备考2024年中考数学核心素养专题十九 圆的动态几何问题练习附解析

这是一份备考2024年中考数学核心素养专题十九 圆的动态几何问题练习附解析，共56页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题，实践探究题等内容，欢迎下载使用。

1． 如图，将半径为4的圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O，过点O作直径CD⊥AB于点E，点P是半径OD上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．如图，矩形ABCD中，AB=1，∠ABD=60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（ ）
A．03．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC=12，D是AB中点，P是以A为圆心，以AD为半径的圆上的动点，连接PB、PC，则 PBPC的最大值为（ ）
A．103B．31010C．13−14D．13+14
4．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位为度），那么y关于点P运动的时间x（单位：秒）的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，∠A=∠B=45°，AB=42，点C，D分别在∠A，∠B的另一边上运动，并保持CD=2，点M在边BC上，BM=2，点N是CD的中点，若点P为AB上任意一点，则PM+PN的最小值为（ ）
A．22+1B．25+1C．22−1D．25−1
6．如图，AB，AC分别是半圆O的直径和弦，AB=5，AC=4，D是BC上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．13−2B．13−3C．2D．3
7．如图，抛物线y＝14x2-4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（ ）
A．3B．412C．72D．4
8．如图，函数y=2x与函数y=2x的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（ ）
A．52B．5+12C．5D．5+1
9．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A．210−6B．326−10C．46−4D．413−8
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．8B．10C．12D．14
二、填空题
11．如图，抛物线y＝x2﹣4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点C关于抛物线对称轴的对称点为点D， 动点E在y轴上， 点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是 ．
12．如图，在直角坐标系中，已知点A(8，0)、点B(0，6)，⊙A的半径为5，点C是⊙A上的动点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是 ．
13．如图，AB是半径为4的⊙O的弦，且AB＝6，将AB沿着弦AB折叠，点C是折叠后的AB上一动点，连接并延长BC交⊙O于点D，点E是CD的中点，连接EO，则EO的最小值为 ．
14．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
15．如图，已知直线y=34x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB．则△PAB面积的最大值与最小值的差为 ．
三、解答题
16．已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，F为BC延长线上一点．
（1）求证：∠DCF=∠DAB
（2）过O作OE⊥AB于点E(如图2)，试猜想线段OE与DC的数量关系，并证明你的猜想.
（3）当图2中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时(如图3所示)，（2）中的猜想是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立请说明理由．
17．如图所示，矩形OABC中，OA=63cm，OC=6cm，以点O为圆心作半径r=33cm的圆，交OA于点D，点P在线段OD上，过点P作MN⊥OA，交圆于两点M，N，连接OM，ON的延长线交BC于点Q．设OP=t（cm）．
（1）当OQ=2CQ时，MN= cm；
（2）在∠MON从120°减少到90°的过程中，求点Q下降的高度；
（3）设BC的中点为E，当点Q在线段BE上时，请直接写出t的取值范围．
18．已知在半圆O中，直径AB=10，点C，D在半圆0上运动，弦CD=5．
（1）如图1，当弧AC与弧BD相等时，求证：△CAB≌△DBA．
（2）如图2，若∠DAB=22.5°，求图中阴影部分（弦AD、真径AB、弧BD围成的图形）的面积；
（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：
①点M的运动路径的总长 ；
②点M到AB的距离的最小值是 ．
19．如图，AB是⊙O的直径，OA＝3．动点P从点A出发， 在圆O上顺时针运动到终点B ，速度为每秒π个单位．同时动点Q从点B出发，在⊙O上沿顺时针方向运动， 速度每秒3π个单位 ， 当点P到达终点时， 点Q也随之停止运动．连结OP、OQ．设点P的运动时间为t秒．
（1）⊙O的周长为 ；
（2）当点P与点Q重合时，求AP所在的扇形的面积；
（3）当OP⊥OQ时，求t的值；
（4）作半径OP的垂直平分线交⊙O于点M、N，连结PQ．当PQ将线段MN分成1：2的两部分时，直接写出t的值．
20．如图，在直角坐标系中，直线 y=−12x+4 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，以 AB 为直径作圆 O1 ，过 B 作圆 O1 的切线交 x 轴于点 C ．
（1）求 C 点的坐标；
（2）设点 D 为 BC 延长线上一点， CD=BC ， P 为线段 BC 上的一个动点（异于 B ， C ），过 P 点作 x 轴的平行线交 AB 于 M ，交 DA 的延长线于 N ，试判断 PM+PN 的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．
21．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设 k=AQ+BQCQ ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ， k=2AQCQ （或 2BQCQ ）．
已知在平面直角坐标系xOy中，Q(-1，0)，C(1，0)，⊙C的半径为r．
（1）如图1，当 r=2 时，
①若A1(0，1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．
②A2(1+ 2 ，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．
（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，
①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．
②当 k=3 时，求r的取值范围．
（3）若存在r的值使得直线 y=−3x+b 与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“ 3 相关依附点”，直接写出b的取值范围．
四、综合题
22．如图1，⊙l与直线相离a，过圆心l作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙l于P，Q两点（Q在P，H之间）.我们把点P称为⊙l关于直线a的“远点”，把PQ⋅PH的值称为⊙l关于直线a的“特征数”.
图1 图2
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为(0，4)，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D.
①过点E作垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点 ▲ （填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为 ▲ ；
②若直线n的函数表达式为y=3x+4，求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M(1，4)，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，3为半径作⊙F.若⊙F与直线l相离，点N(−1，0)是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是66，直接写出直线l的函数解析式.
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2，0)，和点B(4，0)，直线是对称轴．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在直线上是否存在点C，使∠ACB=45°？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）P为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线右侧，连接PA，PB，过点P作PM⊥l，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T．若PT2=SΔPAB，且⊙M不经过点(3，3)，求PM长的取值范围．
24．在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为d.对于点P和图形W给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最小值，且最小值恰好为d，则称点P为图形W的“关联点”
（1）如图1，图形W是矩形AOBC，其中点A的坐标为(0，3)，点C的坐标为(4，3)，则d= ，在点P1(−1，0)，P2(2，8)，P3(3，1)，P4(−21，−2)中，矩形AOBC的“关联点”是 ．
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形DEFG，其中D点的坐标为(1，1).若直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”.求b的取值范围；
（3）已知点M(1，0)，N(0，3)，图形W是以T(t，0)为圆心，1为半径的⊙T.若线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点“，直接写出t的取值范围．
25． 在平面直角坐标系xOy中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k.已知圆O的半径为2，
（1）若点M的坐标为(1，1)，则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为 ，点M关于圆O的特征值为 ；
（2）直线y=x+b分别与x，y轴交于点A，B，若线段AB上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围；
（3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r，点S关于圆O的特征值记为s.当点T在x轴正轴上运动时，若存在点R，S，使得r+s=3，直接写出点T的横坐标t的取值范围．
26．在正方形ABCD中，E、F分别为AD边上的两点，连接BF、CE并延长交于点Q，连接DQ，H为CQ上一点，连接BH、DH．
（1）如图1，若H为CE的中点，且4DE=AB，DH=17，求线段BC的长；
（2）如图2，过点H作HP//BC，且HB=HP，连接BP，刚好交CH的中点G，当∠QFE+∠QBH=90°时，求证：BP+2DQ=2CQ；
（3）如图3，在(1)的条件下，点M为线段AD上一动点，连接CM，作BN⊥CM于点N，将△BCN沿BC翻折得到△BCN'，点S、R分别为线段BC、CN'上两点，且BC=4CS，N'C=3N'R，连接BR、N'S交于点O，连接CO，请直接写出△BCO面积的最大值．
27． 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(m，n)，我们称直线y=mx+n为点P的关联直线.例如，点P(2，4)的关联直线为y=2x+4．
（1）已知点A(1，2)．
①点A的关联直线为 ；
②若⊙O与点A的关联直线相切，则⊙O的半径为 ；
（2）已知点C(0，2)，点D(d，0).点M为直线CD上的动点．
①当d=2时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；
②以T(−1，1)为圆心，3为半径作⊙T.在点M运动过程中，当点M的关联直线与⊙T交于E，F两点时，EF的最小值为4，请直接写出d的值．
28． 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，C，Q(点P与点C不重合)，给出如下定义：若∠PCQ=90°，且CQCP=1k，则称点Q为点P关于点C的“k−关联点”．
已知点A(3，0)，点B(0，33)，⊙O的半径为r．
（1）①在点D(0，3)，E(0，−1.5)，F(3，3)中，是点A关于点O的“1−关联点”的为 ；
②点B关于点O的“3−关联点”的坐标为 ；
（2）点P为线段AB上的任意一点，点C为线段OB上任意一点(不与点B重合)．
①若⊙O上存在点P关于点O的“3−关联点”，直接写出r的最大值及最小值；
②当r=321时，⊙O上不存在点P关于点C的“k−关联点”，直接写出k的取值范围： ．
29．如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，EA=EP，连结AE，EP．
（1）求证：△PAE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由；
（3）当点P是BC的中点时，DE=4．
①求BC的长；
②若点Q是△ABP外接圆上的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ.当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ的长．
五、实践探究题
30．先阅读材料，再解答问题：
已知点 P(x0：y0) 和直线 y=kx+b ，则点P到直线 y=kx+b 的距离d可用公式 d=|kx0−y0+b|1+k2 计算．例如：求点 P(−2，1) 到直线 y=2x+3 的距离．
解：由直线 y=2x+3 可知： k=2，b=3 ．
所以点 P(−2，1) 到直线 y=2x+3 的距离为 d=|kx0−y0+b|1+k2=|2×(−2)−1+3|1+22=255 ．
求：
（1）求点P（2，-1）到直线y=x+1的距离．
（2）已知直线 y=2x+1 与 y=2x−5 平行，求这两条平行线之间的距离；
（3）如图已知直线 y=−43x−4 分别交 x，y 轴于 A，B 两点，☉C是以 C(2，2) 为圆心， 2 为半径的圆， P 为☉C上的动点，试求 ΔPAB 面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，当点P与O重合时，
∴AP=AO=4，
当点P与D重合时，
∴AP=AD，
连接AD，
∵将半径为4的圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O，
∴OE=12OC=2，OC⊥AB，
∴AE=OA2−OE2=23，DE=6，
∴AD=AE2−DE2=(23)2+62=43，
∴AP的长度的取值范围为4≤AP≤43，
∴AP的长度不可能是7，
故选：D．
【分析】先求出AP的最小值，再求出AP的最大值，可得AP的长度的取值范围为4≤AP≤43，再判断即可.
2．【答案】B
【解析】【解答】∵ 在矩形ABCD中，AB=1，∠ABD=60° ，
∴∠ADB=30°，∠A=90°，
∴BD=2AB，AD=3AB，
∴BD=2， AD=BD=3，
又∵ 点O在对角线BD上，圆O经过点C，
∴⊙O的半径最大为BC=AD=3，
如下图所示，当点O位于矩形ABCD对角线交点时，根据四点共圆的判定条件可知，点A、B、C、D都在⊙O上，此时，⊙O的半径r=OC=12BD=1，
当点O沿DB向点B移动时，⊙O半径逐渐变大，最大为3，此时，⊙O经过点C且点A、B在⊙O内，
当点O沿BD向点D移动时，⊙O半径逐渐变小，此时，⊙O经过点C且只有点D在⊙O内，
∴如果矩形ABCD有两个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是1 综上可知，选项A、C、D都不符合题意，选项B符合题意，故答案为B。
【分析】根据题意，首先确定ABCD四点共圆时⊙O的半径为1，然后另点O线段BD上左右滑动，很容易得到符合题意的⊙O的半径的取值范围是13．【答案】D
【解析】【解答】解：固定BP，则BAAP=2，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O，设OP=a，则AO=2a，OB=4a，∵∠ABC=90°，ABAC=2，∴C点的运动轨迹为阿氏圆O´，∴∠OBO´=90°，∴O´B=2a，O´C=a，∴当PC最小时，PBPC的值最大，∴PBPC=PBPO'−O'C=3a13a−a=13+14。故选D.
【分析】根据阿氏圆的定义，固定BP，分别确定A点、C点的运动轨迹为阿氏圆，于是可知当PC最小时，PBPC的值最大，PC=PO´-O´C时最小，结合题意求解即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】（1）当点P沿O→C运动时，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
当点P在点C的位置时，
∵OA＝OC，
∴y＝45°，
∴y由90°逐渐减小到45°；
（2）当点P沿C→D运动时，
根据圆周角定理，可得
y＝90°÷2＝45°；
（3）当点P沿D→O运动时，
当点P在点D的位置时，y＝45°，
当点P在点O的位置时，y＝90°，
∴y由45°逐渐增加到90°．
故答案为：B
【分析】分三种情况：（1）当点P沿O→C运动时；（2）当点P沿C→D运动时；（3）当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是哪个即可．
5．【答案】D
【解析】【解答】如图，延长AD，BC，交于点O，作点M关于AB的对称点M'，
连接BM'，OM'，OM'交AB于点P'，MM'交AB于点F，则PM=PM'，
∵∠A=∠B=45°，
∴∠COD=90°，
∵CD=2，N是CD的中点，连接ON，
∴ON=12CD=1，
∴点N在以O为圆心，半径为1的圆位于△ABO的内部的弧上运动，
∵PM+PN=PM'+PN=PM'+OP−1，
∴当O、N、P、M'四点在同一条直线上时，ON+PN+PM'=OM'最小，
即PM+PN=OM'−1最小，
∵点M、M'关于AB对称，
∴AB垂直平分MM'，
∴BM'=BM=2，∠M'BF=∠MBF=∠BMM'=∠BM'M=45°，
∴∠MBM'=90°，
∵A=∠B=45°，AB=42，
∴OA=OB=22AB=4
∴OM'=OB2+BM'2=25，
∴PM+PN的最小值为25−1．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出AB垂直平分MM'，再求出OA=4，最后利用勾股定理计算求解即可。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：取AC中点M，连接MB，EM，BC，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=AB2−AC2=52−42=3，
∵MC=12AC=12×4=2，
∴MB=MC2+BC2=22+32=13，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∴ME=12AC=2，
∵ME+BE≥BM，
∴BE≥MB−ME=13−2，
∴BE的最小值是13−2．
故答案为：A．
【分析】取AC中点M，连接MB，EM，BC，先求出MB=MC2+BC2=22+32=13，再结合ME+BE≥BM，可得BE≥MB−ME=13−2，从而得解。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，14x2-4＝0，解得x1＝4，x2＝-4，则A（-4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝12BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝32+42＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是72.
故答案为：C.
【分析】连接BP， 利用y＝14x2-4求出A、B的坐标，利用三角形中位线定理可得OQ＝12BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，由勾股定理求出BC的长，利用BP'=BC+CP'即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：联立正比例函数y=2x与反比例函数y=2x，
得y=2xy=2x，解得x1=1y1=2，x2=−1y2=−2，
∴点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（-1，−1），
连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D．
由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点，
∵点Q为AP的中点，
∴OQ=12PB，
∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，
则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长．
过点B作BE⊥x轴于点E，
则OE=1，BE=2，
∵C点坐标为（-2，0），
∴OC=2，CE=CO-OE=1，
由勾股定理得BC=BE2+CE2=5，
∴BD=BC+CD=5+1，
∴OQ=5+12．
故答案为：B．
【分析】当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长，过点B作BE⊥x轴于点E，则OE=1，BE=2，利用勾股定理求出BC的长，利用线段的和差求出BD的长，最后求出OQ=5+12即可。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，取BC的中点E，连接AE、AC．
∵CM⊥BD，
∴∠BMC=90°，
∴在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，
∴CE=12BC=8，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=16，AB=2OA=20，
∴AC=AB2−BC2=202−162=12，
在Rt△ACE中，AE=AC2+CE2=122+82=413，
∵EM+AM≥AE，
∴当E、M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM=413-8，
故答案为：D．
【分析】取BC的中点E，连接AE、AC，先证明在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，利用勾股定理求出AC和AE的长，再利用三角形三边的关系可得AM的值最小，最小值为AE-EM=413-8。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，设半圆O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC，垂足为P，交半圆O于F，
此时，垂线段OP最短，MN的最小值为OP-OF
∵∠C=90°，AC=8，BC=6
∴AB=10
∵OP⊥BC
∴∠OPB=90°=∠C
又∵∠B=∠B
∴ΔBPO∼ΔBCA
∴OPAC=OBAB
同理可得，ΔADO~ΔACB
∴ODBC=OAAB
∵点O是AB的三等分点
∴OB=23×10=203，OPAC=OBAB=23，ODBC=OAAB=13
∴OP=163，OD=2
∴MN最小值为OP−OF=163−2=103
如图，当点N 在AB边上时，M与B重合，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN的最大值=203+2=263
MN的最小值和最大值之和为103+263=12
故答案为：C．
【分析】设半圆O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC，垂足为P，交半圆O于F，此时，垂线段OP最短，MN的最小值为OP-OF，当点N 在AB边上时，M与B重合，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，再分别求出最大值和最小值并相加即可。
11．【答案】58−1
【解析】【解答】解：过点D作y轴的对称点H，连接BH交y轴于点E，交圆于点F，则DE+EF最小，如下图：
令抛物线的y=0，则解得x=3或1；令x=0，则y=3；
∴抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（3，0），与y轴的交点C为（0，3）
∵y= x2﹣4x+3 = （x-2）2﹣1
∴抛物线的对称轴为直线x=2，点D的坐标为（4，3）
∵点H与点D关于y轴对称
∴点H的坐标为（-4，3），EH=ED
∴当DE+EF最小值=EH+EF=HF=HB-FB=−4−32+3−02−1=58−1.
故答案为：58−1.
【分析】根据轴对称的性质，确定点E和F的位置；根据二次函数与坐标轴的交点关系，可得二次函数与x轴，y轴的交点；根据抛物线的解析式，可得其对称轴；根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得点H的坐标；根据两点间的距离公式，可得HB的值，进而求出HF的值.
12．【答案】2.5≤OP≤7.5
【解析】【解答】解：∵A(8，0)，点B(0，6)，
∴OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，
连接AB，AC，取AB的中点D，则D的坐标(4，3)；连接DP，
∵DP分别是AB、BC的中点，
∴DP= 12AC =12 x5=52，
∴点D是定点，DP=52，
即点P的运动轨迹是以点D为中心，DP为半径的圆，
∵DP1=DP2=52，
∴点D坐标(4，3)，
∴OP的取值范围是OD-DP1 ≤ OP≤OD+DP2，
即2.5≤OP≤7.5，
故答案为：2.5≤OP≤7.5.
【分析】根据题意先求出OA= 8，OB=6，∠AOB = 90°，再求出点D是定点，DP=52，最后计算求解即可。
13．【答案】3−7
【解析】【解答】解：如图，连接AD、AE、AO、AC，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=BF=12AB=3，
在Rt△AOF中，AO=4，AF=3，
则OF=AO2−AF2=42−32=7，
∵∠ABD=∠ABC，
∴AD⏜=AC⏜，
∴AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵点E是CD的中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∵点F是AB的中点，
∴在Rt△ABE中，EF=12AB=3，
∵OE＞EF-OF，
故当O、E、F三点共线时，OE的值最小，此时，OE=EF-OF
∴OE的最小值为3−7．
故答案为：3−7．
【分析】连接AD、AE、AO、AC，过点O作OF⊥AB于点F，根据垂直于弦的直径平分这条弦可得AF=BF=12AB=3，根据在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方可求除OF的值；根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等可得AD⏜=AC⏜，根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等可得AD=AC；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合可得∠AEC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=3；根据三角形两边之差小于第三边可得OE＞EF-OF，可推得当O、E、F三点共线时，OE的值最小，即可求解.
14．【答案】324π
【解析】【解答】解：如图取AB的中点O，AE的中点E，BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，
因为在等腰直角三角形∆ABC中，AC=BC=3，
由勾股定理得AB=AC2+AB2=32，则OC=12AB=322，OP=12AB=322，
因为M为PC的中点，所以OM⊥PC，则∠CMO=90°，则点M在OC为直径的圆上，点P在A点时，点M在点E处，点P在B点时，M点在点F，易证得四边形CEOF为正方形，则OE=OC=32，点M运动的路径 为EF的直径的半圆.所以点M 运动的路径长=12×322π=324π.
故答案为：324π..
【分析】本题主要考查勾股定理，圆的基本性质，根据题意结合勾股定理可得：OC=12AB=322，OP=12AB=322，因为M为PC的中点，所以OM⊥PC，则∠CMO=90°，则点M在OC为直径的圆上，点P在A点时，点M在点E处，点P在B点时，M点在点F，易证得四边形CEOF为正方形，则OE=OC=32，点M运动的路径 为EF的直径的半圆.所以点M 运动的路径长，再计算出半圆的弧长即可.
15．【答案】5
【解析】【解答】解：∵直线y=34x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点 ，∴点A(4，0)，点B（0，-3），则AB=32+42=5，设点P到直线的距离为d，则△PAB的面积：S=12×d×AB=52d，设点C到直线AB的距离为d1，根据圆性质可得d的最大值为d1+r，最小值为d1−r，则△PAB面积的最大值与最小值的差为52d1+r−52d1−r=52×2=5.
故答案为：5.
【分析】本题主要直线的坐标轴的交点，圆上的点到直线的距离，根据题意可得AB=5，设点P到直线的距离为d，则△PAB的面积：S=12×d×AB=52d，可得△PAB的面积最大小是由d决定的，设点C到直线AB的距离为d1，根据圆性质可得d的最大值为d1+r，最小值为d1−r，从而可得则△PAB面积的最大值与最小值的差.
16．【答案】（1）证明：∵∠DCF是△BDC的外角，
∴∠DCF=∠CBD+∠CDB，
∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠DCF=∠DAB；
（2）OE=12CD，
证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∵AG过O点，为圆O直径，∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，∴E为AB中点．∴OE=12BG．
∵AC⊥BD，∴∠APD=90°．∴∠DAP+∠ADP=90°．
∵∠BAG+∠G=90°.且∠ADP=∠G，∴∠DAP=∠BAG．∴CD=BG．∴OE=12CD.
（3）解：（2）的结论成立．
证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∴∠ABG=90°．∵OE⊥AB于点E，∴E为AB中点．∴OE=12BG．
由（2）证明可知，∠PDA=∠G，∴∠PAD=∠BAG．
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质得∠DCF=∠CBD+∠CDB，由圆周角定理得∠CBD=∠DAC和∠CDB=∠CAB，又∠DAB=∠DAC+∠CAB，等量代换由等式的性质原命题得证.（2）作辅助线：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，如图，由圆周角定理得∠ABG=90°，由中位线定理得OE=12BG，由直角三角形的性质得∠DAP+∠ADP=90°，∠BAG+∠G=90°，由圆周角定理得∠ADP=∠G，等量代换由等式的性质得∠DAP=∠BAG，由圆周角定理得CD=BG，等量代换由等式的性质原命题得证.
（3）作辅助线：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，如图，由圆周角定理得∠ABG=90°，由中位线定理得OE=12BG，由圆的内接四边形的性质证明可知，∠PDA=∠G，由直角三角形的性质得∠PAD=∠BAG，由圆周角定理得CD=BG，等量代换由等式的性质原命题得证.
17．【答案】（1）9
（2）解：在矩形OABC中，∠AOC=∠C=90°，
∵OM=ON=r，MN⊥OA，
∴∠PON=12∠MON，
当∠MON=120°时，∠PON=60°，∠COQ=30°，
则tan30∘=CQOC=CQ6=33，
∴CQ=23cm，
当∠MON=90°时，∠PON=45°，∠COQ=45°，
则tan45°=CQOC=CQ6=1，
∴CQ=6cm，
∴在∠MON从120°减少到90°的过程中，点Q下降的高度为(6−23)cm；
（3）解：当点Q与点E重合时，过点E作EF⊥OA于F，如图所示，
∵MN⊥OA，EF⊥OA，
∴PN∥EF，四边形COFE为矩形，
∴△ONP∽△OEF，OF=CE，
∴OPOF=ONOE，
∵E为BC的中点，
∴CE=OF=12OA=33，
∴OE=OC2+CE2=62+(33)2=37，
∴t33=3337，
解得t=977；
当点E与点B重合时，如图所示，
∵MN⊥OA，∠A=90°，
∴PN∥AB，
∴△ONP∽△OBA，
∴OPOA=ONOB，
∵OA=63，AB=6，
∴OB=(63)2+62=12，
∴t63=3312，
解得t=92，
∴977≤t≤92．
【解析】【解答】（1）∵OABC是矩形，
∴∠AOC=90°，
∵OQ=2CQ，
∴CQOQ=12，
在Rt△OCQ中，sin∠COQ=CQOQ=12，
∴∠COQ=30°，∠PON=∠AOC-∠COQ=60°，
∵sin∠PON=PNON，ON=r=33，
∴PN=ON×sin∠PON=92，
∵MN⊥OP，点O为圆心，
∴PM=PN=92，
∴MN=PM+PN=9，
故答案为：9；
【分析】（1）先结合sin∠COQ=CQOQ=12，求出∠COQ=30°，∠PON=∠AOC-∠COQ=60°，再结合sin∠PON=PNON，ON=r=33，求出PN的长，最后利用线段的和差求出MN的长即可；
（2）①当∠MON=120°时，∠PON=60°，∠COQ=30°，求出CQ=23cm，②当∠MON=90°时，∠PON=45°，∠COQ=45°，求出CQ=6cm，再求出在∠MON从120°减少到90°的过程中，点Q下降的高度为(6−23)cm，从而得解；
（3）分类讨论：①当点Q与点E重合时，过点E作EF⊥OA于F，先证出△ONP∽△OEF，OF=CE，可得OPOF=ONOE，再将数据代入求出t=977即可，②当点E与点B重合时，先证出△ONP∽△OBA，可得OPOA=ONOB，再将数据代入求出t=92，即可得到977≤t≤92，从而得解.
18．【答案】（1）证明：∵CD=CD，∴∠CAD=∠DBC
∵AC=BD
∴∠DAB=∠CBA，AC=BD
∴∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA
∴∠CAB=∠DBA
又∵AB=BA，
∴△CAB≌△DBA(SAS)；
（2）解：过D作DH⊥AB于H，连接OD，如图2：
∵半圆O中，直径AB=10，
∴OA=OD=5，
∵∠DAB=22.5°，∴∠DOB=45°
∴DH=22OD=522，S扇形DOB=25π8，
∴S△AOD=12OA⋅OH=2524，
∴S阴影部分=S扇形DOB+S△AOD=25π8+2524
（3）533π；343
【解析】【解答】（3）①如图所示，连接OM，OD，
∵点M是CD的中点，
∴OM是弦CD的中垂线，
∵∠OMD=90°，DM=12CD=52，OD=5，
∴OM=OD2−DM2=523，∠DOM=30°，
∴点M在以点O为圆心，OM为半径的弧上运动，如图所示：
∴当点C与点A重合或者点D与点B重合时，∠POR=180°-2×30°=120°，
∴点M的运动路径的总长为120°×2π×OM360°=533π；
故答案为：533π；
②当点C与点A重合或者点D与点B重合时，点M到AB的距离取到最小值，
在Rt△OPN中，∠ONP=90°，∠PON=30°，OP=OM=323，
∴点M到AB的距离的最小值是PN=12OP=12×323=343，
故答案为：343.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠CAB=∠DBA，再结合AC=BD和AB=BA，利用“SAS”可得△CAB≌△DBA；
（2）先利用扇形面积公式及三角形面积公式求S扇形DOB=25π8，S△AOD=12OA⋅OH=2524，再利用割补法求出阴影部分的面积即可；
（3）①先证出点M在以点O为圆心，OM为半径的弧上运动，再利用弧长公式求解即可；
②先证出当点C与点A重合或者点D与点B重合时，点M到AB的距离取到最小值，再求出点M到AB的距离的最小值是PN=12OP=12×323=343即可.
19．【答案】（1）6π
（2）解：当点P与点Q重合时，
3π+πt＝3πt，
解得：t＝32，
∴点P走过的圆心角度数为32π6π×360°＝90°，
∴AP所在的扇形的面积为90360×π×32＝94π；
（3）解：当点P与点Q重合前，OP⊥OQ，
则14×6π−πt=3π−3πt，
解得：t＝34；
当点P与点Q重合后，OP⊥OQ，
πt+14×6π=3πt−3πt，
解得：t＝94；
综上，t＝34或94；
（4）解：t＝12或52
【解析】【解答】解：（1）⊙O的周长为2π×3＝6π；
故答案为：6π；
⑵、当点P、Q重合时
3πt-πt=3π，解得：t=32，
点P走过路程所对圆心角度数32π6π×360°=90°，
所以弧AP所在扇形面积为：90π×32360=9π4；
⑶、 当点P与点Q重合前，OP⊥OQ ，
则3π+πt-3πt=14×6π，解得t=34，
当点P与点Q重合后，OP⊥OQ ，
则3πt−3π−πt=14×6π，解得t=94，
综上所述，t=34或94；
（4）情况一：如图，连接OM，PN，PQ交MN于点H，
∵MN垂直平分OP，
∴OM＝PM，
∵OP＝OM，
∴OP＝OM＝PM，
∴△OPM为等边三角形，
∴∠POM＝60°，
同理可得：△PON为等边三角形，
∴OP＝PN＝ON，∠PON＝60°，
∴∠MON＝120°，PM＝OM＝ON＝PN，
∴四边形PMON为菱形，
∴PM∥ON，
∴△GHN∽△PHM，
∴GNPM=NHMH=12， 即 GN=12PM
∴GN＝12ON，
∴PG垂直平分ON，
∴NH＝OH，∠HNO＝∠HON，
∵∠MON＝120°，OM＝ON，
∴∠ONM＝30°，即∠HNO＝30°，
∴∠HON＝∠HNO＝30°，
∴∠AOP＝∠PON-∠HON＝60°-30°＝30°，
∴t＝30360×6ππ=12
情况二：连接OM，PM，ON，NH：MH＝1：2，
同理可得：∠BOP＝30°，
∴∠AOP＝180°-∠BOP＝180°-30°＝150°，
∴t＝150360×2ππ=52
综上，t＝12或52．
【分析】⑴根据圆周长公式计算即可。
⑵可以理解成追及问题，先求点P、Q重合时所用时间，从而求弧AP长，进而求的弧AP所对圆心角度数，根据扇形面积公式求解弧AP所在扇形面积。
⑶由题分析OP和OQ垂直分两类，点Q和点P重合前垂直与重合后垂直，根据点P、Q间圆上距离列方程求解。
⑷利用垂直平分线的性质可以论证PM等于OM，又半径相等，故△OMP是等边三角形，同理△ONP也是等边三角形，进而可得四边形OMPN是菱形，故对边平行，所以△MPH相似于△NGH，利用相似三角形性质可得GN等于二分之一MP，也即GN等于二分之一ON，由等边三角形性质可知PG垂直平分ON，可以求得∠AOP大小，30度或150度，由圆心角求弧长进而求得点P运动时间t的值。
20．【答案】（1）∵BC是圆O1的切线，
∴BC⊥AB，
∵直线AB的解析式为y=−12x+4，
∴直线BC的解析式为y=2x+4，令y=0，
∴2x+4=0，∴x=-2，
∴C（-2，0）；
（2）PM+PN的值是定值，定值为20。将x=0代入直线y=−12x+4，得到y=4，
∴B（4，0），再将y=0代入直线y=−12x+4，得到x=8，
∴A（8，0），由（1）可知：C（-2，0），∵CDBC，
∴D(-4，-4)，∵A（8，0），
∴直线AD的解析式为y=13x−83，
∵点P再线段BC上，设P（m，2m+4）（-2∵PM//x轴，
∴M（-4m，2m+4），N（6m+20，2m+4），
∴PM+PN=-4m-m+（6m+20-m）=20，即：PM+PN的值是定值，定值为20.
【解析】【分析】（1）先判断出BC垂直AB，进而求出直线BC的解析式，即可得出结论；
（2）下求出点A、B的坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标，进而求出直线AD的解析式，设出点P坐标，进而表示出M、N的坐标，即可得出结论。
21．【答案】（1）①如图1中，连接 AC 、 QA1 ．
由题意： OC=OQ=OA1 ， ∴ △ QA1C 是直角三角形， ∴∠CA1Q=90° ，即 CA1⊥QA1 ， ∴QA1 是 ⊙C 的切线， ∴k=2QA1QC=222=2 ．
②∵ A2(1+2，0) 在 ⊙C 上， ∴k=2−2+1+2+12=2 ， ∴A2 是 ⊙C 的“2相关依附点”．
故答案为： 2 ，是；
（2）①如图2，当 r=1 时，不妨设直线 QM 与 ⊙C 相切的切点 M 在 x 轴上方（切点 M 在 x 轴下方时同理），连接 CM ，则 QM⊥CM ．
∵Q(−1，0) ， C(1，0) ， r=1 ， ∴CQ=2 ， CM=1 ， ∴ MQ=3 ，此时 k=2MQCQ=3 ；
②如图3中，若直线 QM 与 ⊙C 不相切，设直线 QM 与 ⊙C 的另一个交点为 N （不妨设 QN（3）如图4中，由（2）可知：当 k=3 时， 1⩽r<2 ．
当 r=2 时， ⊙C 经过点 Q(−1，0) 或 E(3，0) ，当直线 y=−3x+b 经过点 Q 时， b=−3 ，当直线 y=−3x+b 经过点 E 时， b=33 ， ∴ 满足条件的 b 的取值范围为 −3【解析】【分析】（1） ① 根据所给的坐标以及半径r， △ QA1C 三边满足勾股定理， ∴∠CA1Q=90° ，即 CA1⊥QA1 。∴QA1 是 ⊙C 的切线 ， k=2AQCQ ，代入即可求出k.
②A2(1+2，0) 在 ⊙C 上，将其代入公式求解即可得到k值。是 ⊙C的“2相关依附点” 。
（2） ① 由题意得QM与圆相切，切点为M，已知Q点、C点坐标，利用勾股定理即可求出MQ，从而求出k值。
② 若直线 QM 与 ⊙C 不相切，设直线 QM 与 ⊙C 的另一个交点为 N （不妨设 QN （3） 由（2）可知：当 k=3 时， 1⩽r<2 ， 当 r=2 时， ⊙C 经过点 Q(−1，0) 或 E(3，0)，即当直线y经过Q点时，可求出b= -3；当直线y过E点时，可求出b=33.所以b得取值范围即可求出。
22．【答案】（1）解：①D；10；
②如图，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P.
设直线y=3x+4交x轴于F(−433，0)，交y轴于E(0，4)，
∴OE=4，OF=433
∴∠FEO=30°，
∴OH=12OE=2，
∴PH=OH+OP=3，
∴⊙O关于直线n的“特征数”=PQ⋅PH=2×3=6.
（2）解：y=−17x+297或y=−x+5.
【解析】【解答】解：（1）①根据题意可得：A（1，0），B（0，1），C（-1，0），D（0，-1），
∵点E的坐标为（0，4），
∴DB=2，DE=5，
根据定义可得：⊙O关于直线m的“远点”是点D，⊙O关于直线m的“特征数”为DB×DE=2×5=10，
故答案为：D；10；
（2）过N作直线l的垂线，垂足为S，与⊙F的另一个交点为R，如图：
设S(m，n)，
∵点N(−1，0)是⊙F关于直线l的“远点”，
∴S、R、F、N共线，
∵⊙F关于直线的“特征数”是66，
∴NR⋅NS=66，即23⋅NS=66，
∴NS=32，
∴(m+1)2+n2=(32)2①，
∵M(1，4)，N(−1，0)，
∴MN2=(1+1)2+(4−0)2=20，
在Rt△MSN中，
SM2=MN2−NS2=20−(32)2=2
∴(m−1)2+(n−4)2=2②，
由①②可解得m=2n=3或m=−25n=215
∴S(2，3)或(−25，215)
当S(2，3)时，设直线l的函数解析式为y=kx+b，
将S(2，3)，M(1，4)代入得：2k+b=3k+b=4，
解得k=−1b=5
∴直线l解析式为y=−x+5，
当S(−25，215)时，设直线l的函数解析式为y=k'x+b'，将S(−25，215)，M(1，4)代入得：−25k'+b'=215k'+b'=4
解得k'=−17b'=297
∴直线l解析式为y=−17x+297，
综上所述，直线l解析式为y=−x+5或y=−17x+297.
【分析】（1）①利用题干中“远点”的定义及“特征数”的定义及计算方法分析求解即可；
②过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P，先求出∠FEO=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出OH=12OE=2，利用线段的和差求出PH=OH+OP=3，再求出⊙O关于直线n的“特征数”=PQ⋅PH=2×3=6即可；
（2）过N作直线l的垂线，垂足为S，与⊙F的另一个交点为R，设S(m，n)，利用勾股定理可得SM2=MN2−NS2=20−(32)2=2，再求出联立方程组求出S的点坐标，再分类讨论并利用待定系数法求出函数解析式即可.
23．【答案】（1）解：由题知，y=(x−2)(x−4)=x2−6x+8
（2）解：存在
以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点记为点D，
∴∠ACB=12∠ADB=45°
此时A，B，C三点共圆，且圆心为点D，
半径r=DA=DB=DC=22，AB=2
因此点C到x轴距离为2+1，
∴C(3，2+1)或(3，−2−1)．
（3）解：∵y=x2−6x+8=(x−3)2−1，
∴对称轴为x=3．
设P(m，m2−6m+8)，
∵PM⊥l，
∴M(3，m2−6m+8)，
连接MT，则MT⊥PT，
∴PT2=PM2−MT2=(m−3)2−r2，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
则S△PAB=12AB⋅PH=m2−6m+8，
∴(m−3)2−r2=m2−6m+8，
∵r>0，
∴r=1．
假设⊙M经过点N(3，3)，则有两种情况：
①如图，当点M在点N的上方，
∴M(3，4)，
∴m2−6m+8=4，
解得m1=3+5，m2=3−5，
∵m>4，
∴m=3+5．
②如图，当点M在点N的下方，
∴M(3，2)，
∴m2−6m+8=2，
解得m=3±3，
∵m>4，
∴m=3+3，
综上所述，PM=m−3=5或3，
∴当⊙M不经过点N(3，3)时，PM长的取值范围为：15．
（特别说明：答案是PM>1，且PM≠5且PM≠3，也可以）．
【解析】【分析】（1）利用交点式将A、B坐标代入即可求解；
（2） 以AB为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点记为点D， 求得 ∠ACB=45°， 此时A，B，C三点共圆，且圆心为点D， 以点D为圆心，AD长为半径作 ⊙D交抛物线对称轴于点C，从而求解；
（3）由抛物线先求得对称轴为 x=3， 设P(m，m2−6m+8)，M(3，m2−6m+8)，连接MT，则MT⊥PT， 由勾股定理可得 PT2=PM2−MT2=(m−3)2−r2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H， 利用△PAB的面积可和勾股定理可得关于r的方程，解方程取符合题意的r的值，再分两种情况： ①如图，当点M在点N的上方， 得到关于m的方程；②如图，当点M在点N的下方，得到关于m的方程，解方程取符合题意的m的值即可，从而得出结论.
24．【答案】（1）5；P2，P4
（2）解：∵D(1，1)，四边形DEFG是正方形，
∴d=DF=22，
过O点作OM垂直直线y=x+b，交于点M，
当ME=22时，OM=32，
∵∠MNO=45°，
∴ON=6，
∴−6≤b≤6时，直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”；
（3）解：∵⊙T是T(t，0)为圆心，1为半径的圆，
∴d=2，
当T点在x轴负半轴上时，过点T作TL⊥MN交于点L，交圆于点K，
当KL=2时，TL=3，
∵M(1，0)，N(0，3)，
∴ON=3，OM=1，
∴tan∠OMN=3，
∴∠OMN=60°，
∴TM=332=23，
此时T(1−23，0)，
当TM=3时，OT=2，
∴T(−2，0)，
∴1−23≤t≤−2时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
当T点在x轴正半轴上时，当TM=3时，此时T(4，0)，
当NT=3时，3=t2+3，解得t=6或t=−6(舍)，
∴6≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”；
∴1−23≤t≤−2或6≤t≤4时，线段MN上存在点P，使点P为⊙T的“关联点”．
【解析】【解答】解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点A的坐标为（0，3），点C的坐标为（4，3），
∴OC=42+32=5，
∴d=5；
∵P1(−1，0)，
∴P1O=1，
∴P1不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P2(2，8)，
∴P2到AC的距离为5，
∴P2是矩形AOBC的“关联点”；
∵P3(3，1)，
∴P3到OB的距离为1，
∴P3不是矩形AOBC的“关联点”；
∵P4(−21，−2)，
∴P4O=5，
∴P4是矩形AOBC的“关联点”；
故答案为：5；P2，P4；
【分析】（1）利用“关联点”的定义分析求解即可；
（2）过O点作OM垂直直线y=x+b，交于点M，当ME=22时，OM=32，再求出−6≤b≤6时，直线y=x+b上存在点P，使点P为正方形DEFG的“关联点”即可；
（3）先画出图象，再根据题干中的定义及有关“关联点”的定义分析求解即可.
25．【答案】（1）22；3
（2）解：设点G是⊙O的特征值为4的点，
∴经过一点G且弦长为4(最长弦)的直线有1条，弦长为3的直线有2条，弦长为2的直线有且只有1条，
∵经过点G的直线被⊙O截得的弦长的最小值为2，
∴22−12=3，
∴关于⊙O的特征值为4的所有点都在以O为圆心，3为半径的圆周上，
∵直线y=x+b分别与x，y轴交于点A、B，
∴A(−b，0)，B(0，b)，
∴OA=OB=b，
∴∠OBH=45°，
当b>0时，线段AB与以O为圆心，3为半径的圆相切时，点G特征值为4，
设切点为为H，连接OH，
则OH=3，
∴OB=2OH=6，
∴b=6，
设以O为圆心，3为半径的圆与y轴正半轴的交点记为B1，
则OB1=3，
当线段AB与以O为圆心，3为半径的圆相交，且过点B1时，可得b=3，
∴3≤b≤6，
同理可求当b<0时，−6≤b≤−3，
综上，b的取值范围是3≤b≤6或−6≤b≤−3；
（3）当2−32≤t≤72+1时，存在点R，S，使得r+s=3
【解析】【解答】解：(1)设经过点M的直线与⊙O交于E、F两点，
过点O作OH⊥EF于H，连接OM、OE，
∴EF=2EH，
在Rt△OEH中，
EH=OE2−OH2=4−OH2，
当OH最大时，EH最小，即此时EF最小，
∵点M的坐标为(1，1)，
∴OM=12+12=2，
∵OH≤OM，
∴当点H与点M重合时，
∴OH有最大值2，
∴此时EH有最小值为4−(2)2=2，
∴EF的最小值为22，
∵过点M的直线被⊙O截得的弦长的最大值为4(直径)，
∴被⊙O截得的弦长取值范围为22≤x≤4，
∴被⊙O截得的弦长为正整数的只有是3或4，
∵被⊙O截得的弦长为3的弦有2条，被⊙O截得的弦长为4的弦只有1条，
∴点M关于⊙O的特征值为3，
故答案为：22，3；
(3)同一平面内，对于任意一点Q，
点Q关于圆O的特征值不可能为0，
∴r⋅s≠0，
∵r+s=3，且r、s都是整数，
∴r=1s=2. 或r=2s=1，
当r=1s=2时，经过点S且弦长为4(最长弦)的直线有1条，
弦长为3(最短弦)的直线有1. 条，
∴点S一定在以O为圆心，以22−(32)2=72为半径的圆上，
同理当r=2s=1时，点R一定在以T为圆心，以12−(12)2=32为半径的圆上，
当满足以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，32为半径的圆有交点，
且同时满足以O为圆心，72为半径的圆与以T为圆心，1为半径的圆有交点时的值符合题意，
如图所示，当以O为圆心，32为半径的圆与以T.圆心为半径的圆外切时，此时t=72+1；
所示，当以O为圆心，2为半径的圆与以T为圆心，32为半径的圆内切时，此时t2=2−32；
综上所述，当2−32≤t≤72+1时，存在点R，S，使得r+s=3．
【分析】
(1)过O作OH⊥EF于H，当OH最大时EF最小。根据M坐标可求出OM，得OH的最大值，从而得出EF的最小值，接着确定过M的直线被圆O截得的弦长范围及弦长为整数时弦的条数，得出特征值；
(2)先确定特征值为4时圆心的位置和半径，再结合等腰直角三角形的特点求出b大于0和小于0时b的范围；
(3)圆O和圆T的位置关系可能相交，也可能内切或外切，需要分不同情形进行讨论，最终得出t的范围。
26．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，BC=CD=AD，
∵H是CE的中点，
∴CE=2DH=217，
设DE=a，则CD=AD=4a，
由勾股定理得，
CE2+DE2=CE2，
∴(4a)2+a2=(217)2，
∴a=2，a=−2(舍去)，
∴BC=4a=8；
（2）证明：如图1，
作DR⊥CQ于R，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠A=90°，BC=CD，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵∠QFE=∠AFB，
∴∠ABE+∠QFE=90°，
∵∠QFE+∠QBH=90°，
∴∠QBH=∠ABF，
∵PH//BC，
∴∠P=∠CBG，
∵G是CH的中点，
∴GH=CG，
∵∠PGH=∠BGC，
∴△PHG≌△BCG(AAS)，
∴PH=BC，BP=2BG=2PG，
∵PH=BH，
∴BH=BC，
∴∠CBG=∠HBG，BG⊥CQ，
∴∠QGB=90°，
∵∠ABF+∠FBH+∠HBG+∠CBG=90°，
∴2∠FBH+2∠HBG=90°，
∴∠FBH+∠HBG=45°，
∴∠QBG=45°，
∴tan∠QBG= QGBG=tan45°=1，
∴BG=QG，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG+∠DCR=90°，
∵∠CRD=90°，
∴∠DCR+∠CDR=90°，
∴∠BCG=∠CDR，
∵∠CRD=∠BHC=90°，
∴△BCG≌△CDR(AAS)，
∴CG=DE，CE=BG，
∴QG=CR，
∴CG=QR，
∴QR=DR=22DQ，
∴CQ=QR+CR=22DQ+BG，
∴2CQ=2BG+2DQ，
∴BP+2DQ=2CQ；
（3）解：如图2，
作ST//CN'，交BR于T，作OX⊥BC于X，作N'V⊥BC于V，
∴△BST∽△BCN'，△SOT∽△NOR，OX//OV，
∴STCR=BSBC，STRN'=OSON'△SXO∽△SVN'，
∴BC=4SC，OXVN'=OSSN'，
∴STCR=34，
∴CN'=3RN'，
∴OSON'=32
∴OXVN'=35，
∴当VN'最大时，OX最大，△BOC的面积最大，
∵∠BN'C=∠BNC=90°，
∴N'在以BC为直径的圆上运动，
∴当VN'=12BC时，VN'最大=4，
∴OX最大=35VN'=125，
∴S△BCO最大=12BC⋅OX=12×8×125=485．
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形全等的判定及动点问题。
（1） ∵根据正方形ABCD得∠ADC=90°，BC=CD=AD，根据H是CE的中点得CE=2DH=217，
设DE=a，则CD=AD=4a，根据CE2+DE2=CE2可知BC=4a=8；
（2）作DR⊥CQ于R
根据正方形ABCD得∠ABF+∠AFB=90°，根据∠QFE=∠AFB得∠ABE+∠QFE=90°，
结合∠QFE+∠QBH=90°知∠QBH=∠ABF，根据PH//BC得∠P=∠CBG，根据G是CH的中点得GH=CG可证△PHG≌△BCG，再证△BCG≌△CDR，可得BP+2DQ=2CQ；
（3） 作ST//CN'，交BR于T，作OX⊥BC于X，作N'V⊥BC于V，得△BST∽△BCN'，△SOT~∆NOR，OX//OV，则STCR=BSBC，STRN'=OSON'△SXO~∆SVN'，得BC=4SC，
则CN'=3RN'，OXVN'=35，则当VN'最大时，OX最大，△BOC的面积最大，根据∠BN'C=∠BNC=90°知N'在以BC为直径的圆上运动，当VN'=12BC时，VN'最大=4，
则可得S△BCO最大=12BC⋅OX．
27．【答案】（1）y=x+2；2
（2）解：①当d=2时，D(2，0)，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∵C(0，2)，
∴2k+b=0b=2，解得：k=−1b=2，
∴直线CD的解析式为：y=−x+2，
设点M的坐标为(m，−m+2)，
∴点M的关联直线为：y=mx−m+2=m(x−1)+2，
∴点M的关联直线经过定点N(1，2)，
如图2，过点O作直线y=−mx−m+2的垂线，垂足为H，连接ON，
∴ON≥OH，
∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，
∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为：12+22=5；
②d=2或−23
【解析】【解答】解：（1）①∵点A(1，2)，
∴点A的关联直线为：y=x+2；
故答案为： y=x+2
②如图1，设直线y=x+2与⊙O相切的切点为B，连接OB，
∴OB⊥GH，
在y=x+2中，当x=0时，y=2，
∴OG=2，
当y=0时，x+2=0，
∴x=−2，
∴OH=2，
∴△GOH是等腰直角三角形，
∴GH=22+22=22，
∵OB⊥GH，
∴BH=BG，
∴OB=12GH=12×22=2，
则⊙O的半径为2；
故答案为：2；
（2）②∵点C(0，2)，点D(d，0)，
∴得直线CD的解析式为：y=−2xd+2，
设点M的坐标为(n，−2nd+2)，
∴点M的关联直线为：y=nx−2nd+2=n(x−2d)+2，
∴点M的关联直线经过定点(2d，2)，
如图3，过点T作TN⊥EF于N，连接TF，则EF=2FN，
要想使EF最小，因为TF=3是定值，则TN为最大=32−22=5，
由(2)①可知：当N与(2d，2)重合时，TN最大，
∵T(−1，1)，
则：(−1−2d)2+(1−2)2=(5)2，
解得：d=2或−23．
【分析】（1）①根据“关联直线”的定义直接求解即可；
②先画出图象，证出△GOH是等腰直角三角形，可得GH=22+22=22，再求出OB=12GH=12×22=2即可；
（2）①先求出点N的坐标，过点O作直线y=−mx−m+2的垂线，垂足为H，连接ON，再证出当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，再求解即可；
②设点M的坐标为(n，−2nd+2)，过点T作TN⊥EF于N，连接TF，则EF=2FN，要想使EF最小，因为TF=3是定值，则TN为最大=32−22=5，再列出方程(−1−2d)2+(1−2)2=(5)2求出d的值即可.
28．【答案】（1）D；(−3，0)或(3，0)
（2）解：①⊙O的半径的最大值为3，最小值为32； ②k≥33．
【解析】【解答】解：（1）①如图1中，观察图象可知，点D是点A关于点O的“1−关联点”．
故答案为：D；
②点B关于点O的“3−关联点”的坐标为(−3，0)或(3，0)．
故答案为：(−3，0)或(3，0)；
（2）①如图2中，
由题意OA=3，OB=33，
∴AB=OA2+OB2=32+(33)2=6，
当OP⊥AB时，12⋅AB⋅OP=12⋅OA⋅OB，
∴OP=3×336=332，
∴332≤OP≤33，
假设P关于点O的“3−关联点为C，则OCOP=13，
∴32≤OC≤3，
∴⊙O的半径的最大值为3，最小值为32；
②如图3中，过点B作BQ⊥AB交⊙O于点Q，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接OQ．
∵tan∠OAB=OBOA=3，
∴∠OAB=60°，
∴∠OBA=90°−60°=30°，
∵BQ⊥AB，
∴∠QBH=60°，
设BH=m，则HQ=3m，
∵OH2+HQ2=OQ2，
∴(33+m)2+(3m)2=(321)2，
解得，m=33(负根已经舍去)，
∴BH=33，BQ=2BH=63，
此时P与A重合，C与B重合，k=CPCQ=663=33，
观察图象可知，满足条件的k的取值范围为：k≥33．
【分析】（1）①根据图象直接求解即可；
②根据“ k−关联点 ”的定义求解即可；
（2）①当OP⊥AB时，12⋅AB⋅OP=12⋅OA⋅OB，求出OP=3×336=332，假设P关于点O的“3−关联点为C，则OCOP=13，求出32≤OC≤3，即可得到⊙O半径的最值；
②过点B作BQ⊥AB交⊙O于点Q，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接OQ，设BH=m，则HQ=3m，利用勾股定理可得(33+m)2+(3m)2=(321)2，求出m的值，再求出BH=33，BQ=2BH=63，此时P与A重合，C与B重合，k=CPCQ=663=33，即可得到k的取值范围.
29．【答案】（1）证明：如图1，∵点E在△ABP的外接圆上，
∴∠AEP+∠A=180°，
∴∠AEP=90°，
∴∠EAP+∠EPA=90°．
∵EA=EP，
∴∠EAP=∠EPA=45°，
∴△PAE是等腰直角三角形；
（2）解：解：结论：DE=2PF，
理由：如图2，延长FE交AD于点H，
∵EF⊥BC，BC//AD，
∴EH⊥AD，
即∠AHE=∠EFP=90°，
∴∠EAH+∠AEH=90°，
∵∠AEP=90°，
∴∠PEF+∠AEH=90°，
∴∠EAH=∠PEF，
又∵△PAE是等腰直角三角形，
∴EA=EP，
∴△EAH≌△PEF(AAS)，
∴AH=EF，EH=PF，
∵AD=DC=HF，
∴AH+HD=EF+HE，
∴HD=HE=PF，
∴DE=2HE=2PF；
（3）解：解：①由(2)知DE=2PF．
∵DE=4，
∴PF=22．
∵P是BC的中点，
∴BC=2PC=82，
②∵tan∠EAD=13<1=tan∠EDA，
∴∠EAD<∠EDA=45°=∠PAE，
∴存在∠PAQ=∠EDA或∠PAQ=∠EAD，
当∠PAQ=∠EDA时，如图3，∠PAQ=45°=∠PAE，
∴PE=PQ，
∵∠B=90度，
∴AP是圆的直径，
∴AQ=AE，
∴AQ=AE=(62)2+(22)2=45；
当∠PAQ=∠EAD时，如图4，连结PQ；
∵AP是圆的直径，
∴∠AQP=90°=∠AHE，
∴△APQ∽△AEH，
∴AQAH=APAE=2，
∴AQ=2AH=12，
综上所述，AQ的长是45或12．
【解析】【分析】（1）由圆内接四边形的对角互补可得：∠AEP+∠A=180°，由正方形的性质可得∠B=90°，于是可得∠AEP=90°，根据直角三角形两锐角互余和等弧所对的圆周角相等可得∠EAP=∠EPA=45°，于是可得三角形EAP是等腰直角三角形；
（2）结论：DE=2PF；理由如下：延长FE交AD于点H，由平行线的性质易得EH⊥AD，结合已知的易证∠EAH=∠PEF，再由（1）的结论易得∆EAH≌∆PEF，则AH=EF，EH=PF，结合正方形的性质可得DH=HE=PF，在直角三角形EDH中，由勾股定理可得DE=2HE=2PF；
（3）①由（2）得DE=2PF，结合已知可得PF的值，根据线段中点的性质得BC=2PC可求解；
②根据tan∠EAD=13＜1=tan∠EDA，则∠EAD＜∠EDA=45°=∠PAE，∴存在∠PAQ=∠EDA或∠PAQ=∠EAD，分两种情况讨论：
当∠PAQ=∠EDA时，按题意画出如形，易得AQ=AE，用勾股定理可求解；
当∠PAQ=∠EAD，易得∆APQ∽∆AEH，可得比例式AQAH=APAE求解，综合两种情况可求解.
30．【答案】（1）解：∵直线y=x+1，
∴k=1，b=1，
∴点P（2，-1）到直线y=x+1的距离= |1×2−(−1)+1|1+12=22 ；
（2）解：在直线y=2x+1上任取一点P（0，1），
∵直线y=2x+1与y=2x-5平行，
∴这两条平行线之间的距离等于点P（0，1）到直线y=2x-5的距离，
∵直线y=2x-5可变形为2x-y-5=0，其中k=2，b=-5，
∴点P（0，1）到直线y=2x-5的距离d＝ |kx0−y0+b|1+k2=|2×0−1−5|1+22=655 ，
∴这两条平行线之间的距离等于 655 ；
（3）解：令x=0得y=-4；令y=0得x=-3，
∴B（0，-4），A（-3，0），
∴AB= (−3−0)2+(−4−0)2=5 ，
设圆心C（2，2）到直线y＝− 43 x−4即− 43 x−y−4＝0的距离为d，⊙C的半径为R=2，
∴d＝ =|−43×2−2−4|1+(−43)2=265 ，
又∵⊙C上任意点P到直线y＝− 43 x−4的距离h≤d+R＝ 265 +2＝ 365 ，
∴⊙C上任意点P到直线y＝− 43 x−4的距离的最大值h=d+R＝ 365 ，
∴△PAB的面积的最大值= 12 AB×(d+R)＝ 12 ×5×(d+R)＝ 12 ×5×( 265 +2)＝18．
【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式可求解；（2）在直线y=2x+1上任取一点P（0，1），这两条平行线之间的距离等于点P（0，1）到直线y=2x-5的距离，由点到直线的距离公式可求解；（3）先求出点C到直线AB的距离，即可求解．