重庆市鲁能巴蜀中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(无答案)

这是一份重庆市鲁能巴蜀中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 梯形的直观图是 （ ）
A. 梯形 B. 矩形 C. 三角形 D. 任意四边形
2. 已知复数，是的共轭复数，则（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
3. 若的内角所对的边分别为，，，则一定是（ ）
A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
4. 已知为两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则
C. 若，，则
D. 若，则
5. 在长方体中，，与平面所成的角为45°，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫娟做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是（ ）
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
7. 在中，角所对应的边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
8. 母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数是方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图所示，在中，是边上两点（在之间），连接，若，、、的外接圆直径分别为，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的有 （ ）
A. 当点运动时，总成立
B. 当向运动时，二面角逐渐变小
C. 二面角的最小值为45°
D. 在方向上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一平面截一球得到半径为的圆面，球心到这个圆面的距离是球半径的三分之一，则该球的体积等于____________.
13. 在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值______________.
14. 已知等腰直角的斜边长为2，其所在平面上两动点满足，若，则的最大值为_______________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角所对的边为，已知.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
16. 在长方体中，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
17. 已知在中，，在线段上，且.
（1）若是的中点，求面积的最大值；
（2）若，求面积的最小值.
18. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面，垂足在线段（不含端点）上，点在棱上，，平面与棱交于点.
（1）证明：；
（2）若，；
①求四棱锥的体积；
②求二面角的余弦值.
19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.
设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.
（1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
（2）如图，现已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点在底面的射影为的中点.
①若，求该四棱锥在处的离散曲率；
②若该四棱锥在处的离散曲率，求直线与平面所成角的正弦值.