贵州省2024届高三下学期4月高考适应性考试数学试题
展开第Ⅰ卷的注释
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(共8题;共40分)
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1. 已知点是角终边上一点,则( )
A . B . C . D .
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2. 若集合 , 其中且 , 则实数的取值范围是( )
A . B . C . D .
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3. 直线 , 的倾斜角分别为 , , 则“”是“”的( )
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
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4. 设正项等比数列的前项和为 , , 且 , , 成等差数列,则与的关系是( )
A . B . C . D .
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5. 已知过点的动直线交抛物线于 , 两点( , 不重合),为坐标原点,则( )
A . 一定是锐角 B . 一定是直角 C . 一定是钝角 D . 是锐角、直角或钝角都有可能
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6. 2024年3月16日下午3点,在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场,伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球,2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕。某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研,将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村,已知每个村至少有一位同学前往,五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村,若学生甲和学生乙必须选同一个村,则不同的选法种数是( )
A . 18 B . 36 C . 54 D . 72
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7. 下图是一个圆台的侧面展开图,已知 , 且 , 则该圆台的体积为( )
A . B . C . D .
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8. 设方程的两根为 , 则( )
A . , B . C . D .
二、多项选择题:本题共3个小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。(共3题;共18分)
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9. 下列说法正确的是( )
A . 若事件和事件互斥, B . 数据2,7,4,5,16,1,21,11的第70百分位数为11 C . 若随机变量 , , 则 D . 已知关于的回归方程为 , 则样本点的残差的绝对值为2.2
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10. 已知非零函数的定义域为 , 为奇函数,且 , 则( )
A . B . 4是函数的一个周期 C . D . 在区间上至少有1012个零点
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11. 如图,正四棱锥每一个侧面都是边长为4的正三角形,若点在四边形内(包含边界)运动,为的中点,则( )
A . 当为的中点时,异面直线与所成角为 B . 当平面时,点的轨迹长度为 C . 当时,点到的距离可能为 D . 存在一个体积为的圆柱体可整体放入正四棱锥内
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.(共3题;共15分)
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12. 已知向量 , , 则 , 则实数.
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13. 设 , 分别为双曲线的左、右焦点,过与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 , 若 , 则双曲线的离心率为.
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14. 如果复数 , , , 在复平面内对应的点分别为 , , , , 复数满足 , 且 , 则的最大值为.
四、解答题:共5个小题,满分77分。解答应写出相应的文字说明,证明过程或演算步骤。(共5题;共77分)
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15. 已知在中, ,
(1) 求;
(2) 若点是边上一点, , 的面积为 , 求的最小值.
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16. 如图,正三棱柱中, , . 设点为上的一点,过 , 作平面的垂面 ,
(1) 画出平面与正三棱柱表面的交线(保留作图痕迹,不需证明);
(2) 若到平面的距离为 , 求与平面所成角的正弦值.
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17. 已知椭圆的左顶点为 , 右焦点为 , 椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍,且椭圆过点 .
(1) 求椭圆的方程;
(2) 设过点的直线与相交于 , 两点,直线的倾斜角为锐角.若点到直线与的距离为 , 求直线与直线的斜率之和.
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18. 已知函数 .
(1) 若函数有两个零点,求实数的取值范围;
(2) 已知 , , (其中且成等比数列)是曲线上三个不同的点,判断直线与曲线在点处的切线能否平行?请说明理由.
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19. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲乙各猜一个成语,已知甲、乙第一轮猜对的概率都为 . 甲如果第轮猜对,则他第轮也猜对的概率为 , 如果第轮猜错,则他第轮也猜错的概率为;乙如果第轮猜对,则他第轮也猜对的概率为 , 如果第轮猜错,则他第轮也猜错的概率为 . 在每轮活动中,甲乙猜对与否互不影响.
(1) 若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语,求两人第一轮也都猜对成语的概率;
(2) 若一条信息有种可能的情形且各种情形互斥,每种情形发生的概率分别为 , 则称为该条信息的信息熵(单位为比特),用于量度该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数的信息熵 .
(3) 如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语,游戏就可以一直进行下去,直到他们都猜错为止.设停止游戏时“星队”进行了轮游戏,求证: .
难度系数:0.59
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多项选择题:本题共3个小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9 10 11
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题:共5个小题,满分77分。解答应写出相应的文字说明,证明过程或演算步骤。
15 16 17 18 19
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