2024湖南中考数学二轮专题复习含解析

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依标扣本 掌握必备知识
聚焦中考 培育核心素养
通过平移、轴对称(折叠)、旋转等得到完全重合．
1.全等三角形的判定定理
1.“HL”只适用于直角三角形.2.“AAA”“SSA”不能判定三角形全等.如图1，△ABC与△A'B'C'的三个角都相等，但△ABC与△A'B'C'相似而不全等；如图2，在△ABC和△ABC'中，AB＝AB，AC＝AC'，∠B＝∠B，但△ABC与△ABC'不全等.3.证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上，养成良好的书写习惯．　
【链接教材】1.(人教八上P32练习T2改编)如图，AB，CD相交于点O，△OCA≌△OBD，AO=6，BO=4，则CD的长为 (　　) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
OD=OA=6，OC=OB=4
CD=OD+OC=6+4=10
【链接教材】2.(湘教八上P78练习T3改编)如图，已知AB=AC，BD=CE．求证：△ACD≌△ABE．
△ACD≌△ABE(SAS)
证明：∵AB＝AC，BD＝CE，∴AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE.又∵AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACD≌△ABE(SAS)．
【链接教材】3. (人教八上P41练习T2改编)如图，AD∥BC，AD＝CB，求证：△ADE≌△CBE.
证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∠D＝∠B.在△ADE和△CBE中， ∠D＝∠B， AD＝CB， ∠A＝∠C，∴△ADE≌△CBE(ASA)．
【链接教材】4. (湘教八上P88习题T8改编)如图，AB＝AC，DB＝DC，则直接由“SSS”可以判定 (　　)A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACEC．△EBD≌△ECDD．以上答案都不对
【链接教材】5. (华师八上P70练习T1改编)已知∠B＝∠C,∠BAD＝∠CAD.求证：∠ADB＝∠ADC.
证明：∵∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)．∴∠ADB＝∠ADC.
【链接教材】6.(华师八上P74例7改编)如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD．添加的条件是：______________________．(写一个即可)
AC＝AD(或BC＝BD)
已有公共斜边AB，缺什么？
AC=AD或者BC=BD
【例1】(2023·长沙)如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E.（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
∠ADC=∠AEB=90°
△ABE≌△ACD(AAS)
AD=AE=6，CD=8
(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.
∴△ABE≌△ACD(AAS)．
(2)解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6.∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4.
【变式】(2023·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)求证：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.由作图知AE＝AF.∴△ADE≌△ADF(SAS)．
1.(2023•长春)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'，BB' 的中点，只要量出A'B' 的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是 ( )A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例D．两点之间线段最短
2．(2023·凉山州)如图，点E，点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是 (　　)A．∠A＝∠DB．∠AFB＝∠DECC．AB＝DCD．AF＝DE
3．(2023·重庆A)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 .
4．(2022·益阳)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB.求证：△CED≌△ABC.证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°.∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE.∴△CED≌△ABC(ASA)．
5. (2023·福建)如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB.求证：AB＝CD.证明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，即∠AOB＝∠COD.在△AOB 和△COD中，∴△AOB≌△COD(SAS)．∴AB＝CD.
【例2】(2023•怀化)如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．（1）证明：△BOF≌△DOE；（2）连接BE，DF，证明：四边形EBFD是菱形．
四边形BFDE是平行四边形
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO.∵O是BD的中点，∴DO＝BO.又∵∠EOD＝∠FOB，∴△BOF≌△DOE(ASA)．
(2)由(1)知△BOF≌△DOE，∴BF＝DE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即DE∥BF.∴四边形EBFD是平行四边形．∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形.
6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若线段AE＝5，则S四边形ABCD＝____.
7.(2023·遂宁)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD，BC所在的直线相交于点E，F.(点E不与点D重合)(1)求证：△DOE≌△BOF；证明：(1) ∵AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF.∵O为对角线BD的中点，∴OD＝OB.在△DOE和△BOF中，∴△DOE≌△BOF(ASA)．
7.(2023·遂宁)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，O为对角线BD的中点，过点O的直线l分别与AD，BC所在的直线相交于点E，F.(点E不与点D重合)(2)当直线l⊥BD时，连接BE，DF，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
解：(2)四边形EBFD是菱形，理由如下：∵OD＝OB，直线l经过点O且l⊥BD，∴直线l是线段BD的垂直平分线．∴DE＝BE，DF＝BF.∵△DOE≌△BOF，∴DE＝BF.∴DE＝BE＝DF＝BF.∴四边形EBFD是菱形．
全等三角形的概念及性质