2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第六节函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数的应用课件

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1.描述简谐运动函数y=Asin(ωx+φ)的物理量
2.五点法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示:
3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)图象的两种方法.
主要指平移变换(相位变换)和伸 缩变换(周期变换、振幅变换)
微思考1由函数y=sin ωx(ω>0)的图象得到函数y=sin(ωx+ )的图象,需要经过怎样的变换?将函数y=sin(2x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到的图象对应的函数解析式是y=sin(x+φ)还是y=sin(x+ )?
提示 应将函数y=sin ωx(ω>0)的图象向左平移 个单位长度就能得到函数y=sin 的图象;如果将函数y=sin(2x+φ)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到的图象对应的函数解析式是y=sin(x+φ).
微思考2 函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.利用零点代入求φ时,ωx1+φ取哪些值?
提示若利用x1这样的零点(图象经过(x1,0)时函数单调递减)代入求φ的值,应令ωx1+φ=π+2kπ(k∈Z);而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2,0)时函数单调递增)代入求φ的值,应令ωx2+φ=2kπ(k∈Z).
常用结论1.三角函数图象的平移规则是“左加右减”“上加下减”.2.进行三角函数图象的变换时,变换前后函数的名称要一致,若不一致,应用诱导公式进行转化.3.在函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,若其最大值、最小值分别为M,m,
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ=　　　　　. 
考向1.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换典例突破
答案 (1)B　(2)C　(3)C　
由图可知,两函数图象有3个交点.故选C.
方法点拨三角函数图象变换的关键点三角函数的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下:(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.(2)变同名:变换前后函数的名称要一样.(3)选方法:即选择变换方法.要注意:对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.
答案 (1)B　(2)A　
考向2.由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定解析式典例突破例2.(1)(多选)函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=(　　)
答案 (1)BC　(2) 　
方法总结根据图象求函数解析式的解法要点
已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,关键是求ω和φ,常用如下两种方法:(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的与x轴交点的横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ;(2)代入图象中已知点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或与x轴交点)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的取值范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
答案 (1)B　(2)C　
考向3.函数y=Asin(ωx+φ)图象的应用典例突破
设f(x),g(x)的图象在y轴右侧的交点依次为A,C,B,在y轴左侧的第一个交点为D,由三角函数的性质易得AB∥CD,即△ABC的高h是一个定值,其值为C
规律方法函数y=Asin(ωx+φ)的图象左右平移前后的形状、大小不变,只有位置改变,所以依据函数图象解决问题要注重分析图象及对应解析式的关系,通过图象的变化分析出函数性质的变化.譬如两个函数图象的交点个数可转化为方程根的个数.
解析如图所示,根据三角函数图象的对称性,可得阴影部分的面积等于图中x轴上面和下面两个矩形面积之和,∵f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,∴每个矩形的长和宽应为θ和1,两个矩形面积和为2θ.
典例突破例4.海水受日月的引力,在一定的时间发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:
(1)已知该港口的水深与时刻间的变化满足函数y=Acs(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,b>0,-π<φ<π),画出函数图象,并求出函数解析式;(2)现有一艘货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.2米的间隙(船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?(参考数据: ≈1.7)
解 (1)由题表中数据可画出函数图象如下.
名师点析三角函数模型的应用类型及解题策略(1)给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题.(2)给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题.(3)搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题.
对点训练4我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车,水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具,体现了中华民族的创造力.水车的示意图如图所示,其半径为6 m,中心O距水面3 m,一水斗从水面处的点P0处出发,逆时针匀速旋转,80 s转动一周,经t秒后,水斗旋转到点P处,此时水斗距离水面高度为h.
(1)以O为坐标原点,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,建立直角坐标系如图所示,试将点P距离水面的高度h(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数;(2)此水斗经过多长时间后再次到达水面?在旋转一周的过程中,水斗位于水下的时间是多少?