2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在−3x、5x+y、6π、1m−2、x−13、23中，分式的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是( )
A. a(x−y)=ax−ayB. a ​2−b ​2=(a+b)(a−b)
C. x ​2−4x+3=x(x−4)+3D. a2+1=a(a+1a)
4.已知xA. x+5C. x3>y3D. 2x−3<2y−3
5.不等式组x+2≥03x−3<0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.若分式x2−1x+1的值为0，则x的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
7.已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac−bc=−a2+2ab−b2，则△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不能确定
8.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的线段长为半径画弧，两弧分别相交于AB两侧的M，N两点，直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接AE，AE平分∠BAC.若AC=7，DE=4，则△AEC的面积为( )
A. 7B. 8C. 14D. 28
9.如图，直线y=−2x+1与直线y=kx+b(k,b为常数，k≠0)相交于点A(n,5)，则关于x的不等式−2x+1A. x>−1
B. x<−2
C. x<−1
D. x>−2
10.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=54°，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A′B′C′(平移后点A，B，C的对应点分别是点A′，B′，C′)，连接CA′，若在整个平移过程中，∠ACA′和∠CA′B′的度数之间存在2倍关系，则∠ACA′不可能的值为( )
A. 18°B. 36°C. 72°D. 108°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若多项式4x2−mxy+9y2能因式分解为(a+b)2的形式，则m的值为______．
12.如图，小明用电脑制作了正方形的“丰”字卡片，正方形卡片的边长为10厘米，“丰”字每一笔的宽度都是1厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是______厘米 ​2．
13.已知a+b=5，ab=6，则a2b+ab2的值为______．
14.如图，将△ABC沿BC方向平移得到对应的△A′B′C′，若B′C=2cm，BC′=4cm，则平移距离为______cm．
15.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，若点C′在AB上，则AA′的长为______．
16.如图，点P是矩形ABCD内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2 7，BC= 3AB，则这个矩形面积的最小值是______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)−3a3+6a2b−3ab2；
(2)x2(m−n)+4y2(n−m)．
18.(本小题5分)
解不等式2x−13−9x+26<1，并把它的解集表示在数轴上．
19.(本小题6分)
先化简2x−4x2−1÷2−xx2−2x+1，再从不等式组−1≤x<3中选择一个适当的整数，代入求值．
20.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上，每个小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)画出△ABC关于原点O对称的图形△A1B1C1，并写出A1，C1的坐标；
(2)求出△ABC的面积．
21.(本小题8分)
阅读理解学习：
将多项式x2+3x−10分解因式得x2+3x−10=(x−2)(x+5)，说明多项式x2+3x−10有一个因式为x−2，还可知，当x−2=0时x2+3x−10=0．
请你学习上述阅读材料解答以下问题：
(1)若多项式x2+kx−6有一个因式为x−3，求k的值；
(2)若x+2，x−1是多项式2x3+ax2+5x−b的两个因式，求a，b的值．
22.(本小题8分)
某文具商店购买了两种类型文具A和文具B销售，若购A文具3个，B文具4个，需要211元；若购进A文具5个，B文具2个，需要165元．
(1)求文具A，文具B的进价分别是多少元？
(2)若每个文具A的售价为25元，每个文具B的售价为45元.结合市场需求，该商店决定购进文具A和文具B共70个，且购进文具B的数量不少于文具A的数量的23，若文具A和文具B全部销售完，求销售的最大利润及相应的进货方案．
23.(本小题10分)
问题探究：
(1)在△ABC中，AB=AC，∠A=α，点D在AC边上，点E是射线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转，旋转角为α，得到线段DF，连接EF，DG//AB交BC于点G．
①如图1，当α=60°时，点D为线段AC的中点，则线段CF与GE的数量关系是______．
②如图2，当α=90°时，点D为线段AC的中点，AB=4，当AF的长度最小时，CF的长度为______．
综合运用：
(2)如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，若D是AC边上一点，AB=8，且AD：DC=1：3，E是BC边上的动点，若点E绕点D顺时针旋转30°的对应点是F，连接BF，EF，求BF长度的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：−3x、6π、x−13、23的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
5x+y、1m−2的分母中含有字母，因此是分式．
故选：B．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以6π不是分式，是整式．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】
解：A.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.是因式分解，故本选项符合题意；
C.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：∵x∴x+5∴选项A不符合题意；
∵x∴−2x>−2y，
∴−2x+5>−2y+5，
∴选项B不符合题意；
∵x∴x3∴选项C不符合题意；
∵x∴2x<2y，
∴2x−3<2y−3，
∴选项D符合题意．
故选：D．
根据x此题主要考查了不等式的性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
5.【答案】A
【解析】解：x+2≥0①3x−3<0②，
由①得，x≥−2，
由②得，x<1，
∴−2≤x<1，
．
故选：A．
分别求出各个不等式的解集，再寻找公共解集即可．
本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式组的方法．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据分式值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
【解答】
解：∵分式x2−1x+1的值为零，
∴x2−1=0x+1≠0，解得x=1．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：∵ac−bc=−a2+2ab−b2，
∴a2−2ab+b2=c(b−a)，
∴(a−b)2=−c(a−b)，
∴(a−b)2+c(a−b)=0，
∴(a−b)(a−b+c)=0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，a+c−b>0，
∴a−b=0，即a=b，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：A．
先将原式变形为(a−b)(a−b+c)=0，根据a，b，c分别是△ABC的三边长，a+c−b>0，因此a−b=0，即a=b，即可得出结果．
本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：过E作EF⊥AC于F，
由作图知，DE⊥AB，
∵AE平分∠BAC．
∴EF=DE=4，
∵AC=7，
∴△AEC的面积=12AC⋅EF=12×7×4=14，
故选：C．
过E作EF⊥AC于F，由作图知，DE⊥AB，根据角平分线的性质得到EF=DE=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵直线y=−2x+1与直线y=kx+b(k,b为常数，k≠0)相交于点A(n,5)，
∴5=−2n+1，
∴m=−2，
∴当x>−2时，−2x+1∴不等式−2x+1−2，
故选：D．
先求出m的值，结合图象，可求解．
本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：第一种情况：如图，当点B′在BC上时，过点C作CG/​/AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB/​/A′B′，
∵CG//AB，AB/​/A′B′，
∴CG//A′B′，
①当∠ACA′=2∠CA′B′时，
∴设∠CA′B′=x，则∠ACA′=2x，
∴∠ACG=∠BAC=54°，∠A′CG=∠CA′B′=x，
∵∠ACA′=∠ACA′+∠A′CG，
∴2x+x=54°，
解得：x=18°，
∴∠ACA′=2x=36°，
②当∠CA′B′=2∠ACA′时，
∴设∠CA′B′=x，则∠ACA′=12x，
∴∠ACG=∠BAC=54°，∠A′CG=∠CA′B′=x，
∵∠ACA′=∠ACA′+∠A′CG，
∴x+12x=54°，
解得：x=36°，
∴∠ACA′=12x=18°，
第二种情况：当点B′在△ABC外时，过点C作CG/​/AB，
∵△A′B′C′由△ABC平移得到，
∴AB/​/A′B′，
∵CG//AB，AB/​/A′B′，
∴CG//A′B′，
①当∠ACA′=2∠CA′B′时，
设∠CA′B′=x，则∠ACA′=2x，
∴∠ACG=∠BAC=54°，∠A′CG=∠CA′B′=x，
∵∠ACA′=∠ACG+∠A′1CG，
∴2x=x+54°，
解得：x=54°，
∴∠ACA′=2x=108°，
②当∠CA′B′=2∠ACA′时，由图可知，∠CA′B′<∠ACA′，故不存在这种情况，
综上所述，∠ACA′=18°或36°或108°，
故选：C．
根据△ABC的平移过程，分点B在BC上和点B在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB/​/A′B′，根据平行线的性质得到∠ACA′和∠CA′B′和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键．
11.【答案】±12
【解析】解：因为多项式4x2−mxy+9y2能因式分解为(a+b)2，
所以m=±(2×2×3)=±12．
故答案为：±12．
根据完全平方公式先确定a，再确定m即可．
本题考查了完全平方式．掌握完全平方公式的特点，是解决本题的关键．
12.【答案】63
【解析】解：由平移的性质可得，
卡片上剩余部分(空白区域)可以转换为长为10−3=7(厘米)，宽为10−1=9(厘米)，
因此面积为9×7=63(平方厘米)，
故答案为：63．
根据平移的性质，将所求部分转换为长为9厘米，宽为7厘米的长方形，进而求出面积即可》
本题考查平移，掌握平移的性质，利用平移的性质将所求部分转换为长为9厘米，宽为7厘米的长方形是解决问题的关键》
13.【答案】30
【解析】解：∵a+b=5，ab=6，
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=6×5
=30，
故答案为：30．
先把代数式分解因式，再整体代入求值．
本题考查了因式分解的应用，整体代入求解是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：由平移的性质可知：BB′=CC′，
∵BC′=4cm，CB′=2cm，
∴BB′+CC′=4−2=2(cm)，
∴BB′=CC′=1cm，
即平移的距离为1cm，
故答案为：1．
根据平移的性质得到BB′=CC′，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
15.【答案】 10
【解析】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC′，
∴∠A′C′B=∠C=90°，A′C′=AC=3，AB=A′B，
根据勾股定理得：
AB= BC2+AC2=5，
∴A′B=AB=5，
∴AC′=AB−BC′=1，
在Rt△AA′C′中，由勾股定理得：
AA′= AC′2+A′C′2= 10，
故答案为： 10．
连接AA′，由旋转的性质得出AC′、A′C′的长度，利用勾股定理即可得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
16.【答案】4 3
【解析】解：将△BCP绕点B逆时针旋转60°得到△TBG，连接PG，AT，过点T作TH⊥AB交AB的延长线于H.当T，G，P，A共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段AT的长．
设AB=m，则BC= 3m，
∵BC=BT= 3m，∠ABC=90°，∠CBT=60°，
∴∠ABT=150°，
∴TH=12BT= 32m，BH=BT⋅cs30°=32m，
∴AH=52m，
由题意得AT≥2 7，
∴ TH2+AH2= 34m2+254m2≥2 7，
∵m>0，
∴m≥2，
∴BC的最小值为2 3，AB的最小值为2，
∴此矩形菜地的面积的最小值为4 3，
故答案为：4 3．
将△BCP绕点B逆时针旋转60°得到△TBG，连接PG，AT，过点T作TH⊥AB交AB的延长线于H.当T，G，P，A共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段AT的长，构建不等式求出BC，AB的最小值，可得结论．
本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，画出最小值的线段是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=−3a(a2−2ab+b2)
=−3a(a−b)2；
(2)原式=x2(m−n)−4y2(m−n)
=(m−n)(x2−4y2)
=(m−n)(x+2y)(x−2y)．
【解析】(1)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
(2)提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：去分母得：4x−2−(9x+2)<6，
解得：x>−2．
把解集表示在数轴上如图所示．

【解析】去原不等式去分母变形为4x−2−(9x+2)≤6，解该不等式得出x≥−2，将其在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是解不等式得出解集．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，注意未知数前面系数的符号．
19.【答案】解：原式=2(x−2)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2−(x−2)
=−2(x−1)x+1
=2−2xx+1，
∵满足不等式组−1≤x<3的整数为−1、0、1、2，
而x−1≠0且x+1≠0且x−2≠0，
∴x只能取0，
当x=0时，原式=2−00+1=2．
【解析】先把除法运算转化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分得到原式=2−2xx+1，然后根据分式有意义的条件取x=0代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
20.【答案】解：(1)作出A、B、C关于原点对称的坐标特征写出A1(1,−2)、B1(3,−3)、C1(4,0)，连接A1B1，B1C1，A1C1，
，
如图，△A1B1C1即为所求，点A1(1,−2)，C1(4,0)；
(2)S△ABC=3×3−12×1×3−12×1×2−12×2×3=3.5．
【解析】(1)先作出A(−1,2)、B(−3,3)、C(−4,0)关于原点对称的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后顺次连接即可，最后写出的坐标；
(2)利用割补法求面积即可．
本题考查了画原点对称对称图形，关于原点对称的点的坐标，掌握原点对称对称的性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵多项式x2+kx−6有一个因式为x−3，
∴当x=3时，x2+kx−6=0，
∴32+3k−6=0，
∴k=−1；
(2)∵x+2，x−1是多项式2x3+ax2+5x−b的两个因式，
∴当x=−2，x=1时，2x3+ax2+5x−b=0，
即2×(−2)3+a×(−2)2+5×(−2)−b=0①，2×13+a×12+5×1−b=0②，
由①得：4a−b=26③，
由②得：a−b=−7④，
③−④得：3a=33，
∴a=11，
将a=11代入④得：b=18．
∴a=11，b=18．
【解析】(1)根据多项式x2+kx−6有一个因式为x−3，得当x=3时，x2+kx−6=0，然后由将x=3代入x2+kx−6=0之中即可得出k的值；
(2)根据x+2，x−1是多项式2x3+ax2+5x−b的两个因式，得当x=−2，x=1时，2x3+ax2+5x−b=0，再将x=−2，x=1分别代入2x3+ax2+5x−b=0之中得出关于a，b的方程组，然后解这个关于a，b的方程组即可得出a，b的值．
此题主要考查了因式分解意义，理解题目中给出的阅读材料是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)设文具A的进价是x元，文具B的进价是y元，
根据题意得：3x+4y=2115x+2y=165，
解得：x=17y=40．
答：文具A的进价是17元，文具B的进价是40元；
(2)设该商店购进m个文具A，则购进(70−m)个文件B，
根据题意得：70−m≥23m，
解得：m≤42．
设购进的两种文具全部售出后获得的总利润为w元，则w=(25−17)m+(45−40)(70−m)，
即w=3m+350，
∵3>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=42时，w取得最大值，最大值为3×42+350=476(元)，此时70−m=70−42=28(个)．
答：当购进42个文具A，28个文件B时，销售利润最大，最大利润是476元．
【解析】(1)设文具A的进价是x元，文具B的进价是y元，根据“购A文具3个，B文具4个，需要211元；购进A文具5个，B文具2个，需要165元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该商店购进m个文具A，则购进(70−m)个文件B，根据购进文具B的数量不少于文具A的数量的23，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购进的两种文具全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个文具A的销售利润×购进数量+每个文具B的销售利润×购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23.【答案】EG=CF 2 2
【解析】解：(1)①结论：EG=CF；
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DG/​/AB，
∴∠DGC=∠B=60°，∠GDC=∠A=60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴DG=DC，
∵∠GDC=∠EDF=60°，
∴∠GDE=∠CDF，
∵D E=D F，
∴△GDE≌△CDF(SAS)，
∴EG=CF；
故答案为：EG=CF；
②如图2中，连接CF，并延长，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵DG/​/AB，
∴∠B=∠DGC=45°，∠CDG=∠A=90°，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴DG=DC，
∵∠CDG=∠EDF=90°，
∴∠GDE=∠CDF，
∵D E=D F，
∴△GDE≌△CDF(SAS)，
∴∠DGC=∠DCF=45°，
∴∠GCF=90°，
∴CF⊥CB，
∴当AF⊥CF时，AF的值最小，
如图3，连接AF，

此时△AFC为等腰直角三角形，
设AF=CF=x，
在Rt△AFC中，由勾股定理得：x2+x2=42，
解得x=2 2，
即CF最小值为2 2．
故答案为：2 2．
(2)如图4，将DC绕点D顺时针旋转30°至DH，DH交BC于点O，连接FH交BC于点G，过点A作AN⊥BC，垂足为点N，则DH=DC，∠CDH=30°，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠C=∠ABC=12(180°−120°)=30°，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴BN=CN,AN=12AC=4，
∴CN=BN= 82−42=4 3，
∴BC=8 3，
∵∠FDE=∠CDH=30°，
∴∠FDH=∠EDC，
∵DF=DE，DH=DC，
∴△DFH≌△DEC(SAS)，
∴∠DHF=∠DCE=30°，
∴∠DHF=∠HDC，
∴FH//AC，
∴当BF⊥FH时，BF最短，
∵∠C=∠ODC=30°，
∴OD=OC，
∵FH/​/AC，
∴∠OGH=∠C=30°，
∴∠DHF=∠OGH=∠FGB=30°，
∴OG=OH，
∴GC=DH，
∵AD：CD=1：3，AB=AC=8，
∴DC=6，BG=BC−GC=8 3−6，
∵当BF⊥FH时，BF最短，而∠BGF=30°，
∴BF=12BG=4 3−3，
∴BF最小值为4 3−3．
(1)①先证明△ABC是等边三角形，再证明△DGC是等边三角形，通过等边三角形的性质，利用边角边证明△GDE≌△CDF，即可解决问题；
②连接CF，并延长，同上可证明△GDE≌△CDF，利用全等三角形的性质得到∠GCF=90°，即确定点F的轨迹，因此当AF⊥CF时，AF的值最小，最后由勾股定理即可求解；
(2)将DC绕点D顺时针旋转30°至DH，DH交BC于点O，连接FH交BC于点G，过点A作AN⊥BC，垂足为点N，先通过等腰三角形的性质及勾股定理求出BC=8 3，再证明△DFH≌△DEC，证明出FH/​/AC，可以确定点F的轨迹，因此当BF⊥FH时，BF最短，由全等三角形的性质及平行线的性质证明出GC=DH，则BG=8 3−6，最后由30°的直角三角形的性质即可求解．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．