27，2024年山东省临沂市蒙阴县中考一模数学试题

这是一份27，2024年山东省临沂市蒙阴县中考一模数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，八年级的学生投稿情况进行调查．等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数为负数的是（ ）
A. B. 0C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数的定义即可求解．
【详解】解：是负数．
故选A．
【点睛】本题考查了负数的意义，掌握负数的定义是解题的关键，正数前添加一个负号，即为负数．
2. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 中国科学技术大学利用“墨子号”科学实验卫星，首次实现在地球上相距1200公里的两个地面站之间的量子态远程传输，对于人类构建全球化量子信息处理和量子通信网络迈出重要一步，1200这个数用科学记数法可表示为（ ）试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：1200＝1.2×103，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式法则，进行计算后判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5. 如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的俯视图是从上面看进行判断解答即可．
【详解】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的俯视图，理解俯视图的概念是解答的关键．
6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A. （4﹣）米B. 2米C. 3米D. （4+）米
【答案】A
【解析】
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
7. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
8. 如图，在数轴上A，B，C，D四个点所对应的数中是不等式组的解的是（ ）
A. 点A对应的数B. 点B对应的数
C. 点C对应的数D. 点D对应的数
【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，然后判断即可得出答案．
【详解】解∶
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解为，
∴在数轴上B点所对应的数是不等式组的解．
故选∶B．
【点睛】本题考查了解不等式组和数轴上点的特征，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点 E．若AD＝3，BD＝2，则EC的长度是（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得CE⊥AB，BE＝DE，利用等腰三角形的性质可求得AC的长度，进而根据勾股定理可求EC的长．
【详解】解：由作法得CE⊥AB，BE＝DE，则∠AEC＝90°，
∵AD＝3，BD＝2，
∴AE＝4，BE＝1，
AC＝AB＝BE+AE＝4+1＝5，
在Rt△ACE中，CE3，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练运用相关性质是解决本题的关键．
10. 新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．
【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：_____
【答案】
【解析】
【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
12. 代数式与代数式的值相等，则x＝_____．
【答案】7
【解析】
【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：3x﹣9＝2x﹣2，
解得：x＝7，
经检验x＝7是分式方程的解．
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．
13. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高_________m．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：和均为直角，
，
，
，
，，，
．
故答案为：7．
14. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离cm与所挂物重kg之间满足一次函数关系．若不挂重物时秤砣到秤纽的水平距离为cm，挂kg物体时秤砣到秤纽的水平距离为cm．则当秤砣到秤纽的水平距离为cm时，秤钩所挂物重为 ___________．
【答案】kg
【解析】
【分析】根据题意，先设出秤砣到秤纽的水平距离cm与所挂物重kg之间的函数解析式，然后根据题意可知当时，，当时，，代入函数解析式即可求得该函数的解析式，然后将代入求出相应的的值即可．
【详解】解：设秤砣到秤纽的水平距离cm与所挂物重kg之间的函数解析式为，
由题意可知，当时，；当时，，
∴，解得，
∴，
当时，，解得，即当秤砣到秤纽的水平距离为cm时，秤钩所挂物重为kg，
故答案为：kg．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
15. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．
【答案】16
【解析】
【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
16. 如图1，动点P从A点出发，沿着矩形的边，按照路线匀速运动一周到A点停止，速度为．的长与运动时间的关系图象如图2，则矩形对角线的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，动点问题的函数图象，利用了数形结合的思想，解答本题的关键是读懂题意，从图象的变化与动点运动位置的改变确定动点的所需关系量．
当两段，分别求得矩形的边长再用勾股定理即可得解．
【详解】解：根据题意，结合函数图象，可知：
当时，点P在上运动；
当时，点P运动到点B，即；
由图知，点P在上运动时间均为，则在上运动了，
即由A到C运动了；
当时，点P在上运动；
当时，点P运动到点C，即．
在矩形中，，则，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，共72分）
17. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算及整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先计算零次幂、绝对值、二次根式化简及特殊角的三角函数，然后计算加减法即可；
（2）先算括号里减法，把能分解的因式进行分解，最后约分即可．
【详解】解：（1）
，
（2）
．
18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．
（1）求该班的学生人数；
（2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？
【答案】（1）该班的学生人数为45人
（2）至少购买了甲树苗80棵
【解析】
【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设该班的学生人数为x人，
由题意得，，
解得，
∴该班的学生人数为45人；
【小问2详解】
解：由（1）得一共购买了棵树苗，
设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，
由题意得，，
解得，
∴m得最小值为80，
∴至少购买了甲树苗80棵，
答：至少购买了甲树苗80棵．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键．
19. 如图，为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东的点C处，观光船到滨海大道的距离为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：，，，，，）
【答案】观光船从C处航行到D处的距离为米
【解析】
【分析】过点C作于点F，根据题意利用正切函数可得，由矩形的判定和性质得出，结合图形利用锐角三角函数解三角形即可．
【详解】解：过点C作于点F，
由题意得，，
在中，，
∵
∴
∴
∵
∴四边形为矩形
∴．
在中，
∵
∴
答：观光船从C处航行到D处的距离为米．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，找准各角之间的关系，利用锐角三角函数解三角形是解题关键．
20. 某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查．
【数据的收集与整理】
分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表．
【数据的描述与分析】
（1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．

（2）根据频数分布表分别计算有关统计量：
直接写出表格中m、n的值，并求出．
【数据的应用与评价】
（3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价．
【答案】（1），见解析；（2），，；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得的值；根据八年级学生的投稿篇数的频数分布表补全频数直方图即可；
（2）根据中位数和众数定义、加权平均数公式即可得；
（3）从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得．
【详解】解：（1）两个年级随机抽取的学生数量为（人），
则．
补全频数直方图如下：

（2），
将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数，
，，
中位数，
∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多，
∴众数．
（3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好．
【点睛】本题考查了扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图、中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．
21. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．

（1）求直线和反比例函数图象的表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为
（2）6
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【小问1详解】
解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴，，即，
∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．
【小问2详解】
解：∵直线的图象与y轴交于点B，
∴当时，，
∴，
∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
22. 如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．

（1）求的长；
（2）若，求证：为的切线．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可；
（2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线．
【小问1详解】
解：如图所示，连接，
∵是的直径，且，
∴，
∵E上一点，且，
∴，
∴，
∴的长；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
【点睛】本题主要考查了切线判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键
．
23. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【解析】
【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，
解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，
，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，
，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
24. 问题情境：如图1，在中，，是边上的中线．如图2，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，折痕分别交于点E，G，F，H．

猜想证明：
（1）如图2，试判断四边形的形状，并说明理由．
问题解决；
（2）如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形的面积．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）30
【解析】
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到，即可得出结论．
（2）先证明四边形为平行四边形，过点作于点，等积法得到的积，推出四边形的面积，即可得解．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵在中，，是边上的中线，
∴，
∵将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，
∴，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
由（1）知：，，
∴，
过点作于点，

∵，
∴，
∵四边形的面积，，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．投稿篇数（篇）
1
2
3
4
5
七年级频数（人）
7
10
15
12
6
八年级频数（人）
2
10
13
21
4
统计量
中位数
众数
平均数
方差
七年级
3
3
1.48
八年级
m
n
3.3
1.01