2024版高考数学微专题专练6函数的奇偶性与周期性理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练6函数的奇偶性与周期性理（附解析），共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．[2021·全国乙卷]设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋1
2．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．f(x)|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg2x，则f(－8)＝( )
A.3 B．eq \f(1,3)
C．－eq \f(1,3) D．－3
4．[2022·安徽省高三质检]已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(eq \f(1,2))＝1，则f(－eq \f(3,2))＝( )
A．－eq \f(3,2)B．－1
C．1D．eq \f(3,2)
5．[2022·江西省高三联考]设函数f(x)＝lneq \f(2,x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x＋1)－f(1－x)
B．f(x－1)＋f(x＋1)
C．f(x＋1)＋1
D．f(x－1)－1
6．函数f(x)为奇函数，定义域为R，若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(2016)＋f(2017)＝( )
A．－2B．－1
C．0D．1
7．[2022·东北三省三校联考]定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)＝f(－x＋2)，则f(2022)＝( )
A．0B．－1
C．1D．不确定
8．[2022·安徽淮南二模]对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝4.若函数g(x)＝f(x)＋eq \f(sinx,sin2x＋1)在区间[－2022，2022]上既有最大值又有最小值，则函数g(x)的最大值与最小值之和为( )
A．0B．2
C．4D．8
9．[2022·河南省高三三模]已知f(x－1)为定义在R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在[－1，0)上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，则不等式f(2x－5)<0的解集为( )
A．(2，lg26)
B．(－∞，1)∪(2，lg26)
C．(lg26，＋∞)
D．(1，2)∪(lg26，＋∞)
二、填空题
10．[2022·四川省成都二诊]函数f(x)是定义在R上的奇函数，当－111．[2022·湘豫名校高三联考]已知函数f(x)＝3x－eq \f(a＋2,a2)·3－x(a≠0)为奇函数，则a＝________．
12．[2022·贵州省适应性考试]已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝－f(x)，且当x>eq \f(1,2)时，f(x)＝x＋eq \f(1,x)＋m，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围为________．
[能力提升]
13．[2022·全国乙卷(理)，12]已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则eq \i\su(k＝1,22,)f(k)＝( )

A．－21B．－22
C．－23D．－24
14．[2022·江西省临川高三模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋a)，则f(2022)＋f(2023)＝( )
A．－1B．1
C．504D．无法确定
15．[2022·贵州省高三适应性测试]函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(0，0)与点(1，0)对称．当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，则f(eq \f(3,2))＝( )
A．－eq \f(1,4)B．－eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,4)D．－eq \f(9,4)
16．[2022·陕西省西安中学高三三模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sinπx，且满足当x>1时，f(x)＝2f(x－2)，若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2eq \r(3)成立，则m的最大值为( )
A．eq \f(23,6)B．eq \f(10,3)
C．eq \f(25,6)D．eq \f(13,3)
专练6 函数的奇偶性与周期性
1．B 通解 因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq \f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝eq \f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq \f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝eq \f(－x,x＋2).
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝eq \f(－x,x＋2)－1＝eq \f(－x－x－2,x＋2)＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝eq \f(－x,x＋2)＋1＝eq \f(－x＋x＋2,x＋2)＝eq \f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称．
故选B.
光速解 f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝eq \f(2－（x＋1）,1＋x)＝eq \f(2,1＋x)－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图像对应的函数为y＝f(x－1)＋1，故选B.
2．B
3．D ∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－lg28＝－3.
4．C 因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，
又因为f(1＋x)＝f(1－x)，
所以f(2－x)＝f(x)，
则f(2－x)＝f(－x)，即f(2＋x)＝f(x)，
所以周期为T＝2，
因为f(eq \f(1,2))＝1，f(－eq \f(3,2))＝f(2－eq \f(3,2))＝f(eq \f(1,2))＝1.
5．A 由题进行化简：f(x)＝lneq \f(2,x)＝ln2－lnx，
令g(x)＝f(1＋x)－f(1－x)＝ln2－ln (1＋x)－ln2＋ln (1－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)，
g(－x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)＝－g(x)，符合定义，故A正确；令g(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)＝ln2－ln (1－x)＋ln2－ln (1＋x)＝2ln2－ln (1－x)－ln (1＋x)，
g(－x)＝2ln2－ln (1＋x)－ln (1－x)≠－g(x)，故B错误；令g(x)＝f(x＋1)＋1＝ln2－ln (x＋1)＋1，g(－x)＝ln2－ln (－x＋1)＋1≠－g(x)，故C错误；令g(x)＝f(x－1)－1＝ln2－ln (x－1)－1，g(－x)＝ln2－ln (－x－1)－1≠－g(x)，故D错误．
6．D ∵f(x＋2)为偶函数，∴f(2＋x)＝f(2－x)，
又f(x)为奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x－2)，
∴f(x＋2)＝－f(x－2)，∴f(x＋4)＝－f(x)，
∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以8为周期的周期函数，
∵f(0)＝0，∴f(2016)＝f(0)＝0，f(2017)＝f(1)＝1，
∴f(2016)＋f(2017)＝0＋1＝1.
7．A 因为函数f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以由f(x)＝f(－x＋2)⇒f(－x)＝f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，所以该函数的周期为4，
所以f(2022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0.
8．C 依题意对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝4，f(x)－2＋f(－x)－2＝0，所以函数F(x)＝f(x)－2为奇函数，
g(x)＝f(x)＋eq \f(sinx,sin2x＋1)，
令G(x)＝g(x)－2＝f(x)－2＋eq \f(sinx,sin2x＋1)＝F(x)＋eq \f(sinx,sin2x＋1)(x∈R)，
G(－x)＝F(－x)＋eq \f(－sinx,sin2x＋1)＝－F(x)＋eq \f(－sinx,sin2x＋1)＝－G(x)，
所以G(x)为奇函数，
所以G(x)在区间[－2022，2022]上的最大值与最小值之和为0，
所以g(x)＝G(x)＋2，所以函数g(x)的最大值与最小值之和4.
9．D 因为f(x－1)为定义在R上的奇函数，所以f(x)的图像关于点(－1，0)对称，
且f(－1)＝0，又f(1)＝0，所以f(－3)＝0.
依题意可得，当－31时，f(x)<0.
所以f(2x－5)<0等价于－3<2x－5<－1或2x－5>1，
解得1lg26.
10．－eq \f(1,2)
解析：因为lg32∈(0，1)，所以－lg32∈(－1，0)，
由f(x)为奇函数得f(lg32)＝－f(－lg32)
＝－f(lg3eq \f(1,2))＝－3lg3eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2).
11．2或－1
解析：根据条件，由f(0)＝0，求出a的值，再检验即可．
函数f(x)＝3x－eq \f(a＋2,a2)·3－x(a≠0)为奇函数，其定义域为R，
由f(0)＝1－eq \f(a＋2,a2)＝0，解得a＝2或a＝－1，
当a＝2时，f(x)＝3x－3－x，
则f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，满足条件．
当a＝－1时，f(x)＝3x－3－x，则f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，满足条件．
12．(－∞，－2]
解析：当x>eq \f(1,2)时，f(x)＝x＋eq \f(1,x)＋m≥2eq \r(x·\f(1,x))＋m，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时等号成立，
故当x>eq \f(1,2)时，f(x)∈[2＋m，＋∞)，又由f(1－x)＝－f(x)可得f(x)关于(eq \f(1,2)，0)对称，且由f(1－eq \f(1,2))＝－f(eq \f(1,2))可得f(eq \f(1,2))＝0，
故[2＋m，＋∞)只需包含区间(0＋∞)即可，故2＋m≤0，
故m∈(－∞，－2].
13．D 若y＝g(x)的图像关于直线x＝2对称，则g(2－x)＝g(2＋x).因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(2＋x)＝5，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．由g(2)＝4，f(0)＋g(2)＝5，得f(0)＝1.由g(x)－f(x－4)＝7，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，所以f(x)的图像关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由f(x)＋f(－x－2)＝－2，f(－x)＝f(x)，得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，且周期为4.由f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3.又因为f(3)＝f(－1)＝f(1)＝－1，所以f(4)＝－2－f(2)＝1，所以eq \i\su(k＝1,22,)f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.
14．A 因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝lg2a＝0，解得a＝1，
即f(x)＝lg2(x＋1)，f(1)＝lg22＝1；
因为y＝f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，
即y＝f(x)的图像关于x＝1对称，
又y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，
则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，
则f(2022)＋f(2023)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.
15．A 因为y＝f(x)图像关于点(0，0)与点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，所以f(eq \f(3,2))＝f(－eq \f(1,2)＋2)＝f(－eq \f(1,2))＝－(－eq \f(1,2))2＝－eq \f(1,4).
16．B 由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sinπx，
当x∈[－1，0)时，f(x)＝－f(－x)＝－sin (－πx)＝sinπx，即f(x)＝sinπx，x∈[－1，1]，又由当x>1时，f(x)＝2f(x－2)，可画出函数图像，如图所示．
由图知，当3≤x≤5时，f(x)＝4f(x－4)＝4sin (πx－4π)＝4sinπx；
则当－5≤x≤－3时，f(x)＝－f(－x)＝4sinπx；
当－5≤x≤－3时，令4sinπx＝2eq \r(3)，
解得x1＝－eq \f(10,3)，x2＝－eq \f(11,3)(舍去)，
若对任意x∈[－m，m]，f(x)≤2eq \r(3)成立，所以m的最大值为eq \f(10,3).