积为，且二面角P-AB-C的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数，为的极值点．
（1）求a；
（2）证明：．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，且．E，F分别是PA，PD的中点，平面EFNM与PB，PC分别交于M，N两点．
（1）证明：；
（2）若平面EFNM平面PBC，求平面EFNM与平面PCD所成锐二面角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号1的次数为X．
（1）当时，求；
（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量Y，若其数学期望E（Y）和方差D（Y）均存在，则对任意正实数a，有．根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计．为了至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，试估计信号发射次数n的最小值．
18．（本小题满分17分）
设椭圆C：的左、右顶点和椭圆的左、右焦点均为E，F．P是C上的一个动点（异于E，F），已知直线EP交直线于点A，直线FP交直线于点B．直线AB与椭圆交于点M，N，O为坐标原点．
（1）若b为定值，证明：为定值；
（2）若直线OM，ON的斜率之积恒为，求b．
19．（本小题满分17分）
在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得，则称a整除b．已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和．
（1）若，，，求．
（2）若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同；
（3）证明：为完全平方数．
参考答案
1．【答案】C
【解析】因为的解集为，且，，所以．故选C．
2．【答案】A
【解析】易知，对应的点为（2，-1）．故选A．
3．【答案】B
【解析】概率．故选B．
4．【答案】C
【解析】易知，则，由题意，可知，解得．故选C．
5．【答案】D
【解析】易知新的一组数据的平均数为，所以新数据的方差．故选D．
6．【答案】B
【解析】易知A（b，0），设P（t，lnt），则，，
因为，所以，即，
又，所以．故选B．
7．【答案】D
【解析】设，其中，，，
因为，所以，所以，
所以．故选D．
8．【答案】D
【解析】①若，当时，在上单调递减，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域D满足，则解得；
②若，当时，在上单调递增，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域D满足，不合题意；
③当时，若，有（当且仅当时取等号）符合题意，综上所述：．故选D．
9．【答案】AC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】因为，且平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，即A正确；
因为AD与BC是等腰梯形的腰，二者不平行，故若，则l与BC不平行，即B错误；
因为直线AD与BC能相交，所以若，，则平面ABCD，即C正确；
因为，两者不相交，所以若，，推不出平面ABCD，即D错误．故选AC．
10．【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确；
取，则，所以，即B错误；
因为，所以，所以，即C正确；
取，则，又，若存在，则，所以，即D正确．故选ACD．
11．【答案】BD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】易知F（1，0），设l：，设，，将l与抛物线C的方程联立，则可得，所以，，即，，所以，因为，所以直线AQ：，有，
同理可知，直线BQ：，所以，所以，所以，所以，即A错误；
又，所以Q的轨迹方程为，即B正确；
Q到l的距离，因为，所以，即C错误；
因为，所以，即D正确．故选BD．
12．【答案】
【解析】常数项为，解得．
13．【答案】
【解析】由题意可知，，，，且，设，则，所以在上有解，所以，解得．
14．【答案】
【解析】设AB中点为H，外接圆圆心为M，球心为O，
因为，所以，因为，所以，
所以，即是等腰直角三角形，其外接圆圆心为H，
由题意可知，，所以，所以，
又，，所以，
所以外接球半径，
所以外接球表面积．
15．【答案】（1）3 （2）略
【解析】（1），
依题意，，解得，
经检验符合题意，所以；
（2）由（1）可知，，
要证，即证，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，
因为，，
所以．
16．【答案】（1）略 （2）
【解析】（1）证明：因为E，F分别是PA，PD的中点，所以，
在正方形ABCD中，，所以，
因为平面EFNM，平面EFNM，
所以平面EFNM，
又平面PBC，，
所以，所以；
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（0，0，1），F（0，1，1），
所以，，，，
设平面PBC的法向量，
则
取，则，，所以，
设平面PCD的法向量，则
取，则，，所以，
设平面EFNM的法向量，则，
因为平面EFNM平面PBC，所以，
取，则，所以，
设平面EFNM与平面PCD所成锐二面角为，
则，．
17．【答案】（1） （2）157
【解析】（1）由已知，
所以；
（2）由已知，所以，，
若，则，即，
即，
由切比雪夫不等式，
要使得至少有96％的把握使发射信号“1”的频率在0.3与0.7之间，则，
解得，所以估计信号发射次数n的最小值为157．
18．【答案】（1）略 （2）
【解析】（1）证明：易知，，设P（m，n），则，即，
直线PE：，则，所以，
直线PF：，则，所以，
所以，
（2）解：设直线AB：，则，，
则，即，
令直线AB与椭圆联立，消去y，整理得，
设，，则，，
因为，，
所以，
所以，所以，
整理得，所以，
所以，解得．
19．【答案】（1） （2）略 （3）略
【解析】（1）由题意得，
所以n为奇数时，为奇数，n为偶数时，为偶数，
因为，故，
所以；
（2）假设存在，，，
依题意，，，，
所以，所以q整除，
因为p，q为不同的素数，故q不整除p，
又因为，故q不整除，
与q整除矛盾，故假设错误，
所以数列的前q项中任意两项均不相同．
（3）由（2）得，且数列的前q项中任意两项均不相同，
所以，
设，则，故，
所以为完全平方数．