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湖南省常德市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题
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这是一份湖南省常德市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共8题；共40分)
1. (2024高三下·贵州模拟) 若集合 ， 其中且 ， 则实数的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
2. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A . B . C . 1 D .
3. 平面向量满足 ， 则在方向上的投影向量为（ ）
A . B . C . D .
4. (2024高三下·丽水模拟) 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的 ， ， 有 ， 则( )
A . B . C . D .
5. (2024·湖南模拟) 若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )
A . B . C . 或 D . 或
6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A . 6寸 B . 4寸 C . 3寸 D . 2寸
7. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的第5项为（ ）
A . B . C . 或1 D . 或1
8. 如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点 ， 过点作于点 ， ， 则双曲线的离心率为（ ）
A . B . C . D .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．(共3题；共18分)
9. 已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A . 若 ， 则与均为实数 B . 若与均为实数，则 C . 若均为纯虚数，则为实数 D . 若为实数，则均为纯虚数
10. (2024高三下·贵州模拟) 已知非零函数的定义域为 ， 为奇函数，且 ， 则（ ）
A . B . 4是函数的一个周期 C . D . 在区间上至少有1012个零点
11. 已知 ， ， 其中 ， 则的取值可以是（ ）
A . e B . C . D .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
12. (2024高三下·茂名模拟) 的展开式中常数项为．
13. (2024高三下·茂名模拟) 在公差为正数的等差数列中，若 ， ， ， 成等比数列，则数列的前10项和为.
14. (2024高三下·丽水模拟) 已知圆 ， 若对于任意的 ， 存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. 的内角的对边分别为 ， 满足 ．
（1） 求证：；
（2） 求的最小值．
16. 如图1，菱形的边长为 ， ， 将其沿折叠形成如图2所示的三棱锥 ．
图1 图2
（1） 证明：三棱锥中，；
（2） 当点在平面的投影为的重心时，求直线与平面所成角的正弦值．
17. (2024高三下·贵州模拟) 已知椭圆的左顶点为 ， 右焦点为 ， 椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点 ．
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设过点的直线与相交于 ， 两点，直线的倾斜角为锐角．若点到直线与的距离为 ， 求直线与直线的斜率之和．
18. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ， 且不同对阵的结果相互独立．
（1） 若 ， 经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2） 除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
19. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且 ， 那么在区间内至少存在一点 ， 使得 ．
（1） 运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在 ， 使得 ．
（2） 已知函数 ， ， 若对于区间内任意两个不相等的实数 ， 都有成立，求实数的取值范围．
（3） 证明：当 ， 时，有 ．
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(总分：150)
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分数：150分
题数：19
难度系数：0.15
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 16 17 18 19
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共8题；共40分)
1. (2024高三下·贵州模拟) 若集合 ， 其中且 ， 则实数的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
2. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A . B . C . 1 D .
3. 平面向量满足 ， 则在方向上的投影向量为（ ）
A . B . C . D .
4. (2024高三下·丽水模拟) 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的 ， ， 有 ， 则( )
A . B . C . D .
5. (2024·湖南模拟) 若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )
A . B . C . 或 D . 或
6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
A . 6寸 B . 4寸 C . 3寸 D . 2寸
7. 已知等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的第5项为（ ）
A . B . C . 或1 D . 或1
8. 如图，已知为双曲线上一动点，过作双曲线的切线交轴于点 ， 过点作于点 ， ， 则双曲线的离心率为（ ）
A . B . C . D .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．(共3题；共18分)
9. 已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A . 若 ， 则与均为实数 B . 若与均为实数，则 C . 若均为纯虚数，则为实数 D . 若为实数，则均为纯虚数
10. (2024高三下·贵州模拟) 已知非零函数的定义域为 ， 为奇函数，且 ， 则（ ）
A . B . 4是函数的一个周期 C . D . 在区间上至少有1012个零点
11. 已知 ， ， 其中 ， 则的取值可以是（ ）
A . e B . C . D .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．(共3题；共15分)
12. (2024高三下·茂名模拟) 的展开式中常数项为．
13. (2024高三下·茂名模拟) 在公差为正数的等差数列中，若 ， ， ， 成等比数列，则数列的前10项和为.
14. (2024高三下·丽水模拟) 已知圆 ， 若对于任意的 ， 存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. 的内角的对边分别为 ， 满足 ．
（1） 求证：；
（2） 求的最小值．
16. 如图1，菱形的边长为 ， ， 将其沿折叠形成如图2所示的三棱锥 ．
图1 图2
（1） 证明：三棱锥中，；
（2） 当点在平面的投影为的重心时，求直线与平面所成角的正弦值．
17. (2024高三下·贵州模拟) 已知椭圆的左顶点为 ， 右焦点为 ， 椭圆上的点到的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点 ．
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设过点的直线与相交于 ， 两点，直线的倾斜角为锐角．若点到直线与的距离为 ， 求直线与直线的斜率之和．
18. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ， 且不同对阵的结果相互独立．
（1） 若 ， 经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2） 除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
19. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且 ， 那么在区间内至少存在一点 ， 使得 ．
（1） 运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在 ， 使得 ．
（2） 已知函数 ， ， 若对于区间内任意两个不相等的实数 ， 都有成立，求实数的取值范围．
（3） 证明：当 ， 时，有 ．
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(总分：150)
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分数：150分
题数：19
难度系数：0.15
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 13 14
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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