福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
2. 已知，那么是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量，满足，，，则在上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（ ）
A. 1.906B. 1.908C. 1.917D. 1.919
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
7. 在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面，平面平面，则，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（ ）
A. 极差B. 众数C. 平均数D. 第25百分位数
10. 已知圆：，直线：，则（ ）
A. 直线过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4
D. 直线被圆截得的弦长最短时，的方程为
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记. 满足，的图象关于直线对称，则（ ）
A. B.
C. 奇函数D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，则的子集个数为______.
13. 函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则取值范围是______.
14. 在正四棱台中，，，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为的球上，则平面截球所得截面的面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且图象在处的切线斜率为0.
（1）求值；
（2）令，求的最小值.
16. 建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.
（1）从这10个建盏中任取1个，求取出的建盏是成品的概率；
（2）每件建盏成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盏的总收入为元，求的分布列及数学期望.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，.，分别为棱，上的动点（与端点不重合），且.

（1）求证：平面；
（2）若，设平面与平面所成的角为，求的最大值.
18. 已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4，记点的轨迹为曲线
（1）求的方程；
（2）不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点.
19. 若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列.
（1）若，，，求的值；
（2）已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值；
（3）若数列是各项均为正整数单调递增数列，求证：.